Trigonometria Esferica.pdf

E. T. S. DE INGENIERA en TOPOGRAFA, GEODESIA Y CARTOGRAFA

UNIVERSIDAD POLITCNICA DE MADRID

UNIDAD DOCENTE DE MATEMTICAS

Madrid, Septiembre de 2008

TRIGONOMETRA ESFRICA FUNDAMENTOS

2

Manuel Barrero Ripoll

M Luisa Casado Fuente

M ngeles Castejon Solanas

Luis Sebastin Lorente

Impreso en E.T.S.I. en Topografa, Geodesia y Cartografa.

Madrid, 2008

I.S.B.N.: 84-96244-13-x

ndice

U. D. de Matemticas. ETSI en Topografa, Geodesia y Cartografa 3

CONTENIDO

CAPTULO PRIMERO: GEOMETRA SOBRE LA

SUPERFICIE ESFRICA

1.1 Diedros y Triedros 6

1.2 Propiedades y Definiciones 7

1.3 Tringulos esfricos 9

1.4 Propiedades de los tringulos esfricos 11

1.5 Clasificacin de tringulos esfricos 12

1.6 Tringulos esfricos polares 12

1.7 Tringulos esfricos adyacentes y simtricos 13

1.8 Superficie de un tringulo esfrico 14

1.9 Superficie de un polgono esfrico 14

1.10 Ejercicios propuestos 16

CAPTULO SEGUNDO: RELACIONES ENTRE LOS LADOS

Y LOS NGULOS DE UN TRINGULO ESFRICO

2.1 Teorema del seno 19

2.2 Teorema de coseno 20

2.3 Teorema de la cotangente 22

2.4 Teorema del coseno para los ngulos 23

ndice


2.5 Funciones de los ngulos mitad 24

2.6 Analogas de Gauss-Delambre 26

2.7 Analogas de Neper 27

2.8 Distancia esfrica entre dos puntos 28


CAPTULO TERCERO: TRINGULOS ESFRICOS

RECTNGULOS Y RECTILTEROS

3.1 Tringulos rectngulos. Regla de Neper 35

3.2 Proposiciones 36

3.3 Resolucin de tringulos rectngulos 37

3.4 Tringulos esfricos rectilteros. Resolucin 39


CAPTULO CUARTO: PROBLEMAS

4.1 Problemas resueltos 46

4.2 Problemas propuestos 52

4.3 Soluciones 57

Geometra sobre la superficie esfrica.


CAPTULO PRIMERO:

Geometra sobre la superficie esfrica

1.1 Diedros y Triedros 6

1.2 Propiedades y Definiciones 7

1.3 Tringulos esfricos. Definiciones y Propiedades 9

1.4 Propiedades de los tringulos esfricos 11

1.5 Clasificacin de tringulos esfricos 12

1.6 Tringulos esfricos polares 12

1.7 Tringulos esfricos adyacentes y simtricos 13

1.8 Superficie de un tringulo esfrico 14

1.9 Superficie de un polgono esfrico 14




6

1.1 Diedros y Triedros Se llama diedro, a la regin del espacio comprendido entre dos semiplanos a y b limitados por una recta comn AB (fig. 1.1-a). Los semiplanos a y b que lo forman se llaman caras del diedro, y la recta comn AB arista. Se llama ngulo correspondiente a un diedro, al ngulo formado por dos perpendiculares a la arista en un mismo punto y una en cada cara. As, si EF y HE son perpendiculares a la arista AB, el ngulo FEH es el ngulo del diedro.

Tres semirrectas en el espacio no situadas en el mismo plano, y con origen comn en un punto V, constituyen un triedro (fig. 1.1-b). El punto V y las semirrectas se llaman, respectivamente, vrtice y aristas del triedro. Los ngulos que determinan cada dos aristas consecutivas se llaman lados o caras del triedro, su medida es siempre menor que 180, y se designan con las letras a, b y c. Cada semirrecta determina dos semiplanos que contienen respectivamente a las otras dos. Los diedros as definidos se llaman ngulos del triedro, su medida es siempre menor que 180, y se designan mediante las letras A, B y C. (Se designa por A el diedro cuya arista contiene a la semirrecta que no est en el plano de la cara a, y anlogo para B y C). Los lados a, b y c se llaman, respectivamente, opuestos a los ngulos A, B y C, y recprocamente.

