Trigonometria 16

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  1. 1. TrigonometraSEMANA 16RPTA.: D RESOLUCIN DE TRINGULOS3. En un tringulo ABC, la expresin:OBLICUNGULOSb gsen ( B + C )W=c b gcos A1. En un tringulo ABC, si: A = 60;es equivalente a: b = 4 7; c = 6 7 . Halle el lado aA) tg BB) ctg BC) 1D) 2 E) 1/2 A) 7B) 10C) 13 D) 14 E) 20RESOLUCIN * ABC A + B + C = 180 B + C = 180 A RESOLUCIN*Ley de proyecciones: De la ley de cosenos: c = a gcosB + b gcos A c b gcos A = a gcosB a2 = b2 + c2 2bc gcos A b gsen ( 180 A ) b gsen A () ()()( ) W= =22a2 = 4 7+ 6 7 2 4 7 6 7 gcos 600a gcosB a gcosB2 a = 196 2RsenB gsenA W== tgBa = 142RsenA gcosBRPTA.: D RPTA.: A2. Los lados de un tringulo son proporcionales a los nmeros 3;54. En un tringulo ABC, se conoce y 7. Siendo la medida de suque: B = 45; b = 2 y c = 6 . menorngulo interno; halleIndicar la medida del ngulo C. " s ec " . 7 613A) slo 30B) slo 45 A)B) C)1313 7C) slo 60D) 30 1501413E) 60 120 D)E)1314RESOLUCINB RESOLUCIN 451 635sec = ? =cos menor ngulo 7A2 C Ley de cosenos: 32 = 52 + 72 2 ( 5) ( 7 ) gcos 2613 =c os = sen 45 senC14143s ec = senC =132CICLO 2007-II Pgina 1Prohibida su Reproduccin y Venta
  2. 2. Trigonometra C = 60 120RPTA.: ERPTA.: A5.En un tringulo ABC, se conoce7. Halle la medida del ngulo B deque: A = 120, b = 7 cm yun triangulo ABC cuyos lados a, b,c = 8 cm. Halle la longitud dely c cumplenlarelacin:lado a.( b + a c ) ( c a + b ) = 3 acA) 13 mB) 130 mA) 30 B) 45 C) 60C) 1,3 m D) 0,13 m D) 120E) 150E) 0,013 m RESOLUCINRESOLUCINb + ( a c ) b ( a c ) = 3ac B b2 ( a c ) = 3 ac2 a 8(a2 ) (+ c2 2ac cosB a2 2ac + c2 = 2ac) 120 1cosB = CA2 7B = 120a = 7 + 8 2 ( 7 ) ( 8 ) cos 12022 2RPTA.: Da = 13 cm = 0,13m8. En un triangulo ABC de lados BC = a, AC = b, AB = c SeRPTA.: D 7 ab cumple: (a+b+c)(a+ b - c)=36.En un tringulo ABC de ladosM = 3 sen 2 C g senC Calcule:AB=c; AC = b; BC =a Determine:M = ab g sen C gctg A + ctgB 35 35 A)B)36 6A) c2B) b2 C) a2 C) 35 D) 2 35a2c2D) E)E) 182 2RESOLUCIN RESOLUCIN7ab7ab( a + b + c) ( a + b c) ( a + b ) c2 = 2M = ab gsenC ctg A + ctgB = 33 sen ( A + B ) ab 1M = ab gsenC g ,a2 + b2 c2 = cos C =sen A gsenB36 2ab gcos C 6 a = 2Rsen A35 Ley de senosb = 2Rsen B c c = 2Rsen CLuego:1sen CM = 3 ( 2senC ) ( cos C ) ( senC ) = 6 gsen2C gcos C sen ( A + B )M = 4R 2senA gsenB g senC 35 1 352sen A gsenB M = 6g= 6 6 36 M = ( 2R senC ) = c 2 2CICLO 2007-IIPgina 2Prohibida su Reproduccin y Venta
