12. Trigonometria

8/9/2019 12. Trigonometria

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1LIBRO UNI TRIGONOMETRA

NGULO TRIGONOMTRICO

TRIGONOMETRA

I. NGULO TRIGONOMTRICOUn ngulo trigonomtrico se determina por la rotacin

de un rayo OA

que gira alrededor de su origen (O), hasta

una posicin final , tal como se puede apreciar en la

figura, donde L.I. es el lado inicial, y L.F. es el lado final.

Ahora has una pausa y observa con atencin el sentido

del giro que he utilizado en este ejemplo ..., efectivamente

es un sentido antihorario, es decir en contra del

movimiento de las manecillas del reloj. Te pido que no

olvides que este sentido de rotacin es arbitrario, es decir

que lo elige quien va a operar con el ngulo.

O A O A

B

O A

L.F.

L.I.L.I.

II. ELEMENTOS DE UN NGULOTRIGONOMTRICO

Utilizando el ngulo trigonomtrico que se presenta

en la figura, diremos que sus elementos son:

1. Origen ................ O

2. Lado inicial .......... OA

3. Lado final ............ OB

4. Sent ido

La flecha curva ( ) indica el sentido de rotacin

del rayo. El sentido puede ser antihorario (opuesto

al movimiento de las agujas del reloj), que genera

ngulos positivos y el otro sentido puede ser horario

que es el que genera ngulos negativos, tal como

se ilustra en la figura.

DESARROLLODEL TEMA

Sentido antihorario

(+)

()

Sentido horario

Medida ( )

De acuerdo con la definicin de ngulo

trigonomtrico, se puede inferir que esta es una

magnitud, dado que ella acepta las comparaciones

de igual, mayor o menor que; as pues, a todo

ngulo trigonomtrico le corresponde una medida

la cual puede expresarse por cualquier nmero

real, tal como se indica en la figura.

ngulo de 1 vuelta

a)

ngulo de 3 vueltas

c)

+

e)

< m trigonomtrico <

ngulo nulo (0)

b)

ngulo recto: 1/4 vuelta

d)

f)

III. PROPIEDAD FUNDAMENTAL DE LOSNGULOS TRIGONOMTRICOSDos o ms ngulos trigonomtricos sern coterminales

si tienen el mismo lado inicial y el mismo lado final sin

tener en cuenta su sentido ni su medida.

B

A

L.F.

0

L.I.


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NGULO TRIGONOMTRICOExigimos ms!

En la figura

y

son coterminales puesto que tienen

el mismo lado inicial y el mismo lado final.

B

A

Nmero entero de vueltas

FinalmenteNmero entero

de vueltas

Ejemplo:

En la figura

y

son coterminales

B

A

= 1 vuelta +

= 1 vuelta

IV. SISTEMA DE REFERENCIA ANGULARDado un ngulo AOB, existe un ngulo central

congruente con el l cuyo vrtice se ubica en el origende coordenadas rectangulares, tal como se muestra

en la figura.

a)

B

AO

O X

YP

Circunferencia: e

b)

Queda as establecida una correspondencia entre

ngulo, ngulos centrales, arcos de la circunferencia

C, y puntos de la misma esquematicamente se puede

establecer que:

AOB AOP AP P

ngulos

ngulos centrales

arcos de C

puntos C

Si la circunferencia tiene radio 1 el sistema se llama

trigonomtrico.

V. SISTEMAS DE MEDIDAS ANGULARPara medir ngulos se han empleado desde tiempos

antiguos dos sistemas angulares: El sexagesimaly el

centesimal. En trigonometra se ha ideado el sistema

radial o circular que permitemedir ngulos evitando

involucrar sus unidades, de modo que solo se seala

su valor numrico (su frmula dimensionales la unidad).As tenemos:

A. Sistema sexagesimal (Ingls)

Unidad 1 - Un grado sexagesimal

Definicin:

Se le define como la trescienta sesentaava parte

de la medida del ngulo de una vuelta.

m de1v1

360

Equivalencias:

m de1v 360

1 = 60:Un grado sexagesimal equivale a 60 minutos

sexagesimales.

1' = 60:

Un minuto sexagesimal equivale a 60 segundos

sexagesimales

B. Sistema centesimal (Francs)

Unidad 1g - Un grado centesimal

Definicin:

Se define como la cuatrocientaava parte de la

medida del ngulo de una vuelta.

g

m de1v1

400

Equivalencias:

gm de1v 400

1g= 100min:

Un grado centesimal equivale a c en minutos

centesimales.

1min= 100seg:

Un minuto centesimal equivale a cien segundos

centesimales.

C. Sistema radial (Internacional)

Unidad: 1rad - Un radin

Definicin:

Se define como la medida del ngulo central de

un crculo que subtiende un arco en la

circunferencia igual a la longitud de su radio.

m AOB rad

AB OA r


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Exigimos ms!NGULO TRIGONOMTRICO

rradr

rO

A

B

Equivalencias: m 1v 2 rad

Ejemplo:

1 gradosexagesimal 20 minutos sexagesimales 30

segundos sexagesimales 1 20'30''

2 grados centesimales 40 minutos centesimales

60 segundos centesimales 2g40min60seg

5 radianes < > 5rad; radianes < > rad

VI. CONVERSIN ENTRE SISTEMAS

Sean S, C y R los nmeros de grados sexagesimales,centesimales y radianes que tiene un ngulo , los

cuales verifical la siguiente realcin.

S C R360 400 2

Proporcionalidad equivalente a tres reglas de tres

simples.

Luego, de simplificar dicha relacin tendremos:

S C R180 200

...(1)

De donde deducimos que: S C9 10

...(2)

Asimismo de (1) deducimos:

180RS ...(3)

200RC ...(4)

Con estos resultados podemos afirmar que, conocidala medida de un ngulo en uno de estos sistemas, sepodr encontrar su medida en los otros dos sistemaspor medio de las frmulas deducidas aqu.

Ejemplo (1)

Convertir20

rad al sistema sexagesimal

Como:

R20

y se quiere calcular "S" utilizamos la

relacin ...(3)

As:

180R 180 180R S 920 20

Finalmente el ngulo mide 9

Ejemplo (2)

Convertir 72 al sistema centesimal.Como: S = 72 y se quiere calcular "C", utilizaremos larelacin ...(1).

As: S C 72 C 7210

C 809 10 9 10 9

Finalmente el ngulo mide 80g

Nota:Existe un mtodo prcitco para poder convertirfcilmente la medida de un ngulo de un sistema aotro denominado "mtodo del factor de conversin"

Se sabe que: g1m v 180 200 rad2

Luego, a partir de estas igualdades buscamos la unidad as:

gg

g

gg

g

180 rad180 rad 1 1rad 180

200 rad200 rad 1 1rad 200

10 9200 180 1 19 10

Utilizamos la relacin ms apropiada encontraremos laconversin requerida. Para mejor i lustracinresolveremos los ltimos ejercicios, con este nuevomtodo.

Ejemplo (1)

Convertir20

rad al sistema sexagesimal

rad 1 rad

20 20

180

rad

1809

20

Ejemplo (2)

Convertir 72 al sistema centesimal.

g gg200 1072 1 72 72 80

180 9


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APLICACIONES DEL NGULO

TRIGONOMTRICO

TRIGONOMETRA

I. DEFINICIN DE LONGITUD DE ARCODe acuerdo con la definicin de radin podemos deduciruna relacin ms amplia que vincule a tres magnitudes:La longitud de un arco, el ngulo central que lo subtieney el radio de a circunferencia que lo contiene.

AB = L...Longitud de arco r...Radio de la circunferencia ...Nmero de radianes del ngulo central AOB.

Es fcil comprobar que a mayor arco corresponde unmayor ngulo central, luego se podrn establecer lassiguientes relaciones.

Arco ngulo central r 1rad (definicin) L rad

O

r B

A

r

rad L Fig.1

Y dado que estas relaciones correspondientes a unaproporcionalidad directa, podemos plantear la siguienteproporcin.

L radr Lrad

L(1rad) = rad(r)

L = rNota:La frmula ser vlida si y solo si el ngulo central estexpresado en radianes.

II. APLICACIONES DE LA LONGITUD DEARCO

A. Posicin relativa entre dos circunferencias(Poleas, Engranajes)

DESARROLLODEL TEMA

a) La figura 1 nos muestra el caso en que dos ruedastienen un punto en comn (tangentes), o, estnunidas por una correa de transmisin.

1 2

1 2

a)

b)

En ambos casos se cumple que:L1= L2Donde:L1es la longitud conducida por (1) yL2es la longitud conducida por (2)

b) Cuando tienen un eje comn en este casoDonde:Es un ngulo barrido por (1)Es el ngulo barrido por (2)

1

2

Fig. 2

Fig. 1


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B. NMEROS DE VUELTAS (n)a) Cuando un disco rueda sobre una superficie plana

Al observar el desplazamiento del centro O del discode radio r, comprobamos que ste se desplaza ladistancia 2 r, cuando el disco ha dado una vueltacompleta, es decir cunado el punto A de contactoinicial con el piso se ha trasladado hasta el punto B.Podemos imaginarnos una cuerda enrollada al discoe modo que sus extremos se unan inicialmente en

A y que el extenderle sobre el piso, lo hace desdeA hasta B. Esta longitud es sin lugar a dudas igual ala longitud de la circunferencia es decir 2 r..De acuerdo con estas observaciones podemosestablecer las siguientes relaciones:

r O

A B2 r

Si la rueda da una vuelta,

su centro recorre 2 r1v 2 r

nv eCuando da n vueltas esu centro recorre :

Luego deducimos que :

en2 r

Donde:

n es el nmero de vueltas, e es el espacio recorrido porel centro de la rueda y r es su correspondiente radio.

b) Cuando la rueda gira sobre una superficie curvaSegn la figura 4, podemos reconocer a un discode radio rodando sin deslizar sobre una superficiecurva de radio R. Si ahora utilizamos la relacin (2,12), tendremos que:

O

R

O rueda mvil

e

en ... *2 r

Donde el centro de la rueda recorre el arco e talque:

e = (R + r)

Siendo:n . .. nmero de vueltas

... ngulo girando en radianesr ... radio del disco mvilR ... radio de la superficie curva

III. REA DE UN SECTOR CIRCULARA partir de la figura 5, podemos visualizar un sectorcircular AOB, cuya superficie est limitada por los radiosOA y OB, as como por el arco AB. Asimismo o podemosobservar que la extensin del sector depende tambinde la abertura existente entre los radios OA y OE lo

que viene definido por el ngulo central AOB, cuyamedida est expresada por . Por tal razn puedeestablecerse a siguiente relacin.

O

r

B

A

r

L

ngulo en radianes rea

22 rs

De donde:

2rS2

(2.1)

Siendo: S de rea del sector circula finalmente,con ayuda de (2) y (2, 1) se puede deducir que:

LrS2

2LS

2

Problema 1:

Un arco con radio de 8m mide 3m. Qu diferencia enmetros existe entre la longitud de este arco y la deotro del mismo valor angular de 6m de radio?

A) 0,30 B) 0,35 C) 0,55D) 0,75 E) 0,85

Resolucin.Graficando en el sector circular el enunciado delproblema, reconocemos que:Incgnita L1- L2=?Por la relacin 4.9 se sabe que:


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6UNI 2014 - III TRIGONOMETRA


6m

B

A

8m

3mL2

LR

de donde:

22

L3 L 2,258 6

Finalmente: L1 - L2= 3m - 2,25mL1 - L2= 0,75m

Rpta. D

Problema 2:En la figura: AOB y DOC son sectores concntricas.Hallar

A) 1 B) 2 C) 1/3D) 1/2 E) 2

Resolucin.