b

c a

V

C

B

A

Fig.1.1-b

Fig. 1 .1- a

B

F

a b

HA

E

b c

a

V

CB A

Fig.1.1-c

A



Cortando el triedro VABC de la figura 1.1-b por la arista VA se puede colocar las tres caras sobre un plano, como se expresa en la figura 1.1-c. As se obtiene el llamado desarrollo del triedro, que se compone de tres ngulos consecutivos. Triedros simtricos son los formados por semirrectas opuestas. Por consiguiente, sus caras son ngulos opuestos por el vrtice, y sus diedros son opuestos por la arista. Por lo tanto, en dos triedros simtricos los elementos homlogos son iguales, pero el orden de sucesin de estos elementos es inverso, por lo que, en general, dos triedros simtricos no son superponibles. 1.2 Propiedades Los lados y los ngulos de un triedro cumplen las propiedades siguientes:

1. En todo triedro, una cara es menor que la suma de las otras dos y mayor que su diferencia.

cbacb +

3. La suma de las caras de un triedro es menor que cuatro ngulos rectos.

360a b c+ + <

4. La suma de los tres ngulos diedros de un triedro est comprendida entre dos y seis ngulos rectos.

180 540A B C< + + <



8

Definiciones

Una Circunferencia mxima, o ciclo, sobre una esfera, es el permetro de la seccin producida por la interseccin de la esfera con un plano que pasa por el centro de la esfera; por tanto, su radio ser el de la esfera.

Una Circunferencia menor es el permetro de la seccin producida por la interseccin de la esfera con un plano que no pase por su centro.

Puesto que por tres puntos no alineados pasa un plano y slo uno; dados dos puntos A y B de la esfera, no diametralmente opuestos, siempre existe un plano y slo uno, cuya interseccin con la esfera define el ciclo AB.

La distancia esfrica entre dos puntos A y B de una superficie esfrica es la longitud del menor arco de ciclo comprendido entre los dos puntos A y B.

O

B A

Fig. 1.2.a

Circunferencia mxima

Circunferencia menor

A

B

P

P

O

Fig. 1.2-b

C



La medida de la distancia AB es la del ngulo plano AOB.

Dos ciclos siempre se cortan en dos puntos P y P diametralmente opuestos.

Se llama ngulo esfrico entre dos ciclos al ngulo formado por las dos tangentes a las semicircunferencias en uno de sus puntos de contacto. Puesto que dichas tangentes son perpendiculares al dimetro PP, el ngulo esfrico es el correspondiente al diedro formado por los planos de los dos ciclos y su medida es la misma que la del arco AC.

Se llaman polos de un ciclo a los extremos del dimetro perpendicular a su plano, trazado por el centro de la esfera. As, en la figura 1.2-b, P y P son los polos del ciclo AC. Todo ciclo posee dos polos. Dos ciclos son perpendiculares si el ngulo esfrico formado por ambos es recto.

La condicin necesaria y suficiente para que dos ciclos sean perpendiculares es que uno de ellos pase por los polos del otro, en cuyo caso ste pasa por los polos de aqul.

1.3 Tringulos esfricos

Un tringulo esfrico es la regin de superficie esfrica limitada por tres arcos de circunferencia mxima que se cortan dos a dos. Los arcos son los lados del tringulo esfrico, y los vrtices de los tres ngulos esfricos son los vrtices del tringulo esfrico. (fig. 1.3).

Cuando se unen los vrtices de un tringulo esfrico con el centro de la esfera, se obtiene un triedro. Podemos, entonces, dar otra definicin de tringulo esfrico: Es la interseccin de la esfera con las tres caras del triedro.

