12. Trigonometria

download 12. Trigonometria

of 74

Transcript of 12. Trigonometria

  • 8/9/2019 12. Trigonometria

    1/74

    1LIBRO UNI TRIGONOMETRA

    NGULO TRIGONOMTRICO

    TRIGONOMETRA

    I. NGULO TRIGONOMTRICOUn ngulo trigonomtrico se determina por la rotacin

    de un rayo OA

    que gira alrededor de su origen (O), hasta

    una posicin final , tal como se puede apreciar en la

    figura, donde L.I. es el lado inicial, y L.F. es el lado final.

    Ahora has una pausa y observa con atencin el sentido

    del giro que he utilizado en este ejemplo ..., efectivamente

    es un sentido antihorario, es decir en contra del

    movimiento de las manecillas del reloj. Te pido que no

    olvides que este sentido de rotacin es arbitrario, es decir

    que lo elige quien va a operar con el ngulo.

    O A O A

    B

    O A

    L.F.

    L.I.L.I.

    II. ELEMENTOS DE UN NGULOTRIGONOMTRICO

    Utilizando el ngulo trigonomtrico que se presenta

    en la figura, diremos que sus elementos son:

    1. Origen ................ O

    2. Lado inicial .......... OA

    3. Lado final ............ OB

    4. Sent ido

    La flecha curva ( ) indica el sentido de rotacin

    del rayo. El sentido puede ser antihorario (opuesto

    al movimiento de las agujas del reloj), que genera

    ngulos positivos y el otro sentido puede ser horario

    que es el que genera ngulos negativos, tal como

    se ilustra en la figura.

    DESARROLLODEL TEMA

    Sentido antihorario

    (+)

    ()

    Sentido horario

    Medida ( )

    De acuerdo con la definicin de ngulo

    trigonomtrico, se puede inferir que esta es una

    magnitud, dado que ella acepta las comparaciones

    de igual, mayor o menor que; as pues, a todo

    ngulo trigonomtrico le corresponde una medida

    la cual puede expresarse por cualquier nmero

    real, tal como se indica en la figura.

    ngulo de 1 vuelta

    a)

    ngulo de 3 vueltas

    c)

    +

    e)

    < m trigonomtrico <

    ngulo nulo (0)

    b)

    ngulo recto: 1/4 vuelta

    d)

    f)

    III. PROPIEDAD FUNDAMENTAL DE LOSNGULOS TRIGONOMTRICOSDos o ms ngulos trigonomtricos sern coterminales

    si tienen el mismo lado inicial y el mismo lado final sin

    tener en cuenta su sentido ni su medida.

    B

    A

    L.F.

    0

    L.I.

  • 8/9/2019 12. Trigonometria

    2/74

    2LIBRO UNI TRIGONOMETRA

    NGULO TRIGONOMTRICOExigimos ms!

    En la figura

    y

    son coterminales puesto que tienen

    el mismo lado inicial y el mismo lado final.

    B

    A

    Nmero entero de vueltas

    FinalmenteNmero entero

    de vueltas

    Ejemplo:

    En la figura

    y

    son coterminales

    B

    A

    = 1 vuelta +

    = 1 vuelta

    IV. SISTEMA DE REFERENCIA ANGULARDado un ngulo AOB, existe un ngulo central

    congruente con el l cuyo vrtice se ubica en el origende coordenadas rectangulares, tal como se muestra

    en la figura.

    a)

    B

    AO

    O X

    YP

    Circunferencia: e

    b)

    Queda as establecida una correspondencia entre

    ngulo, ngulos centrales, arcos de la circunferencia

    C, y puntos de la misma esquematicamente se puede

    establecer que:

    AOB AOP AP P

    ngulos

    ngulos centrales

    arcos de C

    puntos C

    Si la circunferencia tiene radio 1 el sistema se llama

    trigonomtrico.

    V. SISTEMAS DE MEDIDAS ANGULARPara medir ngulos se han empleado desde tiempos

    antiguos dos sistemas angulares: El sexagesimaly el

    centesimal. En trigonometra se ha ideado el sistema

    radial o circular que permitemedir ngulos evitando

    involucrar sus unidades, de modo que solo se seala

    su valor numrico (su frmula dimensionales la unidad).As tenemos:

    A. Sistema sexagesimal (Ingls)

    Unidad 1 - Un grado sexagesimal

    Definicin:

    Se le define como la trescienta sesentaava parte

    de la medida del ngulo de una vuelta.

    m de1v1

    360

    Equivalencias:

    m de1v 360

    1 = 60:Un grado sexagesimal equivale a 60 minutos

    sexagesimales.