  3. 3. Trigonometra * ABC : A + B + C = 180RPTA.: A A + B = 180 C9.Siendo P el semiperimetro de unB + C = 180 Atriangulo ABC,indicar elCondicin:equivalente reducido de:sen ( A + B )cos ( B + C )(b+c)cos A + (a+c) cosB + (a+b)cos C=casen ( 180 C )cos ( 180 A )p =A) p B) 2 pC) c a2 + senC cos A p=D) E) 4p2RsenC 2Rsen A 41 = ctgARESOLUCIN1 = ctg A A = 135E = b cos A + c cos A + a cosB + c cos B RPTA.: D + acos C + b cos C 12.En un tringulo uno de sus ladosSi: c = b cos A + acosBmide 20 cm y los ngulos internos E = a+b+ cadyacentes con l miden 16 yE=2p37. Halle su permetro.RPTA.: BA) 22 cm B) 24 cmC) 42 cm10. En un triangulo ABC, reduce:D) 44 cm E) 50 cm(b cos C a) tgBE= b sen CRESOLUCINA) 1 B) -1 C) -21x180-53 yD) 2 E) -21637RESOLUCIN20 cm. b cos C ( b cos C + c cos B ) tgBE= Aplicando Ley de senosb senC x 20yc cosB senB == E=gsen37sen ( 180 53) sen16bsenD cosB E = -1sen 53RPTA.: Bx2 yx = 15 cm= 3 47 y = 7cm11. En un triangulo ABC se cumple: =sen ( A + B ) cos ( B + C ) 520 25=Permetro = x + y + 20 = 42 cmc aLuego su ngulo A mide:RPTA.: CA) 120B) 127 C) 143 13.En un tringulo ABC, simplifiqueD) 135E) 150la expresin: E =bg cos B + c gcos CRESOLUCINA) b cos (B-C) B) a cos (B-C)CICLO 2007-II Pgina 3 Prohibida su Reproduccin y Venta
  4. 4. TrigonometraC) c cos (B-C) D) a sen (B-C)RESOLUCINE) b sen (B-C)() M = acos A b2 + c2 + b cosB a2 + c2 +()RESOLUCIN ( c cos C a2 + b2)E = 2RsenB gcosB + 2R senC gcos C M = ab2 cos A + ac2 cos A + a2b cosB +E = R sen2B + R sen2C bc2 cosB + a2c cos C + b2c cos CE = R 2 sen ( B + C ) cos ( B C ) M = ab ( b gcos A + a gcosB ) + ac ( c gcos A + a gcosC ) +E = acos ( B C )c bRPTA.: Bbc ( c gcosB + b gcos C )14. Halle x en la figura:aM = 3 abcRPTA.:Ex16.En un tringulo ABC, simplifique la expresin:aB bA E = cos2 + cos25 32 2 22 Siendo p el semiperimetro deA) 6B) 7C) 8 dicho tringuloD) 9E) 10 pRESOLUCIN A) p B) 2p C) 2 D) p/4 E) 4p605x=? RESOLUCINB A 4 E = a g2 cos2+ b g2 cos2 1202 260 4E = a ( 1 + cos B ) + b ( 1 + cos A ) 605 3 4 E = a + a cos B + b + b cos A 4 E = a+b+ cAplicando Ley de cosenosx2 = 32 + 52 2 ( 3 ) ( 5) cos120P E=2x=7RPTA.: CRPTA.: B17.En un tringulo ABC, determine el15. En un tringulo ABC reduce: valor de x para que verifique la( )M = a b2 + c2 cos A + b a2 + c2 cosB ( ) siguiente expresin:+c a +b ( 2 2) cos C B + CB C 2c x tg tg 2 = b + c 2 A) 3 B) a + b + cC) 3 (a + b + c) D) abcE) 3abcCICLO 2007-IIPgina 4 Prohibida su Reproduccin y Venta
