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1. TRIGONOMETRA (Primera parte)Realizado por M Jess Arruego Bags 2. INTRODUCCIN Trigonometra significa, etimolgicamente, medida de tringulos.En los trabajos topogrficos y de la construccin es necesario conocer cotas, desniveles de terreno, etc., para lo cual se hace imprescindible medir el valor de los ngulos que permiten calcular distancias. El instrumento que se utiliza para medir ngulos en tierra firme es el teodolito.Conociendo algunos elementos de un tringulo- algn lado, algn ngulo- , podremos determinar los restantes. Tales de Mileto (640-550 a. J.C.) en uno de sus viajes a Egipto midi la altura de una pirmide aprovechando el momento en que su propia sombra meda tanto como su estatura2 3. NOCIONES PREVIAS SISTEMAS DE MEDIDA DE NGULOS. RADIN. RAZONES TRIGONOMTRICAS (R.T.) DE UN NGULO AGUDO. R.T. DE LOS NGULOS 30, 45 Y 60. RELACIN FUNDAMENTAL DE TRIGONOMETRA R.T. DE LOS NGULOS 0 Y 90 CIRCUNFERENCIA GONIOMTRICA.3 4. NOCIONES PREVIAS 1. a. Proporcionalidad de segmentos ysemejanza b.TEOREMA DE TALES2. TEOREMA DE PITGORAS 5. 1.a. Proporcionalidad de segmentos y semejanza Las sombras de los dos rboles son proporcionales a las respectivas alturas Hs Sh S. rbol pequeo (s) Sombra del rbol grande (S)AHB hABsOSOB' OA'h HBB' AA'k (razn de proporcion alidad)Tales de Mileto (640-550 a. J.C.) en uno de sus viajes a Egipto midi la altura de una pirmide aprovechando el momento en que su propia sombra meda tanto como su estatura 5 6. 1.b. TEOREMA DE TALES rSi varias paralelas determinan segmentos iguales sobre una recta r, determinan tambin segmentos iguales sobre cualquier otra recta r a la que cortenE D C BE DCA BO AO ACDErATEOREMA DE TALES:B BOA OBBOA' AB o tambien OB' OBA' B' OB'Los segmentos determinados por rectas paralelas en dos rectas concurrentes son proporcionales. 6 7. Medida de ngulos Los ngulos pueden medirse en tres sistemas: Sistema sexagesimal Sistema centesimal(En la calculadora MODE DEG)(En la calculadora MODE GRAD)Radianes (En la calculadora MODE RAD) ngulo completongulo llanongulo rectoUn gradoUn minutoSEXAGESIMAL360180906060CENTESIMAL400g200g100gRADIANES2100m 100s/27 8. Expresa los siguientes ngulos en los tres sistemas de medida S.sexagesimal60 210 50gS. centesimal RadianesS.sexagesimal S. centesimal Radianes60g100g2/35/6140240 350g90g 7/825g 38 9. ngulos en los tres sistemas de medidaS.sexagesimal S. centesimal Radianes60 45120542109015066g 66m 66s50g133g 33m 33s60g233g 33m 33s100g166g 66m 66s2 33 107 625 634S.sexagesimal140315157 308124022 30171 5314S. centesimal155g 55m 55s350g175g90g266g 66m 66s25g190g 98m 59sRadianes14 189 204 387 47 839 10. RAZONES TRIGONOMTRICAS (R.T.) BLos tringulos ABC, ABC y ABC son semejantesB`BAA`porque tienen los ngulos iguales.ACEn consecuencia los lados son proporcionales :AB BCA' B' B' CA" B" B" C sen CBC ABAC BCA' C B' CA" C B" C cos CBC ACB' C A' CB" C A" C sec CAB ACA' B' A' CA" B" A" C tg CAC ABA' C A' B'A" C A" B" cot g CB' C A' B'B" C A" B" cos ec C10 11. RAZONES TRIGONOMTRICAS (R.T.) DE UN NGULO AGUDO B Sea ABC un tringulo rectngulo en A.aSe definen seis razones trigonomtricasc