    1' = 60:

    Un minuto sexagesimal equivale a 60 segundos

    sexagesimales

    B. Sistema centesimal (Francs)

    Unidad 1g - Un grado centesimal

    Definicin:

    Se define como la cuatrocientaava parte de la

    medida del ngulo de una vuelta.

    g

    m de1v1

    400

    Equivalencias:

    gm de1v 400

    1g= 100min:

    Un grado centesimal equivale a c en minutos

    centesimales.

    1min= 100seg:

    Un minuto centesimal equivale a cien segundos

    centesimales.

    C. Sistema radial (Internacional)

    Unidad: 1rad - Un radin

    Definicin:

    Se define como la medida del ngulo central de

    un crculo que subtiende un arco en la

    circunferencia igual a la longitud de su radio.

    m AOB rad

    AB OA r

  • 8/9/2019 12. Trigonometria

    3/74

    3LIBRO UNI TRIGONOMETRA

    Exigimos ms!NGULO TRIGONOMTRICO

    rradr

    rO

    A

    B

    Equivalencias: m 1v 2 rad

    Ejemplo:

    1 gradosexagesimal 20 minutos sexagesimales 30

    segundos sexagesimales 1 20'30''

    2 grados centesimales 40 minutos centesimales

    60 segundos centesimales 2g40min60seg

    5 radianes < > 5rad; radianes < > rad

    VI. CONVERSIN ENTRE SISTEMAS

    Sean S, C y R los nmeros de grados sexagesimales,centesimales y radianes que tiene un ngulo , los

    cuales verifical la siguiente realcin.

    S C R360 400 2

    Proporcionalidad equivalente a tres reglas de tres

    simples.

    Luego, de simplificar dicha relacin tendremos:

    S C R180 200

    ...(1)

    De donde deducimos que: S C9 10

    ...(2)

    Asimismo de (1) deducimos:

    180RS ...(3)

    200RC ...(4)

    Con estos resultados podemos afirmar que, conocidala medida de un ngulo en uno de estos sistemas, sepodr encontrar su medida en los otros dos sistemaspor medio de las frmulas deducidas aqu.

    Ejemplo (1)

    Convertir20

    rad al sistema sexagesimal

    Como:

    R20

    y se quiere calcular "S" utilizamos la

    relacin ...(3)

    As:

    180R 180 180R S 920 20

    Finalmente el ngulo mide 9

    Ejemplo (2)

    Convertir 72 al sistema centesimal.Como: S = 72 y se quiere calcular "C", utilizaremos larelacin ...(1).

    As: S C 72 C 7210

    C 809 10 9 10 9

    Finalmente el ngulo mide 80g

    Nota:Existe un mtodo prcitco para poder convertirfcilmente la medida de un ngulo de un sistema aotro denominado "mtodo del factor de conversin"

    Se sabe que: g1m v 180 200 rad2

    Luego, a partir de estas igualdades buscamos la unidad as:

    gg

    g

    gg

    g

    180 rad180 rad 1 1rad 180

    200 rad200 rad 1 1rad 200

    10 9200 180 1 19 10

    Utilizamos la relacin ms apropiada encontraremos laconversin requerida. Para mejor i lustracinresolveremos los ltimos ejercicios, con este nuevomtodo.

    Ejemplo (1)

    Convertir20

    rad al sistema sexagesimal

    rad 1 rad

    20 20

    180

    rad

    1809

    20

    Ejemplo (2)

    Convertir 72 al sistema centesimal.

    g gg200 1072 1 72 72 80

    180 9

  • 8/9/2019 12. Trigonometria

    4/74

    4LIBRO UNI TRIGONOMETRA

    APLICACIONES DEL NGULO

    TRIGONOMTRICO

    TRIGONOMETRA

    I. DEFINICIN DE LONGITUD DE ARCODe acuerdo con la definicin de radin podemos deduciruna relacin ms amplia que vincule a tres magnitudes:La longitud de un arco, el ngulo central que lo subtieney el radio de a circunferencia que lo contiene.