A

B

3xxO

C

bD

a

Asumiendo que AOB , tendremos:A continuacin aplicaremos la realcin (2,9) en el sectorCOD:

x = a.b ... (1)3x = a.(a + b) ... (2)

Haciendo lo mismo en el sector AOB:Luego dividendo las relaciones (2) y (1) tendremos;

a b 3x a b a3 1 3a.b x b b

a 2b

Rpta. EProblema 3:

Siendo el ngulo central de un sector circular, cuyaalongitud de arco su radio, en metros. si:

3 7 10

A) 1 B) 2 C) 3D) 4 E) 2,5

Resolucin.Resolviendo la ecuacin y haciendo un cambio de

variable: x

, tendremos:

2 2

73 7 10 3x 10x

3x 7 10x 3x 10x 7 03x 7x 1

7x x 13

De la 1rasolucin tendremos:

7 49 49x 17,13 9 9

Luego " " es imposible, dado que supera el valorpermisible de: 6,28

Y la 2dasolucin:

x 1 1

Finalmente, si L R , entonces: 2 R R=2m

Rpta. B


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RAZONES TRIGONOMTRICASDE NGULOS AGUDOS

TRIGONOMETRA

I. CONCEPTOS PREVIOSTringulo ABC (recto en B)

II. DEFINICINLa razn trigonomtrica de un ngulo agudo se define

como el cociente que se obtiene al dividir las medidas

de las longitudes de sus lados del tringulo rectngulo

que lo contiene con respecto a este ngulo agudo. De

esta manera, con respecto a un mismo ngulo agudo,

podemos obtener seis distintos cocientes para los cuales

se define:

Cateto Opuesto aSenAHipotenusa b

Cateto adyacente cCos AHipotenusa b

Cateto opuesto aTan ACateto adyacente c

Catetoadyacente cCot A

Cateto opuesto a

Hipotenusa bSec ACatetoadyacente c

Hipotenusa bCsc A

Catetoopuesto a

III. PROPIEDADES DE LAS RAZONES TRIGO-NOMTRICAS

Aplicando definiciones:

De las definiciones anteriores obtenemos las siguientes

propiedades:

A. Razones recprocas

SenA Csc A 1 SenA 1 / CscA CscA 1 / SenA

Cos A SecA 1 CosA 1 / SecA Sec A 1 /CosA

TanA Cot A 1 TanA 1 / CotA CotA 1 / TanA

Comprobacin:

a bSen A Csc A 1 1 1 1b a

DESARROLLODEL TEMA


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RAZONES TRIGONOMTRICAS DE NGULOS AGUDOSExigimos ms!


B. Razones complementarias (Corazones)

De las definiciones; se observa:

Sen A Cos C

Tan A Cot C m A m C 90

Sec A Csc C

Ejemplo:

Sen 70 = Cos20 Sec (30+x) = Csc(60-x)

Cot 10 = Tan80 Tan (50+x) = Cot(40-x)

Cos (90 )= Sen Csc (xy) = Sec(90-x)

En general:

RT( ) CO RT(90 )

IV. TANGENTE Y COTANGENTE DEL N-GULO MITAD

A B

C

ba

c

ATan Csc A Cot A2

ACot Csc A Cot A2

Demostracin:

Se prolonga la base BA hasta el punto (D) de ma-nera que AD = AC.

Unimos el punto D y el punto C.

El tringulo DAC es issceles:

A b c b cCot2 a a a

En el tringulo ABC:

ACot Csc A Cot A2

V. TRINGULOS RECTNGULOS NOTABLES

A. Exactos

B. Aproximados

VI. RAZONES TRIGONOMTRICAS DE

NGULOS NOTABLES

30 60 45 37 53

Sen 1/2 3/2 2/2 3/5 4/5

Cos 3 /2 1/2 2 /2 4/5 3/5

Tan 3 /3 3 1 3/4 4/3

Cot 3 3/3 1 4/3

Sec 2 3 /3 2 2 5/4 5/3

Csc 2 2 3 /3 2 5/3 5/4


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RAZONES TRIGONOMTRICAS DE NGULOS AGUDOSExigimos ms!


Problema 1

El valor numrico aproximado de:

2 5E tg Sen4 12 12

Nivel fcil

UNI 01-II

A) 1,06 B) 1,56 C) 2,11

D) 2,19 E) 2,56

Resolucin:

Tringulo notable de 15 y 75

6 22E (2 3)4 4

2 2 6 6 2E4 4

3 2E 1,064

Respuesta:A) 1,06

Problema 2

En la figura: 1 2 2PS L ;PQ L ; ST L

Si: QT 5 3 , hallar PS.

Nivel intermedio

UNI 01-II

A) 5 B) 5 3 C) 10

D) 10 3 E) 15 3

Resolucin:

PS 2 5 PS 10

Respuesta:C) 10

Problema 3

La siguiente figura es un cuadrado, donde

Q es el punto medio del lado AB. Deter-mine Csc.

Nivel intermedio

UNI 04 - I

A) 2 B) 5/4 C) 3D) 4 E) 2 5

Resolucin:

Vemos: 53 53 532 2

Luego:5

Csc Csc534

Respuesta:B) 5/4

problemas resueltos


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I. CASOS PARA RESOLVER S

II. OBJETIVOCalcular la longitud de los otros dos lados.

III. RELACIN FUNDAMENTAL

Lo que quiero R.T.Lo que tengo

IV. PROBLEMAS GENERALES

A. Primer caso

Si se conoce la hipotenusa y la medida de un nguloagudo.

Datos : a,

Incog: x,y

x Sen x aSena

y Cos y a Cosa

B. Segundo caso

Si se conoce la medida de un ngulo agudo y lalongitud del cateto adyacente.

Datos : a,

Incg: x,y

x Tan x a Tana

y Sec y aSeca

C. Tercer caso

Si se conoce la medida de un ngulo agudo y lalongitud del cateto opuesto.

Dato : a,

Incg: x,y

yx Cot x a Ctg Csc y aCsc

a a

En general:

RESOLUCIN DE TRINGULOS

RECTNGULOS

TRIGONOMETRA

DESARROLLODEL TEMA


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RESOLUCIN DE TRINGULOS RECTNGULOSExigimos ms!


Problema 1

En un tringulo issceles, las medianastrazadas de sus vrtices de ngulosiguales se intersecan perpendicular-mente. Entonces el coseno de uno delos ngulos iguales es:

Nivel fcil

UNI 01-I

A) 13 B)12 C)

32

D)1

10E)

1

2 3

Resolucin:

am ACB CosBC

En el BHC: BC2= (3a)2+ a2

BC a 10

a 1Cosa 10 10

Respuesta: D)1

10

Problema 2

Un automovilista viaja en una carreteraplana, en direccin a una montaa, a60 km/h. En un instante observa la cimade la montaa con un ngulo de eleva-cin de 30 y 10 minutos ms tardevuelve a observar la cima con un ngulode elevacin de 60. Determine la dis-tancia, en km, a la cima de la montaa,cuando se encuentra en el segundoinstante.

Nivel intermedio

UNI 06-II

A)5

3B) 6 C) 5 3

D) 10 E) 6 3

Resolucin:

Conocemos que: d = vt1d 60 x d 10km6

Respuesta: D) 10

Problema 3

Una persona localizada en A observa di-rectamente al este y ve un ovni con unngulo de elevacin de 45. En el mis-

mo instante otra persona localizada enB a 1 km directamente al oeste de A veel mismo ovni con un ngulo de eleva-cin de 30. Determine la distancia enkm de la persona localizada en B al ovni.

Nivel difcil

UNI 01-I

A) 1,89 B) 2,22 C) 2,73D) 2,91 E) 3,01

Resolucin:

1 x 3Ctg30x 1

3 11 x 3 x x2

2x 3 1 2,73km

Respuesta: C) 2,73

V. REA DE REGIN TRIANGULARSi en un tringulo se conoce la longitud de 2 lados yla medida del ngulo que forman dichos lados, sepuede calcular el rea (frmula trigonomtrica).

abS

S :

n

rea

Se2

Demostracin:

Asignamos vrtices al tringulo AC = b (altura).

Desde el vrtice (B), trazamos una perpendicular

al lado AC.

Por resolucin de tringulos rectngulos:

BH aSen

Sabemos:

1rea base altura2

Reemplazando:

1 abS (b)(aSen ) Sen2 2

problemas resueltos


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SISTEMA DE COORDENADASRECTANGULARES

TRIGONOMETRA

PLANO CARTESIANOSistema formado por dos rectas numricas que se inter-

sectan en un punto de coordenadas (o;o), llamado origen

de coordenadas y forman un ngulo recto.

Al plano que lo determina se le llama Plano Cartesiano en

honor a Ren Descartes y est dividido en 4 regiones llama-

das cuadrantes (C).

Donde:

x ' x

: Eje de los abscisas

y ' y

: Eje de las ordenadasO : Origen de coordenadas

I. UBICACIN DE UN PUNTOA cada punto del plano cartesiano le corresponde un

par ordenado (x ; y) llamados Coordenadas cartesianas.

X

Y

II. DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOSSean las coordenadas de dos puntos cualesquiera

P1(x1; y1) y P2(x2; y2) del plano cartesiano la distancia

d comprendida entre ellos se determinan por:

2 21 2 1 2d (x x ) (y y )

Longitud del radio vector (r)

La distancia del origen de coordenadas a cualquier

punto P(x; y) es la longitud del radio vector y est

expresado por:

2 2r x y

III. DIVISIN DE UN SEGMENTO POR UN

PUNTO EN UNA RAZN DADASi P1(x1; y1) y P2(x2; y2) son los extremos del 1 2PP , las

coordenadas del punto P0 (x0;y0) que divide a ste

segmento en la razn dada 1

2

P P arPP b

Y

X

1 2 1 20 0

1 2 1 20 0

x rx bx axx x

r 1 a b

y ry by ayy y

r 1 a b

NOTA:

Si la razn es negativa, se considera al punto P externa

al segmento P1P2.

DESARROLLODEL TEMA


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SISTEMA DE COORDENADAS RECTANGULARES

Exigimos ms!

Problema 1

Despus de una rotacin de ejes, la

ecuacin: 5x2 8xy + 5y2 9 = 0

representa una elipse cuyos focos tienen

como coordenadas F1(a, b), F2(c, d).

Calcule ac + bd.

UNI 2010-I

Nivel fcil

A) 2 B) 3C) 4 D) 6

E) 8

Resolucin:

Focos: F1(a; b) y F2(c; d)

5x2 8xy + 5y2 9 = 0

1 Primero, calcularemos (ngulo re

rotacin).

2 Luego transformamos las coorde-

nadas (x; y).

8Tan25 5

2 90 45

x x ' Cos y 'Sen

x x 'Cos45 y 'Sen45

1x (x ' y ')2

y x ' Sen y ' Cos

y x 'Sen45 y 'Cos45

1

y (x ' y ')2

Reemplazamos en la ecuacin:

5x2 8xy + 5y2 9 = 0

2 2 2 21 1 15. (x' y') 8. (x' y' ) 5 (x' y ') 9 02 2 2

Reduciendo, resulta:

22 y 'x '1

9 1

a 3

b 1

c 8

IV. COORDENADAS DEL PUNTO MEDIODE UN SEGMENTOSi M(x0;y0) es el punto medio del segmento que tiene

por extremos: P1(x1; y1) y P2(x2; y2). Entonces las

coordenadas del punto M se determina as:

1 20

1 20

x xx

2

y yy

2

V. COORDENADAS DEL BARICENTRO DEUN TRINGULOSean P1(x1; y1) , P2(x2; y2) y P3(x3; y3) los vrtices de

un tringulo. El punto G (x0; y0) es el baricentro de

dicho tringulo.

Y

X

1 2 30

x x xx

3

1 2 30

y y yy

3

VI. PROPIEDAD DEL PARALELOGRAMO

1 3 2 4 1 3 2 4x x x x y y y y

VII.REA DE UNA REGIN TRIANGULARSean P1(x1; y1) P2(x2; y2) y P3(x3; y3) los vrtices de un

tringulo. Entonces el rea S de una regin triangular en

funcin de las coordenadas de los vrtices esta dado por.Y

X

Luego: 1S M N2

Sabemos las coordenadas de los focos:

1 1F ( 8;0) F (a;b)

2 2F ( 8;0) F (c;d)

ac bd ( 8)( 8) (0)(0)

=8

Respuesta:E) 8

Problema 2

Si un dimetro de la circunferencia:

(x h)2+ (y k)2= r2

tiene como extremos a los puntos (2,2)

y (6,5), entonces2rh k2

es igual a:

UNI 2009-II

Nivel intermedio

A) 7 B) 8C) 9 D) 10

E) 11

N

problemas resueltos


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SISTEMA DE COORDENADAS RECTANGULARES

Exigimos ms!