C

O

a

b

Fig. 1.3

cB

A



10

Los tres arcos AB , BC y CA del tringulo ABC llamados lados del tringulo se designan por c, a, y b, respectivamente; su medida, es por tanto la de los ngulos de las caras del triedro. Los tres puntos A, B, y C de interseccin de las aristas del triedro con la esfera son los vrtices o ngulos del tringulo esfrico y su medida es la misma que la de los diedros del triedro, OA, OB, y OC. Segn esto, a cada propiedad de los ngulos triedros corresponde una propiedad anloga de los tringulos esfricos, y recprocamente. Es evidente que los ngulos de las caras y los ngulos diedros de un ngulo triedro no se alteran en magnitud variando el radio de la esfera; por tanto, las relaciones entre los lados y los ngulos de un tringulo esfrico son independientes de la longitud del radio. Los lados de un tringulo esfrico, siendo arcos, son expresados normalmente en unidades angulares, grados o radianes. Si se desea conocer la dimensin lineal de un lado, ser necesario saber el radio de la esfera correspondiente al tringulo. En la prctica la longitud de un lado (arco) puede hallarse en funcin de cualquier unidad lineal, por medio de la siguiente analoga:

AD r2 =

arco del grados360 =

arco del Longitudciclo del Longitud



1.4 Propiedades de los tringulos esfricos

1 Cualquier lado de un tringulo esfrico es menor que una semicircunferencia 180a < .

2 Cada lado del tringulo esfrico es menor que la suma de los otros dos y mayor que el mdulo de su diferencia.

bacba +



12

1.5 Clasificacin de los tringulos esfricos Teniendo en cuenta las propiedades de los tringulos esfricos, estos pueden tener ms de un lado y un ngulo recto. Segn esto, se clasifican en:

Un tringulo esfrico se llama issceles si tiene dos lados iguales. Un tringulo esfrico se llama equiltero si tiene los tres lados iguales. Un tringulo esfrico se llama rectngulo si tiene un ngulo recto. Un tringulo esfrico se llama rectiltero si tiene un lado recto. Un tringulo esfrico se llama birrectngulo si tiene dos ngulos rectos. Un tringulo esfrico se llama birrectiltero si tiene dos lados rectos.

1.6 Tringulos esfricos polares

Dado un tringulo ABC de lados a, b, c se denomina tringulo polar a aquel cuyos lados ap, bp, cp son suplementarios de los vrtices A, B, C del tringulo dado, y los vrtices Ap, Bp, y Cp son suplementarios de los lados a, b, c; es decir:

C - 180 =c ; B - 180 =b ;A - 180 =a

c 180 =C ; b 180 =B ; a 180 =A

ppp

ppp

DDD

DDD

A B

C

Bp

Ap

Cp



Para representar el tringulo polar ApBpCp del tringulo ABC, hallamos el polo Cp del lado c ms prximo al vrtice C. Del mismo modo determinamos el polo Bp del lado b y el polo Ap del lado a. 1.7 Tringulos esfricos adyacentes y simtricos Ya que un triedro tiene tres caras, los planos de las mismas dividen a la superficie esfrica en ocho tringulos esfricos, cuya denominacin es la siguiente:

Dos tringulos esfricos son adyacentes si tienen un lado comn. En la figura el tringulo ABC es adyacente al tringulo ABC; el lado BC es comn a ambos.

Dos tringulos esfricos se llaman simtricos si los vrtices de uno de ellos son diametralmente opuestos a los vrtices del otro.

En la figura los tringulos ABC y ABC son simtricos.

Es claro que, dos tringulos simtricos tienen todos sus elementos iguales, pero situados en orden inverso, por tanto no son en general superponibles, a pesar de tener la misma rea.

A

B

C

C

B

A



14

1.8 Superficie de un tringulo esfrico Se observa en la figura anterior que los tringulos ABC, BCA', ACB', y CA'B' constituyen la mitad de la superficie esfrica, por tanto, si S, S', S'' y S''' son respectivamente las superficies de los tringulos anteriores, =+++ 2r2SSSS , sumando 2S en la igualdad anterior se tiene:

S2r2)'''SS()''SS()'SS( 2 +=+++++

cada uno de los parntesis del primer sumando de la ecuacin anterior es la superficie de un huso esfrico, as:

S+S' es la superficie del huso de ngulo cuya rea es D90r 2 .