Cateto adyacente o contiguo a CACb sen Ccateto opuesto hipotenusac a cos Ccateto adyacente hipotenusab a cos ec C tg Ccateto opuesto cateto adyacentec b cot g C sec Chipotenusa cateto adyacente sec Ca b1 cos Chipotenusa cateto opuestoa c cos ec Ccateto adyacente cateto opuestob c cot g C1 sen C1 tg C11 12. RELACIN ENTRE LAS RAZONES TRIGONOMTRICAS DE UN NGULO B Sea ABC un tringulo rectngulo en A.a tg Cc Cateto adyacente o contiguo a CA sen C sec Cb a cos C tg Cc ac ba b cos ec C c a b a sen C cos C cot g C cot g Cb ca a b aa c b a c a1 cos Ca a c a1 sen C cos C sen C cos C sen C sec CCb sen C cos C1 cos C 1 cos ec C sen C cot g C1 tg C12 13. VALORES QUE PUEDEN TOMAR LAS RAZONES TRIGONOMETRICAS DE UN ANGULO AGUDO En todo tringulo rectngulo los catetos son menores que la hipotenusa.B a00a2b2 c 2Ac Cb AaSi A = 90cos A = 0a2b2 c 2( Teorema de Pitgoras )cB aSi A > 90Ccos A < 0a2bb2 c 2 BcA82 83. CONSECUENCIAS DEL TEOREMA DEL COSENO rea de un tringulo. Frmula de Hern SLa superficie del tringulo ABC es: 2S c b sen A 4S21 c b sen A 2 c 2 b2 sen2 A c 2 b2 1 cos2 A 2 2 2 2 b c a 2 2 2 2 2 c 2 b2 c 2 b2 c b c b cos A 4 b2 c 2 2 2 2 2 2 2 C 4 c b b c a 4 2bc b2b c2c 2 a2 2bc b2 c 2 4 2a a 42b c2a2bhCaABc H Por el T del coseno cos Ab2c 2 a2 2b c83 84. CONSECUENCIAS DEL TEOREMA DEL COSENO rea de un tringulo. Frmula de Hern La superficie del tringulo ABC es: 2S c b sen A 4S2 c 2 b2 sen2 A...1 S c b sen A 2 2 b c a2 a2 b c 4C2bb c a b c a a b c a b c 4 2p 2 p a 2 p c 2 p b 44p p aS2p p aSi a+b+c=2pp c p cp b p bS(p ser el semipermetro)AahCcBHFRMULA DE HERN p p ap bb+c-a=2p-2a=2(p-a)p c ....84 85. Trigonometra es la rama de las Matemticas que trata las relaciones entre los lados y los ngulos de un tringulo. La Trigonometra ayuda a determinar distancias a las que no se puede acceder directamente.Se usa en la navegacin, en Agrimensura y en Astronoma . Tiene aplicacin en Fsica, en Qumica y en Ingeniera, en especial en el estudio de fenmenos peridicos como la vibracin del sonido, en el flujo de la corriente alterna,... La Trigonometra comenz con las civilizaciones babilnica y egipcia y se desarrollo en la Antigedad gracias a los griegos e hindes. A partir del siglo VIII d.C., astrnomos islmicos perfeccionaron los conocimientos descubiertos por griegos e hindes. La Trigonometra moderna comenz con el trabajo de matemticos en Occidente a partir del siglo XV. La invencin de los logaritmos por el escocs John Naiper y del clculo diferencial e integral por Isaac Newton ayudaron al progreso de los clculos trigonomtricos. 85 86. PGINAS WEB http://pessoal.sercomtel.com.br/matematica/trigonom/trigonometria.htm http://www.eneayudas.cl/trigentrada.htm#ejyej http://www.sectormatematica.cl/proyectos/como_aprender.htm http://www2.polito.it/didattica/polymath/htmlS/argoment/APPUNTI/TESTI/Mar_04/ APPUNTI.HTM http://www.dm.unibo.it/matematica/Trigonometria/trigono.htm http://www.vialattea.net/eratostene/cosmimetria/metodo.htm http://www.univie.ac.at/future.media/moe/galerie/trig/trig.html http://descartes.cnice.mecd.es/http://www.nauticoartiglio.lu.it/trigsfer/trigsferica.htm http://astro.if.ufrgs.br/trigesf/trigesf.htm86