Resolucin:

r, h y k

Centro: (h; k) = 2 6 2 5;2 2

(h; k) = (4; 7/2)

Dimetro: 2 22r 2 6 2 5 5

r = 5/2

Nos piden:

2k r 1 7 1 25

h 42 2 4 2 2 4

7 25

8 8

2k rh 84 2

Respuesta:B) 8

Problema 3

Un avin realiza una maniobra a veloci-

dad supersnica, segn la trayectoria:

2y2 x2= 48. Hallar la menor distancia

de la trayectoria al punto (6;0).

UNI 2002-II

Nivel intermedio

A) 9 B) 8 C) 7

D) 6 E) 5

Resolucin:

Distancia d:

2 2d (x 6) (y 0)

2 2d (x 6) y

Dato:2

2 48 xy2

22 48 xd x 12x 36

2

23(x 4) 72d

2

Para que d sea mnimo (x 4)2debe

ser mnimo.

2(x 4) 0

72d 62

Respuesta:D) 6


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razones trigonomtricas dengulos de cualquier medida

I. DEFINICINDiremos que un ngulo estar en posicin normal,

estndar o cannica si su lado inicial pertenece al semieje

positivo X (abscisas) y su vrtice coincida con el origen

de coordenadas.

Adems dependiendo de la ubicacin del lado final se

dir que dicho ngulo pertenece a un determinado

cuadrante.

Por ejemplo:

0

III C

135 II C

TRIGONOMETRA

40 IV C

0

II C

II. NGULOS CUADRANTALES

Son aquellos ngulos en posicin normal cuyo lado final

pertenecen a alguno de los semiejes del sistema de

coordenadas rectangulares.

Por ejemplo:

DESARROLLODEL TEMA


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RAZONES TRIGONOMTRICAS DE NGULOS DE CUALQUIER MEDIDAExigimos ms!

A. Definicin de razones trigonomtricas

Sea " " la medida de un ngulo en posicin normal y P(x;y) un punto de su lado final. Las R.T. de " " sedefinen as:

P(x; y)

yOrdenada de P Abscisa de P xSen CosRadio vector r Radio vector r

yOrdenada de P Abscisa de P xT an CotAbscisa de P x Ordenada de P y

Radio vector r Radio vector rSec CscAbscisa de P x Ordenada de P y

B. Razones trigonomtricas de ngulos cuadrantates

Las R. T. de los ngulos cuadrantales se calculan de la misma forma como se calculan las R. T. de un ngulo en

posicin normal. Para los principales ngulos cuadrantales, podemos resumir sus R. T. en la siguiente tabla:

Sen Cos Tan Cot Sec Csc

0 0 1 0 ND 1 ND

90 1 0 ND 0 ND 1180 0 1 0 ND 1 ND270 1 0 ND 0 ND 1360 0 1 0 ND 1 ND

(1; 0)1 1

1

1

(0; 1)

X

Y

(0; 1)

Observacin:

Ntese que se puede tomar cualquier punto

del lado final; y an as siempre obtendremos el

mismo resultado para una misma razn trigo-

nomtrica.

Aplicacin

De la figura, si 1Tg7

.

Calcular x + y

Resolucin

Como 1Tg7

, si calculsemos dicha tangente

con el punto A o el punto B debemos obtener el

mismo resultado, es decir 1/7.

Luego:

con B: 1 14tg y 27 y

con A:1 3tg x 217 x

x + y = (21) + (2) = 23

Signos de las razones trigonomtricas

Podemos observar a partir de la definicin que

segn sea el cuadrante al cual pertenece el n-

gulo, las R. T. de ste pueden ser tanto negati-

vas como positivas. Esto ltimo lo podemos resu-

mir en el siguiente grfico:


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Problema 1

Anal ice la verdad o falsedad de las

siguientes proposiciones.

a) Si Sen es negativo, entonces

IIIC IVC.

b) Si IIIC , entonces el producto

Tan Sec es de signo negativo.

A) FV

B) FF

C) VF

D) VV

E) N.A.

Resolucin:

a) Falso, porque si 270 , en el

senes negativo (1), pero 270

por ser cuadrantal no pertenece a

ningn cuadrante.

b) Verdadero, porque si IIIC , en-

tonces tan es positivo y sec es

negativo.

Por lo tanto:

tan sec 0

Respuesta:A) FV

Problema 2

Halle el signo de P si:

5 7P Sen Cos Tan Cos

4 9 3

A) (+)

B) (+/)

C) ()

D) (+) ()

E) N.A.

Resolucin:

Para identificar el signo de cada razn

trigonomtrica, es necesario conocer

el cuadrante del ngulo, as como se

muestra en la figura.

Por ejemplo:

a) Si IIIQ tg 0 (positivo)

b) Si IIQ cos 0 (negativo)

III. NGULOS COTERMINALES

Dos o ms ngulos son coterminales si estos poseenlos mismos elementos (vrtices, lado, inicial, lado final)

Por ejemplo:

y son coterminales

Propiedades de los ngulos coterminales

La diferencia de dos ngulos coterminales es un

nmero entero de vueltas. Es decir, si y son

ngulos coterminales; tal que .

Se cumple: 360k k

La R. T. de dos ngulos coterminales son siempre

las mismas. As si y son ngulos coterminales,se cumple:

R.T. R.T.

IV. RELACIN ENTRE LAS RAZONESTRIGONOMTRICAS DE NGULOSNEGATIVOS CON NGULOS POSITI-VOS

(x; y)

r

r

(x; y)

Sen ( ) = Sen

Cos ( ) = Cos

Tan ( ) = Tan

Cot ( ) = Cot

Sec ( ) = Sec

Csc ( ) = Csc

IMPAR

PAR

IMPAR

IMPAR

PAR

IMPAR

problemas resueltos

o


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Adems cos 1

Reemplazando signos en P tenemos:

P ( )( ) ( )( ) P ( ) ( )

Respuesta:C) ()

Problema 3

Siendo A, B y C ngulos cuadrantales

diferentes, positivos y menores o iguales

a 360, adems se cumple:1-CosA + CosA-1 1 SenB...(1)

CscB+ 2=|TanC-1|....(2)

Determine el valor de A + B + C.

A) 240

B) 810

C) 120

D) 360

E) 180

Resolucin:

Recordando el teorema:

a 0 a 0

Luego analizamos en la condicin (1)

1 Cos A 0 y Cos A 1 0 Cos A 1 y Cos A 1

Cos A 1 A 360 0;360

Reemplazando Cos A = 1, en (1)

1 1 1 1 SenB SenB 1

B 270 0;360

Reemplazado CscB = 1 en (2)

1 2 | TanC| | TanC 1| 1

Recordando el teorema:

| a | b;b 0 a b a b

Luego:

Tan C 1 = 1 Tan C 1 = 1

Tan C = 2 Tan C = 0

Como A, B y C son diferentes y cua-

drantales entonces C = 180.

Finalmente:

A + B + C = 360 + 270 + 180 = 810

Respuesta: B) 810


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REDUCCIN AL PRIMER

CUADRANTE

TRIGONOMETRA

I. NGULO DE REFERENCIA

El ngulo de referencia denotado por r , de un ngulo

en posicin normal es el ngulo agudo formado por

el lado final de dicho ngulo y el eje "X".

Los siguientes grficos muestran ngulos en posicin

normal con sus respectivos ngulos de referencia.

Propiedad

Si es un ngulo en posicin normal no cuadrantal tal

que es menor que una vuelta entonces se cumpleque:

R

R

R

R

Si IC

Si IIC 180

Si IIIC 180

Si IVC 360

Ejemplos:

Calcula los ngulos de referencia r( ) de los siguientes

ngulos en posicin normal ( ) .

1. 40

40 40 IC r 40

2. 100

100 100 IIC

r 180 100 80

3. 230

230 230 IIIC

r 230 180 50

DESARROLLODEL TEMA


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REDUCCIN AL PRIMER CUADRANTEExigimos ms!

4. 290

290 290 IVC

r 360 290 70

II. CLCULO DE NGULOS DE REFERENCIA

PARA NGULOS MAYORES A UNA VUELTASi 1 vuelta entonces dividimos a entre 360 ycalculamos el r del ngulo residuo.

Ejemplos:

1. 2000 2000 360

200 5

Residuo = r200 III 200 180 20

2. 1000 1000 360

280 2

Residuo = r280 IV 360 280 80

3. 3400 3400 3400

3400 360

160 9

Residuo = r160 II 180 160 20

III. REDUCCIN DE UNA R.T. AL PRIMER

CUADRANTEEs el proceso mediante el cual se determina el valor de

una razn trigonomtrica utilizando su correspondiente

ngulo de referencia.

Propiedad

Sea cualquier ngulo en posicin normal y R su ngulode referencia, entonces se verifica que las razones tri-

gonomtricas de Ry tienen igual valor absoluto.

R RR.T.( ) R.T.( ) R.T.( ) R.T.( )

El signo del segundo miembro depender en que cua-

drante se encuentra y de que R.T. se trate.

Ejemplos:

Reduce al primer cuadrante:

1.

r

Sen200 Sen200 Sen20

IIIC

2.

r

Cos310 Sen310 Sen50

I CV

3.

r

Tan110 Tan110 Tan 70

IIC

4.

r

Sen( 140 ) Sen( 140 ) Sen 40

IIIC

5.

r

Cos2000 Cos 2000 Cos 20

IIIC

6.

r

Tan( 3400 ) Tan( 3400 ) Tan 20

IIIC

IV. CASOS ESPECIALES DE REDUCCIN

A. Para ngulo negativos

Si 0 ; entonces se cumple:

Sen( ) Sen

Cos( ) Cos

Tan( ) Tan

Cot( ) Cot

Sec( ) Sec

Csc( ) Csc

B. Para ngulos complementarios


Sen Cos

Tan CotSec Csc

C. Para ngulos suplementarios


Sen Sen

Cos Cos

Tan Tan

Cot Cot

Sec Sec

Csc Csc

D. Para ngulos revolucionarios

Si 360 se cumple:

Sen Sen

Cos Cos

Tan Tan

Cot Cot

Sec Sec

Csc Csc


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REDUCCIN AL PRIMER CUADRANTEExigimos ms!

Problema 3

Reducir:

Sen k x ;K

A) Cosx (1) B) (1)kCosx

C) Senx k D) (1)kSenx

E) Cosk

Resolucin: Sen k x Senk Cosx Cosk Senx

k

Cos(k )Senx

( 1) Senx

Respuesta: D)

k( 1) Senx


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CIRCUNFERENCIA TRIGONOMTRICA:

SENO - COSENO - TANGENTE

TRIGONOMETRA

I. DEFINICINEs aquella circunferencia inscrita en un sistema de co-ordenadas, su centro se ubica en el origen de coorde-nadas y su radio es igual a la unidad del sistema, raznpor la cual tambin se le suele llamar cincunferenciaunitaria (C.T. C.U.) La ecuacin de todo punto queest en la circunferencia trigonomtrica es: x2+ y2= 1y el crculo determinado por esta circunferencia es eldenominado crculo trigonomtrico.

II. ELEMENTOS DE LA C.T.Y

X

A(1; 0) Origen de arcosB(0; 1) Origen de complementos

A'(-1; 0) Origen de suplementosB'(0; 1) Sin nombre particularO(0; 0) Centro de la C.T..P(x; y) Punto cualquiera de la C.T..

Ecuacin: x2+ y2= 1 radio: r = 1

III. ARCO EN POSICIN NORMAL

Un arco est en posicin normal, estandar o cannicacuando su extremo inicial este ubicado en el origen de

arcos de la C.T.; el extremo final de estos arcos deter-minan el cuadrante al cual pertenecen.

A. Ubicacin de ngulos en la C.T.

B. Ubicacin de arcos en la C.T.

Ejemplo: Ubicar los arcos cuyas medidas son 1, 2,3, 4, 5, 6 en la C.T.

Resolucin: Para ubicar estos arcos en la C.T. re-emplazaremos el valor de como 3,14 en los arcoscuadrantales; obteniendo el esquema siguiente:

DESARROLLODEL TEMA


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CIRCUNFERENCIA TRIGONOMTRICA: SENO - COSENO - TANGENTEExigimos ms!

