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UNIDAD 2 TRIGONOMETRA
LECTURA N 8: LA TRIGONOMETRA PARA QU SIRVE?
El problema bsico de la trigonometra es algo parecido a esto: Ests cerca de un ancho ro y necesitas conocer la distancia hasta la otra orilla, digamos hasta el rbol marcado en
el dibujo por la letra C (para simplificar, ignoremos la 3 dimensin). Cmo hacerlo sin cruzar el ro?
La forma habitual es como sigue. Clave dos postes en el suelo en los puntos A y B, y mida con una cinta la distancia c entre ellos (base del tringulo).
Luego extraiga el poste del punto A y sustityalo por un telescopio de topgrafo "teodolito", contando con una placa dividida en 360 grados, marque la direccin (azimut) a la que apunta el telescopio. Dirigiendo el telescopio primero hacia el rbol y luego hacia el poste B, mide el ngulo A del tringulo
ABC, igual a la diferencia entre los nmeros que ha ledo de la placa de azimut. Sustituya el poste por el teodolito en el punto B y mida de la misma forma el ngulo B. La longitud c de la base y los dos ngulos A y B es todo lo que necesita para conocer el tringulo ABC, suficiente, por ejemplo, para construir un tringulo de la misma forma y mismo tamao, en un sitio ms conveniente.
La trigonometra (de trign = tringulo) en un principio, fue el arte de calcular la informacin perdida mediante simple clculo. Dada la suficiente informacin para definir un tringulo, la trigonometra te permite calcular el resto de las dimensiones y de ngulos.
Por qu tringulos? Porque son los bloques bsicos de construccin para cualquier figura rectilnea que se pueda construir. El cuadrado, el pentgono u otro polgono puede dividirse en tringulos por medio de lneas rectas radiando desde un ngulo hacia los otros.
Para medir un terreno, los topgrafos lo dividen en tringulos y marcan cada ngulo con un "punto de referencia", que hoy en da es a menudo, una placa de latn redonda fijada en el suelo con
Un antiguo telescopio De topgrafo (teodolito).
Figura 10
Tomado con fines instruccionales de:
Feria, D. (s.f.) Trigonometra Para qu sirve? Artculo en lnea. Disponible: http://www.es.geocities.com/dferiagomez. [Consulta: diciembre 6, 2007]
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un agujero en el centro, sobre el que ponen sus varillas y teodolitos (George Washington hizo este trabajo cuando era un adolescente). Despus de medir la base, como la AB en el ejemplo del ro, el topgrafo medir (de la forma descrita aqu) los ngulos que se forman con el punto C y usar la trigonometra para calcular las distancias AC y BC. Estas pueden servir como base de 2 nuevos tringulos, que a su vez suministrarn bases para dos ms..., y de esta forma construir ms y ms tringulos hasta que se cubra el terreno completo, con una red que tiene distancias conocidas. Posteriormente, se puede aadir una red secundaria, subdividiendo los tringulos grandes y marcando sus puntos con estacas de hierro, que proporcionarn distancias conocidas adicionales en las que se pueden basar los mapas o los planos.
Un gran proyecto de reconocimiento del siglo XIX fue la "Gran Planimetra Trigonomtrica" de la India britnica. Se construyeron para el proyecto los mayores teodolitos, monstruos con escalas circulares de 36" de ancho, cuyas lecturas se hacan de manera precisa con 5 microscopios. Cada uno con su caja pesaba media tonelada y se necesitaban 12 hombres para trasladarlo. Usndolos, el proyecto cubri el pas con mltiples cadenas de tringulos en las direcciones norte-sur y este-oeste (las reas entre las cadenas se dejaron para ms tarde) y se necesitaron dcadas para completarla.
En 1843 Andrew Scott Waugh, se encarg del proyecto como Inspector General y puso especial atencin a las montaas del Himalaya del norte de la India. Debido a las nubes y a la niebla, esas montaas se ven raramente desde las tierras bajas, y hasta 1847 no se consiguieron varias mediciones. Despus de haberse hecho, los resultados necesitaron ser analizados laboriosamente por "computadores" en las oficinas de inspeccin; no eran mquinas sino personas que efectuaban los clculos trigonomtricos.
La historia dice que en 1852, el jefe de los "computadores" fue hacia el director y le dijo: "Seor, hemos descubierto la mayor montaa del mundo". Desde una distancia de ms de 100 millas (160 km), observaron la montaa desde seis estaciones diferentes, y "no dio lugar a que el observador sospechara que estaba viendo a travs de su telescopio el punto ms alto de la Tierra". Al principio se la design como "Pico XV" por la inspeccin, pero en 1856 Waugh la denomin Everest, en memoria de Sir George Everest su predecesor, en la oficina de jefe de inspectores. El Everest fue el primero en registrarse y en usar los teodolitos gigantes; ahora estn expuestos en el "Museum of the Survey of India" en Dehra Dum.
Hoy en da se puede localizar de forma muy precisa la posicin de un punto sobre la Tierra, usando el sistema de posicionamiento global (GPS) de 24 satlites en rbita exacta, que estn difundiendo constantemente su posicin. Un pequeo instrumento electrnico de mano recibe sus seales y devuelve nuestra posicin con un error de 10-20 metros (an es ms preciso para usos militares, los patrocinadores del sistema). Se usa una gran cantidad de trigonometra, pero lo hace todo la computadora que est dentro de su aparato, lo nico que usted necesita es pulsar los botones apropiados.