    AB = L...Longitud de arco r...Radio de la circunferencia ...Nmero de radianes del ngulo central AOB.

    Es fcil comprobar que a mayor arco corresponde unmayor ngulo central, luego se podrn establecer lassiguientes relaciones.

    Arco ngulo central r 1rad (definicin) L rad

    O

    r B

    A

    r

    rad L Fig.1

    Y dado que estas relaciones correspondientes a unaproporcionalidad directa, podemos plantear la siguienteproporcin.

    L radr Lrad

    L(1rad) = rad(r)

    L = rNota:La frmula ser vlida si y solo si el ngulo central estexpresado en radianes.

    II. APLICACIONES DE LA LONGITUD DEARCO

    A. Posicin relativa entre dos circunferencias(Poleas, Engranajes)

    DESARROLLODEL TEMA

    a) La figura 1 nos muestra el caso en que dos ruedastienen un punto en comn (tangentes), o, estnunidas por una correa de transmisin.

    1 2

    1 2

    a)

    b)

    En ambos casos se cumple que:L1= L2Donde:L1es la longitud conducida por (1) yL2es la longitud conducida por (2)

    b) Cuando tienen un eje comn en este casoDonde:Es un ngulo barrido por (1)Es el ngulo barrido por (2)

    1

    2

    Fig. 2

    Fig. 1

  • 8/9/2019 12. Trigonometria

    5/74

    5LIBRO UNI TRIGONOMETRA

    NGULO TRIGONOMTRICOExigimos ms!

    B. NMEROS DE VUELTAS (n)a) Cuando un disco rueda sobre una superficie plana

    Al observar el desplazamiento del centro O del discode radio r, comprobamos que ste se desplaza ladistancia 2 r, cuando el disco ha dado una vueltacompleta, es decir cunado el punto A de contactoinicial con el piso se ha trasladado hasta el punto B.Podemos imaginarnos una cuerda enrollada al discoe modo que sus extremos se unan inicialmente en

    A y que el extenderle sobre el piso, lo hace desdeA hasta B. Esta longitud es sin lugar a dudas igual ala longitud de la circunferencia es decir 2 r..De acuerdo con estas observaciones podemosestablecer las siguientes relaciones:

    r O

    A B2 r

    Si la rueda da una vuelta,

    su centro recorre 2 r1v 2 r

    nv eCuando da n vueltas esu centro recorre :

    Luego deducimos que :

    en2 r

    Donde:

    n es el nmero de vueltas, e es el espacio recorrido porel centro de la rueda y r es su correspondiente radio.

    b) Cuando la rueda gira sobre una superficie curvaSegn la figura 4, podemos reconocer a un discode radio rodando sin deslizar sobre una superficiecurva de radio R. Si ahora utilizamos la relacin (2,12), tendremos que:

    O

    R

    O rueda mvil

    e

    en ... *2 r

    Donde el centro de la rueda recorre el arco e talque:

    e = (R + r)

    Siendo:n . .. nmero de vueltas

    ... ngulo girando en radianesr ... radio del disco mvilR ... radio de la superficie curva

    III. REA DE UN SECTOR CIRCULARA partir de la figura 5, podemos visualizar un sectorcircular AOB, cuya superficie est limitada por los radiosOA y OB, as como por el arco AB. Asimismo o podemosobservar que la extensin del sector depende tambinde la abertura existente entre los radios OA y OE lo

    que viene definido por el ngulo central AOB, cuyamedida est expresada por . Por tal razn puedeestablecerse a siguiente relacin.

    O

    r

    B

    A

    r

    L

    ngulo en radianes rea

    22 rs

    De donde:

    2rS2

    (2.1)

    Siendo: S de rea del sector circula finalmente,con ayuda de (2) y (2, 1) se puede deducir que:

    LrS2

    2LS

    2

    Problema 1:

    Un arco con radio de 8m mide 3m. Qu diferencia enmetros existe entre la longitud de este arco y la deotro del mismo valor angular de 6m de radio?