1 sen 1

mx(sen) = 1

mn(sen) = 1

B. Lnea coseno

El coseno de un arco se representa en la C.T. me-diante la abscisa trazada por su extremo.

Sabemos por teora que: cos = cos

pero: xcos xr 1

cos x

En cada cuadrante

Variacin analtica

Rango de valores del coseno

Y

X

1 cos 1

mx(cos ) 1min(cos ) 1

C. Lnea tangente

Para representar la tangente de un arco en la C.T.trazamos primero el eje de tangentes (recta tan-gente a la C.T. trazada por el origen de arcos),luego se prolonga el radio que pasa por el extremodel arco hasta que corte el eje en un punto: la

ordenada de este punto de interseccin nos re-presentar la tangente de arco. Y

X

Sabemos por teora que: tan = tan

pero:y

tan yr 1

tan y

En cada cuadrante

Variacin analtica

Rango de valores de la tangente

t n lo cual implica que: tan


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CIRCUNFERENCIA TRIGONOMTRICA: SENO - COSENO - TANGENTEExigimos ms!

Problema 1

En la figura mostrada, halle el rea dela regin triangular OQP.

UNI 2004 - INivel fcil

A)Sen Cos

4

B)Sen Cos

8

C)Sen Cos

16 D)

Sen Cos2

E) Sen Cos

Resolucin:

el grfico: h Cos Sen Luego:

2 Cos Sen1A4 2

Sen CosA4

Respuesta:A)Sen Cos

4

Problema 2

En la figura, halle el rea de la regin

sombreada.

UNI 2005 - II

Nivel intermedio

A) 1 (Sen Cos Tan )2

B) 1 (Sen Cos Tan )2

C) 1 (Sen Cos Tan )2

D) 1 (Sen Cos Cot )2

E) 1 (Sen Cos Cot )2

Resolucin:

(1)( Cos ) ( Tan )(1 Cos )S2 2

Reduciendo, obtenemos:

1S (Sen Cos Tan )2

Respuesta: A)1

- (Sen Cos Tan )2

Problema 3

Consideremos la siguiente expresin:

2f( ) sen( ) sen5 4

donde: 5 5;6 4 entonces el rango

de f se encuentra en el intervalo.UNI 2007- I

Nivel difcil

A)2 2;2 5

B) 2 2;2 5

C) 2 2;2 5

D) 2 2,2 5

E) 22,5

Resolucin:

Datos:

5 56 4

2 2f sen 5 2

..............(1)

De la C.U.

2 1 sen2 2

2 2 2 1 sen 2 5 5 10

2 2 20 sen 5 2 5

2 2 2 2 sen 2 5 2 5

2 2Ranf ,2 5

Respuesta: D)2 2

- ,2 5

problemas resueltos


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CIRCUNFERENCIA TRIGONOMTRICA:

cotangente - secante - cosecante

TRIGONOMETRA

I. LNEA COTANGENTEPara representar la cotangente de un arco en la C.T.

trazamos primero el eje de cotagentes (recta tangentea la C.T. trazada por el origen de complementos), luego

se prolonga el radio que pasa por el extremo del arco

hasta que corte al eje en un punto: la abscisa de este

punto de interseccin ser la cotangente del arco.

Sabemos por teora que: cot = cot

pero:x

cot xr 1

cot x

A. En cada cuadrante

B. Variacin analtica

C. Rango de valores de la cotangente

cot

lo cual implica que cot .

II. LNEA SECANTE

La secante de un arco se representa en la C.T. mediante

la abscisa del punto que se determina al intersectar la

recta tangente trazada a la C.T. por el extremo del

arco y el eje de abscisas.

DESARROLLODEL TEMA


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CIRCUNFERENCIA TRIGONOMTRICA: COTANGENTE - SECANTE - COSECANTEExigimos ms!

Sabemos por teora que: sec = sec

pero: xsec x1

sec x



C. Rango de valores de la secante

sec 1 sec 1

mx(sec ) =1

mn(sec ) = 1relativos

III. LNEA COSECANTELa cosecante de un arco se representa en la C.T.

mediante la ordenada del punto al que se determina

al intersecar la recta tangente a la C.T. trazada por el

extremo del arco y el eje de ordenadas.

Sabemos por teora que: csc = csc

pero: y

csc y1

csc y



C. Rango de valores de la cosecante


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csc 1 csc 1

mx(sec ) =1

mn(sec ) = 1relativos

Observacin

Las coordenadas para el extremo de un arco en la C.T.

independientemente del cuadrante en el cual est

ubicado este arco, son coseno y seno de dicho arco

respectivamente; tal como se observa en la figura:

Como muestra determinaremos las coordenadas

de los extremos de los arcos cuadrantes.

IV. LNEAS TRIGONOMTRICAS AUXILIARES

A. Senoverso o verso (Vers)

Es el segmento de recta orientado desde el pie de

la perpendicular que nos representa el seno hasta

el origen de arcos de la O.T.

Por definicin:

Ver () = QA

Pero en la figura:

cos

QA 1 cos

Y

X

Ver( ) 1 cos

B. Cosenoverso o coverso (Cov)

Es el segmento de recta orientado desde el pie de

la perpendicular que nos representa el coseno hasta

el origen de complementos de la C.T.

Por definicin:

Cov() = RB

Pero en la figura:sen

RB 1 Sen

Y

X

Cov( ) 1 sen

C. Exsecante o external (exsec)

Es el segmento de recta orientado desde el origen

de arcos de la C.T. hasta el extremo final de la secante.

Por definicin:

exsec() = 4SPero en la figura: AS = Sec 1

X

Y

Ex sec( ) sec 1


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A ' 1;0 ; T 1;Tan

Formamos la matriz.

Como tomamos los puntos en senti-

do antihorario omitimos las barras, en-

tonces:

1S Tan Sen 0

2

Conclusin y respuesta

Finalmente obtenemos:

1S Tan Sen2

Respuesta: B) 1

Tan +Sen2

Problema 3

Hallar max minF F , si:

F 2Sen 3Vers 4 cov

UNI

Nivel intermedio

A) 18 B) 16

C) 15 D) 14

E) 12

Resolucin:

Se sabe que:

1 Sen 10 vers 2

0 cov 2

luego:

max

min

F 2(1) 3(0) 4(2) 10

F 2( 1) 3(2) 4(0) 8

Respuesta:A) 18

Problema 1

Ordenar de menor a mayor:

1 1 1M Sen ,N Cot ,P Cos2 3 4

UNI

Nivel fcil

A) M, N, P B) M, P, N

C) P, N, M D) N, P, M

E) P, M, N

Resolucin:

Los argumentos1 1 1

, ,2 3 4

estn en ra-

dianes, los cuales se grafican y se traza

las lneas trigonomtricas respectivas:

Se observa que:

1 1 1Sen Cos Cot

2 4 3

luego: M < P < N

Respuesta: B) M, P, N

Problema 2

En la circunferencia trigonomtrica

mostrada

mAB'P , determine el reade la regin triangular A'MT.

UNI 2010 - II

Nivel fcil

A) 1 tan sen2

B) 1 tan sen2

C) 1 tan sen2

D) 1 tan sen2

E) 1 cot cos2

Resolucin:

Ubicacin de incgnita:

La circunferencia es trigonomtrica,

nos piden el rea de la regin tr iangu-

lar A'MT.

Anlisis de los datos o grficos:

Un mtodo eficaz para determinar el

rea es aplicando el determinante de

la matriz formada por las coordenadas

de los puntos A', M y T.

Del grfico obtenemos:

P Cos ;Sen

M Cos ; Sen

problemas resueltos


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CIRCUNFERENCIATRIGONOMTRICA: VARIACIONES

TRIGONOMETRA

En esta seccin, comprobaremos que toda vez que cambia un arco en posicin normal tambin cambian las razones

trigonomtricas correspondientes. A continuacin presentamos las variaciones de cada R.T.

A. Variacin del seno

B. Variacin del coseno

C. Variacin de la tangente

DESARROLLODEL TEMA


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CIRCUNFERENCIA TRIGONOMTRICA: VARIACIONESExigimos ms!

D. Variacin de la cotangente

E. Variacin de la secante

F. Variacin de la cosecante


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Un mtodo eficaz para determinar el

rea es aplicando el determinante de

la matriz formada por las coordenadas

de los puntos A', M y T.

Del grfico obtenemos:

P Cos ;Sen

M Cos ; Sen

A ' 1;0 ; T 1; Tan

Formamos la matriz.

Como tomamos los puntos en senti-

do antihorario omitimos las barras, en-

tonces:

1S Tan Sen 02

Conclusin y respuesta

Finalmente obtenemos:

1S Tan Sen2

Respuesta: B) 1

Tan +Sen2

Problema 1

Ordenar de menor a mayor:

1 1 1

M Sen ,N Cot ,P Cos2 3 4

UNI

Nivel fcil

A) M, N, P

B) M, P, N

C) P, N, M

D) N, P, M

E) P, M, N

Resolucin:

Los argumentos:

1 1 1, ,2 3 4

estn en radianes, los cuales se grafican

y se traza las lneas trigonomtricas res-

pectivas:

Se observa que:

1 1 1Sen Cos Cot

2 4 3

luego: M < P < N

Respuesta: B) M, P, N

Problema 2

En la circunferencia trigonomtrica mos-

trada mAB'P .

Determine el rea de la regin trian-

gular A'MT.

UNI 2010 - II

Nivel fcil

A) 1

tan sen2

B) 1 tan sen2

C) 1 tan sen2

D) 1 tan sen2

E) 1 cot cos2

Resolucin:

Ubicacin de incgnita:

La circunferencia es trigonomtrica,

nos piden el rea de la regin tr iangu-

lar A'MT.

Anlisis de los datos o grficos:

problemas resueltos


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Problema 3

Hallar max minF F , si:

F 2Sen 3Vers 4 cov

UNI

Nivel intermedioA) 18

B) 16

C) 15

D) 14

E) 12

Resolucin:

Se sabe que:

1 Sen 1

0 vers 2

0 cov 2

luego:

max

min

F 2(1) 3(0) 4(2) 10

F 2( 1) 3(2) 4(0) 8

Respuesta:A) 18


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IDENTIDADES TRIGONOMTRICASDEL ARCO SIMPLE

TRIGONOMETRA

I. IGUALDADDos expresiones sern iguales en los reales si paracualquier valor real asignado a sus variables; los valores

numricos de estas expresiones son tambin iguales;dentro de estas igualdades encontramos las ecuaciones

y las identidades; es decir:

E x P x

x

VN E VN P

II. ECUACINEs una igualdad que se verifica para cierto nmero de

valores asignados a la variable; valores que reciben el

nombre de soluciones de la ecuacin.2x 3 5 ; se cumple para x 1

Ecuaciones 22x 1 7 ; se cumple para x 2

x 1 5 ; se cumple para x 3

Solucin de

la ecuacin

III. IDENTIDADEs una igualdad que se verifica para todo valor real ()

asignado a la variable.

2x 4 x 2 x 2 ; se cumple x

Identidades 2 2x 2 x 4x 4 , se cumple x

3 2x 1 x 1 x x 1

, se cumple x

Observacin

Hay expresiones como las trigonomtricas en las cuales

las variables no se encuentran libres sino que se en-

cuentran en el ngulo, es decir, que las variables se

encuentran afectadas de algn operador, razn por la

cual no se le puede asignar un valor real cualquiera ya

que podra dejar de existir la expresin, surgiendo as el

concepto de valor admisible o permitido para una

variable.

IV. VALOR ADMISIBLE (VA)Para una expresin, se llama valor admisible de su va-

riable a aquel valor asignado a sta, para el cual la ex-

presin est definida en los reales ().

Ejemplo: x 1E xx , para x = 1; E 1 2

x 1 es un "VA" para E(x)

.

Ejemplo: E x tanx , para x4

; E 14

x4 es un "VA" para E(x).

Ejemplo: 2x 3

E Xx 2

, para x 2 ; 7

E 20

(No existe)

2 ; No es "VA" para E(x).

Ejemplo:1 senx

E(X)cosx

, para x2

;2

E2 0

(No existe)

x2

; NO ES "VA" PARA E(x).