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LECTURA N 9: LA TRIGONOMETRA
Es la rama de la geometra, que estudia las relaciones numricas entre los lados y los ngulos de los tringulos
.
Las razones trigonomtricas
Consideremos el tringulo rectngulo de referencia
Un ngulo es positivo, si OA se rota en sentido contrario al giro de las agujas del reloj hasta 0B. Un ngulo es negativo, si OA se rota en el mismo sentido del giro de las agujas del reloj hasta 0B.
El origen 0 es el vrtice de ngulo y las semirrectas 0A y 0B son los lados del ngulo. 0A es el lado inicial y 0B es el lado terminal. El ngulo A0B= se genera mediante la rotacin del lado 0A hasta el lado 0B Los ngulos pueden denominarse con letras del alfabeto griego: .,,,,,, Tambin puede denominarse BA0 , que se lee como ngulo A0B.
Un radin es el ngulo central de una circunferencia al que le corresponde un arco de longitud igual al radio. Si 360=2 radianes 180 = radianes de donde 1 radin = 180/ = 57,30
Un ngulo, es la posicin del plano limitada por dos semirrectas que poseen un origen comn.
Tomado con fines instruccionales de:
Santamara, J (2007). La trigonometra. [Artculo no publicado]. (pp. 1- 3). Tinaquillo, estado Cojedes.
Para convertir de grado a radianes, multiplicamos el valor del ngulo en grado por /180. Para convertir de radianes a grado, se multiplica el valor del ngulo en radianes por 180/ .
AB = c: Hipotenusa BC = a: Cateto opuesto al ngulo AC = d: Cateto adyacente al ngulo
A
B C
c a
d
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Tomando en consideracin el tringulo ABC y el ngulo , pueden definirse las razones trigonomtricas en el tringulo rectngulo as:
Se llama seno de a la razn entre el cateto opuesto BC y la hipotenusa AB: AB
BCSen =)(
Se llama coseno de la razn entre el cateto adyacente AC y la hipotenusa AB: AB
ACCos =)(
Se llama tangente de a la razn entre el cateto opuesto BC y el cateto adyacente AC: AC
BCTan =)(
Razones trigonomtricas recprocas
Se llama cotangente de a la razn entre el cateto adyacente y el cateto opuesto: CB
ACCotg =)(
Se llama secante de a la razn entre la hipotenusa AB y el cateto adyacente AC: AC
ABSec =)(
Se llama cosecante de a la razn entre la hipotenusa AB y el cateto opuesto BC: BC
ABCsc =)(
Identidad fundamental de la trigonometra
Consideremos el tringulo rectngulo mostrado en la figura. Apliquemos el Teorema de Pitgoras a dicho tringulo.
(Hipotenusa)2 = (Cateto)2 + (Cateto)2
De acuerdo al tringulo rectngulo ABC se tiene que: 222 )()()( BCABAC += ,
Luego, dividimos toda la igualdad por (AC)2 y nos queda:
( )( )
( )( ) ( )2
22
22
2 )(ACBC
ACAB
ACAC += ,
Por la propiedad de la potenciacin, se puede representar as: 222
+
=
ACBC
ACAB
ACAC
Luego, segn la definicin de las razones trigonomtricas se tiene que: Si AC es la hipotenusa, AB es el cateto opuesto del ngulo y BC es el cateto adyacente del ngulo , entonces:
57
SenACAB = , Cos
ACBC = .
Y por propiedad de inverso en la multiplicacin 1=ACAC
,
Por lo tanto, si se sustituye estas igualdades en la anterior, nos queda:
( ) ( )221 CosSen += . De esta manera la expresin:
( ) ( ) 122 =+ CosSen representa la identidad fundamental de la trigonometra, en funcin al tringulo rectngulo y a uno de sus ngulos agudos.
Ejercicios propuestos
1- Marca con una X la opcin V si consideras el enunciado como verdadero o la opcin F si lo consideras falso:
La trigonometra, estudia la simetra de las figuras planas V F La identidad fundamental de la trigonometra es llamada teorema de Euclides V F Las razones trigonomtricas parten de un tringulo rectngulo V F La razn entre el cateto opuesto y el cateto adyacente se llama cotangente de V F Para hallar la identidad fundamental hay que aplicar el teorema de Pitgoras V F El seno al cuadrado de un ngulo ms el coseno al cuadrado del mismo ngulo es
igual a la unidad V F
La secante de es una razn trigonomtrica recproca del coseno V F El cateto adyacente ms el cateto opuesto es igual a la hipotenusa V F
RESUMEN DE LAS IDENTIDADES TRIGONOMTRICAS FUNDAMENTALES
Las identidades pitagricas: 1. 122 =+ xCosxSen 2. xSecxTan 22 1 =+ 3. xCscxCotg 22 11 =++
Las identidades del cociente:
4. xCosxSenxTan =
58
5. xSenxCosxCotg =
Las identidades recprocas:
6. xSen
xCsc 1=
7. xCos
xSec 1=
8. xTan
xCotg 1=
Ejercicios:
2. Sabiendo que 43=Sen , calcular el resto de las identidades trigonomtricas
3. Dado que la 3223=Tan , calcular Cos y Sen
4. Sabiendo que 32
30=Sec , calcular Sen y Cotg
5. Sabiendo que 2222
nmnmCos +
= ,encontrar Cotg
6. Si 22
22
exp21
CotgSecCosTanresinladevalorelhallarSen +
=
7. 222
22
exp3 CosCosSecCotgSenresinladevalorelhallarSen ++
+=
8. Dado el tringulo de la derecha, calcular las
razones trigonomtricas del ngulo
1-a
1+a
59
LECTURA N 10: RELACIONES TRIGONOMTRICAS
Observacin: Muchas veces se toman las razones trigonomtricas como conceptos aislados, sin
considerar el ngulo. Ejemplo: Cos, Sen, etc. Esto no tiene sentido
Estas razones existen en funcin de un ngulo, lo correcto es, por ejemplo:
Sen 60, Cos , Tan 2
, entre otras.