De la misma manera

S+S'' es la superficie del huso de ngulo con rea D90r 2

S+S''' la del huso de ngulo con rea 90

r 2 ,

por tanto,

S2r290r

90r

90r 2222 +=++ DDD

y despejando S

)180(180rS

2D

D ++=

Si los ngulos se expresan en radianes y debido a que 1180 =D radin, ,rS 2= siendo el

exceso esfrico. 1.9 Superficie de un polgono esfrico

Se llama polgono esfrico a la porcin de superficie esfrica limitada por una poligonal cerrada, cuyos lados son arcos de circunferencia mxima.



El rea de un polgono esfrico situado sobre una esfera de radio r, con n lados y de vrtices A1, A2, .....An , viene dada por:

( )DD 180)2n(A...AA180rS n212

+++=

bien, expresando los ngulos en radianes,

( )+++= )2n(A...AArS n212 .

En efecto: Sea el cuadriltero esfrico ABCD cuya rea queremos determinar. Tracemos el arco de ciclo

AC que lo divide en dos tringulos esfricos. El rea pedida vale:

=+++++= )180III(180r)180III(

180rS

22D

DD

D )1802(180r 2 D

D +++

Si el polgono tiene n lados, se puede descomponer en n-2 tringulos esfricos siendo por tanto el rea del polgono:

( )DD 180)2n( A...AA180rS n212

+++= Si los ngulos se expresan en radianes, se tiene

( ) )2n(A....AArS n212 +++=

A

I I

D

II

BII

C



16

Problema 1.

Problema 2.

1.10 Ejercicios propuestos.

Solucin. St = 0.6277 cm2

La suma de los ngulos de un tringulo esfrico es mayor que 180 y menor que 540. Sea ABC un tringulo esfrico y sea ApBpCp su tringulo polar.

180cCbBaA ppp =+=+=+ de donde,

540cbaCBA ppp =+++++ Ahora bien,

0cba ppp >++ 540CBA



Solucin. S = 75.3982 cm2; V = 150.796447 cm3

Solucin. S = 397.7302 dm2

2.- Hallar el rea del tringulo esfrico y el volumen de la pirmide esfrica que determina en una esfera de 6 cm de radio, un triedro equiltero cuyos diedros miden 100 y cuyo vrtice es el centro de dicha esfera.

3.- Hallar el rea del pentgono esfrico cuyos ngulos miden: 8716; 10834; 12623; 150; 15648 en una esfera de radio 16 dm.

Relaciones entre los lados y los ngulos de un tringulo esfrico.


18

CAPTULO SEGUNDO:

Relaciones entre los lados y los ngulos de un

tringulo esfrico

2.1 Teorema del seno 19

2.2 Teorema del coseno 20

2.3 Teorema de la cotangente 22

2.4 Teorema del coseno para los ngulos 23

2.5 Funciones de los ngulos mitad 24

2.6 Analogas de Gauss-Delambre 26

2.7 Analogas de Neper 27

2.8 Distancia esfrica entre dos puntos 28




2.1 Teorema del seno (Primer grupo de frmulas de Bessel)

En un tringulo esfrico, los senos de los lados son proporcionales a los senos de los ngulos opuestos.

Sea el tringulo esfrico ABC definido sobre una esfera de radio r. El arco de ciclo perpendicular al arco AB y que pasa por C se llama altura esfrica CH del tringulo y se designa por hc. Proyectamos el vrtice C sobre el plano OAB en P, y P sobre la recta OA en N. Se obtiene as el tringulo III de la figura, este tringulo est en un plano perpendicular a OA, por contener dos perpendiculares a la recta OA, por tanto la recta CN tambin es perpendicular a OA. De manera anloga en el tringulo II la recta CM es perpendicular a la recta OB. Obtenemos as dos nuevos tringulos rectngulos el IV y V.

O

A H

B

C

a

M

N P

a

b b

r

c

P M

C

B A

P N

C

O M

C

aO N

b

C

I

II III

IV V

r r

hc

Por tanto, de los tringulos II y III se tiene:

senA CNCP

CNCPsenA

senB CMCPCMCPsenB

==

==

Igualando ambas ecuaciones



20

senACNsenB =CM (*) De los tringulos IV y V se obtiene:

==

==

senbrCNr

CNsenb

senarCMr

CMsena

sustituyendo CNy CM en la ecuacin (*), se sigue

senAsenbrsenBsenar =

simplificando por 0,r

senBsenb

senAsena =

Trazando la altura esfrica ha sobre el lado a, se probara la relacin senCsenc

senBsenb = , y por

tanto:

C senc sen

B senb sen

A sena sen ==

Esta relacin permite calcular un lado o un ngulo, conocido su ngulo o lado opuesto, y otro par de elementos opuestos. La dificultad estriba en calcular el tercer ngulo pues aqu no hay relacin constante entre los ngulos de un tringulo. Hay que buscar una nueva frmula que ligue elementos no opuestos. 2.2 Teorema del coseno (Segundo grupo de frmulas de Bessel)

En todo tringulo esfrico, el coseno de un lado es igual al producto de los cosenos de los otros dos lados, ms el producto de los senos de dichos lados por el coseno del ngulo comprendido.

De los tringulos IV y V de la figura anterior



==

====

AcosCNPNBcosCMPM

senb rCNsena rCM

bcos rONa cos rOM

==

Acossenb rPNBcossena rPM

Si expresamos que la proyeccin de la resultante OC de la poligonal ONPM, sobre OB, es igual a la suma de las proyecciones de las componentes ON, NP, y PM, sobre la misma recta.

OB

OB

OB

OB

Pr oy (OC)=OM r cos a

Pr oy (ON) OG ON cos c r cos b cos c

Pr oy (NP) GM JP NP cos(90-c) NP senc r senbcos A senc

Pr oy (PM) 0

== = == = = = ==

Por tanto:



22

Acos senc senb rccosbcosracosr +=

y simplificando por 0r , obtenemos

Acossenc senbccosbcos acos +=

Anlogamente para los cosenos de los lados b y c. Por tanto el segundo grupo de frmulas de Bessel, que permiten calcular los ngulos conocidos los tres lados, o bien, un lado conocidos los otros dos y el ngulo comprendido, es:

CcossenbsenabcosacosccosBcossencsenaccosacosbcosAcossencsenbccosbcosacos

+=+=+=

2.3 Teorema de la cotangente. (Tercer grupo de frmulas de Bessel) Por el teorema del coseno y del seno se tiene:

=+=+=

senCsenAsenasenc

Ccossenb senabcosacosccosAcossenc senbccosbcosacos

sustituyendo cosc y senc en la primera frmula obtenemos

( ) AcotsenC sena +senbCcossenb senabcosacosbcosacos +=

AcotsenC senb senaCcosbcossenb senabcosacosacos 2 += pero

bsen acos)bcos1(acos 22 =



por tanto,

Acot senC senb senaCcosbcos senb senabsen acos 2 += y dividiendo en ambos miembros por sena senb, se tiene:

Acot C+senCcosbcossenb= acot

De forma anloga y por permutacin,

CcotsenA A+cosbcossenb= ccotCcotsenB B+cosacossena= ccotBcot senA A+cos ccossenc= bcotBcot senC C+cosacossena= bcotAcot senB B+cos ccossenc= acotAcot senC C+cos bcossenb= acot

2.4 Teorema del coseno para los ngulos (Cuarto grupo de frmulas de Bessel) Aplicando el segundo grupo de frmulas al tringulo polar del ABC, se tendr:

pppppp Acossencsenbccosbcosacos +=

por tanto ( ) += C)180(cosB)180(cosA180cos DDD ( ) ( ) ( )a180cosC180sen B180sen

)acos( senC senBCcosBcosAcos += obtenindose las frmulas que relacionan tres ngulos y un lado:

ccossenB senABcosAcosCcosbcossenC senACcosAcosBcosacossenC senBCcosBcosAcos

+=+=+=



24

2.5 Funciones de los ngulos mitad.

Por trigonometra plana sabemos que [ ]* R, )cos1(21

2cos2 +=

y del segundo grupo de frmulas de Bessel sencsenb

ccosbcosacosAcos = , sustituyendo Acos en la ecuacin [*] , se tiene

+=senc senb

ccosbcosacos121

2Acos2 =

( )

+

+

senc senbccosbcossenbsencacos

21

cbcos =

senc senb2

acbsen 2

cbasen

senc senb)cbcos(acos

21

+++=

+=

Llamando p al semipermetro, se tiene:

p2cba =++ ( )ap2acb =+

y sustituyendo resulta

sencsenb)ap(sen senp

2Acos2 =

Por consiguiente,

( )senc senb

apsen senp2Acos =

Anlogamente, si partimos de ( )= cos121

2sen 2 , se obtiene:



)ap(sen senp

)cp(sen )bp(sen

2Acos

2Asen

2Atg

==

stas frmulas permiten calcular los ngulos de un tringulo esfrico, conocidos los tres lados o bien el permetro y dos lados. Este caso puede resolverse ms fcilmente mediante el teorema del coseno (antes tena el inconveniente de ser poco apto para el clculo logartmico). Ejemplo.

senc senb)cp(sen )bp(sen

2Asen = ,y p2cba =++

===32

60sen45sen

60sen)60p(sen

2Asen D

D

D

D

32arcsen

2A = ''16'28109A D= .

senasenA

senbsenB = 8164971.0senCsenB ==

por tanto,

''08'4454=B=C D

y los ngulos pedidos miden ''08'4454BC D== .; ''16'28109A D=

a=90

A

BC

c=60

b=60

En un tringulo issceles los lados miden b=c=60; a=90. Calcular A, B y C.



2.6 Analogas de Gauss-Delambre

Sustituyendo en 2Bsen

2Asen

2Bcos

2Acos)

2BAcos( =+ , las frmulas de los ngulos mitad

para los ngulos

=

+senc sena

)bp(sen senpsenc senb

)ap(sen senp2

BAcos =senc sena

)cp(sen )ap(sensenc senb

)cp(sen )bp(sen

=senb sena

)bp(sen )ap(sensenc

)cp(sensenb sena

)bp(sen )ap(sensencsenp=

( ) ( ) 2Csen

senb senabpsen apsen = ( )

senccpsen

sencsenp ( )

=

+

senccpsensenp

2Csen

2BAcos .

Con lo que

2ccos

2bacos

2ccos

2csen2

2csen

2cp2cos2

)2c2(sen

)cp(sensenp

2Csen

)2

BAcos( +=

==

+

2ccos

2bacos

2Csen

2BAcos +

=+

.

De forma anloga se obtienen:

2ccos

2bacos

2Ccos

2B+Asen

= 2csen

2basen

2Csen

2BAcos +

=

2csen

2basen

2Ccos

2BAsen

=



28

2.7 Analogas de Neper

Calculemos 2

BAtg + ,

2Ccot

2b+acos

2b-acos

=

2Csen

2ccos

2bacos

2Ccos

2ccos

2bacos

2BAcos

2BAsen

2

BAtg +

=+

+=+

por tanto,

2BAcot

2b+acos

2b-acos

2Ctg +=

De forma anloga se obtienen:

2

BAcot

2basen

2basen

2Ctg +

=

y para el lado c:

2batg

2BAsen

2BAsen

2cgt

+=

2batg

2BAcos

2BAcos

2ctg +

+=

Frmulas que permiten resolver un tringulo esfrico conocidos dos lados y el ngulo comprendido, bien dos elementos y el opuesto a uno de ellos, usando previamente el

teorema del seno y teniendo en cuenta que 2

BA2



30

2.8 Distancia esfrica entre dos puntos

Sean A y B los dos lugares cuyas coordenadas geogrficas son:

OC = LongitudCA= Latitud

A Punto ;

OD = LongitudDB = Latitud

B Punto

Suponiendo el ciclo PGP el meridiano origen de longitudes, la diferencia CDOCOD = es la medida del ngulo P en el tringulo esfrico APB. Por tanto, en el tringulo esfrico APB se conocen los lados PA=90- CA, PB=90- DB y el ngulo P. La distancia esfrica queda determinada por el lado AB del tringulo APB.

P

A

B

C O

G

D

V

P'

Dadas las coordenadas geogrficas de dos lugares, hallar la distancia esfrica que los separa.



Ejemplo.

Sean P y P' los polos norte y sur respectivamente. El ciclo EDF el ecuador. Los ciclos DAP y FBP los meridianos respectivos de A y B.