V. CAMPO DE VALORES ADMISIBLES (CVA)Para una expresin, el campo de valores admisibles de

una variable (CVA), es el conjunto formado por todos

los valores admisibles de dicha variable; es decir:

CVA para VALORESDE"X "E x / " x " es un VA para E(x)

Ejemplo: 2x 1E(x)x 1

E x x 1

CVA x / x 1

DESARROLLODEL TEMA


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IDENTIDADES TRIGONOMTRICAS DE ARCO SIMPLEExigimos ms!

Ejemplo: E(x) x 2 E x x 2

CVA x / x 2;

Ejemplo:

4E(x)Senx

E x Senx 0 x k ; k

CVA x / x k

Ejemplo:

3

E(x)Cosx1

E X Cosx 1 x 2k ; k

CVA x / x 2k

VI. IDENTIDADES TRIGONOMTRICASEs una igualdad establecida entre expresiones que

involucran razones trigonomtricas de una o ms va-

riables, las cuales se verifican para todo valor admisible

de dichas variables.

Ejemplo:La igualdad: 2 2Sen x Cos x 1 , se verifica

para cualquier valor real que le asignemos a la variable

x; por consiguiente:

2 2Sen x Cos x 1 es una identidad x

Ejemplo:La igualdad:Senx

TanxCos x

, no est definida

para: 3 5x ... , , ,...2 2 2 es decir para x 2k 1

2

;

k luego la igualdad se verifica para cualquier valor

que le asignemos a la variable x, tal que: x (2k 1)2 ;

k . Por consiguiente:Senx

TanxCos x

es una iden-

tidad x 2k 1 2

.

Ejemplo:La igualdad 1CscxSenx

, no est definida

para: x ..,0, ,2 ,.. es decir para x k ; k,luego la igualdad se verifica para cualquier valor que le asig-

nemos a la variable x, tal que x k ;k ; por consi-

guiente: 1Csc xSenx

es una identidad x k

VII.IDENTIDADES TRIGONOMTRICASFUNDAMENTALESSe denomina a las igualdades obtenidas al relacionar

las lneas trigonomtricas de un mismo arco en la cir-

cunferencia trigonomtrica (C.T.)

En la figura se observa:

OBM OPT

PT BM cot

OAN OPS

PS AN tan

P cos ;sen C.T. Debe cumplir la ecuacin:

x y 2 2x y 1

Reemplazamos:x Cos

y Sen

2 2Sen Cos 1

P Cos ;Sen Lf Las "rt " se obtienen

utilizando: x Cos ; y Sen y r = 1.

r 1

Cscy Sen

r 1

Secx Cos

y Sen

Tanx Cos

x Cos

Coty Sen

OPS (teorema de Pitgoras)

2 2 2OP PS OS 2 21 Tan Sec

OPT (teorema de Pitgoras)

2 2 2OP PT OT

2 21 Cot Csc

A. Clasificacin de las identidades fundamentales

1. Identidades pitagricas

2 2Sen x Cos x 1 x


37/74


IDENTIDADES TRIGONOMTRICAS DE ARCO SIMPLEExigimos ms!

Problema 1

Si:3 1

Senx Cosx2

entonces el va-

lor de M = Senx + Cosx es:

UNI 2008 - II

Nivel fcil

A) 3 2

2

B)2 3

3

C)3 2

3

D)

2 3

2

E)3 2

2

Resolucin:

Nos piden M = senx + cosx

Y como 3 1sen x cos x2

Por las identidades de Legendr:

2 2 2 2(a b) (a b) 2(a b )

2 2

2

2

(sen x cos x) (sen x cos x) 2

3 1M 22

2 2 3M2

2 3M

2

Respuesta: D)2 3

2

Problema 2

Halle la suma de las soluciones positivas

menores de 2 de la siguiente ecua-

cin: 22Tan x Sec x 1 0 UNI 2006 - II

Nivel intermedio

A)4

B)3

C)2

D)

E) 2

2 21 Tan x Sec x x 2k 1 ; k 2

2 21 Cot x Csc x x k ; k

2. Identidades recprocas

Sen xCsc x 1 x k ; k

Cos x .Sec x 1 x 2k 1 ; k 2

Tan x.Cot x 1 x k ; k 2

3. Identidades de divisin

SenxTanx

Cos x x 2k 1 ; k 2

CosxCot x

Senx x k ; k

VIII.IDENTIDADES TRIGONOMTRICASAUXILIARESAparte de las identidades trigonomtricas fundamen-

tales, hay aquellas igualdades que aparecen frecuen-

temente en la resolucin de problemas y su conoci-

miento sera de mucha utilidad para facilitar la resolu-

cin de estos problemas; estas igualdades son de sim-

ple verificacin y en muchos casos son consecuencia

directa de operaciones algebraicas elementales; den-

tro de estas tenemos:

4 4 2 2Sen x Cos x 1 2Sen x Cos x

6 6 2 2Sen x Cos x 1 3Sen x .Cos x

Tan x Cot x Sec x.Csc x

2 2 2 2Sec x Csc x Sec x.Csc x

4 4 2 2Sen x Cos x Sen x Cos x

4 4 2 2Sec x Tan x Sec x Tan x

4 4 2 2Csc x Cot x Csc x Cot x

2Senx Cos x 1 2Sen xCos x

2

1 Senx Cos x 2 1 Sen x 1 Cos x

De: 2 2Sen x 1Cos x 1 Cos x 1Cos x

Senx 1 Cos x Senx 1 Cos x

1 Cos x Senx 1 Cos x Senx

x k; k

De: 2 2Cos x=1Sen x= 1+Senx 1Senx

Cos x 1 Senx Cos x 1 Senx

1 Sen x Cos x 1 Senx Cos x

x 2k 1 ;k 2

Si: 2 2aSenx b Cosx a b

2 2 2 2

a bSenx Cos x

a b a b

problemas resueltos


38/74


39/74


IDENTIDADES TRIGONOMTRICAS DEL

ARCO COMPUESTO PARA DOS VARIABLES

TRIGONOMETRA

I. NGULO COMPUESTO

Es aquel que se puede expresar mediante una combi-

nacin lineal de otros ngulos; as por ejemplo:

x y : es un ngulo compuesto por dos ngulos.

2x 3y : es un ngulo compuesto por dos ngulos.

x y z : es un ngulo compuesto por tres ngulos.

2x 3y 4z : es un ngulo compuesto por tres ngulos.

II. RAZONES TRIGONMETRICAS DENGULOS COMPUESTOS

Cuando los operadores trigonomtricos afectan a n-

gulos compuestos, se definen operaciones matemticas

que no se efectan como multiplicaciones algebraicas,

as por ejemplo:

Sen(x y) Senx Seny

Cos(x y) Cosx Cosy

Tan(x y) Tanx Tany

Cot(x y) Cotx Coty

III. IDENTIDADES TRIGONOMTRICASPARA LA SUMA DE DOS NGULOS

Estas igualdades se verifican para todos los valores admi-sibles de sus variables y son las siguientes:

Ejemplo:

Calcule el valor de Sen75.

Resolucin:

Expresamos nuestro ngulo que es "75" en funcin

de ngulos conocidos por ejemplo "45 + 30", para

luego aplicar las identidades de la suma de ngulos.

Sen75 = Sen(45 + 30) = Sen45Cos30 + Cos45 . Sen30

2 3 2 1Sen75 . .

2 2 2 2

6 2Sen754

IV. IDENTIDADES TRIGONOMTRICASPARA LA DIFERENCIA DE DOS NGULOS

Estas igualdades se verifican para todos los valores ad-

misibles de sus variables y son las siguientes:

DESARROLLODEL TEMA


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41/74


IDENTIDADES TRIGONOMTRICAS DEL ARCO COMPUESTO PARA DOS VARIABLESExigimos ms!

2 2

2 2

Sen(x y)Sen(x y) Sen x Sen y

Sen(x y)Sen(x y) Cos y Cos x

2 2Cos(x y)Cos(x y) Cos x Sen y

Tan(x y) Tanx Tany Tanx Tany Tan(x y)

Importante:

a,b,x 2 2 2 2

f(x) aSenx bCosx

a b f(x) a b

a,b x 2 2 baSenx bCosx a b S en(x ) s i Tan

a

Problema 1

Si:

4x 3xtan a y tan b7 7 entonces al simplificar:

2 2 xE (1 a b ) tan(x) tan 7 se obtiene:

UNI 2011-II

A) a b

B) a2 b2

C) a + b

D) abE) a/b

Resolucin:

Ubicacin de incgnita

Simplificar:

2 2 xE (1 a b ) Tanx Tan 7

Anlisis de los datos o grficos

4x 3xTan a; Tan b7 7

Operacin del problema

* Aplicacin de la frmula, teorema

o propiedad

4x 3xTan(x) Tan

7 7

4x 3xTan Tan

7 74x 3x1 Tan Tan7 7

x 4x 3xTan Tan7 7 7

4x 3xTan Tan

7 74x 3x1 Tan Tan7 7

* Solucin del problema

2 2

2 2

(a b) (a b)E (1 a b )

(1 ab) (1 ab)

(1 a b )

2 2

2 2

(a b )

(1 a b )

2 2(a b )

Conclusiones y respuesta:

2 2E a b

Respuesta: B) a2 b2

Problema 2

En un tringulo acutngulo ABC. Cal-

cule el valor de:

cos(A B) cos(B C) cos(A C)

E senA senB senB senC senA senC

UNI 2011-I

A) 3 B) 4

C) 5 D) 6

E) 8

Resolucin:

Ubicacin de incgnita

Nos piden simplificar la expresin E:

cos(A B) cos(B C) cos(A C)

E senA senB senB senC senA senC

Anlisis de los datos o grficos

Si A + B + C = 180

cot A cot B cot B cot C cot A cot C 1

Operacin del problema

Aplicamos la propiedad:

cos( )cot cot 1

sen sen

E cot A cotB 1cotB cot C 1 cot Acot C 1

1

E 3 cotA cotB+cotB cotC+cotA cotC

E = 4

Respuesta: B) 4

Problema 3

De la figura, calcular Tan .

45

10

4 2

UNI

Nivel intermedio

A)37

B)47

C)74

D)94

E)84

problemas resueltos


42/74


IDENTIDADES TRIGONOMTRICAS DEL ARCO COMPUESTO PARA DOS VARIABLESExigimos ms!

Resolucin:

10

2

2

46

4

2 1Tan

6 3

2 1Tan10 5

Tan TanTan Tan( )

1 Tan Tan

1 18 43 5Tan

1 1 17 713 5

Respuesta: B) 47


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IDENTIDADES TRIGONOMTRICAS DEL

ARCO COMPUESTO PARA TRES VARIABLES

TRIGONOMETRA

I. SENO DE LA SUMA DE TRES ARCOS

Sen( ) Sen Cos Cos Sen Cos Cos

Sen Cos Cos Sen Sen Sen

Demostracin:

Sen( ) Sen[ ( )]

Sen( ) Sen Cos( ) Cos Sen( )

Sen( ) Sen (Cos Cos Sen Sen )

Cos (Sen Cos Cos Sen )

Sen( ) Sen Cos Cos Sen Sen Sen

Sen Cos Cos Sen Cos Cos

Sen( ) Sen Cos Cos Sen Cos Cos

Sen Cos Cos Sen Sen Sen

Ejemplo 1:

Sen6x = Sen(x + 2x + 3x)

Sen6x = SenxCos2xCos3x + Sen2xCosxCos3x +

Sen3xCosxCos2x SenxSen2xSen3x

Ejemplo 2:

Sen20 = Sen(2 + 8 + 10)

Sen20 = Sen2Cos8Cos10 + Sen8Cos2Cos10 +

Sen10Cos2Cos8 Sen2Sen8Sen10

III. COSENO DE LA SUMA DE TRES ARCOS

cos( ) cos cos cos cos sen sen

cos sen sen cos sen sen

Demostracin:

Cos( ) Cos[ ( )]

Cos( ) Cos Cos( ) Sen Sen( )

Cos( ) Cos (Cos Cos Sen Sen )

Sen (Sen Cos Cos Sen )

Cos( ) Cos Cos Cos Cos Sen Sen

Cos Sen Sen Cos Sen Sen

Cos( ) Cos Cos Cos Cos Sen Sen

Cos Sen Sen Cos Sen Sen

Ejemplo 1:

Cos12x = Cos(2x + 4x + 6x)

Cos12x = Cos2xCos4xCos6x Cos2xSen4xSen6x

Cos4xSen2xSen6x Cos6xSen2xSen4x

Ejemplo 2:

Cos15 = Cos(3 + 5 + 7)

Cos15 = Cos3Cos5Cos7 Cos3Sen5Sen7

Cos5Sen3Sen7 Cos7Sen3Sen5

IV. TANGENTE DE LA SUMA DE TRES ARCOS

Tan Tan Tan Tan Tan Tan

Tan( ) 1 Tan Tan Tan Tan Tan Tan

Demostracin:

Tan( ) Tan[ ( )]

Tan Tan( )Tan( )

1 Tan Tan( )

Tan TanTan

1 Tan TanTan( )

Tan Tan1 Tan

1 Tan Tan

Tan Tan Tan Tan Tan Tan

1 Tan TanTan( )

1 Tan Tan Tan Tan Tan Tan

1 Tan Tan

Tan Tan Tan Tan Tan TanTan( )

1 Tan Tan Tan Tan Tan Tan

Ejemplo 1:Tan10x = Tan(2x + 3x + 5x)

Tan2x Tan3x Tan5x Tan2xTan3xTan5xTan10x1 Tan2xTan3x Tan3xTan5x Tan2xTan5x

DESARROLLODEL TEMA


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IDENTIDADES TRIGONOMTRICAS DEL ARCO COMPUESTO PARA TRES VARIABLESExigimos ms!