    A) 0,30 B) 0,35 C) 0,55D) 0,75 E) 0,85

    Resolucin.Graficando en el sector circular el enunciado delproblema, reconocemos que:Incgnita L1- L2=?Por la relacin 4.9 se sabe que:

  • 8/9/2019 12. Trigonometria

    6/74

    6UNI 2014 - III TRIGONOMETRA

    NGULO TRIGONOMTRICOExigimos ms!

    6m

    B

    A

    8m

    3mL2

    LR

    de donde:

    22

    L3 L 2,258 6

    Finalmente: L1 - L2= 3m - 2,25mL1 - L2= 0,75m

    Rpta. D

    Problema 2:En la figura: AOB y DOC son sectores concntricas.Hallar

    A) 1 B) 2 C) 1/3D) 1/2 E) 2

    Resolucin.

    A

    B

    3xxO

    C

    bD

    a

    Asumiendo que AOB , tendremos:A continuacin aplicaremos la realcin (2,9) en el sectorCOD:

    x = a.b ... (1)3x = a.(a + b) ... (2)

    Haciendo lo mismo en el sector AOB:Luego dividendo las relaciones (2) y (1) tendremos;

    a b 3x a b a3 1 3a.b x b b

    a 2b

    Rpta. EProblema 3:

    Siendo el ngulo central de un sector circular, cuyaalongitud de arco su radio, en metros. si:

    3 7 10

    A) 1 B) 2 C) 3D) 4 E) 2,5

    Resolucin.Resolviendo la ecuacin y haciendo un cambio de

    variable: x

    , tendremos:

    2 2

    73 7 10 3x 10x

    3x 7 10x 3x 10x 7 03x 7x 1

    7x x 13

    De la 1rasolucin tendremos:

    7 49 49x 17,13 9 9

    Luego " " es imposible, dado que supera el valorpermisible de: 6,28

    Y la 2dasolucin:

    x 1 1

    Finalmente, si L R , entonces: 2 R R=2m

    Rpta. B

  • 8/9/2019 12. Trigonometria

    7/74

    7LIBRO UNI TRIGONOMETRA

    RAZONES TRIGONOMTRICASDE NGULOS AGUDOS

    TRIGONOMETRA

    I. CONCEPTOS PREVIOSTringulo ABC (recto en B)

    II. DEFINICINLa razn trigonomtrica de un ngulo agudo se define

    como el cociente que se obtiene al dividir las medidas

    de las longitudes de sus lados del tringulo rectngulo

    que lo contiene con respecto a este ngulo agudo. De

    esta manera, con respecto a un mismo ngulo agudo,

    podemos obtener seis distintos cocientes para los cuales

    se define:

    Cateto Opuesto aSenAHipotenusa b

    Cateto adyacente cCos AHipotenusa b

    Cateto opuesto aTan ACateto adyacente c

    Catetoadyacente cCot A

    Cateto opuesto a

    Hipotenusa bSec ACatetoadyacente c

    Hipotenusa bCsc A

    Catetoopuesto a

    III. PROPIEDADES DE LAS RAZONES TRIGO-NOMTRICAS

    Aplicando definiciones:

    De las definiciones anteriores obtenemos las siguientes

    propiedades:

    A. Razones recprocas

    SenA Csc A 1 SenA 1 / CscA CscA 1 / SenA

    Cos A SecA 1 CosA 1 / SecA Sec A 1 /CosA

    TanA Cot A 1 TanA 1 / CotA CotA 1 / TanA

    Comprobacin:

    a bSen A Csc A 1 1 1 1b a

    DESARROLLODEL TEMA

  • 8/9/2019 12. Trigonometria

    8/74

    RAZONES TRIGONOMTRICAS DE NGULOS AGUDOSExigimos ms!

    8LIBRO UNI TRIGONOMETRA

    B. Razones complementarias (Corazones)

    De las definiciones; se observa:

    Sen A Cos C

    Tan A Cot C m A m C 90

    Sec A Csc C

    Ejemplo:

    Sen 70 = Cos20 Sec (30+x) = Csc(60-x)

    Cot 10 = Tan80 Tan (50+x) = Cot(40-x)

    Cos (90 )= Sen Csc (xy) = Sec(90-x)

    En general:

    RT( ) CO RT(90 )

    IV. TANGENTE Y COTANGENTE DEL N-GULO MITAD

    A B

    C

    ba

    c

    ATan Csc A Cot A2

    ACot Csc A Cot A2

    Demostracin:

    Se prolonga la base BA hasta el punto (D) de ma-nera que AD = AC.

