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Trigonometria. RESUMEN DE LAS IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS FUNDAMENTALES

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    UNIDAD 2 TRIGONOMETRA

    LECTURA N 8: LA TRIGONOMETRA PARA QU SIRVE?

    El problema bsico de la trigonometra es algo parecido a esto: Ests cerca de un ancho ro y necesitas conocer la distancia hasta la otra orilla, digamos hasta el rbol marcado en

    el dibujo por la letra C (para simplificar, ignoremos la 3 dimensin). Cmo hacerlo sin cruzar el ro?

    La forma habitual es como sigue. Clave dos postes en el suelo en los puntos A y B, y mida con una cinta la distancia c entre ellos (base del tringulo).

    Luego extraiga el poste del punto A y sustityalo por un telescopio de topgrafo "teodolito", contando con una placa dividida en 360 grados, marque la direccin (azimut) a la que apunta el telescopio. Dirigiendo el telescopio primero hacia el rbol y luego hacia el poste B, mide el ngulo A del tringulo

    ABC, igual a la diferencia entre los nmeros que ha ledo de la placa de azimut. Sustituya el poste por el teodolito en el punto B y mida de la misma forma el ngulo B. La longitud c de la base y los dos ngulos A y B es todo lo que necesita para conocer el tringulo ABC, suficiente, por ejemplo, para construir un tringulo de la misma forma y mismo tamao, en un sitio ms conveniente.

    La trigonometra (de trign = tringulo) en un principio, fue el arte de calcular la informacin perdida mediante simple clculo. Dada la suficiente informacin para definir un tringulo, la trigonometra te permite calcular el resto de las dimensiones y de ngulos.

    Por qu tringulos? Porque son los bloques bsicos de construccin para cualquier figura rectilnea que se pueda construir. El cuadrado, el pentgono u otro polgono puede dividirse en tringulos por medio de lneas rectas radiando desde un ngulo hacia los otros.

    Para medir un terreno, los topgrafos lo dividen en tringulos y marcan cada ngulo con un "punto de referencia", que hoy en da es a menudo, una placa de latn redonda fijada en el suelo con

    Un antiguo telescopio De topgrafo (teodolito).

    Figura 10

    Tomado con fines instruccionales de:

    Feria, D. (s.f.) Trigonometra Para qu sirve? Artculo en lnea. Disponible: http://www.es.geocities.com/dferiagomez. [Consulta: diciembre 6, 2007]

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    un agujero en el centro, sobre el que ponen sus varillas y teodolitos (George Washington hizo este trabajo cuando era un adolescente). Despus de medir la base, como la AB en el ejemplo del ro, el topgrafo medir (de la forma descrita aqu) los ngulos que se forman con el punto C y usar la trigonometra para calcular las distancias AC y BC. Estas pueden servir como base de 2 nuevos tringulos, que a su vez suministrarn bases para dos ms..., y de esta forma construir ms y ms tringulos hasta que se cubra el terreno completo, con una red que tiene distancias conocidas. Posteriormente, se puede aadir una red secundaria, subdividiendo los tringulos grandes y marcando sus puntos con estacas de hierro, que proporcionarn distancias conocidas adicionales en las que se pueden basar los mapas o los planos.

    Un gran proyecto de reconocimiento del siglo XIX fue la "Gran Planimetra Trigonomtrica" de la India britnica. Se construyeron para el proyecto los mayores teodolitos, monstruos con escalas circulares de 36" de ancho, cuyas lecturas se hacan de manera precisa con 5 microscopios. Cada uno con su caja pesaba media tonelada y se necesitaban 12 hombres para trasladarlo. Usndolos, el proyecto cubri el pas con mltiples cadenas de tringulos en las direcciones norte-sur y este-oeste (las reas entre las cadenas se dejaron para ms tarde) y se necesitaron dcadas para completarla.

    En 1843 Andrew Scott Waugh, se encarg del proyecto como Inspector General y puso especial atencin a las montaas del Himalaya del norte de la India. Debido a las nubes y a la niebla, esas montaas se ven raramente desde las tierras bajas, y hasta 1847 no se consiguieron varias mediciones. Despus de haberse hecho, los resultados necesitaron ser analizados laboriosamente por "computadores" en las oficinas de inspeccin; no eran mquinas sino personas que efectuaban los clculos trigonomtricos.

    La historia dice que en 1852, el jefe de los "computadores" fue hacia el director y le dijo: "Seor, hemos descubierto la mayor montaa del mundo". Desde una distancia de ms de 100 millas (160 km), observaron la montaa desde seis estaciones diferentes, y "no dio lugar a que el observador sospechara que estaba viendo a travs de su telescopio el punto ms alto de la Tierra". Al principio se la design como "Pico XV" por la inspeccin, pero en 1856 Waugh la denomin Everest, en memoria de Sir George Everest su predecesor, en la oficina de jefe de inspectores. El Everest fue el primero en registrarse y en usar los teodolitos gigantes; ahora estn expuestos en el "Museum of the Survey of India" en Dehra Dum.