Problema 1

Simplificar:

1tan

cot( )p

tan1cot( )

UNI 1981

Nivel fcil

A) tan tan

B) tan tan

C) cot

D) tan

E) cot

Resolucin:

1tan

cot( ) tan tan( )p

tan 1 tan tan( )1cot( )

p tan( ( )) tan

Respuesta:D) tan

Problema 2

Dadas las ecuaciones:

Sen(x 45) Sen(x + 45) = p

Cos(x 60) Cos(x + 60) = q

Calcule el valor de (p + q).

UNI 2006 - II

Nivel intermedio

A) 1/4

B) 0

C) 1/4

D) 1/3

E) 1/2

Resolucin:

Se sabe que:

2 2Sen( ) Sen ( ) Sen Sen

2 2Cos ( ) Cos ( ) Cos Sen

En el problema:

Sen (x 45 ) Sen (x 45 ) p

22 1Sen x p .... (I)

2

Cos (x 60 ) Cos(x 60 ) q

22 3Cos x q .... (II)

2

(I) + (II):

2 2 1 3Sen x Cos x p q2 4

5 1p q 1 p q4 4

Respuesta:A)1

4

Problema 3

Sean ; ; los ngulos internos de un

tringulo, tal que:

(tan )(tan )(tan ) 2006

Entonces podemos afirmar que el valor

de 1 tan tan tan es:

UNI 2008 - I

Nivel difcil

A) 2006

B) 2007

C) 2008D) 2009

E) 2010

Resolucin:

Condicin: 180

tan tan tan tan tan tan

Por dato:

tan tan tan 2006

Entonces:

tan tan tan 2006

1 tan tan tan 2007

Respuesta:B)2007

Ejemplo 2:

Tan12 = Tan(2 + 4 + 6)

Tan2 Tan4 Tan6 Tan2 Tan4 Tan6Tan121 Tan2 Tan4 Tan4 Tan6 Tan2 Tan6

IV. PROPIEDADES PARA TRES NGULOS

Estas propiedades se cumplen siempre que los tres

ngulos estn relacionados bajo una condicin:

Siendo:

x y z K , K Z

Tanx Tany Tanz TanxTanyTanz

CotxCoty CotxCotz CotyCotz 1

Siendo:

x y z (2K 1) ; K Z2 2

Cotx Coty Cotz CotxCotyCotz

TanxTany TanxTanz TanyTanz 1

problemas resueltos


45/74


IDENTIDADES TRIGONOMTRICASDEL ARCO DOBLE

TRIGONOMETRA

El objetivo es expresar las razones trigonomtricas del arco

doble (2x; 2y; 2x; ...) en trminos de las razones del arco

simple (x; y; z; ...) para lo cual partiremos de las identidades

del arco compuesto.

I. SENO DEL ARCO DOBLE

Sen2x 2Senx.Cosx

Demostracin:

Sen2x = Sen(x + x)

= Senx.Cosx + Cosx.Senx

= 2Senx.Cosx

II. COSENO DEL ARCO DOBLE2 2Cos2x Cos x Sen x

Demostracin:

Cos2x = Cos(x + x)

= Cosx.Cosx Senx.Senx

= Cos2x Sen2x

Reemplazando Sen2x = 1 Cos2x

Cos2x = Cos2x (1 Cos2x)

2Cos2x 2Cos x 1

Demostracin:

Reemplazando Cos2x = 1 Sen2x

Cos2x = 2(1 Sen2x) 1

2 2Sen2x 1

2Cos2x 1 2Sen x

III. TANGENTE DEL ARCO DOBLE

2

2TanxTan2x

1 Tan x

Demostracin:

Tan2x = Tan(x + x)

Tanx Tanx1 Tanx.Tanx

2

2Tanx

1 Tan x

Ejemplos:

Sen14 = 2Sen7.Cos7

Sen6 = 2Sen3 .Sen3

2Sen17 . Cos17 = Sen34

Cos10 = Cos25 Sen25

Cos23 Sen23 = Cos6

2

2Tan3Tan61 3Tan 3

2

2Tan5 Tan101 Tan 5

IV. SENO DEL ARCO DOBLE EN FUNCINDE LA TANGENTE DEL ARCO SIMPLE

2

2TanxSen2x1 Tan x

Demostracin:

Sen2x = 2Senx.Cosx

=2

2

Sec x(2Senx.Cosx)Sec x

= 22Senx.Secx

Sec x

=2

2SenxCosx

1 Tan x= 2

2Tanx

1 Tan x

DESARROLLODEL TEMA


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IDENTIDADES TRIGONOMTRICAS DEL ARCO DOBLEExigimos ms!

V. COSENO DEL ARCO DOBLE EN FUNCINDE LA TANGENTE DEL ARCO SIMPLE

2

2

1 Tan xCos2x1 Tan x

Demostracin:

Cos2x = Cos2x Sen2x

=2

2 22

Sec x(Cos x Sen x)Sec x

=2 2

2

Sen x.Sec x1Sec x

=

2

2

2

1 Sen x

Cos x

1 Tan x

=

2

2

1 Tan x

1 Tan x

VI. FORMAS CUADRTICAS DEL SENO YCOSENO

22Sen x 1 Cos2x

22Cos x 1 Cos2x

Demostracin:

De Cos2x = 1 2Sen2x

2Sen2x = 1 Cos2x

De Cos2

x = 2Cos2

x 1

2Cos2x = 1 + Cos2x

Ejemplos:

2Sen210 = 1 Cos20

2Cos2217 = 1 + Cos34

1 Cos6 = 2Sen23

1 + Cos8 = 2Cos24

VII. EXPRESIONES LINEALES DE:

8sen4x 8cos4x

48Sen x 3 4Cos2x Cos4x

48Cos x 3 4Cos2x Cos4x

Demostracin:

8Sen4x = 2(2Sen2x)2

= 2(1 Cos2x)

= 2(1 2Cos2x + Cos22x)

= 2 4Cos2x + 2Cos22x

= 2 4Cos2x + 1 + Cos4x

= 3 4Cos2x + Cos4x

Ejemplos:

8Sen410 = 3 4Cos20 + Cos40

8Cos43x = 3 + 4Cos6x + Cos12x

VIII.IDENTIDADES AUXILIARES

Demostracin:

Cotx + Tanx = Cosx SenxSenx Cosx

=2 2Cos x Sen x

Senx Cosx

=1

Senx Cosx

=2

2Senx Cosx

=2

Sen2x

=12

Sen2x

= 2Csc2x

Tan2xSec2x 1Tanx

Sec2x 1 Tan2x Tanx

Demostracin:

1Sec2x 1 1

Cos2x

=1 Cos2x

Cos2x

=22Cos x Sen2x

Cos2x Sen2x

=22 Cos xSen2x

Cos2x 2Senx Cosx


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Problema 1

Para el crculo trigonomtrico que se

muestra en la figura, calcule: y Sen2 .

Nivel fcil

2005 - I

2

2

A) 45

B)35

C) 25

D)15

E) 0

Resolucin:

Del grfico:

Tg 2

2

2TgSen2

1 Tg

2

2( 2) 4Sen251 ( 2)

Respuesta:A)-

Problema 2

Calcule el rango de la funcin:

2f(x) 2(Cos2x 3)( 2 Sen x) , x IR

Nivel intermedio

2005 - II

A) 7,23 B) 8,23

C) 8,24 D) 8,25

E) 7,25

Resolucin:

2

2

f(x) 2(Cos2x 3)( 2 Sen x)

1 2Sen x

2 2f(x) 4(Sen x 2)(Sen x 1)

4 2f(x) 4(Sen x 3Sen x 2)

22 3 1f(x) 4 Sen x

2 4

2x 0 Sen x 1

Construyendo f(x), obtenemos:

22 3 18 4 Sen x 24

2 4

Finalmente el rango es:

8;24

Respuesta:C)

Problema 3

Si: sen8a + cos8a es igual a la expresin:

A + Bcos4a + Ccos8a

para cualquier valor real de a.

Halle A + B + C.

2007 - I

= 1Tan2xSenxCosx

=Tan2xTanx

1 Sen2x Senx Cosx

1 Sen2x Senx Cosx

Demostracin:

1 Sen2x = 2 2Sen x Cos x 2Senx Cosx

= 2(Senx Cosx)

= Senx Cosx

4 4 3 Cos4xSen x Cos x4

6 6 5 3Cos4xSen x Cos x8

Demostracin:

Sen4x + Cos4x = 1 2Sen2x Cos2x

=211 (2Senx Cosx)

2

=21 1 Sen 2x

2 2

=21 1 (2Sen 2x)

2 4

=1 1 (1 Cos4x)2 4

=3 Cos4x

4

problemas resueltos


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A)132

B)116

C)18

D)14

E) 1

Resolucin:

Como:

2sen2a = csc2a + 1,

Elevando al cuadrado:

23 . sen4a = cos4a 4cos2a + 3

27sen8a = cos8a 8cos6a + 28cos4a

56cos2a+35 ...... (i)

Analogamente:

27.cos8a = cos8a + 8cos6a + 28cos4a

+ 56cos2a + 35 .. (ii)

Sumando (i), (ii), se tiene:

27. (sen8a + cos8a) = 2cos8a + 56cos4a + 70

Luego:

8 8 1 28 35sen a cos a .cos 8a cos 4a64 64 64

Por dato:

sen8a + cos8a = A + Bcos4a + C.cos8a

1 28 35A B C 164 64 64

Observacin:

Una forma prctica de comprobar que

la suma de coeficientes es igual a la

unidad, es asignar la variable un valor

arbitrario en la identidad planteada.

sen8a + cos8a = A + Bcos4a + c + cos8a

Para a = 0

8 8

1 10 1

sen 0 cos 0 A B cos 0 C.cos 0

A B C 1

Respuesta:E) 1


49/74


IDENTIDADES TRIGONOMTRICASPARA EL ARCO MITAD

TRIGONOMETRA

DEFINICIN

El objeto de estas igualdades es expresar las razones

trigonomtricas del ngulo mitadx

; ;....;2 2 2

en trminos

de las razones trigonomtricas del ngulo simple ( ; ;....; x) ;

estas igualdades son vlidas para todos los valores admisibles

de sus variables.

