Aprendiendo Trigonometria

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Libro de apoyo sobre trigonometria secundaria.

Transcript of Aprendiendo Trigonometria

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  • CONTENIDO TRIGONOMETRA ................................................................................................................................ 1

    1. ORGEN DE LA TRIGONOMETRA ............................................................................................. 1

    2. NGULOS ................................................................................................................................. 1

    3. ANTES DE EMPEZAR. ............................................................................................................... 2

    a) Agudos ................................................................................................................................. 5

    b) Rectos .................................................................................................................................. 6

    c) Obtusos ............................................................................................................................... 6

    4. TRINGULOS............................................................................................................................ 6

    Cuando uno de los ngulos es obtuso (mayor que 90 pero menor que 180), el

    tringulo se llama obtusngulo. .............................................................................................. 9

    5. FUNCIONES TRIGONOMTRICAS ............................................................................................. 9

    6. Ejemplos ................................................................................................................................ 10

    7. . Teorema de Pitgoras ......................................................................................................... 15

    EJERCICIOS RESUELTOS ..................................................................................................................... 16

    EJERCICIOS RESUELTOS DE TRINGULOS OBLICUNGULOS ............................................................. 20

  • 1

    TRIGONOMETRA

    1. ORGEN DE LA TRIGONOMETRA

    La agrimensura y la navegacin son prcticas que, desde sus orgenes, han

    requerido el clculo de distancias cuya medicin directa no resultaba posible; y

    otro tanto sucede en el mbito de la astronoma. Para resolver este problema, los

    antiguos babilonios recurrieron ya a la trigonometra; es decir, a una serie de

    procedimientos que permiten poner en relacin las medidas de los lados de un

    tringulo con las medidas de sus ngulos. La distancia desde un punto situado al

    pie de una montaa hasta su cima, por ejemplo, o desde una embarcacin hasta

    un determinado punto de la costa, o la que separa dos astros, pueden resultar

    inaccesibles a la medicin directa; en cambio, el ngulo que forma la visual

    dirigida a un accidente geogrfico, o a un punto de la bveda celeste, con otra

    visual fijada de antemano (como puede ser la dirigida segn la horizontal),

    acostumbra ser fcil de medir mediante instrumentos relativamente sencillos. El

    objetivo de la trigonometra es establecer las relaciones matemticas entre las

    medidas de las longitudes de los segmentos que forman los lados de un tringulo

    con las medidas de las amplitudes de sus ngulos, de manera que resulte posible

    calcular las unas mediante las otras.

    2. NGULOS

    Asociada tradicionalmente a un captulo tan importante de la actividad humana

    como es el de la observacin astronmica, la nocin de ngulo es bsica en

    geometra (y obviamente en trigonometra). Su aparente sencillez no ha de ocultar

    el hecho de que el tratamiento de los ngulos como magnitudes susceptibles de

    ser medidas encierra una considerable complejidad; en efecto, un sistema de

    medicin de los ngulos que permita compararlos eficazmente con otras

    magnitudes geomtricas, como la longitud o la superficie, requiere tratarlos como

    magnitudes lineales, lo que slo se consigue adecuadamente asocindolos a

    arcos de circunferencia. Pero el clculo de la longitud de la circunferencia hace

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    intervenir una magnitud irracional, el nmero pi; esto implica que cuestiones

    aparentemente sencillas, como por ejemplo la divisin de un ngulo cualquiera en

    tres partes iguales, no puedan resolverse fcilmente mediante una construccin

    geomtrica que se sirva exclusivamente de la regla y el comps.

    Dados tres puntos distintos, M, N y R, consideremos las dos semirrectas NM y NR

    del plano que contiene a los tres puntos; dichas semirrectas poseen un origen

    comn N y dividen al plano en dos regiones, cada una de las cuales se denomina

    ngulo. Las semirrectas son los lados del ngulo y su origen comn es el vrtice.

    3. ANTES DE EMPEZAR.

    La trigonometra nace con la observacin de los fenmenos astronmicos.

    El primer antecedente escrito de la trigonometra lo encontramos en el

    problema 56 del papiro de Rhind. Escrito por Ahms alrededor del 1800 a.C.

    transcribiendo otro del 500 a.C.

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    En el conjunto megaltico de Stonehenge (Gran Bretaa), construido entre 2200

    y 1600 a.C., la alineacin de dos grandes piedras indica el da ms largo del ao.

    En la antigua Babilonia se introdujo la medida del ngulo en grados.

