Apuntes Trigonometria

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APUNTES DE TRIGONOMETRIAMtro. scar Ruiz ChvezMtro. Mario Silvino vila SandovalabcBACHLEY DE COSENOSSea el segmento H perpendicularal segmento C,dondeC = C1 + C2 C1= B cos a y C2= A cos b C1C2Universidad Autnoma de Ciudad JurezINDICE2CURSO PROPEDUTICO PARA LA MAESTRA EN MATEMTICA EDUCATIVA1. TRIGONOMETRA1.1.MEDIDA DE NGULOSUnnguloestformadopor larotacindeunasemirrecta, llamada rayo alrededor de su vrtice. Un rayo k, llamado el lado inicial del ngulo permanece fijo; un segundo rayo l, llamado el lado Terminaldel ngulo, comienza en la posicin inicial y rota alrededordel puntoextremocomnPenel plano, hastaque alcanza su posicin terminal. El punto extremo comn P se llama vrtice. (figura 1). Figura 1.Podemos referirnos al ngulo de la figura 1 en cualquiera de las siguientes formas:ngulo ,Zq,ngulo QPR,ZQPR,ngulo P, ZPNo existe restriccin respecto a la cantidad o la direccin de la rotacin sobreundeterminadoplano. Cuandoel ladoterminal se hace rotar en sentido contrario a las manecillas del reloj, el nguloformadoespositivo; cuandogiraenel sentidodelas manecillas del reloj, el ngulo es negativo.Un ngulo formado por una vuelta completa de un lado Terminal en direccin contraria a las manecillas del reloj tiene una medida de 360 grados, lo cual se escribe como 360. Un ngulo M.C. SCAR RUIZ CHAVEZ M.C MARIO S. AVILA SANDOVAL3de 1 ,se forma por 1360 de una vuelta, en direccin contraria a las manecillas del reloj.Unngulode90sellamarectoyrepresenta12devuelta completa, mientrasqueunngulode180sellamangulo llano ocolineal. Un ngulo agudotiene una medida que va de 0 a 90.Un ngulo obtuso ve de 90 a 180.Dos ngulospositivossoncomplementariossi la sumadesus medidas es 90;son suplementarios si la suma de sus medidas es 180.ACTIVIDAD 1: Midiendo ngulos en Cabr.Un grado se divide usando notacin decimal. Por ejemplo, 36.25, representaunnguloquemide36grados mas una cuartapartedegrado. Ungradotambinpuededividirseen minutos y segundos (igual que una hora). Cada grado se divide en 60 partes iguales llamadas minutos (expresadas en ) y cada minuto se divide en 60 partes iguales llamadas segundos (expresadas con ). En consecuencia, 51232 es una forma abreviada de escribir 5 grados, 12 minutos y 32 segundos.EJEMPLO 1: Convierta 12623 a la forma de grados decimales.SOLUCIN: Puesto que 6 = 660| ` . ,oy23 =233600| ` . ,o,entonces:12623 = 6 231260 3600| `+ + . ,o= 12.1064CURSO PROPEDUTICO PARA LA MAESTRA EN MATEMTICA EDUCATIVAEJEMPLO2: Convierta35.413alaformagradosminutos segundos.35.413 =35 (0.41360) = 3524.78 = 3524(0.7860)= 352447MEDIDA DE NGULOS EN RADIANES. De igual forma en que se defini el ngulo correspondiente a una vuelta completa del lado terminal con una medida de 360; podemos definirla tambin enradianessiendo la medida equivalente de 2. Esto quiere decir queradianescorresponde a 180,2r radianes a 90, etc. EJEMPLO 3.Convierta75 en radianes.SOLUCIN: Podemos establecer la siguiente relacin:75180 .75 .180512XradradradXradX radianesrrrooooPor otro lado, podemos hacer una conversin inversa: M.C. SCAR RUIZ CHAVEZ M.C MARIO S. AVILA SANDOVAL5EJEMPLO 4: Convierta 74r radianesa su equivalente en grados.SOLUCIN: Estableciendo una relacin similar:( )7.4180 .7. 