    Hoy en da se puede localizar de forma muy precisa la posicin de un punto sobre la Tierra, usando el sistema de posicionamiento global (GPS) de 24 satlites en rbita exacta, que estn difundiendo constantemente su posicin. Un pequeo instrumento electrnico de mano recibe sus seales y devuelve nuestra posicin con un error de 10-20 metros (an es ms preciso para usos militares, los patrocinadores del sistema). Se usa una gran cantidad de trigonometra, pero lo hace todo la computadora que est dentro de su aparato, lo nico que usted necesita es pulsar los botones apropiados.

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    LECTURA N 9: LA TRIGONOMETRA

    Es la rama de la geometra, que estudia las relaciones numricas entre los lados y los ngulos de los tringulos

    .

    Las razones trigonomtricas

    Consideremos el tringulo rectngulo de referencia

    Un ngulo es positivo, si OA se rota en sentido contrario al giro de las agujas del reloj hasta 0B. Un ngulo es negativo, si OA se rota en el mismo sentido del giro de las agujas del reloj hasta 0B.

    El origen 0 es el vrtice de ngulo y las semirrectas 0A y 0B son los lados del ngulo. 0A es el lado inicial y 0B es el lado terminal. El ngulo A0B= se genera mediante la rotacin del lado 0A hasta el lado 0B Los ngulos pueden denominarse con letras del alfabeto griego: .,,,,,, Tambin puede denominarse BA0 , que se lee como ngulo A0B.

    Un radin es el ngulo central de una circunferencia al que le corresponde un arco de longitud igual al radio. Si 360=2 radianes 180 = radianes de donde 1 radin = 180/ = 57,30

    Un ngulo, es la posicin del plano limitada por dos semirrectas que poseen un origen comn.

    Tomado con fines instruccionales de:

    Santamara, J (2007). La trigonometra. [Artculo no publicado]. (pp. 1- 3). Tinaquillo, estado Cojedes.

    Para convertir de grado a radianes, multiplicamos el valor del ngulo en grado por /180. Para convertir de radianes a grado, se multiplica el valor del ngulo en radianes por 180/ .

    AB = c: Hipotenusa BC = a: Cateto opuesto al ngulo AC = d: Cateto adyacente al ngulo

    A

    B C

    c a

    d

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    Tomando en consideracin el tringulo ABC y el ngulo , pueden definirse las razones trigonomtricas en el tringulo rectngulo as:

    Se llama seno de a la razn entre el cateto opuesto BC y la hipotenusa AB: AB

    BCSen =)(

    Se llama coseno de la razn entre el cateto adyacente AC y la hipotenusa AB: AB

    ACCos =)(

    Se llama tangente de a la razn entre el cateto opuesto BC y el cateto adyacente AC: AC

    BCTan =)(

    Razones trigonomtricas recprocas

    Se llama cotangente de a la razn entre el cateto adyacente y el cateto opuesto: CB

    ACCotg =)(

    Se llama secante de a la razn entre la hipotenusa AB y el cateto adyacente AC: AC

    ABSec =)(

    Se llama cosecante de a la razn entre la hipotenusa AB y el cateto opuesto BC: BC

    ABCsc =)(

    Identidad fundamental de la trigonometra

    Consideremos el tringulo rectngulo mostrado en la figura. Apliquemos el Teorema de Pitgoras a dicho tringulo.

    (Hipotenusa)2 = (Cateto)2 + (Cateto)2

    De acuerdo al tringulo rectngulo ABC se tiene que: 222 )()()( BCABAC += ,

    Luego, dividimos toda la igualdad por (AC)2 y nos queda:

    ( )( )

    ( )( ) ( )2

    22

    22

    2 )(ACBC

    ACAB

    ACAC += ,

    Por la propiedad de la potenciacin, se puede representar as: 222

    +

    =

    ACBC

    ACAB

    ACAC

    Luego, segn la definicin de las razones trigonomtricas se tiene que: Si AC es la hipotenusa, AB es el cateto opuesto del ngulo y BC es el cateto adyacente del ngulo , entonces:

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    SenACAB = , Cos

    ACBC = .

    Y por propiedad de inverso en la multiplicacin 1=ACAC

    ,

    Por lo tanto, si se sustituye estas igualdades en la anterior, nos queda:

    ( ) ( )221 CosSen += . De esta manera la expresin:

    ( ) ( ) 122 =+ CosSen representa la identidad fundamental de la trigonometra, en funcin al tringulo rectngulo y a uno de sus ngulos agudos.

    Ejercicios propuestos

    1- Marca con una X la opcin V si consideras el enunciado como verdadero o la opcin F si lo consideras falso:

    La trigonometra, estudia la simetra de las figuras planas V F La identidad fundamental de la trigonometra es llamada teorema de Euclides V F Las razones trigonomtricas parten de un tringulo rectngulo V F La razn entre el cateto opuesto y el cateto adyacente se llama cotangente de V F Para hallar la identidad fundamental hay que aplicar el teorema de Pitgoras V F El seno al cuadrado de un ngulo ms el coseno al cuadrado del mismo ngulo es

    igual a la unidad V F

    La secante de es una razn trigonomtrica recproca del coseno V F El cateto adyacente ms el cateto opuesto es igual a la hipotenusa V F

    RESUMEN DE LAS IDENTIDADES TRIGONOMTRICAS FUNDAMENTALES

    Las identidades pitagricas: 1.