    La divisin de la circunferencia en 360, probablemente va unida a la del ao en

    360 das. As, como el sol recorre una circunferencia en un ao, un grado sera el

    recorrido en un da.

    Con la cultura griega la trigonometra experiment un nuevo y definitivo impulso.

    Aristarco de Samos (s. III a.C.) hall la distancia al sol y a la luna

    utilizando tringulos. Hiparlo de Nicea (s. II a.C.) es considerado como el inventor

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    de la trigonometra.

    Ptolomeo, en el siglo II, escribi el Almagesto que influy a lo largo de toda la

    Edad Media.

    El desarrollo de la trigonometra debe mucho a la obra de los rabes, quienes

    transmitieron a Occidente el legado griego.

    Fueron los primeros en utilizar la tangente.

    Hacia el ao 833, Al-Kwuarizmi construy la primera tabla de senos.

    En Europa se publica en 1533, el primer tratado de trigonometra: De trianguli

    omnia modi, libri V. Escrito en 1464 en Kningsberg, por Johann Mller,

    conocido como el Regiomontano.

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    Newton utiliza en 1671 las coordenadas polares.

    La fsica de los fenmenos ondulatorios, como el producido por una cuerda que

    vibra, llev a Euler (1707-1783) al estudio de las funciones trigonomtricas.

    Hoy, en nuestros das, las utilidades de la trigonometra abarcan los ms diversos

    campos: de la topografa a la acstica, la ptica y la electrnica

    A continuacin estudiaremos un poco slo los ngulos que contienen los

    tringulos.

    a) Agudos

    Son aquellos ngulos que miden ms de 0 pero menos de 90. Son

    caractersticos de los tringulos acutngulos.

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    b) Rectos

    Son aquellos ngulos que miden 90. Son caractersticos de los tringulos

    rectngulos.

    c) Obtusos

    Son aquellos ngulos que miden ms de 90 pero menos de 180. Son

    caractersticos de los tringulos obtusngulos.

    4. TRINGULOS

    El tringulo es el polgono ms simple y tambin el ms fundamental, ya que

    cualquier polgono puede resolverse en tringulos; por ejemplo, trazando todas las

    diagonales a partir de un vrtice, o ms en general, uniendo todos los vrtices con

    un mismo punto interior al polgono. Por otra parte, un tipo particular de tringulos,

    los tringulos rectngulos, se caracterizan por satisfacer una relacin mtrica (el

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    llamado teorema de Pitgoras) que es la base de nuestro concepto de medida de

    las dimensiones espaciales.

    I. CLASIFICACIN POR LADOS

    a. Issceles

    Se llama tringulo issceles al que tiene dos lados iguales; el tercer lado se llama

    base. Los ngulos en la base de un tringulo issceles son iguales;

    recprocamente, si dos ngulos de un tringulo son iguales, los lados opuestos a

    dichos ngulos tambin sern iguales.

    b. Equiltero

    Se llama tringulo equiltero al que tiene los tres lados iguales. Como un tringulo

    equiltero es issceles para cualquier par de lados, resulta que los tres ngulos de

    un tringulo equiltero son iguales; recprocamente, si los tres ngulos de un

    tringulo son iguales, el tringulo es equiltero. Cabe mencionar que al tringulo

    que tiene los tres ngulos iguales se llaman, como se acaba de mencionar,

    tringulo equiltero, pero tambin es llamado equingulo.

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    c. Escaleno

    Cuando un tringulo tiene sus tres lados distintos entre s se llama escaleno.

    II. CLASIFICACIN POR NGULOS

    a) Acutngulo

    Un tringulo que tiene sus tres ngulos agudos (mayor que 0 pero menor que

    90) se llama acutngulo.

    b) Rectngulo

    Cuando uno de los ngulos es recto (igual a 90), se llama rectngulo.

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    c) Obtusngulo

    Cuando uno de los ngulos es obtuso (mayor que 90 pero menor que 180), el

    tringulo se llama obtusngulo.

    5. FUNCIONES TRIGONOMTRICAS

    La trigonometra es el estudio de la relacin entre

    los lados y los ngulos del tringulo rectngulo.

    Muchas aplicaciones de la trigonometra

    dependen de esta relacin. A estas relaciones las

    denominamos funciones trigonomtricas.

    Sea el tringulo ABC un tringulo rectngulo con

    el ngulo recto en el vrtice C. Sus lados a y b

    son sus catetos y el lado c la hipotenusa. Cada

    ngulo, en el tringulo tiene un lado opuesto, lado