1804.315radXradradXradXrrrroooooACTIVIDAD 2. Interpretando un radian.NGULOS Y ARCOS: Dado un arco RQ de un crculo con centro en P, se dice que el ngulo RPQ es el ngulo central que subtiende el arcoRQ. Tambindecimosqueel nguloRPQsubtiendeel arco RQ:(Figura 2).Figura 2. En general, para determinar la medida en grados de un ngulo qsubtendido por un arco de sunidades de un crculo con una 6CURSO PROPEDUTICO PARA LA MAESTRA EN MATEMTICA EDUCATIVAcircunferencia deCunidades, utilizamos la siguiente proporcin. (Figura 3).360sCuoq en grados decimales; s y C en las mismas unidades.Figura 3.MEDICIN APROXIMADA DE LA CIRCUNFERENCIA DE LA TIERRA: Losantiguosgriegosconocanlaproporcinquerelacionalos nguloscentralesylosarcos, lacual utilizEratstenes(240 a.C.)parasufamosoclculodelacircunferenciadelatierra. Razondelasiguienteforma: esbienconocidoqueenSiena (ahora Asun), durante el solsticio de verano, el sol del medioda se refleja en el agua de un pozo profundo (esto significa que sus rayos inciden verticalmente en el agua del pozo y, por lo tanto, el sol debe estar exactamente encima de l). Eratstenes pens M.C. SCAR RUIZ CHAVEZ M.C MARIO S. AVILA SANDOVAL7que si los rayos del sol que entraban al pozo siguieran al interior delatierra, pasaranporsucentro. El mismodaalamisma hora, a 5000 estadios al norte (500 millas aproximadamente), en Alejandra, los rayos del sol cruzaban una prtiga vertical en un ngulode7.5,comoseindicaenlafigura 4.Puestoquelos rayos del sol son casi paralelos cuando llegan a la tierra, Eratstenes concluyo que el ZACS meda slo 7.5.Figura 4A pesar de que el razonamiento era profundo, su clculo final de la circunferencia de la tierra requiere slo lgebra elemental:( )360500 . 7.5 360500 . 24000 . 360 7.5sCmiC mi miCu = oooEl valor calculado hoy en da es de 24,875 millas.EJEMPLO5. Cuntomideel arcosubtendidopor unngulo central de 6.23 sobre un crculo con un radio de 10 cm.?SOLUCIN. Puesto que:2360sy C rCur oEntonces( )( ) ( ) ( )2 3606.232 10 . 3602 10 . 6.231.09 .360srscmcms cmurrr oooDIAMETRO DEL SOL.Si la distancia entre la tierra y el sol es de 93,000,000 millas, determine el dimetro del sol si ste subtiende un ngulo de 03155 8CURSO PROPEDUTICO PARA LA MAESTRA EN MATEMTICA EDUCATIVAFigura 5.SOLUCIN:Como ( ) ( ) ( )2 3602 93,000,000 . 0.5322864,000 .360 360srmirs miurrr u ooACTIVIDAD 3. Construccin de engranes.EJERCICIOS1.- Indique los grados que mide el ngulo formado por el lado Terminal que gira en sentido contrario a las manecillas del reloj del valor que se indica:a)12revolucin b)14revolucin c)18revolucin d)23 revolucin2.- Clasifique los siguientes ngulos como agudos, rectos, obtusos o colineales. Si el ngulo no es ninguno de stos, indquelo as.a) 123 b) 18 c)180 d) 90 e) 45 f)91 g) 270 h)225 M.C. SCAR RUIZ CHAVEZ M.C MARIO S. AVILA SANDOVAL93.- Describa el significado de un ngulo de un grado.4.- Convierta a grados decimales a)43 214b)61 5211c)2 1247d) 23 5215.- Convierta a grados minutos segundos a) 13.633b) 22.767 c) 83.017 d) 74.0236.- Explique el significado de un radian7.- Convierta a radianes los siguientes ngulos dados en grados:a)45 b) 15 c) 125 d) 270 f) 3308.-Convierta a grados los siguientes ngulos dados en radianes a) 23r rad. b) 32rrad.c)1.264 rad. D) 1 rad.9.- Cul de los siguientes ngulos es mayor 473341 o 47.572?. Explique la forma que obtuvo la respuesta10.