Los ngulos considerados en estas definiciones son ngulos agudos, es
decir, menores de 90 .
Ejemplo.1. Dado el tringulo rectngulo que se muestra en la siguiente figura, calcular las razones trigonomtricas del ngulo agudo mayor.
Solucin: El cateto opuesto al ngulo es AC = 8, el cateto adyacente al ngulo es AB = 6 y la hipotenusa del tringulo es BC = 10, entonces las razones trigonomtricas del ngulo son:
43
86C ,
35
610 ,
45
810
;34
68 ,
53
106 ,
54
108
======
======
otgSecCsc
TanCosSen
Material tomado con fines instruccionales de:
Gmez, T., Gonzlez, N., Vergara, A. (2000). Trigonometra. Material no publicado. Caracas.
El ngulo agudo mayor es B = , porque est frente al cateto de mayor longitud.
C
B A
8 10
6
60
Ejemplo.2. Calcular las razones trigonomtricas para el ngulo 45 Solucin:
Dibujemos un tringulo con dos lados iguales:
Tenemos la longitud de los dos catetos del tringulo rectngulo CB = L y BA = L,
necesitamos la longitud de la hipotenusa 22 LLmAC +== (Utilizando el Teorema de Pitgoras)
== 22 22 LLm L2=m Con este resultado podemos concluir entonces que, para un tringulo rectngulo con dos
lados iguales la hipotenusa es igual a L2 .
Entonces, ya tenemos los valores de los catetos L y de la hipotenusa L2=m , procederemos a calcular las razones trigonomtricas para el ngulo 45:
21
245 =/
/==L
LmLSen
Racionalizando el denominador 2 , nos queda:
22
22
21 45 ==Sen
22 45 = Sen
22
21
245 ====
LL
mLCos
2245 = Cos
145 ==LLTan 1 45 = Tan
=== 111
45145
TanCotg 145 =Cotg
C
A = C = 45 y B = 90 L
m
B L A 45
45
61
22
22
145
145 === CosSec 245 =Sec
=== 222
145
145Sen
Csc 2 45 =Csc
Ejemplo.3. Determinar los valores de todas las razones trigonomtricas del ngulo 60. Solucin:
Utilizaremos un tringulo equiltero, en el cual llamaremos L a la medida de cada lado.
Trazamos la bisectriz del ngulo C y obtenemos el tringulo rectngulo ADC
Aplicamos el Teorema de Pitgoras al tringulo rectngulo \ADC, para hallar la altura CD , del tringulo ABC:
2
22
2CDLL +
=
Como es un tringulo equiltero entonces
LBCABAC === Esto implica que sus ngulos deben tener la misma medida, por lo tanto:
CBA === 60
L L
L
C
A B
60
60 60
Los catetos son CD y 2L
y la hipotenusa es L.
C
A = 60, ACD = 30, D = 90 CDAD, son catetos y AC es la hipotenusa
60
30 30 L
A D B
h
L
62
43
44
2222222
2 LCDLLCDCDLL ==+=
4
34
3 22 LCDLCD == LCD23=
Con este resultado, podemos concluir que para un tringulo equiltero de lado L, su altura
es: LCD23= .
Ahora, con los datos del tringulo rectngulo \ACD, catetos e hipotenusa, calculemos ahora las razones trigonomtricas del ngulo 60
2360
232
3
60 ==//
== SenL
L
LCDSen
=//==
21
2260
LL
L
L
Cos2160 =Cos
3232
2
23
2
60 =///===
LL
L
L
LCDTan 360 = Tan
=== 22
11
60160
CosSec 260 =Sec
332
32
23
160Sen
160Csc ==== 33260 = Csc
33
31
60160 === TgCotg 3
360 = Cotg
Ejemplo.4. Calcule las razones trigonomtricas del ngulo de 30, utilizando los
resultados del tringulo \ADC.
63
RELACIONES TRIGONOMTRICAS DE UN NGULO EN EL PLANO CARTESIANO
Hasta ahora lo que hemos visto es la definicin de las razones trigonomtricas slo para ngulos agudos, representados en un tringulo, pero si tenemos una manera de medir el ngulo en forma ms general, podremos extender esta funcin a otros nmeros reales.
La circunferencia trigonomtrica es una circunferencia de radio uno, en la que se inscriben los ngulos, con el vrtice en su centro. Tambin en su centro se ubica el origen de un sistema de coordenadas ortogonales ),( yx . En la circunferencia trigonomtrica se considera que los ngulos estn orientados; se atribuye un signo al sentido de giro: si los ngulos se miden desde el eje X , crecen positivamente en sentido contrario al de las agujas del reloj, pero, si se miden en sentido horario los ngulos sern negativos.
