12. Trigonometria

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  • 8/9/2019 12. Trigonometria

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    1LIBRO UNI TRIGONOMETRA

    NGULO TRIGONOMTRICO

    TRIGONOMETRA

    I. NGULO TRIGONOMTRICOUn ngulo trigonomtrico se determina por la rotacin

    de un rayo OA

    que gira alrededor de su origen (O), hasta

    una posicin final , tal como se puede apreciar en la

    figura, donde L.I. es el lado inicial, y L.F. es el lado final.

    Ahora has una pausa y observa con atencin el sentido

    del giro que he utilizado en este ejemplo ..., efectivamente

    es un sentido antihorario, es decir en contra del

    movimiento de las manecillas del reloj. Te pido que no

    olvides que este sentido de rotacin es arbitrario, es decir

    que lo elige quien va a operar con el ngulo.

    O A O A

    B

    O A

    L.F.

    L.I.L.I.

    II. ELEMENTOS DE UN NGULOTRIGONOMTRICO

    Utilizando el ngulo trigonomtrico que se presenta

    en la figura, diremos que sus elementos son:

    1. Origen ................ O

    2. Lado inicial .......... OA

    3. Lado final ............ OB

    4. Sent ido

    La flecha curva ( ) indica el sentido de rotacin

    del rayo. El sentido puede ser antihorario (opuesto

    al movimiento de las agujas del reloj), que genera

    ngulos positivos y el otro sentido puede ser horario

    que es el que genera ngulos negativos, tal como

    se ilustra en la figura.

    DESARROLLODEL TEMA

    Sentido antihorario

    (+)

    ()

    Sentido horario

    Medida ( )

    De acuerdo con la definicin de ngulo

    trigonomtrico, se puede inferir que esta es una

    magnitud, dado que ella acepta las comparaciones

    de igual, mayor o menor que; as pues, a todo

    ngulo trigonomtrico le corresponde una medida

    la cual puede expresarse por cualquier nmero

    real, tal como se indica en la figura.

    ngulo de 1 vuelta

    a)

    ngulo de 3 vueltas

    c)

    +

    e)

    < m trigonomtrico <

    ngulo nulo (0)

    b)

    ngulo recto: 1/4 vuelta

    d)

    f)

    III. PROPIEDAD FUNDAMENTAL DE LOSNGULOS TRIGONOMTRICOSDos o ms ngulos trigonomtricos sern coterminales

    si tienen el mismo lado inicial y el mismo lado final sin

    tener en cuenta su sentido ni su medida.

    B

    A

    L.F.

    0

    L.I.

  • 8/9/2019 12. Trigonometria

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    2LIBRO UNI TRIGONOMETRA

    NGULO TRIGONOMTRICOExigimos ms!

    En la figura

    y

    son coterminales puesto que tienen

    el mismo lado inicial y el mismo lado final.

    B

    A

    Nmero entero de vueltas

    FinalmenteNmero entero

    de vueltas

    Ejemplo:

    En la figura

    y

    son coterminales

    B

    A

    = 1 vuelta +

    = 1 vuelta

    IV. SISTEMA DE REFERENCIA ANGULARDado un ngulo AOB, existe un ngulo central

    congruente con el l cuyo vrtice se ubica en el origende coordenadas rectangulares, tal como se muestra

    en la figura.

    a)

    B

    AO

    O X

    YP

    Circunferencia: e

    b)

    Queda as establecida una correspondencia entre

    ngulo, ngulos centrales, arcos de la circunferencia

    C, y puntos de la misma esquematicamente se puede

    establecer que:

    AOB AOP AP P

    ngulos

    ngulos centrales

    arcos de C

    puntos C

    Si la circunferencia tiene radio 1 el sistema se llama

    trigonomtrico.

    V. SISTEMAS DE MEDIDAS ANGULARPara medir ngulos se han empleado desde tiempos

    antiguos dos sistemas angulares: El sexagesimaly el

    centesimal. En trigonometra se ha ideado el sistema

    radial o circular que permitemedir ngulos evitando

    involucrar sus unidades, de modo que solo se seala

    su valor numrico (su frmula dimensionales la unidad).As tenemos:

    A. Sistema sexagesimal (Ingls)

    Unidad 1 - Un grado sexagesimal

    Definicin:

    Se le define como la trescienta sesentaava parte

    de la medida del ngulo de una vuelta.

    m de1v1

    360

    Equivalencias:

    m de1v 360

    1 = 60:Un grado sexagesimal equivale a 60 minutos

    sexagesimales.

    1' = 60:

    Un minuto sexagesimal equivale a 60 segundos

    sexagesimales

    B. Sistema centesimal (Francs)

    Unidad 1g - Un grado centesimal

    Definicin:

    Se define como la cuatrocientaava parte de la

    medida del ngulo de una vuelta.

    g

    m de1v1

    400

    Equivalencias:

    gm de1v 400

    1g= 100min:

    Un grado centesimal equivale a c en minutos

    centesimales.

    1min= 100seg:

    Un minuto centesimal equivale a cien segundos

    centesimales.