I. IDENTIDADES FUNDAMENTALES

x 1 CosxSen x2 2

x 1 CosxCos x2 2

x 1 CosxTan x {(2n 1) );n2 1 Cosx

x 1 CosxCot x {2n );n2 1 Cosx

Observacin

La eliminacin del valor absoluto depende del

cuadrante en el cual se ubique el arco mitadx

2

;

s por ejemplo:

Si:x xIIC Sen ser ( )2 2

Si: x xIIIC Cos ser ( )2 2

Si:x xIVC Tan ser ( )2 2

II. IDENTIDADES AUXILIARES

x 1 CosxTan Cscx Cotx2 Senx

x 1 CosxCot Cscx Cotx2 Senx

III. DEMOSTRACIN DE LAS IDENTIDADESFUNDAMENTALES

* Demostracin de: x 1 CosxSen2 2

Sabemos que: 22Sen 1 Cos2 ; haciendo: x2

Tendremos:

2 2x x 1 Cosx2Sen 1 Cosx Sen2 2 2

x 1 CosxSen2 2

* Demostracin de: x 1 CosxCos2 2

Sabemos que: 22Cos 1 Cos2 ; haciendo: x2

Tendremos:

2 2x x 1 Cosx2Cos 1 Cosx Cos2 2 2

x 1 CosxCos2 2

* Demostracin de: x 1 CosxTan2 1 Cosx

DESARROLLODEL TEMA


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IDENTIDADES TRIGONOMTRICAS DEL ARCO MITADExigimos ms!

Sabemos que:

xSen

2xTan2 xCos

2

Reemplazando:x xSen y Cos2 2

Tendremos:

1 Cosxx 2Tan2 1 Cosx

2

x 1 CosxTan2 1 Cosx

* Demostracin de: x 1 CosxCot2 1 Cosx

Sabemos que:

xCos2xCot

2 xSen2

Reemplazando:

x xSen y Cos2 2

Tendremos:

1 Cosxx 2Cot2 1 Cosx

2

x 1 CosxCot2 1 Cosx

IV. IDENTIDAD RACIONALIZADA DELARCO MITAD

A.x

Tan Cscx Cotx2

Demostracin de:

xTan Cscx Cotx2

Sabemos que:

xSenx 2Tan2 xCos

2

; multiplicando por:

x2Sen2

(Numerador y denominador), tendremos:

2

Senx

x x xSen 2Sen 2Sen

x 1Cosx2 2 2Tan .x x x x2 Senx

Cos 2Sen 2Sen Cos2 2 2 2

x 1 CosxTan 2 Senx Senx

xTan Cscx Cotx2

B.x

Cot Cscx Cotx2

Demostracin de: xCot Cscx Cotx2

Sabemos que:

xCosx 2Cot

x2Sen

2

; multiplicando por:

x2Cos

2 (numerador y denominador), tendremos:

2

Senx

x x xCos 2Cos 2Cos 1 Cosxx 2 2 2Cot2 x x x x Senx

Sen 2Cos 2Sen Cos2 2 2 2

x 1 CosxCot

2 Senx Senx

xCot Cscx Cotx2

V. IDENTIDADES AUXILIARESSabemos:

xCscx Cotx Cot ..... I2

xCscx Cotx Tan ..... II2

x x

I II 2Cscx Cot T an2 2

x xI II 2Cotx Cot T an2 2

Ejercicios de aplicacin:

Csc40 Cot40 Cot20

Csc6 Cot6 Tan3

Cot20 Tan20 2Csc40

Cot12 Tan12 2Cot24


51/74



Problema 1

De la siguiente igualdad:

3

1Sen10

6 ATan20 B1

Cos206

Halle (A + B).

A)3 1

2

B)

12

C)32

D)42

E) 43

Resolucin:

Transformando el primer miembro:

3

1Sen30 Sen10

3 ATan20 B1

Cos60 Cos203

Utilizando:

1 1Sen30 Cos602 2

3

33

1(3Sen10 4Sen 10 ) Sen10

3 ATan20 B1

(4Cos 20 3Cos20 ) Cos203

Utilizando la relacin trigonomtrica de

triple:

3

33

4Sen10 Sen 10 Sen10

3 ATan20 B4

Cos 20 Cos20 Cos203

3

33

4Sen 10

3 ATan20 B4

Cos 203

Simpificando:

Sen10ATan20 B

Cos20

Simplificando y operando:

Sen(30 20 )ATan20 B

Cos20

(Sen30Cos20 Cos30 Sen20 )ATan20 B

Cos20

Identificando A y B3 1

A B2 2

3 1A B

2

Respuesta:A)3 -1

2

Problema 2

Si: 23Cosx Senx3

, calcule Sen3x.

A)2

3B)

12

C)2327

D)427

E)233

Resolucin:

De la condicin dividimos a ambos miem-

bros entre dos.

pero Sen3x Sen( 3x) por reduccin

al primer cuadrante.

Sen3x Sen 3 x3

Transformando:

3Sen3x 3Sen x 4Sen x3 3

21 1

Sen3x 3 43 3

usando1

Sen x3 3

4Sen3x 1 operando27

23Sen3x

27

Respuesta:C)2327

Problema 3

Sabemos que Cosx = 0,125; entonces

calcule:

3 Sen3x(1 Cos3x)k Sen2x Senx

A)5

8B) 7

C) 3 58

D) 5 3 78

E)53

Resolucin:

Por identidades del arco triple y doble

3Senx(2Cos2x 1)(1 Cos3x)

k2SenxCosx Senx

23

Senx 2(2Cos x 1) 1 (1 Cos3x)k

Senx(2Cosx 1)

Utilizando Cos2x = 2Cos2x-1

23 (4Cos x 1)(1 Cos3x)k

2Cosx 1

problemas resueltos


52/74



Simplificando y operando:

3(2Cosx 1)(2Cosx 1)(1 Cos3x)

k2Cosx 1

Por diferencia de cuadrados:

3k (2Cosx 1)(1 Cos3x)

...(1)

Pero:

31Cosx Cos3x 4Cos x 3Cosx8

31 1

Cos3x 4 38 8

47Cos3x

128

Reemplazando en (1) los valores del

Cosx y Cos3x tenemos:

3333

3 3

1 47 5 175 5 x7K 2x 1 1 x

8 128 4 128 2 x4

35K 78

Respuesta: D)35 7

8


53/74


IDENTIDADES TRIGONOMTRICASDEL ARCO TRIPLE

TRIGONOMETRA

I. 3Sen3x 3Senx 4Sen x

Demostracin:

Sen3x = Sen (2x + x)

Sen3x = Sen2xCosx + Cos2xSenx

Sabemos por arco doble:

Sen2x 2SenxCosx ; 2Cos2x 1 2Sen x

Reemplazando:

Sen3x = (2Senx Cosx)Cosx + (1 2Sen x) Senx2

2 3Sen3x 2SenxCos x Senx 2Sen x

Sabemos: 2 2Cos x 1 Sen x

Reemplazando:

Sen3x = 2Senx (1 2Sen x)+ Senx 2Sen x2 3

3 3Sen3x 2Senx 2Sen x Senx2Sen x3Sen3x 3Senx 4Sen x

Anlogamente: 3Cos3x 4Cos x 3Cosx

II. Cos3x Cosx 2Cos2x 1

Demostracin:

Sabemos: 3Cos3x 4Cos x 3Cosx

2Cos3x Cosx 2 x2Cos x 3

Recordando:21 Cos2x 2Cos x Doble

Cos3x Cosx 2 1 Cos2x 3

Cos3x Cosx 2Cos2x1

III.3

2

3Tanx Tan xTan3x

1 3Tan x

Demostracin

Sabemos:

TanA TanB TanC TanATanBTanCTan A B C

1 TanATanB TanATanC TanBTanC

Sea:

Tan3x Tan x x x

Tanx Tanx Tanx TanxTanxTanxTan3x

1 TanxTanx TanxTanx TanxTanx

Efectuando operaciones:

3

2

3Tanx Tan xTan3x

1 3Tan x

En general:

3Sen3x 3Senx 4Sen x

Sen3x Senx 2Cos2x 1

Sen3x 4SenxSen 60 x Sen 60 x

3Cos3x 4Cos x 3Cosx

Cos3x Cosx 2Cos2x 1

Cos3x 4CosxCos 60 x Cos 60 x

3

2

3Tanx Tan xTan3x

1 3Tan x

Tan3x TanxTan 60 x Tan 60 x

Nota:

Cot3x CotxCot 60 x Cot 60 x

DESARROLLODEL TEMA


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IDENTIDADES TRIGONOMTRICAS DEL ARCO TRIPLEExigimos ms!

Problema 1

Simplifique:3 3Sen x Cos x 1K

Sen3x Cos3x 2

Nivel fcil

2005 - I

A) 3Sen2x Cosec6x

B) 3Sen2x Cosec6x

C) 3 Sen2x Cosec6x2

D) 3 Sen2x Cosec6x2

E) Sen2x Cosec6x

Resolucin:3 34Sen 4Cos 1K

4Sen3x 4Cos3x 2

3Senx Sen3x 3Cosx Cos3x 14Sen3x 4Cos3x 2

3Senx 14Sen3x 4

3Cosx 1

4Cos3x 4

12

3 SenxCos3x CosxSen3x2 x 2Sen3x Cos3x

3Sen x 3xK

2Sen6x

3K Sen2x Cosec6x2

Respuesta: D)3- Sen2x Cosec 6x2

Problema 2

Calcule 2 xE Tan

4 2

en trminos

de "a", si Secx = a + Tanx.

Nivel intermedio

2005 - I

A)4

1

aB)

3

1

aC)

2

1

a

D) 1a

E) 4a

Resolucin:

21 Cos x

2xE Tg4 2

1 Cos x

2

1 Senx1 Senx Cosx Cosx1 Senx 1 Senx

Cosx Cosx

2

11a

a a

Respuesta: C) 21

a

Problema 3

Al resolver la ecuacin:

x xcot 4 tan 2csc x2 4

Determine xcos 2

Nivel difcil

2007 - II

A) 12

B) 13

C) 14

D) 1

5 E)

16

Resolucin:

x xCot 4 tan 2 csc x2 4

x xTan Cot 2 csc x2 2

Reemplazando:

x x x xCot 4Tan Tan Cot2 4 2 2

x x4Tan Tan4 2

xTanTan224 ; Sec2 1TanxTan

4

x x4 Sec 1 Sec 32 2

x 1Cos 2 3

Respuesta: B)13

problemas resueltos


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TRANSFORMACIONES TRIGONOMTRICAS:DE ADICIN A MULTIPLICACIN

TRIGONOMETRA

I. DE ADICIN A MULTIPLICACINSe le suele llamar tambin factorizacin tr igonomtrica

y consiste en expresar mediante un producto una de-

terminada suma o diferencia. Para transformar a pro-ducto una expresin, esta deber estar compuesta

por la suma o diferencia de dos senos o cosenos con

ngulos ordenados de mayor a menor. Los ngulos re-

sultantes en los factores del producto sern la semi-

suma y la semidiferencia de los ngulos iniciales.

A. Adicin de senos a multiplicacin

Considerando:

A B

A B A BSenA SenB 2Sen Cos2 2

A B A BSenA SenB 2Cos Sen2 2

B. Adicin de cosenos a multiplicacin

Considerando: A B

A B A BCosA CosB 2Cos Cos

2 2

A B A BCosA CosB 2Sen Sen2 2

II. DEMOSTRACIN DE LAS IDENTIDADESFUNDAMENTALES

A. Demostracin de la transformacin de senos

Para efectuar estas demostraciones partiremos del

seno de la suma y diferencia de dos arcos (iden-

tidades de ngulos compuestos).

Sabemos que:Sen(x y) SenxCosy Cosx Seny

Sen(x y) SenxCosy Cosx Seny

Sumando tendremos:

Sen(x y) Sen(x y) 2SenxCosy

A B

Haciendo:x y A

x y B

Se obtiene: A B A Bx y2 2

A B A BSen(A) Sen(B) 2Sen Cos2 2

Restando tendremos:

A B

Sen(x y) Sen(x y) 2Cosx Seny

Haciendo:x y A

x y B

Se obtiene:A B A B

x y2 2

A B A BSen(A) Sen(B) 2Cos Sen2 2

B. Demostracin de la transformacin de cosenos

Para efectuar estas demostraciones partiremos del

coseno de la suma y diferencia de dos arcos (iden-

tidades de ngulos compuestos).