  5. 5. Trigonometra A AM = a2 2a2 sen2 B + 2b2 sen2 A = a2 A) tg B) 4tg 2 2AARPTA.: C C) ctgD) 2 tg22A 19. E) 2 ctg2 RESOLUCIN B + Ctg b+c 2 Si: = bc B Ctg 2 B + C B C 2c tg tg 2 = 2 b+cB + C tg 2 como: A B+C B + C A+= 90 tg = ctg 22 2 2 Ax = ctg 2RPTA.: C18.En un tringulo ABC, BC = a, AC = b, AB = c Simplifique:M = a2 cos ( 2A + 2C ) b2 gcos ( 2B + 2C ) + b2a2b2 A)B) 22 C) a2 D) b2 2 E) 2 a RESOLUCINComo: 2A + 2B + 2C = 360c os ( 2A + 2C ) = cos2B cos ( 2B + 2C ) = cos2AM = a2 cos 2 B b2 cos 2A + b2 M = a2 cos 2B + b2 ( 1 cos 2A ) 1 2 sen2 B 2 sen2 A Ley de senos: a = 2R sen A b = 2R senBCICLO 2007-IIPgina 5Prohibida su Reproduccin y Venta
  6. 6. Trigonometra20. Enuntringulo ABC A +B tg (AB = c, AC = b, BC = a), sia +b 2 =? W = =b = 3a, m S ACB = 60 , calcule ela b A +B valor de: tg 2 M = 5 tg A + ctg A 72 sen36tg 2 =tg36 35 3W== cos 36A)B)3 C) 36 tg18 sen18 3 3tg 2 cos18 8 32sen36 gcos18 sen54 + sen18D) 2 3E) W= =3 2 cos 36 gsen18 sen54 sen18RESOLUCIN 5 + 1 5 1Si: C = 60 A+B = 120, b = 3a+ Ley de tangente:cos36 + sen18 4 4 = 5 W == B A B Acos36 sen18 5 + 1 5 1 batg tg 4 4 = 2 2a = 2 b+aB + A 4a tg60 RPTA.: Atg 2 B A 3B A 22.En un tringulo ABC, BC = a,tg = tg = 32 2 2 AB = c, AB = c si() c 2 a2 + b2 c2 + a4 + a2b2 + b4 = 04 333Halle la medida del ngulo agudo B + A B A 2 = 2 = 3 tgA = tg =C. 22 35 5 1+22A) 90 B) 60 C) 45Luego:D) 30 E) 15 35 8 8 3M = 5+ = = 5 3 33RESOLUCIN RPTA.: E()c 4 2 a2 + b2 c2 + a4 + a2b2 + b4 = 0 a4 + b4 + c4 2 a2 c2 2b2 c2 + 2 a2 b2 = a2 b221. Enun tringulo ABC, si:A + B = 72 A - B =36Halle: W = a+b(a 2 + b2 c2 ) 2 = a 2 b2 ab ( 2 ab cos c ) 2 = a2 b2 4 a2 b2 cos2 c = a2 b2 1 5cos2 c =A) 5B)C)1451 1 cos C = C = 60 (Agudo)D) 5E) 2 5RPTA.: BRESOLUCIN 23.En un tringulo ABC (BC = a;En tringulo ABC, de la Ley deAC = b, AB = c) inscrito en unatangentes:circunferencia de radio R, secumple m S C= 45 , ademsCICLO 2007-II Pgina 6Prohibida su Reproduccin y Venta
  7. 7. Trigonometra a2 b2 = 2 2 R 2 Calcule: M = tg2A 3 tg2B A) -1 B) -2 C) 0 D) 1E) 2 RESOLUCIN a2 b2 = 2 2 R 2 * Leyde senos:a = 2R sen A , b = 2R senB2 2 (2 ) En (*) 4R sen A sen B = 2 2 R 22sen ( A + B ) g sen ( A B ) =,2 Pero: C = 45 (1) A + B = 135 sen135 : sen ( A B ) = 2 sen ( A B ) = 12 2 2(2) A B = 90 (1) + (2): 2A = 225 (1)-(2) = 2B = 45 Luego: M = tg 225 3tg 45 = 1 3(1) = 2 RPTA.: BCICLO 2007-IIPgina 7Prohibida su Reproduccin y Venta