    C. Sistema radial (Internacional)

    Unidad: 1rad - Un radin

    Definicin:

    Se define como la medida del ngulo central de

    un crculo que subtiende un arco en la

    circunferencia igual a la longitud de su radio.

    m AOB rad

    AB OA r

  • 8/9/2019 12. Trigonometria

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    3LIBRO UNI TRIGONOMETRA

    Exigimos ms!NGULO TRIGONOMTRICO

    rradr

    rO

    A

    B

    Equivalencias: m 1v 2 rad

    Ejemplo:

    1 gradosexagesimal 20 minutos sexagesimales 30

    segundos sexagesimales 1 20'30''

    2 grados centesimales 40 minutos centesimales

    60 segundos centesimales 2g40min60seg

    5 radianes < > 5rad; radianes < > rad

    VI. CONVERSIN ENTRE SISTEMAS

    Sean S, C y R los nmeros de grados sexagesimales,centesimales y radianes que tiene un ngulo , los

    cuales verifical la siguiente realcin.

    S C R360 400 2

    Proporcionalidad equivalente a tres reglas de tres

    simples.

    Luego, de simplificar dicha relacin tendremos:

    S C R180 200

    ...(1)

    De donde deducimos que: S C9 10

    ...(2)

    Asimismo de (1) deducimos:

    180RS ...(3)

    200RC ...(4)

    Con estos resultados podemos afirmar que, conocidala medida de un ngulo en uno de estos sistemas, sepodr encontrar su medida en los otros dos sistemaspor medio de las frmulas deducidas aqu.

    Ejemplo (1)

    Convertir20

    rad al sistema sexagesimal

    Como:

    R20

    y se quiere calcular "S" utilizamos la

    relacin ...(3)

    As:

    180R 180 180R S 920 20

    Finalmente el ngulo mide 9

    Ejemplo (2)

    Convertir 72 al sistema centesimal.Como: S = 72 y se quiere calcular "C", utilizaremos larelacin ...(1).

    As: S C 72 C 7210

    C 809 10 9 10 9

    Finalmente el ngulo mide 80g

    Nota:Existe un mtodo prcitco para poder convertirfcilmente la medida de un ngulo de un sistema aotro denominado "mtodo del factor de conversin"

    Se sabe que: g1m v 180 200 rad2

    Luego, a partir de estas igualdades buscamos la unidad as:

    gg

    g

    gg

    g

    180 rad180 rad 1 1rad 180

    200 rad200 rad 1 1rad 200

    10 9200 180 1 19 10

    Utilizamos la relacin ms apropiada encontraremos laconversin requerida. Para mejor i lustracinresolveremos los ltimos ejercicios, con este nuevomtodo.

    Ejemplo (1)

    Convertir20

    rad al sistema sexagesimal

    rad 1 rad

    20 20

    180

    rad

    1809

    20

    Ejemplo (2)

    Convertir 72 al sistema centesimal.

    g gg200 1072 1 72 72 80

    180 9

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    4LIBRO UNI TRIGONOMETRA

    APLICACIONES DEL NGULO

    TRIGONOMTRICO

    TRIGONOMETRA

    I. DEFINICIN DE LONGITUD DE ARCODe acuerdo con la definicin de radin podemos deduciruna relacin ms amplia que vincule a tres magnitudes:La longitud de un arco, el ngulo central que lo subtieney el radio de a circunferencia que lo contiene.

    AB = L...Longitud de arco r...Radio de la circunferencia ...Nmero de radianes del ngulo central AOB.

    Es fcil comprobar que a mayor arco corresponde unmayor ngulo central, luego se podrn establecer lassiguientes relaciones.

    Arco ngulo central r 1rad (definicin) L rad

    O

    r B

    A

    r

    rad L Fig.1

    Y dado que estas relaciones correspondientes a unaproporcionalidad directa, podemos plantear la siguienteproporcin.

    L radr Lrad

    L(1rad) = rad(r)

    L = rNota:La frmula ser vlida si y solo si el ngulo central estexpresado en radianes.

    II. APLICACIONES DE LA LONGITUD DEARCO

    A. Posicin relativa entre dos circunferencias(Poleas, Engranajes)

    DESARROLLODEL TEMA

    a) La figura 1 nos muestra el caso en que dos ruedastienen un punto en comn (tangentes), o, estnunidas por una correa de transmisin.

    1 2

    1 2

    a)

    b)

    En ambos casos se cumple que:L1= L2Donde:L1es la longitud conducida por (1) yL2es la longitud conducida por (2)

    b) Cuando tienen un eje comn en este casoDonde:Es un ngulo barrido por (1)Es el ngulo barrido por (2)

    1

    2

    Fig. 2

    Fig. 1

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    5LIBRO UNI TRIGONOMETRA

    NGULO TRIGONOMTRICOExigimos ms!

    B. NMEROS DE VUELTAS (n)a) Cuando un disco rueda sobre una superficie plana

    Al observar el desplazamiento del centro O del discode radio r, comprobamos que ste se desplaza ladistancia 2 r, cuando el disco ha dado una vueltacompleta, es decir cunado el punto A de contactoinicial con el piso se ha trasladado hasta el punto B.Podemos imaginarnos una cuerda enrollada al discoe modo que sus extremos se unan inicialmente en

    A y que el extenderle sobre el piso, lo hace desdeA hasta B. Esta longitud es sin lugar a dudas igual ala longitud de la circunferencia es decir 2 r..De acuerdo con estas observaciones podemosestablecer las siguientes relaciones:

    r O

    A B2 r

    Si la rueda da una vuelta,

    su centro recorre 2 r1v 2 r

    nv eCuando da n vueltas esu centro recorre :

    Luego deducimos que :

    en2 r

    Donde:

    n es el nmero de vueltas, e es el espacio recorrido porel centro de la rueda