Sabemos que:

Cos(x y) CosxCosy SenxSeny

Cos(x y) CosxCosy SenxSeny

Sumando tendremos:

Cos(x y) Cos(x y) 2CosxCosy

A B

Haciendo:x y A

x y B

Se obtiene:A B A B

x y2 2

A B A BCosCos(A) (B) 2Cos Cos2 2

Restando tendremos:

Cos(x y) Cos(x y) 2SenxSeny

A B

DESARROLLODEL TEMA


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TRANSFORMACIONES TRIGONOMTRICAS: DE ADICIN A MULTIPLICACINExigimos ms!

Problema 1

Calcular:

Sen11x SenxACos11x Cosx

A) Tan5x B) Tan6x

C) Cot6x D) Cot5xE) Tan7x

Resolucin:

Sabemos:

A B A BSenA SenB 2Sen Cos2 2

A B A BCosA CosB 2Cos Cos2 2

Reemplazando:

2Sen6x Cos5xA

2Cos6x Cos5x

A = Tan6x

Respuesta:B) Tan6x

Problema 2

Simplificar:

K = Cos5 + Cos115 + Cos235

A) 1 B) 1

C) 0 D) 2

E) 2

Haciendo:x y A

x y B

Se obtiene:A B A B

x y2 2

A B A BSenCosCos(A) (B) 2Sen

2 2

Ejemplos de aplicacin y casos que se pre-

sentan

3x x 3x xSen3x Senx 2Sen Cos 2Sen2x.Cosx2 2

5x x 5x xSen5x Senx 2Cos .Sen 2Cos3x.Sen2x2 2

6x 2x 6x 2xCos6x Cos2x 2Cos Cos 2Cos4x.Cos2x

2 2

7x x 7x xCos7x Cosx 2Sen Sen 2Sen4x.Sen3x2 2

Resolucin:

Es conveniente agrupar los 2 primeros

trminos y luego reducimos al primer

cuadrante el tercer trmino.

K=(Cos115+cos5)+Cos(180+55)

K 2Cos60 Cos55 ( Cos55 )

Reemplazando los valores notables:

1K 2 Cos55 Cos552

K = 0

Respuesta: C) 0

Problema 3

Calcular la suma de 3 cosenos cuyos

arcos estn en progresin aritmtica

de razn 23 .

A) 2 B) 1

C) 0 D) 1

E) 2

Resolucin:

En base a los datos del enunciado se

puede expresar la suma de la siguiente

manera:

2 4S Cosx Cos x Cos x3 3

2 2S Cos x Cosx Cos x3 3

En la segunda expresin y agrupamos

los extremos.

Sabemos:

A B A BCosA CosB 2Cos Cos2 2

(1/2)

2S 2Cosx Cos Cosx3

2 2S Cos x Cos x Cosx3 3

Reemplazando los valores notables.

1S 2Cos Cosx2

S = 0

Respuesta: C) 0

problemas resueltos


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TRANSFORMACIONES TRIGONOMTRICAS:

DE MULTIPLICACIN A ADICIN

TRIGONOMETRA

I. TRANSFORMACIN DE MULTIPLICA-CIN A ADICINSe le suele llamar tambin desdoblamiento del producto

y consiste en expresar mediante una suma o diferenciaun determinado producto. Para efectuar el

desdoblamiento se deber tener el doble producto

de senos y/o cosenos. Los ngulos resultantes en el

desdoblamiento sern la suma y la diferencia de los

ngulos iniciales.

Considerando:A B

2SenACosB Sen(A B) Sen(A B)

2SenBCosA Sen(A B) Sen(A B)

2CosACosB Cos(A B) Cos(A B)

2SenASenB Cos(A B) Cos(A B)2SenASenB Cos(A B) Cos(A B)

Observacin

"Cuando se desdobla el doble producto de seno por coseno

se tiene que si el primer ngulo es el mayor entonces se

obtiene una suma de senos y si el primer ngulo es menor

se obtiene una diferencia de senos".

Ejemplos:2Sen3xCosx = Sen(3x + x) + Sen(3x x)

= Sen4x + Sen2x

2SenxCos2x = Sen(2x + x) Sen(2x x)

= Sen3x Senx

2Cos3xCos2x = Cos(3x + 2x) + Cos(3x 2x)

= Cos5x + Cosx

2Sen5xSenx = Cos(5x x) Cos(5x + x)

= Cos4x Cos6x

2Sen40Cos20= Sen(40 + 20) + Sen(40 20)

= Sen60 + Sen20

2Sen10Cos40 = Sen(40 + 10) Sen(40 10)

= Sen50 Sen30

2Cos50Cos20 = Cos(50 + 20) + Cos(50 20)

= Cos70 + Cos30

2Sen70Sen10 = Cos(70 10) Cos(70 + 10)

= Cos60 Cos80

Problema 1

Si en un tringulo acutngulo ABC, se cumple:

Sen2A + Sen2B + Sen2C = 2SenASenB

Calcular la medida del ngulo C.

UNI

Nivel fcil

A) 30 B) 50

C) 60 D) 40

E) 80

Resolucin:

Como A + B + C = 180

Aplicando la propiedad antes mencionada:

4SenASenBSenC = 2SenASenB

Reduciendo:

2SenC = 1 1SenC 2

por dato:

C = 30

Respuesta:A) 30

Problema 2

Siendo:

Cos2a.Tan(b + c) Cos2b.Tan(a + c) = Sen2a Sen2b

Donde: a b k

DESARROLLODEL TEMA

problemas resueltos


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TRANSFORMACIONES TRIGONOMTRICAS: DE MULTIPLICACIN A ADICINExigimos ms!

Calcular:

E = Cos2a + Cos2b + Cos2c

UNI

Nivel intermedio

A) 10 B) 20

C) 2 D) 0

E) 15

Resolucin:

De la condicin del problema, escribiendo as:

Cos2a.Tan(b + c) Sen2a = Cos2b.Tan(a + c) Sen2b

Segudamente efectuamos, obteniendo:

Cos2aSen(b c)- Sen2aCos(b+c) Cos2bSen(a c)- Sen2bCos(a+c)Cos(b c) Cos(a c)

Los numeradores son iguales a:

Sen(b c 2a) Sen(a c 2b)

Cos(b c) Cos(a c)

Luego:

2Sen(b c 2a) Cos(a c) 2Sen(a c 2b)Cos(b c)

Sen(b 2c a) Sen(b 3a) Sen(a 2c b) Sen(a 3b)

Ahora:

Sen(b 2c a) Sen(a 2c b) Sen(a 3b) Sen(b 3a)

Seguidamente:

2Cos2c.Sen(b - a) = 2Cos(a + b)Sen2(a - b)

2 Cos2c. Sen (b a) 2Cos(a b) 2 Sen(b a)Cos(b a)

Cos2c 2Cos(a b)Cos(b a)

Cos2a Cos2b

Finalmente:

Cos2c = -Cos2a Cos2b

Cos2a + Cos2b + Cos2c = 0

E = 0

Respuesta: D) 0

Problema 3

Si: A B C , a que es igual:A B C 3A 3B 3C

V 3Cos Cos Cos Cos Cos Cos2 2 2 2 2 2

UNI

Nivel difcil

A) SenA + SenB + SenC

B) Sen3A + Sen3B + Sen3C

C) Sen2A + SenB + Sen2C

D) Sen3A + SenB + SenC

E) N.A.

Resolucin:

Trabajando por partes, tendremos:

A B C 3 A B C3Cos Cos Cos x 2Cos Cos Cos2 2 2 2 2 2 2

Efectuando tendremos:

3 C C A B A B2Sen Cos 2Cos Sen4 2 2 2 2SenC SenA SenB

Luego:

A B C 33Cos Cos Cos (SenA SenB SenC)2 2 2 4

... (I)

Ahora:

3A 3B 3C 1 3A 3B 3CCos Cos Cos x 2Cos Cos Cos2 2 2 2 2 2 2

Efectuando, tendremos:

1 3C 3C 3 32Sen Cos 2Cos (A B)Sen (A B)

4 2 2 2 2Sen3C Sen3A Sen3B

Luego:

3A 3C 1Cos Cos3BCos (Sen3A Sen3B Sen3C)

2 2 4 ... (II)

(I) y (II) en "V", obtendremos:

3 1V (SenA SenB SenC) (Sen3A Sen3B Sen3C)4 4

Seguidamente, tendremos:

3SenA SenA 3SenB Sen3B 3SenC Sen3CV

4

Recordando, por teora del triple, sabemos que:

(*) 33Sen Sen 4Sen

Reemplazando dicha propiedad en el problema:

3 3 34Sen A 4Sen B 4Sen CV4

V = Sen3A + Sen3B + Sen3C

Respuesta: B) Sen3A + Sen3B + Sen3C


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SUMATORIAS Y PRODUCTORIASTRIGONOMTRICAS

TRIGONOMETRA

I. SUMA DE SENOS DE NGULOS EN

PROGRESIN ARITMTICA

Senx Sen(x r) Sen(x 2r) ... Sen(x (n 1)r)

nrSen (P U)2 Sen2rSen

2

Denominndose a:

P = primer ngulo

U = ltimo ngulo

r = razn de la progresin

n = nmero de trminos

Demostracin

Llamemos "S" a la suma de la serie de senos:

S = Senx + Sen(x + r) + Sen(x + 2r) + ... + Sen[x +

(n 1)r]

Multiplicamos a ambos miembros por r2Sen 2

r r2Sen S 2Sen [Senx Sen(x r) Sen(x 2r) ...2 2Sen(x (n 1)r)]

Cada trmino del segundo miembro vamos a trans-

formarlo en una diferencia de cosenos, as:

r r r2Senx Sen Cos x Cos x2 2 2

r r2Sen(x r) Sen Cos x2 2 3rCos x2

r 3r2Sen(x 2r) Sen Cos x2 2 5rCos x2

r 32Sen(x (n 1)r).Sen Cos x n r2 2

1Cos x n r2

Sumando todos los trminos en columnas, obtenemos:

r r 12Sen S Cos x Cos x n r2 2 2

2

rSen .S 2

2

1 r 1 rx n r x x n r x2 2 2 2Sen .Sen

2 2

(x) (x (n 1)r)r nr2Sen .S 2Sen Sen2 2 2

Hacemos los siguientes cambios:

P = x; U = x + (n 1)r

Reemplazando:

r P U nr2Sen .S 2Sen Sen2 2 2

nrSen (P U)2S Sen 2rSen

2

Ejemplos:

1. Calcular la suma de la siguiente serie:

S = Senx + Sen2x + Sen3x + ... + Sen nx

Resolucin:

Aplicamos la propiedad:

DESARROLLODEL TEMA


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SUMATORIAS Y PRODUCTORIAS TRIGONOMTRICASExigimos ms!

nrSen (P U)2S Sen2rSen

2

Identificamos:

P = x; U = nx; r = x

Reemplazamos:

nxSenx nx2S Sen

2xSen2

nxSen (n 1)2S Sen x2xSen

2

2. Calcular la suma de la siguiente serie:S = Sen1 + Sen3 + Sen5 + ... + Sen45

Resolucin:

nrSenP U2S Sen

2rSen2

2Sen231 452S Sen

21Sen2

Sen23S1Sen Sen232

2Sen 23S1Sen2

II. SUMA DE COSENOS DE NGULOS ENPROGRESIN ARITMTICA

Cosx Cos(x r) Cos(x 2r) ... Cos(x (n 1)r)

nrSen (P U)2 Cosr 2Sen2

Denominndose:

P = Primer ngulo

U = ltimo ngulo

r = Razn de la progresin

n = Nmero de trminos

Ejemplos:


S = Cos2x + Cos4x + Cos6x + ... + Cos2nx

Resolucin:

Identificamos:

P = 2x; U = 2nx; r = 2x

nrSen (P U)2S Cos2rSen

2

n.2xSen2x 2nx2S Cos

22xSen2

Sen(nx)S Cos(n 1)xSenx


S = Cos1 + Cos3 + Cos5 + ... + Cos31

Resolucin:

nrSen(P U)2S Cos

2rSen2

16.2Sen (1 31)2S Cos22Sen

2

Sen16S Cos16Sen1

2Sen16 Cos16

S 2Sen1

2Sen32S2Sen1

III. PROPIEDADES

1. Si A + B + C

12. Trigonometria

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