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  • Conceptos de Trigonometra - Carranza de Bossa, M Pg.1

    TRIGONOMETRA PLANA . Conceptos bsicos

    En esta etapa lo que haremos es repasar los temas relativos a trigonometra con el objetivo de nivelar contenidos que han sido abordados en la escuela media con distinto grado de profundidad. Pero , entendemos como bueno que conozcas el porqu en tu carrera del dominio de esta temtica a la cual pudiste darle relativa importancia por aquel entonces.

    Hiparco de Nicea Si bien la trigonometra naci hace bastante tiempo, por el siglo II a. de C., cuando Hiparco1 intentaba hacer de las observaciones astronmicas. un arte ms exacto, nutrindose la agrimensura, la cartografa, la navegacin , etc., de esos conocimientos, uno podra preguntarse para qu interesa tanto su estudio en la poca moderna. La explicacin se encuentra en que las funciones seno y coseno resultaron ser funciones peridicas, esto es, la forma de la funcin en un intervalo se repite constantemente. Uno puede preguntarse: "Y esa observacin, para qu sirve?" La respuesta inmediata es que muchsimos fenmenos de nuestro mundo son peridicos: el da y la noche, los latidos del corazn, el movimiento de la cuerda de una guitarra. Fjense, que a pocos se les ocurre que la msica puede estar ligada a la matemtica: una se percibe como arte y la otra como un conjunto de smbolos extraos, para los que se definen operaciones ligados entre s por razonamientos muy difciles de entender para un artista musical. ( como si fuese fcil para el que no sabe msica, ejecutar una partitura!). Sin embargo, a partir del anlisis matemtico del movimiento de una cuerda musical que vibra (Brook Taylor, Siglo XVII ) se ve que el instrumento matemtico con el que puede analizarse ese movimiento es el seno y el coseno, (peridicos). Los matemticos descubrieron que cualquier funcin peridica poda expresarse como suma de senos y cosenos con coeficiente convenientes, dndose lugar al nacimiento del anlisis armnico. Hoy, los mtodos de exploracin en medicina consisten en analizadores armnicos que envan ondas adecuadas hacia el corazn, de forma que sean capaces de interactuar selectivamente con los tejidos que se quieren "observar". Las ondas resonantes que se producen en tal interaccin se analizan matemticamente en una computadora, y sta es capaz de enviar a una pantalla una imagen con bastante exactitud de, por ejemplo, las vlvulas del corazn y su

    1 HIPARCO fue el observador ms grande de la antigedad, tanto que su catlogo estelar, que contena posiciones y brillos de unas

    850 estrellas, fue superado en precisin solamente en el siglo XVI. Su escala de los brillos aparentes, que distingue seis magnitudes, est en la base de la actual clasificacin fotomtrica de las estrellas. Por otra parte, hizo el notable descubrimiento de la precesin de los equinoccios, es decir, del desplazamiento de los puntos equinocciales puntos comunes a la eclptica y al ecuador celeste- a lo largo de la eclptica. Para ello, procedi a desarrollar un mtodo que anteriormente haba sido ideado por Aristarco; midi la distancia y tamao de la Luna. Por otro lado, invent la trigonometra esfrica que increment el potencial del clculo; renov las matemticas, herramienta esencial de la cosmologa, astrofsica y astronoma, a la que perfeccion con nuevos instrumentos. Conocedor de la distancia y de los movimientos de la Luna y en posesin de una teora mejor que la de sus predecesores acerca de la rbita solar, Hiparco pudo conseguir satisfacer una de las principales exigencias de la astronoma antigua: la prediccin de eclipses, cuestin que para los griegos, antes de Hiparco, constitua un serio problema, ya que tan slo contaban para desarrollar sus predicciones sobre eclipses con el mtodo del saros de los babilonios.

  • Conceptos de Trigonometra - Carranza de Bossa, M Pg.2

    funcionamiento, conjuntamente con la presin sangunea en un lugar adecuado, posibles daos en el tejido y su localizacin. El mundo que vivimos est rodeado de ondas; la luz, el sonido, la electricidad, el electromagnetismo, etc. Todos ellos tienen un anlisis matemtico similar a la cuerda vibrante de la guitarra.

    1. ngulos y su Medicin:

    1.1: Introduccin: En la geometra elemental, el ngulo se define como una porcin de plano limitada por dos semirrectas con origen comn no haciendo distincin alguna entre los lados del ngulo.

    r 1

    r 2

    O

    As )r,O,(r' igual es )r,O,r( 1221 Ahora intentaremos dar un concepto ms general de ngulo, entendiendo al mismo como un ente

    algebraico, el que puede tomar valores positivos, negativos o nulo.

    Consideremos un sistemas de coordenadas cartesianas ( O, xG , yG ) ( ver figura) y, en l, una circunferencia de radio r con centro en O.