El punto ),( yxP est situado en una lnea recta que pasa por el origen y que forma un
ngulo con la parte positiva del eje X . Observe que al inscribir un tringulo rectngulo en la circunferencia unitaria, la hipotenusa de dicho tringulo siempre vale 1, es decir,
122 =+ yx . Adems, los ejes cartesianos dividen el plano en 4 partes, llamadas cuadrantes, I C, II C,
III C y IV C.
En el primer cuadrante (I C) el ngulo es agudo, es decir 900
x
y
O
1=r
),( yxP
x
y
O
-
),( yxP
1=r
64
En el segundo cuadrante (II C) el ngulo est entre 90 y 180 es decir, 18090 <
En el tercer cuadrante (III C) el ngulo est entre 180 y 270 es decir, 270180 <
En el cuarto cuadrante (IV C) el ngulo est entre 270 y 360 es decir, 360270 <
Relaciones Trigonomtricas En base a lo anterior, podemos establecer las relaciones entre el ngulo que genera la
rotacin del segmento OP y las magnitudes del punto ),( yxP .
Las seis relaciones trigonomtricas para el ngulo se definen en la siguiente tabla:
y
x
O X
Y
r
I C
),( yxP
y
X
YII C
rx
),( yxP
y
x
X
Y
III C r ),( yxP ),( yxP
y
x
X
Y
IV C
r
),( yxP
IV C
y
O X
x
Y
III C
II C I C
65
a. Seno del ngulo . Es la razn entre la ordenada y (cateto opuesto) y la distancia del punto P al origen O ,
OPr = (la hipotenusa) 22 yx
yrySen
+==
b. Coseno del ngulo : es la razn entre la abscisa x (cateto adyacente) y la distancia del punto P al origen
O, OPr = (la hipotenusa) 22 yx
xrxCos
+==
c. Tangente del ngulo : Es la razn entre la ordenada y (cateto opuesto) y la abscisa x (cateto adyacente)
del punto P cuando esta ltima es diferente de cero.
xyTan =
0x
d. Cotangente del ngulo . Es la razn entre la abscisa x (cateto adyacente) y la ordenada y (cateto opuesto), cuando esta ltima es diferente de cero.
yxCo =tg
0y e. Secante del ngulo : Es la razn entre la distancia al
origen OP y la abscisa x , cuando esta ltima es
diferente de cero.
xyx
xrSec
22 +== 0x
f. Cosecante del ngulo : Es la razn entre la distancia al origen OP y la ordenada y , cuando esta ltima
es diferente de cero.
yyx
yrCsc
22 +== 0y
Es importante hacerte notar:
Si el punto ),( yxP , se encuentra en el eje Y entonces x =0; por tanto, la tangente y la secante de esos ngulos, como 90 y 270 no estn definidas, puesto que la divisin por cero no est definida en el conjunto de los nmeros reales.
Si el punto ),( yxP est en el eje X entonces 0=y , en este caso, la cotangente y la cosecante de esos ngulos, como 0 y 180 tampoco est definida.
Para todos los ngulos, lo valores del Seno y del Coseno son nmeros reales, ya que 0r
Debido a que xyxr += 22 y yyxr += 22 , tenemos que:
66
Los valores del Sen y Cos varan entre -1 y +1. La Tan y la Cotg son ilimitadas, y pueden tomar cualquier valor real. La Sec y la Csc son mayores o iguales que +1 o menores o iguales que -1. Como se ha podido ver anteriormente, el valor de las relaciones trigonomtricas no depende de la longitud de r , pues las proporciones son slo funcin del ngulo.
Por ejemplo, si queremos determinar el valor del Seno del ngulo de 45 , necesitamos determinar un punto ),( yxP en el plano, cuyo segmento al origen )0,0(O forme un ngulo de 45 con el eje X . Consideremos el segmento OP , cuyo punto es )1,1( en el IC y divide el primer cuadrante en dos partes iguales, como se muestra en la siguiente figura:
Calculamos la distancia r del punto )1,1(P al origen: 211 22 =+=r y entonces
22
2145 ===
rySen .
Qu resultado obtendramos si tomamos, en lugar del punto )1,1(P el punto )3,3(P , cuyo segmento OP tambin divide el primer cuadrante?
)1,1(P
45
1
O X
1
Y I C
45 O X3
Y
I C3 )3,3(P
67
Calculamos la distancia r del punto )3,3(P al origen:
23189933 22 ==+=+=r y entonces 22
21
23345 ====
rySen .
El resultado obtenido es el mismo! Por qu?
Fue casual el resultado anterior? NO, la justificacin que sigue lo confirma. Si no fuera as, las definiciones anteriores no seran buenas definiciones, pues a un mismo ngulo le asignaran distintos valores de Sen y distintos valores de Cos . Si tomamos una recta que es la prolongacin del segmento, en este caso, que bisecta el primer cuadrante, es decir, que forma un ngulo de 45 con el eje X , para cualquier punto sobre dicha recta, las relaciones trigonomtricas para el ngulo son iguales, por lo tanto podemos decir:
Los valores de las relaciones trigonomtricas de un ngulo son independientes del
punto que se tome sobre el lado terminal del ngulo.