    Unimos el punto D y el punto C.

    El tringulo DAC es issceles:

    A b c b cCot2 a a a

    En el tringulo ABC:

    ACot Csc A Cot A2

    V. TRINGULOS RECTNGULOS NOTABLES

    A. Exactos

    B. Aproximados

    VI. RAZONES TRIGONOMTRICAS DE

    NGULOS NOTABLES

    30 60 45 37 53

    Sen 1/2 3/2 2/2 3/5 4/5

    Cos 3 /2 1/2 2 /2 4/5 3/5

    Tan 3 /3 3 1 3/4 4/3

    Cot 3 3/3 1 4/3

    Sec 2 3 /3 2 2 5/4 5/3

    Csc 2 2 3 /3 2 5/3 5/4

  • 8/9/2019 12. Trigonometria

    9/74

    RAZONES TRIGONOMTRICAS DE NGULOS AGUDOSExigimos ms!

    9LIBRO UNI TRIGONOMETRA

    Problema 1

    El valor numrico aproximado de:

    2 5E tg Sen4 12 12

    Nivel fcil

    UNI 01-II

    A) 1,06 B) 1,56 C) 2,11

    D) 2,19 E) 2,56

    Resolucin:

    Tringulo notable de 15 y 75

    6 22E (2 3)4 4

    2 2 6 6 2E4 4

    3 2E 1,064

    Respuesta:A) 1,06

    Problema 2

    En la figura: 1 2 2PS L ;PQ L ; ST L

    Si: QT 5 3 , hallar PS.

    Nivel intermedio

    UNI 01-II

    A) 5 B) 5 3 C) 10

    D) 10 3 E) 15 3

    Resolucin:

    PS 2 5 PS 10

    Respuesta:C) 10

    Problema 3

    La siguiente figura es un cuadrado, donde

    Q es el punto medio del lado AB. Deter-mine Csc.

    Nivel intermedio

    UNI 04 - I

    A) 2 B) 5/4 C) 3D) 4 E) 2 5

    Resolucin:

    Vemos: 53 53 532 2

    Luego:5

    Csc Csc534

    Respuesta:B) 5/4

    problemas resueltos

  • 8/9/2019 12. Trigonometria

    10/74

    10LIBRO UNI TRIGONOMETRA

    I. CASOS PARA RESOLVER S

    II. OBJETIVOCalcular la longitud de los otros dos lados.

    III. RELACIN FUNDAMENTAL

    Lo que quiero R.T.Lo que tengo

    IV. PROBLEMAS GENERALES

    A. Primer caso

    Si se conoce la hipotenusa y la medida de un nguloagudo.

    Datos : a,

    Incog: x,y

    x Sen x aSena

    y Cos y a Cosa

    B. Segundo caso

    Si se conoce la medida de un ngulo agudo y lalongitud del cateto adyacente.

    Datos : a,

    Incg: x,y

    x Tan x a Tana

    y Sec y aSeca

    C. Tercer caso

    Si se conoce la medida de un ngulo agudo y lalongitud del cateto opuesto.

    Dato : a,

    Incg: x,y

    yx Cot x a Ctg Csc y aCsc

    a a

    En general:

    RESOLUCIN DE TRINGULOS

    RECTNGULOS

    TRIGONOMETRA

    DESARROLLODEL TEMA

  • 8/9/2019 12. Trigonometria

    11/74

    RESOLUCIN DE TRINGULOS RECTNGULOSExigimos ms!

    11LIBRO UNI TRIGONOMETRA

    Problema 1

    En un tringulo issceles, las medianastrazadas de sus vrtices de ngulosiguales se intersecan perpendicular-mente. Entonces el coseno de uno delos ngulos iguales es:

    Nivel fcil

    UNI 01-I

    A) 13 B)12 C)

    32

    D)1

    10E)

    1

    2 3

    Resolucin:

    am ACB CosBC

    En el BHC: BC2= (3a)2+ a2

    BC a 10

    a 1Cosa 10 10

    Respuesta: D)1

    10

    Problema 2

    Un automovilista viaja en una carreteraplana, en direccin a una montaa, a60 km/h. En un instante observa la cimade la montaa con un ngulo de eleva-cin de 30 y 10 minutos ms tardevuelve a observar la cima con un ngulode elevacin de 60. Determine la dis-tancia, en km, a la cima de la montaa,cuando se encuentra en el segundoinstante.