-Realicelaoperacin624015 -473749. Expresela solucin tanto en la forma decimal, como en la forma grados minutos segundos.11. Observe la figura 3 y calcule el dato que falta usando los que se proporcionan.10CURSO PROPEDUTICO PARA LA MAESTRA EN MATEMTICA EDUCATIVA a)C = 1000 cm.,u= 36,s = ? b) s = 12 m., C = 108m.,u = ? c) r = 5,400,00 mi., u = 2.6, s = ? d) s = 38,000 cm., u = 45.3, r = ?M.C. SCAR RUIZ CHAVEZ M.C MARIO S. AVILA SANDOVAL111.2.TRINGULOS SEMEJANTESACTIVIDAD 4.Tringulos semejantes.TEOREMA DE EUCLIDES. Si dos tringulos sonsemejantes (figura 6)sus lados correspondientes son proporcionales.Figura 6.Esto quiere decir que:' ' 'a b ca b c Recuerde que dos tringulos son semejantessi dos ngulos de uno miden lo mismo que dos ngulos del otro.EJEMPLO 6: Altura de un rbol: Un rbol proyecta una sombra de 32 pies y, al mismo tiempo, un palo que mide una yarda (3.0 pies)proyecta unasombra de 2.2 pies (Figura 7).Qu altura tiene el rbol?12CURSO PROPEDUTICO PARA LA MAESTRA EN MATEMTICA EDUCATIVAFigura 7SOLUCIN: Los rayos paralelos del sol forman el mismo ngulo conel rbol yconel palo. Puestoqueambostringulosson rectngulos ytienenunnguloagudodelamismamedida, entonces los tringulos son semejantes. Los lados correspondientes son proporcionales, por ello escribimos:( )3.0 3232 443.0 2.2 2.2pies piesx piesx piespies pies pies ACTIVIDAD 5. Altura de un can. y/o tringulos semejantes.EJERCICIOS1.- Si dostringulostienenunpar dengulosiguales, Qu puede decirse del tercer ngulo de ambos?2.- Observe la figura 6. Use los datos otorgados y encuentre el faltante: a) a = 3,b = 7, a = 8, b = ? b) b = 11, c = 7,b = 2, c =? M.C. SCAR RUIZ CHAVEZ M.C MARIO S. AVILA SANDOVAL133.- En un juego de tenis, se manda un servicio desde el centro de la lnea de fondo de la cancha de tenis. Si la pelota se golpea 9 pies por arriba del piso, viaja en lnea recta hacia el centro de la cancha y la red est a 3 pies de altura qu tan lejos de la base de la red pegar la pelota en el piso si apenas alcanza a pasar la parte superior de la red?4.- Untrozodeespejoseencuentraenel suelo(supngalo perfectamente horizontal) entre la base de un rbol y los pies de unapersona. Al mirarstaal espejo, observael reflejodela punta superior del rbol. Si la distancia entre el espejo y la base delrbol es de 8 metros y la distancia entre el espejo y los pies de la persona es 3 metros y la altura de sta es de 1.75 metros. Determine la altura del rbol.1.3.RELACIONES TRIGONOMTRICASEn la figura 8, podemos ver que existen 6 posibles razones entre los lados de un tringulo rectngulo que pueden calcularse para cada ngulo u.Figura 8Dichas razones seconocencomorazonestrigonomtricas, y debido a su importancia,, cada una tiene un nombre: seno (sen), coseno (cos), tangente (tan), cosecante (csc), secante (sec) y cotangente (cot). Adems, cada una se escribe de manera abreviada como sigue:14CURSO PROPEDUTICO PARA LA MAESTRA EN MATEMTICA EDUCATIVAcsccos sectan cotb csenc ba cc ab aa bu uu uu u Observe que sen y csc, cos y sec , as como tany cot son recprocas, es decir:1csc1seccos1cottansenuuuuuuQuedebemosconsiderar al momentodeusar lacalculadora para calcular csc, sec y cot.EJERCICIO: Use la calculadora para encontrar a) sen20 b) cos14 1516 c)tan 98.12 d) ctg 15.24 e) csc 338.38 f) sec 23 5536g) halle usisenu = 0.8280 h) halle u sisec u= 2.456.ACTIVIDAD 6: Razones trigonomtricas.EJEMPLO 7: Un bote est navegando a lo largo de la costa en un curso recto. Se avizora un punto rocoso en un ngulo d