Veamos a continuacin algunos ejemplos, donde dado un punto ),( yxP en el plano, se
buscan los valores de las relaciones trigonomtricas del ngulo , formado por el eje positivo X y el segmento OP . Ejemplo.5. Determinar las relaciones trigonomtricas del ngulo , que forma el
segmento OP en el plano con el eje positivo X , donde el punto P es (3,4). Solucin:
Representamos el punto )4,3(P en el plano cartesiano:
Calculamos la distancia del punto P al origen O :
O
Y
3
)4,3(P 4
X
5=OP
4
68
52516943 2222 ==+=+=+= yxOP Luego determinamos las relaciones trigonomtricas del ngulo , segn las definiciones anteriores:
431,
351,
451
34,
53,
54
======
===
tgCotg
CosSec
SenCsc
TanCosSen
Ejemplo.6. Determinar las relaciones trigonomtricas del ngulo , formado por los segmentos OXyOP , donde el punto es )3,2( P .
Solucin:
Representamos el punto )3,2( P en el plano cartesiano:
Calculamos la distancia del punto P al origen O :
( ) ( )
13
1394
32 2222
==+=
+=+=
OP
yxOP
Luego calculamos las relaciones trigonomtricas del ngulo :
13133
133 ==Sen ;
13132
132 ==Cos ;
23=Tan
2131 == CosSec ; 3
131 == SenCsc ; 321 == TanCotg
Y
X
P (2,-3)
O
-3
2
69
SIGNOS DE LAS RELACIONES TRIGONOMTRICAS El signo de las relaciones trigonomtricas vara segn el cuadrante en el que se
encuentre ubicado el punto ),( yxP y por lo tanto, el ngulo de referencia.
Para realizar este estudio de los signos, consideraremos las relaciones definidas
anteriormente. Recordemos que la distancia entre dos puntos, en este caso, la distancia
de un punto ),( yxP al origen de coordenadas, siempre es positiva (en este caso la
distancia es r ).
rySen =
rxCos =
xyTan =
0>x I C
0>y + + +
0y + - -
0
70
RELACIONES TRIGONOMTRICAS DE LOS NGULOS NOTABLES.
Presentamos en la siguiente tabla, los valores de las relaciones trigonomtricas para los ngulos notables: 0, 30, 45, 60, 90, 180, 270, 360.
0 30 45 60 90 180 270 360 Sen 0
21
22
23
1 0 -1 0
Cos 1 23
22
21
0 -1 0 1
Tan 0 3
1
1 3 No existe
0 No existe
0
Sec 1 3
32
2 2 No existe
-1 No existe
1
Csc No existe
2 2 3
32
1 No existe
-1 No existe
Cotg No existe
3 1
33
0 No
existe 0 No
existe
Ejercicios propuestos:
1. Para el tringulo rectngulo \ABC, calcular las razones trigonomtricas de los ngulos y , sabiendo que la longitud de los catetos son b = 2 y c= 4.
2. Dado el punto A(2,3) en el plano, el
tringulo \AOB es un tringulo rectngulo. Calcular las relaciones
trigonomtricas del ngulo .
B c a A b C
3
(2,0)
(2,3)
O X
Y
71
3. Dado el punto A(-1,4) en el plano, el
tringulo \AOB es un tringulo rectngulo.
Calcular las relaciones trigonomtricas del
ngulo .
4. Determine (sin calculadora) los valores de las siguientes expresiones:
a.) 5 Sen 2 45 + 8 Cos 2 30 b.) 3 Sen 30 + 6 Cos 2 45
c.) 5 Tan 2 45 + 2 Sec2 45 d.) 6 Tan 30 + 2 Csc 45
e.) 4 Cos 60 + 5 Csc 30 f.) Sen2 30 + Sec245
g.) Csc2 45 + Cos2 30 h.) 30Cos30Sen
30 Csc 30Sen 22 +
+
i.) 45Sec 45Cos
30 Sen 45Sen22
22
++
j.)
30Csc45Csc30 Sen 30 Tan
22
22
++
5. Determine el valor de x en las siguientes figuras.
a)
b)
c)
d)
e)
f)
4
B(-1,0)
A(-1,4)
O X
Y
10
30
x
60
15 x
45
30 x
x 25
5
xx+2
30
2 x
x+3
/4
72
g)
h)
i)
j)
RELACIONES TRIGONOMTRICAS PARA LA SUMA Y RESTA DE DOS NGULOS
Ser cierto que ( ) 60306030 CosCosCos +=+ ? Clculos rpidos nos demuestran que no, mientras que:
( ) 9006030 CosCos ==+ , por otro lado se tiene que:
02
1321
236030 +=+=+ CosCos
Nota: Basta que no se cumpla para un caso para decir que la proposicin no se cumple.
Recordando que nuestro objetivo es aprender a utilizar las relaciones trigonomtricas y no demostrarlas, les daremos a continuacin las frmulas correspondientes a las relaciones trigonomtricas para la suma y resta de dos ngulos:
1) ( ) SenCosCosSenSen +=+ 2) ( ) SenCosCosSenSen =3) ( ) SenSenCosCosCos =+ 4) ( ) SenSenCosCosCos +=
15
x
3 4
3
12
13
x
x
6
10
x
73
5) ( )
TanTanTanTanTan
+=+1
6) ( )
TanTanTanTanTan +
+=1
As, con estas frmulas a mano, podemos calcular Cos (30 + 60). Utilizando la frmula del Coseno de la suma de dos ngulos:
( ) 603060306030 SenSenCosCosCos =+
043
43
23
21
21.
23
==
=
Es decir, ( ) 9006030 CosCos ==+ Estas frmulas son muy tiles al calcular relaciones trigonomtricas de ngulos no notables. Veamos a continuacin algunos ejemplos:
Ejemplo.7. Hallar el 105Sen y 105Tan
Solucin:
Podemos descomponer el ngulo 105 como la suma de dos ngulos notables. Es decir, 105 = 60 + 45.