La medida del arco DF lo que es lo mismo el ngulo esfrico en P, ser la suma de las longitudes. El arco AP que llamaremos lado b del tringulo esfrico APB, es el ngulo complementario del arco DA. El arco BP que llamaremos lado a del tringulo esfrico APB, es el ngulo complementario del arco FA. Se pide calcular el arco AB = p, de un tringulo esfrico del que conocemos el lado a = 4949'40'', el lado b = 4524' y el ngulo P = 1615'10''.

9752724.0Pcossenb senabcosacospcos =+=

AB

P

P

D

F

44 36'

40 10'20''

ecuador

E

Calcular la distancia entre los puntos A y B situados sobre la superficie terrestre, siendo las longitudes y latitudes geogrficas de A y B las siguientes:

Longitud de A = 405'' Oeste. Longitud de B = 1210' Este. Latitud de A = 4436' Norte. Latitud de B = 4010'20'' Norte.



30

752724)arccos(0.9=p = 1246'05''.

Suponiendo la Tierra perfectamente esfrica con radio 6373 m la distancia ser de 1418.5 km. 2.9 Ejercicios propuestos

Solucin: S = 1760.6881 m2; = 6303; = 8024'31''

Solucin: a) A = 730358" ; B = 1313245" ; C = 965615" b) A = 580813 ; B = 683657 ; C = 915721 c) A = 264019" ; B = 385712" ; C = 1234419"

Solucin: a) A = 1160910"; B = 354612"; c = 510204" b) A = B = 710946"; c = 1150204" c) A = 935909"; B = 482142"; c = 503338"

4.- Calcular el rea, el exceso y defecto esfrico del tringulo esfrico: A=4030 ; B=10920 ; c = 12010 siendo el radio r = 40 m.

5.- Resolver los tringulos esfricos siguientes conocidos los tres lados: a) a = 600031"; b = 1372040"; c = 1160032" b) a = 5622; b = 6554; c = 7827. c) a = 275902"; b = 410506"; c = 602225"

6.- Resolver los tringulos esfricos siguientes conocidos dos lados y el ngulo comprendido. a) a = 735858"; b = 384500"; C = 463341" b) a = b = 782303"; C = 118 5404" c) a = 642403"; b = 423010"; C = 584052"

7.- Resolver los tringulos esfricos siguientes conocidos los tres vrtices: a) A = 70 0025"; B = 131 1015"; C = 94 5053" b) A = 54 4110"; B = 67 3645"; C = 75 3459" c) A = 58 0800"; B = 68 3600"; C = 92 0200"



Solucin: a) a = 57 5937"; b = 137 1251"; c = 115 5716" b) a = 41 1719"; b = 48 2328"; c = 51 3310" c) a = 56 2338"; b = 65 5553"; c = 78 3211"

Solucin: a) a = 58 2308"; b = 137 2418"; C = 95 3221" b) A = 71 0946"; b = 78 2302"; c = 115 0204" c) B = 131 5233"; c = 150 3528"; a = 58 4622"

Solucin: a) Existen dos soluciones: A1 = 69 0809"; c1= 141 3113"; C1 = 137 0938" A2 = 110 5151"; c2 = 150 3528"; C2 = 147 3256"

b) Existen dos soluciones: A1 = 151 16; a1= 134 33; C1 = 41 05 A2 = 54 46; a2 = 73 56; C2 = 138 55

c) No existe ningn tringulo esfrico que se adapte a los datos de partida. d) b = 76 40' 08''; C = 119 15' 32''; B = 109 50' 44''

Solucin: a) Existen dos soluciones

c1 = 1515419"; a1= 572328"; C1 = 1482330"

8.- Resolver los tringulos esfricos conocidos dos ngulos y el lado comn: a) A = 70 5115"; B = 131 2026"; c = 116 1205" b) B = 71 0946"; C = 118 5404"; a = 78 2303" c) A = 110 5151"; b = 137 0250"; C = 147 3256"

9.- Resolver los tringulos esfricos siguientes conocidos dos lados y un ngulo opuesto: a) a =584622"; b =1370250"; B=131 5233" b) b = 37 47; c =10302; B=2425 c) a = 30 53; b = 31 09; A = 87 34 d) a = 80 26'12''; c = 115 30' 36''; A =7224'24''

10.- Resolver los tringulos esfricos siguientes conocidos dos ngulos y un lado opuesto: a) A = 110 2152"; B = 131 1006"; b = 137 2615" b) C = 42 1220"; B = 83 3415"; b = 74 1802"