    Nivel intermedio

    UNI 06-II

    A)5

    3B) 6 C) 5 3

    D) 10 E) 6 3

    Resolucin:

    Conocemos que: d = vt1d 60 x d 10km6

    Respuesta: D) 10

    Problema 3

    Una persona localizada en A observa di-rectamente al este y ve un ovni con unngulo de elevacin de 45. En el mis-

    mo instante otra persona localizada enB a 1 km directamente al oeste de A veel mismo ovni con un ngulo de eleva-cin de 30. Determine la distancia enkm de la persona localizada en B al ovni.

    Nivel difcil

    UNI 01-I

    A) 1,89 B) 2,22 C) 2,73D) 2,91 E) 3,01

    Resolucin:

    1 x 3Ctg30x 1

    3 11 x 3 x x2

    2x 3 1 2,73km

    Respuesta: C) 2,73

    V. REA DE REGIN TRIANGULARSi en un tringulo se conoce la longitud de 2 lados yla medida del ngulo que forman dichos lados, sepuede calcular el rea (frmula trigonomtrica).

    abS

    S :

    n

    rea

    Se2

    Demostracin:

    Asignamos vrtices al tringulo AC = b (altura).

    Desde el vrtice (B), trazamos una perpendicular

    al lado AC.

    Por resolucin de tringulos rectngulos:

    BH aSen

    Sabemos:

    1rea base altura2

    Reemplazando:

    1 abS (b)(aSen ) Sen2 2

    problemas resueltos

  • 8/9/2019 12. Trigonometria

    12/74

    12LIBRO UNI TRIGONOMETRA

    SISTEMA DE COORDENADASRECTANGULARES

    TRIGONOMETRA

    PLANO CARTESIANOSistema formado por dos rectas numricas que se inter-

    sectan en un punto de coordenadas (o;o), llamado origen

    de coordenadas y forman un ngulo recto.

    Al plano que lo determina se le llama Plano Cartesiano en

    honor a Ren Descartes y est dividido en 4 regiones llama-

    das cuadrantes (C).

    Donde:

    x ' x

    : Eje de los abscisas

    y ' y

    : Eje de las ordenadasO : Origen de coordenadas

    I. UBICACIN DE UN PUNTOA cada punto del plano cartesiano le corresponde un

    par ordenado (x ; y) llamados Coordenadas cartesianas.

    X

    Y

    II. DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOSSean las coordenadas de dos puntos cualesquiera

    P1(x1; y1) y P2(x2; y2) del plano cartesiano la distancia

    d comprendida entre ellos se determinan por:

    2 21 2 1 2d (x x ) (y y )

    Longitud del radio vector (r)

    La distancia del origen de coordenadas a cualquier

    punto P(x; y) es la longitud del radio vector y est

    expresado por:

    2 2r x y

    III. DIVISIN DE UN SEGMENTO POR UN

    PUNTO EN UNA RAZN DADASi P1(x1; y1) y P2(x2; y2) son los extremos del 1 2PP , las

    coordenadas del punto P0 (x0;y0) que divide a ste

    segmento en la razn dada 1

    2

    P P arPP b

    Y

    X

    1 2 1 20 0

    1 2 1 20 0

    x rx bx axx x

    r 1 a b

    y ry by ayy y

    r 1 a b

    NOTA:

    Si la razn es negativa, se considera al punto P externa

    al segmento P1P2.

    DESARROLLODEL TEMA

  • 8/9/2019 12. Trigonometria

    13/74

    13LIBRO UNI TRIGONOMETRA

    SISTEMA DE COORDENADAS RECTANGULARES

    Exigimos ms!

    Problema 1

    Despus de una rotacin de ejes, la

    ecuacin: 5x2 8xy + 5y2 9 = 0

    representa una elipse cuyos focos tienen

    como coordenadas F1(a, b), F2(c, d).

    Calcule ac + bd.

    UNI 2010-I

    Nivel fcil

    A) 2 B) 3C) 4 D) 6

    E) 8

    Resolucin:

    Focos: F1(a; b) y F2(c; d)

    5x2 8xy + 5y2 9 = 0

    1 Primero, calcularemos (ngulo re

    rotacin).