    O

    y

    xA

    B

    a

    Esta circunferencia corta el eje xG en un punto A. si B es un punto cualquiera de la circunferencia, le corresponde el radio vector, OB

    .

    As, el ngulo = AOB lo consideramos generado por la rotacin del vector OB desde la posicin inicial OA

    hasta la posicin OB

    , en el sentido contrario al movimiento de las

    mancillas del reloj ( antihorario ). Llamamos:

    a la semirrecta OA

    : lado inicial del ngulo (o semirrecta generatriz) , y a la semirrecta OB

    : lado extremo o final del ngulo .

  • Conceptos de Trigonometra - Carranza de Bossa, M Pg.3

    El ngulo , ser positivo si est generado por la rotacin del vector OB , en el sentido antihorario. El ngulo ser negativo si el mismo est generado en el sentido horario.

    Asimismo, debe observarse que a la posicin OB

    no le corresponde un mismo

    ngulo , ya que el vector OB , gira en un principio en el sentido positivo generando el ngulo , y despus de sto, puede girar cualquier nmero entero de revoluciones en sentido positivo o negativo, luego de lo cual su extremo queda posicionado en el mismo punto B. Esto significa

    que a la posicin del lado extremo del ngulo le corresponden una infinidad de ngulos

    (positivos y negativos). Estos ngulos pueden obtenerse por la expresin:

    k360D+= con k = 0, ...,.........3,2,1 +++ k Z

    Ejemplo: Un ngulo de 120o tiene la misma posicin de sus lados que:

    etc,960,600,240,1200,840,480 DDDDDD . O podemos expresar que si = 120o, entonces todos los ngulos enumerados estn contenidos en la expresin:

    = 120 + 360 k , con k Z ( Intenta dibujar los ngulos para verificar lo que se afirma )

    1.2 .-Sistemas de medicin Para medir un ngulo, debemos contar con una unidad de medida. Recordemos que

    medir es comparar. Luego, puede parecer natural considerar al ngulo recto como unidad, pero,

    a los fines prcticos es una unidad muy grande. As, entonces, los sistemas de medicin de

    ngulos ms usados son:

    a) sistema sexagesimal b) sistema radial o circular

    a) Sistema sexagesimal:

    En el sistema sexagesimal, la unidad de medida es: el grado el cual se define como la 90 ava parte de un ngulo recto, y se lo nota por: 1. se llama minuto a la 60 ava parte de un grado, denotndoselo por 1', y se llama segundo a la 60 ava parte de un minuto, denotndoselo por 1''.

    Ejemplos: Un ngulo recto mide 90

  • Conceptos de Trigonometra - Carranza de Bossa, M Pg.4

    Los ngulos de un tringulo equiltero miden 60cada uno. Para indicar que un ngulo mide 45 grados, 34 minutos y 28 segundos, escribimos

    brevemente: 45 34' 28 ''. Los ngulos agudos de un tringulo rectngulo son complementarios , esto es, suman 90. Si uno mide 25 25' 25 '', el otro medir: 90 - ( 25 25' 25 '') = 64 34' 35 ''.

    Una variante de la medicin de ngulos en grados, es expresar a las fracciones de grados en notacin decimal, es decir, dividirlas en dcimos, centsimos, milsimos. Esto debe tenerse muy en cuenta cuando se usa la calculadora a efectos de "chequear" cul es el modo en el cual se est usando . Por ejemplo, si la mquina te entrega un resultado de 0.35.no se trata de 0 grado y 35 minutos, sno de un ngulo de 0 grado y 35/100 de grado, lo que equivale (por regla de tres) a un ngulo de 21'. A su vez, un ngulo de 35 21' 14" 35,3539 .

    Pero, por las distintas aplicaciones, el sistema que ms utilizaremos por su conveniencia, ser el: b) Sistema Circular o Radial:

    En el sistema circular, la unidad de medida de un ngulo es el radin.

    Antes de definirlo, trataremos de observar lo siguiente:

    OA'A

    B'B

    l1l2

    r 1 r 2

    Si con el origen en O, trazamos dos circunferencias ( ver figura ) de radios r1 y r2 vemos que

    a le corresponden dos arcos: AB y A B' ', de radios OA = r1 y OB= r2 . Si designamos con:

    l1: la longitud del arco

    AB

    l2: la longitud del arco

    A B' '', fcilmente podemos ver que:

    lr

    lr

    1

    1

    2

    2=

    O sea, que los ngulos centrales de una circunsferencia son proporcionales a los arcos que comprenden. ---------------------------------------------------------------------------------------------------------

  • Conceptos de Trigonometra - Carranza de Bossa, M Pg.5

    Actividad 1: Intenta probar que la razn sealada mas arriba es una constante que

    podemos llamar a, siendo a =180