Entonces:
a) )4560(105 += SenSen Aplicamos la frmula (1) : 45.6045.60)4560(105 SenCosCosSenSenSen +=+=
+=22
21
22
23
42
46 +
9659,04
26 +=
b) )4560(105 += TanTan Aplicamos la frmula (5) : )4560( +Tan =
+45.601
4560TanTan
TanTan
74
= 7321,33131
1.3113
+=+
Respuesta: 9659,0105 =Sen y 7321,3105 =Tan Ejemplo.8. Sea
1312 y
54 == CosCos . Hallar ( ) ( ) Seny Cos
sabiendo que est en el segundo cuadrante y en el tercer cuadrante.
Solucin:
Para resolver este ejercicio usaremos las frmulas trigonomtricas (4) y (2):
( ) SenSenCos += Cos Cos (Ec. 4) ( ) SenCosSenS = Cos en (Ec. 2)
Conocemos el Cos y el Cos , pero no sabemos cunto valen el Sen y el Sen . Para hallarlos, utilizamos la identidad fundamental trigonomtrica que dice:
2
22
22
Cos-1
11Sen
==
=+
Sen
CosSenCos
Clculo de Sen Como II cuadrante, entonces ,0>Sen por lo tanto 21 CosSen = . Observe que se toma la parte positiva de la raz.
25161
541
2
=
= SenSen259
251625 == SenSen
53
259 == SenSen
53=Sen
Ahora aplicamos el mismo criterio para hallar el Sen . Clculo de Sen : Sabemos que III cuadrante, entonces 0
75
Entonces 135=Sen
De manera que volviendo a la ecuacin (4), sustituimos los valores encontrados:
( ) SenSenCosCosCos += (Ec. 4) ( ) = Cos
+
135
53
1312
54
( ) = Cos6533
651548
6515
6548 == ( )
6533= Cos
Ahora veamos la ecuacin (2) y sustituimos
( ) SenCosCosSenSen = (Ec. 2) ( )
=
135
54
1312
53Sen
( ) = Sen6556
652036
6520
6536 == ( )
6556= Sen
Respuesta: ( )6533= Cos y ( )
6556= Sen
Ahora bien, utilizando estos dos resultados, Podemos determinar el cuadrante donde est ubicado el ngulo ? S es posible, pues ( ) 0> Cos y ( ) 0
76
( ) 45752752752 SenSenSenCosCosSen == Respuesta:
22752752 = SenCosCosSen
Ejercicios Propuestos: 6. Utilizando las frmulas de las relaciones trigonomtricas de la suma y resta de dos
ngulos, probar:
a) CosSenSen = 2)2( b) 22)2( SenCosCos = c)
2122
TanTanTan =
Sugerencia, hacer = . 7. Utilizando las frmulas anteriores probar:
a) 2
212 CosSen =
b) 2
212 CosCos +=
c)
21212
CosCosTan +
=
A continuacin resolveremos algunos ejercicios, donde se utilizarn las frmulas de las
relaciones trigonomtricas ya vistas.
Ejemplo.10. Sea un ngulo en el segundo cuadrante, tal que 135=Sen .
Hallar 2y 2 ,)2( TanCosSen Solucin:
Para hallar las relaciones trigonomtricas del ngulo doble, necesitaremos las relaciones del ngulo simple Cos y Tan . De la identidad fundamental 122 =+ CosSen , obtenemos lo siguiente:
21 SenCos = ,
77
Adems sabemos que est en el II C (cuadrante) luego 0
78
A qu distancia desde el pedestal debe colocar la cmara? Es decir, cunto vale b.
Solucin:
A partir de la figura, tenemos un tringulo rectngulo \CBA, por lo tanto b
30Tan = y
tenemos que la bb
Tan 7030402 =+=
bTan 702 = . Ahora sustituimos el valor de Tan en la frmula de 2Tan :
== 22 301
30270
122
b
bbTan
TanTan
2
9001
6070
b
bb
=
2
2 900
6070
bb
bb = , resolvemos y despejamos el valor de b
( ) = bb bb 9006070 22
= 9006070
2bb
b( ) 22 6090070 bb =
22 606300070 bb = , despejando obtenemos: = 6300b 4,79b Respuesta: La cmara debe colocarse aproximadamente a 79,4 cm. del pedestal.
C
2
b
30 cm.
40 cm.
A
B
79
RESUMEN DE IDENTIDADES TRIGONOMTRICAS
A continuacin presentamos un resumen de las identidades trigonomtricas estudiadas hasta el momento.
a.) = SenCsc1
b.) = Cos1Sec
c.)
CosSenTan = d.) TanCotg
1=
e.) 122 =+ CosSen f.) 22 1 CosSen =
g.) 22 1 SecTan =+ h.) 22 1 CscCot =+
i.) ( ) SenCosCosSenSen +=+ j.) ( ) SenCosCosSenSen =
k.) ( ) SenSenCos =+ Cos Cos l.) ( ) SenSenCos += Cos Cos
m.) +=+
TanTanTanTan)(Tan
1 n.) +
=TanTan
TanTan)(Tan1
o.) CosSenSen .22 = p.) 22.2 SenCosCos =
q.) 21
22tantanTan = r.) 2
212 = CosSen
s.) 2
2Cos1Cos 2
+= t.)