    2 Luego transformamos las coorde-

    nadas (x; y).

    8Tan25 5

    2 90 45

    x x ' Cos y 'Sen

    x x 'Cos45 y 'Sen45

    1x (x ' y ')2

    y x ' Sen y ' Cos

    y x 'Sen45 y 'Cos45

    1

    y (x ' y ')2

    Reemplazamos en la ecuacin:

    5x2 8xy + 5y2 9 = 0

    2 2 2 21 1 15. (x' y') 8. (x' y' ) 5 (x' y ') 9 02 2 2

    Reduciendo, resulta:

    22 y 'x '1

    9 1

    a 3

    b 1

    c 8

    IV. COORDENADAS DEL PUNTO MEDIODE UN SEGMENTOSi M(x0;y0) es el punto medio del segmento que tiene

    por extremos: P1(x1; y1) y P2(x2; y2). Entonces las

    coordenadas del punto M se determina as:

    1 20

    1 20

    x xx

    2

    y yy

    2

    V. COORDENADAS DEL BARICENTRO DEUN TRINGULOSean P1(x1; y1) , P2(x2; y2) y P3(x3; y3) los vrtices de

    un tringulo. El punto G (x0; y0) es el baricentro de

    dicho tringulo.

    Y

    X

    1 2 30

    x x xx

    3

    1 2 30

    y y yy

    3

    VI. PROPIEDAD DEL PARALELOGRAMO

    1 3 2 4 1 3 2 4x x x x y y y y

    VII.REA DE UNA REGIN TRIANGULARSean P1(x1; y1) P2(x2; y2) y P3(x3; y3) los vrtices de un

    tringulo. Entonces el rea S de una regin triangular en

    funcin de las coordenadas de los vrtices esta dado por.Y

    X

    Luego: 1S M N2

    Sabemos las coordenadas de los focos:

    1 1F ( 8;0) F (a;b)

    2 2F ( 8;0) F (c;d)

    ac bd ( 8)( 8) (0)(0)

    =8

    Respuesta:E) 8

    Problema 2

    Si un dimetro de la circunferencia:

    (x h)2+ (y k)2= r2

    tiene como extremos a los puntos (2,2)

    y (6,5), entonces2rh k2

    es igual a:

    UNI 2009-II

    Nivel intermedio

    A) 7 B) 8C) 9 D) 10

    E) 11

    N

    problemas resueltos

  • 8/9/2019 12. Trigonometria

    14/74

    14LIBRO UNI TRIGONOMETRA

    SISTEMA DE COORDENADAS RECTANGULARES

    Exigimos ms!

    Resolucin:

    r, h y k

    Centro: (h; k) = 2 6 2 5;2 2

    (h; k) = (4; 7/2)

    Dimetro: 2 22r 2 6 2 5 5

    r = 5/2

    Nos piden:

    2k r 1 7 1 25

    h 42 2 4 2 2 4

    7 25

    8 8

    2k rh 84 2

    Respuesta:B) 8

    Problema 3

    Un avin realiza una maniobra a veloci-

    dad supersnica, segn la trayectoria:

    2y2 x2= 48. Hallar la menor distancia

    de la trayectoria al punto (6;0).

    UNI 2002-II

    Nivel intermedio

    A) 9 B) 8 C) 7

    D) 6 E) 5

    Resolucin:

    Distancia d:

    2 2d (x 6) (y 0)

    2 2d (x 6) y

    Dato:2

    2 48 xy2

    22 48 xd x 12x 36

    2

    23(x 4) 72d

    2

    Para que d sea mnimo (x 4)2debe

    ser mnimo.

    2(x 4) 0

    72d 62

    Respuesta:D) 6

  • 8/9/2019 12. Trigonometria

    15/74

    15LIBRO UNI TRIGONOMETRA

    razones trigonomtricas dengulos de cualquier medida

    I. DEFINICINDiremos que un ngulo estar en posicin normal,

    estndar o cannica si su lado inicial pertenece al semieje

    positivo X (abscisas) y su vrtice coincida con el origen

    de coordenadas.

    Adems dependiendo de la ubicacin del lado final se

    dir que dicho ngulo pertenece a un determinado

    cuadrante.

