Trigonometria i

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curso basico

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  • TRIGONOMETRA

    NDICE

    Pg.

    Cap. 1 ngulo trigonomtrico ................................................................................................. 5

    Cap. 2 Miscelnea I .............................................................................................................. 15

    Cap. 3 Sistemas de medicin angular I .................................................................................... 21

    Cap. 4 Sistemas de medicin angular II ................................................................................... 29

    Cap. 5 Sistemas de medicin angular III .................................................................................. 37

    Cap. 6 Clculo de longitud de un arco ...................................................................................... 43

    Cap. 7 Clculo de la superficie de un sector circular ................................................................... 51

    Cap. 8 Repaso I .................................................................................................................... 59

    Cap. 9 Razones trigonomtricas de ngulos agudos I ................................................................. 67

    Cap. 10 Razones trigonomtricas de ngulos agudos I ................................................................. 75

    Cap. 11 Razones trigonomtricas de ngulos notables ................................................................. 83

    Cap. 12 Propiedades de razones trigonomtricas ........................................................................ 91

    Cap. 13 ngulos verticales ....................................................................................................... 97

    Cap. 14 Miscelnea II .............................................................................................................. 103

    Cap. 15 Calculo de lados en un tringulo rectngulo .................................................................... 109

    Cap. 16 Repaso II ................................................................................................................... 117

    TRIGONOMETRA 2008 - TRILCE

    Departamento de PublicacionesLima - Per

    TRCO4SLITRTB-08.pmd

  • 4to ao de secundaria

    Pg.

    Cap. 17 Sistema cartesiano ..................................................................................................... 123

    Cap. 18 Razones trigonomtricas de un ngulo de cualquier medida I ............................................ 131

    Cap. 19 Razones trigonomtricas de un ngulo de cualquier medida II ........................................... 139

    Cap. 20 Miscelanea III ............................................................................................................. 147

    Cap. 21 Reduccin al primer cuadrante I .................................................................................... 153

    Cap. 22 Reduccin al primer cuadrante II ................................................................................... 161

    Cap. 23 Circunferencia trigonomtrica I ..................................................................................... 169

    Cap. 24 Miscelnea IV............................................................................................................. 179

    Cap. 25 Circunferencia trigonomtrica II .................................................................................... 185

    Cap. 26 Identidades trigonomtricas I ....................................................................................... 191

    Cap. 27 Identidades trigonomtricas II ...................................................................................... 197

    Cap. 28 Miscelnea V.............................................................................................................. 205

    Cap. 29 Identidades trigonomtricas de la suma y diferencia de ngulos ......................................... 209

    Cap. 30 Identidades trigonomtricas del ngulo doble .................................................................. 217

    Cap. 31 Resolucin de tringulos oblicungulos ........................................................................... 225

  • 5Organizacin Educativa TRILCE

    COLEGIO TRILCE COLEGIO TRILCE COLEGIO TRILCE COLEGIO TRILCE COLEGIO TRILCE COLEGIO TRILCE COLEGIO

    Objetivos:

    - Reconocer el ngulo trigonomtrico y los sentidos enque estos pueden estar generados: horario y antihorario.

    - Dibujar el ngulo trigonomtrico en cualquiera de lossentidos ya mencionados.

    - Operar correctamente los ngulos trigonomtricos.

    Conocimientos previos(Elementos de geometra)

    1. nguloEs la figura formada por dos rayos que tienen el mismoorigen. Los dos rayos son los lados del ngulo y el origencomn es el vrtice. En el grfico:AB y AC : ladosA: vrtice

    A B

    C

    CAB BAC

    Si los lados de un ngulo son dos rayos opuestos, elngulo se llama ngulo llano y cuando estos ladoscoinciden, el ngulo se llama de una vuelta.

    C BAngulo llano

    CBA

    ngulo de una vuelta

    2. Medicin de ngulosEn geometra, la medicin de ngulos est referida a lamagnitud asociada a la abertura entre los lados de unngulo. Se usa el sistema sexagesimal, cuya unidad esun grado sexagesimal (1), tal que 360 de ellos equivaleal ngulo de una vuelta, adems presenta dos sub-unidades llamadas: minuto sexagesimal (1') y segundosexagesimal (1''): cumplindose:

    1 vuelta = 360 1 = 60' 1' = 60'' 1 = 3600''

    3. Algunos ngulos:

    - ngulo nulo:

    CBAMedida = 0

    - ngulo llano:

    BACMedida = 180

    - ngulo recto:

    Medida = 90

    - ngulo agudo:

    A B

    C

    0 < Medida < 90

    - ngulo obtuso:

    A B

    C

    90 < Medida < 180

    - ngulo de 1 vuelta

    A B CMedida = 360

    ngulo trigonomtrico1

  • 6ngulo trigonomtrico

    Cuarto Ao de Secundaria

    4. Bisectriz de un ngulo:La bisectriz de un ngulo es el rayo que lo divide en dosde igual medida. En el grfico diremos que OM esbisectriz del ngulo BOA , ya que:

    m AOM = m MOB = 2

    BOmA

    AB

    M

    a a

    O

    ngulo trigonomtrico

    Es aquel que se genera por la rotacin de un rayo, en unsolo plano, alrededor de un punto fijo llamado vrtice; desdeuna posicin inicial (inicio del giro) hasta otra posicin final(final del giro). En el grfico:

    AB

    O

    final) (lado giro del final :OB

    inicial) (lado giro del inicio :OA BOA

    P

    Q

    O

    final) (lado giro del final :OQ

    inicial) (lado giro del inicio :OP QOP

    De esta manera se puede reconocer dos tipos de rotacin:

    O B

    A

    Sentido horario

    O

    A

    B

    Sentido antihorario

    Obviamente cuando no hay rotacin; el ngulo es nulo.

    Observaciones:

    - La medida de un ngulo trigonomtrico, hecha laindicacin de los tipos de rotacin; es:- sentido horario: medida negativa- sentido antihorario: medida positiva.

    - La medida de un ngulo trigonomtrico no puedelimitarse, pues este depende de la magnitud de larotacin y a su vez estas pueden hacerse indefinida-mente en cualquiera de los dos sentidos conocidos.

    - Para poder sumar o restar ngulos trigonomtricos, estosdeben estar orientados en el mismo sentido. Si esto noocurriese, se recomienda cambiar la rotacin, as:

    a -a

    Por ejemplo:

    a - 1010 - a

    Obs.: Se recomienda colocar todos los ngulos ensentido antihorario.

  • 7Organizacin Educativa TRILCE

    TRIGONOMETRA

    Test de aprendizaje previo1. Complete en cada recuadro el sentido de la rotacin en

    que fue generado cada ngulo.

    ab

    q

    2. De acuerdo al grfico, seale la relacin que verificana , b y q.

    ab

    q

    3. Asocie mediante flechas:

    Sentidohorario

    SentidoAntihorario

    4. Del grfico, hallar "x".

    xb

    a

    5. Del grfico, hallar "x"

    q x

    6. Hallar "x", si:

    3x+10 2x-100

    7. Hallar "x", si:

    1-3x 200

    8. Hallar "x", si:

    20 - 4x

    0x+10

    9. Hallar "x", si:

    3x+20

    2x - 20

    10.Hallar "x", si:

    15 - 9x

    2x - 50

  • 8ngulo trigonomtrico

    Cuarto Ao de Secundaria

    1. Si un ngulo que es llano mide (10x + 20), cul es elvalor de x?a) 11 b) 12 c) 16d) 8 e) 10

    2. Si un ngulo recto mide (7x+ 6), cul es el valor dex?a) 8 b) 9 c) 10d) 11 e) 12

    3. Si un ngulo agudo mide 3x, cul es el mximo valorentero que toma x?a) 17 b) 27 c) 28d) 29 e) 89

    4. Si un ngulo obtuso mide (5x + 10), cul es el mximovalor entero que toma x?a) 31 b) 32 c) 33d) 34 e) 35

    5. Si un ngulo obtuso mide (3x - 18), cul es la sumadel mximo y mnimo valor entero que toma x?a) 112 b) 102 c) 114d) 104 e) 96

    6. Si un ngulo agudo mide (6x - 12), cul es la sumadel mximo y mnimo valor entero que toma x?a) 8 b) 10 c) 12d) 17 e) 19

    7. En el grfico, OM es bisectriz, calcular x..

    (10x - 6)

    (7x + 3)

    B

    AO

    M

    a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 6

    8. Si OM es bisectriz, calcular x..

    A

    MB

    O

    (8x - 26)

    (5x + 10)

    a) 6 b) 7 c) 12d) 14 e) 16

    9. En geometra es comn decir que los ngulos cuyoslados son rayos opuestos se denominen opuestos porel vrtice y son de igual medida. En el grfico, porejemplo BOA y DOC son opuestos por el vrtice y secumple:

    bA

    B

    C

    D

    Oa

    m BOA = m DOC a = b

    Segn lo anterior, en el grfico calcular x.

    C

    D

    B

    A

    O(7x - 1) (5x + 9)

    a) 2 b) 3 c) 4d) 5 e) 6

    10.En el grfico, calcular y.

    D

    B

    C

    A

    O

    (6x + 10)

    (8y + 6)

    (7x - 4)

    a) 6 b) 14 c) 10d) 12 e) 16

    Pract iquemos

  • 9Organizacin Educativa TRILCE

    T