32

c2 = 633226"; a2 = 1223632"; C2 = 850611" b) A = 1105133"; a = 744207"; c = 403613"

Solucin: A = B = C = 62 5516"

Solucin: A = 111 04 00"; B = 143 18 00"

Solucin: m = 90

Solucin: a) a = 83 57; b = 113 53; c = 6619 b) S = 124.79 dm2

11.- Calcular los ngulos de un tringulo esfrico equiltero de lado 3319 22"

12.- Determinar los ngulos A y B de un tringulo esfrico conocida su diferencia '1432AB = y los lados opuestos a = 672535" y b = 1434446"

13.- En un tringulo esfrico se verifica que a + b = . Calcular el arco de ciclo que es la mediana correspondiente al lado c.

14.- Demostrar que en un tringulo esfrico equiltero se verifica: a) 1asecAsec = b)

a cos+ 1a cos A cos =

c) 2cos 12 2a Asen =

15.- De un tringulo esfrico trazado en una superficie esfrica cuyo radio es 10 dm. se conocen : A = 71 20; B = 119 25; C = 60 45. Se pide: a) Resolver el tringulo b) Hallar su rea

c) Hallar el volumen de la pirmide esfrica cuyo vrtice es el centro de la esfera y su base el tringulo dado



c) V = 415.96 dm3

16.- En todo tringulo issceles, se verifican las relaciones:

a) 2Asensenb

2asen = b)

2AcotBcotbcos =

c) Bcostgb2atg = d) senB

2acos

2Acos =

Tringulos esfricos rectngulos y rectilteros.


CAPTULO TERCERO:

Tringulos esfricos rectngulos y rectilteros

3.1 Tringulos rectngulos. Regla de Neper 35

3.2. Propiedades 36

3.3 Resolucin de tringulos rectngulos 37

3.4 Tringulos esfricos rectilteros. Resolucin 39




3.1 Tringulos rectngulos Habamos definido el tringulo esfrico rectngulo como aqul que tiene uno o ms ngulos rectos. Proposicin. Para hallar las frmulas relativas a los tringulos rectngulos basta sustituir un ngulo por 90 en las frmulas generales obtenidas anteriormente. Sea el ngulo recto A, entonces, 1senA = , 0Acos = , y los diversos grupos de frmulas se reducen a las siguientes :

[ ]I { } ccos bcosacos = [ ]II

==

senC senasenc )2(senB senasenb )1(

[ ]III

====

tgC senbtgc )4(tgB senctgb )3(

Bcos tgatgc )2(Ccos tgatgb )1(

[ ]IV

===

senB ccosCcos) 3(senC bcosBcos) 2(

Ccot Bcotacos) 1(

Regla de Neper de los elementos circulares Las frmulas anteriores pueden recordarse mediante la regla enunciada por Neper (fig 14): Puestos los elementos del tringulo esfrico en los vrtices de un pentgono y en el orden que indica la figura, el coseno de cada vrtice es igual al producto:

a) De los senos de los vrtices opuestos. b) De las cotangentes de los vrtices adyacentes.

(Recurdese la consonancia de las palabras en cada frase.)

a

C B

90-c 90-b

A = 90



36

Se relacionan a, b y B mediante la ecuacin:

cos(90 ) b senb sena senB = =D Se relacionan b, c y C mediante la ecuacin:

cos 90 cot 90 cot cot( b) senb ( c) C tgc C = = =D D 3.2 Propiedades de los tringulos esfricos rectngulos

En todo tringulo esfrico rectngulo, un cateto y su ngulo opuesto son ambos agudos o ambos obtusos.

En las frmulas del grupo III, tgB senctgb = y tgC senbtgc = tenemos los factores senc y senb , siempre positivos; luego tgb y tgc han de tener siempre el mismo signo que tgB y tgC , respectivamente.

En todo tringulo rectngulo, o los tres lados son menores de 90, o uno tan slo de ellos cumple con esa condicin.

Si la hipotenusa a es aguda, ser 0acos > ; y esto segn la formula ccosbcosacos = se verifica si

>>

0ccos0bcos

0c

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