21212
CosCosTan +
=
EJERCICIOS PROPUESTOS: 8. Demuestre que las siguientes expresiones son iguales a uno (1), utilizando las
identidades trigonomtricas estudiadas.
a) (Sen ) (Cotg ) (Sec ) b) (Cos2 ) (tan2 + 1) c) (Cos) ( tan) ( Csc) d) (Tan2 ) (Csc2 - 1)
80
9. Hallar las relaciones trigonomtricas para el ngulo , utilizando valores conocidos de los ngulos notables de 30 y 45
a) = 75 b) = 15 10. Calcular las relaciones trigonomtricas de los ngulos + y sabiendo
que y estn en el primer cuadrante :
a) Sen = 53
, Sen = 13
132
b)Tan = 21
, Cotg = 41
81
LECTURA N 11: SOLUCIN Y APLICACIONES
DE TRINGULO RECTNGULOS.
SOLUCIN DE TRINGULOS RECTNGULOS
Uno de los tringulos de mayor utilidad en trigonometra es el rectngulo. Herramienta tan
til para resolver diversos problemas, que su solucin resulta de vital importancia. Para
resolver un tringulo rectngulo debemos conocer las relaciones trigonomtricas ya
estudiadas en las lecturas anteriores.
Ejemplo.1. Podras determinar fsicamente la distancia ms corta entre los puntos B y C de la siguiente figura?
Lago
Este problema, al igual que los otros relacionados con distancias que no pueden medirse
en forma directa, se puede resolver con la ayuda de las razones trigonomtricas.
Solucin:
Observamos que el tringulo \ABC tiene un ngulo recto C y un ngulo de 60 en el vrtice A.
El tramo de A a C queda sobre el terreno y puede medirse directamente. Si AC = 3 Km.,
determinamos BC como sigue:
B
A 3 Km.
C 60
Material tomado con fines instruccionales de: Gmez, T., Gonzlez, N., Vergara, A. (2000). Trigonometra. Material no publicado. Caracas.
82
==3
60 BCTanACBCATan =
33 BC mBC 33=
Respuesta: La distancia ms corta entre los puntos B y C es kmBC 33= . Ejemplo.2. Dado el siguiente tringulo rectngulo. Hallar el valor de x
Solucin: Tenemos un ngulo y la hipotenusa. Como necesitamos
calcular el cateto adyacente al ngulo, entonces utilizamos la
razn trigonomtrica coseno del ngulo.
hipotenusaCos adyacente cateto30 =
352
31023
101023
1030 ===== xxxxCos
35=x 8.7 Respuesta: El cateto buscado es 35=x . rea de los tringulos rectngulos: Sabemos que el rea de un tringulo viene dada por la frmula:
rea = 21
(base) (altura) En el tringulo rectngulo se pueden tomar por base y altura los catetos del tringulo.
El rea del tringulo es: rea = ( ) ( )ac 21
Veamos a continuacin algunos ejemplos:
c
C
B A
a b
10
30 x
83
Ejemplo.3. Dado el siguiente tringulo rectngulo, representado en la figura siguiente, hallar su rea.
Solucin: Tenemos las medidas de los dos catetos: la base =
cm 6 y la altura = cm 5 . Entonces el rea del tringulo es:
( ) ( ) 22 15302156
21 cmcmcmcmA =
==
Respuesta: El rea del tringulo es 215 cm
Ejemplo.4. Hallar el rea del tringulo rectngulo \ABC, representado en la siguiente figura
Solucin:
Tenemos un cateto AB (altura) = 3 u. Nos falta la base BC , pero tenemos la hipotenusa
AC = 8 u.
Aplicando el Teorema de Pitgoras, al tringulo \ABC: ( AC )2 = ( AB )2 + ( BC )2
Sustituyendo los valores de AC y AB , nos queda:
(8 u)2 = (3 u)2 + ( BC )2 ( BC )2 +9 u2 = 64 u2 ( BC )2 = 64 u2 9 u2 ( BC )2 = 55 u2 BC = 55 u
Entonces el rea del tringulo rectngulo \ABC es:
( )( ) 2u 5523u 55u 3
21u u
21 === BCABA
Respuesta: 5523A = u2
h 5
6
8 u
3 u
B
A
C
u = unidades de medida
84
Ejemplo.5. Hallar el rea del tringulo rectngulo \XYZ, representado a continuacin: Solucin:
Tenemos un cateto ZY = 4, que corresponde a la base del tringulo y un ngulo interno Y = 30, necesitamos el cateto opuesto XZ (altura) para hallar el rea del tringulo.
Entonces
==43
330 XZZYXZTan
334=XZ
Luego el rea del tringulo es: ( )3384
334
21 =
=A
Respuesta: 338=A
APLICACIONES DE TRINGULOS RECTNGULOS Una vez dominado los conceptos involucrados en la Trigonometra, vamos a estudiar sus
aplicaciones a modelos matemticos. Este tema es de vital importancia para todo
estudiante universitario, especialmente para estudiantes de ingeniera que cursarn las
materias de Fsica I, Fsica II, Mecnica, etc. Haremos este estudio a travs de ejemplos
prcticos.
Ejemplo.6. Desde un punto A, se mira la cima de una colina con un ngulo de elevacin de 40, se camina 80 mt. en lnea recta alejndose de la colina y desde un punto
B se mira la cima otra vez, ahora con un ngulo de elevacin de 25. Determine
la altura de la colina. Utilice dos cifras decimales.
Solucin: Debemos recordar que un ngulo de elevacin es el ngulo formado desde una horizontal
con una visual dirigida hacia arriba; y un ngulo de depresin est formado por la
horizontal y la visual dirigida hacia abajo.
30
Z
X
Y 4
2
85
Hacemos un bosquejo de la situacin y seleccionamos las incgnitas:
Nos piden encontrar h
Del tringulo ACD: 40Tanxh = Del tringulo BCD: 25)80( Tanxh += Igualando ambas expresiones:
= 40Tanx 25)80( Tanx + =x84,0 47,0)80( + x = x84,0 x47,06,37 + 6,3737,0 = x 62,10140 = xTanx Ahora, vamos a calcular la altura h :
40Tanxh = )84,0()62,101( = h 36,85=h Respuesta: La altura de la colina es 85,36 mt.
Nota:
Es importante para el prximo ejemplo, indicar la diferencia entre rumbo y direccin. El rumbo se mide siempre desde el Norte o el Sur, mientras que la direccin se puede medir desde cualquier eje cardinal. Es decir, rumbo 30 Noreste significa 30 al Este del Norte y se puede denotar como N30E. Este ngulo es equivalente a la direccin 60 al Norte del
25 40
C
D
h
B A 80 x
Visual
Horizontal
ngulo de Elevacin
Visual
Horizontal
ngulo de Depresin
86
Este. Tambin existen trminos direccionales tales como curso y acimut, los cuales proponemos sean investigados por los estudiantes.
Ejemplo.7. Dos barcos salen de un puerto al mismo tiempo. El primer barco navega a 300Km/h con un rumbo de 30 Noreste, mientras que el segundo navega a
400Km/h rumbo 120 Noreste. Determine la distancia que los separa despus
de 2 horas.
Solucin: Hacemos un bosquejo grfico de nuestro problema:
Como el ngulo formado por Ad y Bd es 90, aplicamos el Teorema de Pitgoras:
( ) ( )222 BA ddd += ( ) ( )222 800600 +=d 000.640000.3602 += d
000.1000.000.1000.000.12 === dd Respuesta: Despus de 2 horas, los barcos estn separados 1.000 Km.
Ejemplo.8. Un poste de 6 mt. de altura es sostenido por cables, dos de los cuales estn anclados en A y B (ver figura), conociendo que el ngulo C es de 90. Determine
la distancia que separa los puntos A y B, si la longitud del cable AC es 12 mt.
Puerto 120
30
N
dA
dB
d
VA = 300 Km./h
VB = 400 Km./h
Despus de 2 horas
Ad = (300) (2) = 600 Km.
Bd = (400) (2) = 800 Km.
87
Solucin: De la figura dada, observamos que podemos obtener el ngulo A:
=
=
30A
126ASen
Como el ngulo C = 90, entonces B = 90 30 B = 60 Llamaremos D a la base del poste, por lo tanto:
3,46mts.BD mts. 10,39AD
60 6BD
306AD
6 6
66
====
==
==
TanTan
BTanBD
ATanAD
BDBTan
ADATan
.85,13.46,3.39,10 mtsmtsmtsAB
BDADAB
=+=+=
Respuesta: La distancia que separa los puntos A y B es 13,85 mt.
Ejercicios Propuestos:
1. El rea de un tringulo rectngulo es 120 cm2 y la hipotenusa mide 26 cm. Cules son las longitudes de los catetos?
2. Uno de los ngulos agudos de un tringulo rectngulo es 18 mayor que el otro. Cunto mide cada ngulo del tringulo?
90
A
mts12
B D
C
mts6
88
3. El permetro de un tringulo rectngulo mide 30 m y el rea 30 m2. Calcula los catetos.
4. Desde la parte superior de una colina se observa un punto A con un ngulo de depresin de 47, tambin se observa un punto B (ms alejado de la colina que A) con un ngulo de depresin de 26. Si la distancia entre A y B es de 85 mt., determina la altura de la colina.
5. Desde la parte superior de un edificio de 25 mt., el ngulo de elevacin de la punta de un poste es 14. Desde la base del edificio, el ngulo de elevacin de la punta del poste es 28. Encuentra:
a) La altura del poste
b) La distancia del poste a la base del edificio
6. Desde la cima de una colina de 40 mt. de altura se observa una antena. El ngulo de elevacin a la parte superior de la antena es de 15 y el ngulo de depresin a la base de la antena es de 35. Calcula la altura de la antena.
7. Desde la azotea de un edificio de 60 mt. de altura se observa un poste. El ngulo de depresin a la parte superior del poste es de 8 y el ngulo de depresin a la base del poste es de 25. Calcula la altura del poste.
8. El permetro de un tringulo issceles es 16 cm. y cada lado igual mide 5 cm. Determina cunto mide la altura.
9. Enrique viaja 2 Km. hacia el norte, 15 Km. hacia el este, 5 Km. hacia el norte y 9 Km. hacia el este. A qu distancia est Enrique del punto de partida?
10. En un tringulo rectngulo un cateto es el doble del otro. Si la suma de ambos catetos es 18 mt. Determina la longitud de cada cateto y la hipotenusa.
11. Un tringulo rectngulo tiene un permetro de 24 cm. Si la hipotenusa mide 10 cm. Cunto mide cada cateto, si la diferencia entre ellos es 2 cm.?
12. En un tringulo rectngulo, el cateto mayor es 2 cm. ms que el doble del menor; adems, la hipotenusa es 2 cm. menos que el triple del cateto menor. Determina la longitud de los catetos y la hipotenusa.