    Por ejemplo:

    0

    III C

    135 II C

    TRIGONOMETRA

    40 IV C

    0

    II C

    II. NGULOS CUADRANTALES

    Son aquellos ngulos en posicin normal cuyo lado final

    pertenecen a alguno de los semiejes del sistema de

    coordenadas rectangulares.

    Por ejemplo:

    DESARROLLODEL TEMA

  • 8/9/2019 12. Trigonometria

    16/74

    16LIBRO UNI TRIGONOMETRA

    RAZONES TRIGONOMTRICAS DE NGULOS DE CUALQUIER MEDIDAExigimos ms!

    A. Definicin de razones trigonomtricas

    Sea " " la medida de un ngulo en posicin normal y P(x;y) un punto de su lado final. Las R.T. de " " sedefinen as:

    P(x; y)

    yOrdenada de P Abscisa de P xSen CosRadio vector r Radio vector r

    yOrdenada de P Abscisa de P xT an CotAbscisa de P x Ordenada de P y

    Radio vector r Radio vector rSec CscAbscisa de P x Ordenada de P y

    B. Razones trigonomtricas de ngulos cuadrantates

    Las R. T. de los ngulos cuadrantales se calculan de la misma forma como se calculan las R. T. de un ngulo en

    posicin normal. Para los principales ngulos cuadrantales, podemos resumir sus R. T. en la siguiente tabla:

    Sen Cos Tan Cot Sec Csc

    0 0 1 0 ND 1 ND

    90 1 0 ND 0 ND 1180 0 1 0 ND 1 ND270 1 0 ND 0 ND 1360 0 1 0 ND 1 ND

    (1; 0)1 1

    1

    1

    (0; 1)

    X

    Y

    (0; 1)

    Observacin:

    Ntese que se puede tomar cualquier punto

    del lado final; y an as siempre obtendremos el

    mismo resultado para una misma razn trigo-

    nomtrica.

    Aplicacin

    De la figura, si 1Tg7

    .

    Calcular x + y

    Resolucin

    Como 1Tg7

    , si calculsemos dicha tangente

    con el punto A o el punto B debemos obtener el

    mismo resultado, es decir 1/7.

    Luego:

    con B: 1 14tg y 27 y

    con A:1 3tg x 217 x

    x + y = (21) + (2) = 23

    Signos de las razones trigonomtricas

    Podemos observar a partir de la definicin que

    segn sea el cuadrante al cual pertenece el n-

    gulo, las R. T. de ste pueden ser tanto negati-

    vas como positivas. Esto ltimo lo podemos resu-

    mir en el siguiente grfico:

  • 8/9/2019 12. Trigonometria

    17/74

    17LIBRO UNI TRIGONOMETRA

    RAZONES TRIGONOMTRICAS DE NGULOS DE CUALQUIER MEDIDAExigimos ms!

    Problema 1

    Anal ice la verdad o falsedad de las

    siguientes proposiciones.

    a) Si Sen es negativo, entonces

    IIIC IVC.

    b) Si IIIC , entonces el producto

    Tan Sec es de signo negativo.

    A) FV

    B) FF

    C) VF

    D) VV

    E) N.A.

    Resolucin:

    a) Falso, porque si 270 , en el

    senes negativo (1), pero 270

    por ser cuadrantal no pertenece a

    ningn cuadrante.

    b) Verdadero, porque si IIIC , en-

    tonces tan es positivo y sec es

    negativo.

    Por lo tanto:

    tan sec 0

    Respuesta:A) FV

    Problema 2

    Halle el signo de P si:

    5 7P Sen Cos Tan Cos

    4 9 3

    A) (+)

    B) (+/)

    C) ()

    D) (+) ()

    E) N.A.

    Resolucin:

    Para identificar el signo de cada razn

    trigonomtrica, es necesario conocer

    el cuadrante del ngulo, as como se

    muestra en la figura.

    Por ejemplo:

    a) Si IIIQ tg 0 (positivo)

    b) Si IIQ cos 0 (negativo)

    III. NGULOS COTERMINALES

    Dos o ms ngulos son coterminales si estos poseenlos mismos elementos (vrtices, lado, inicial, lado final)

    Por ejemplo:

    y son coterminales

    Propiedades de los ngulos coterminales

    La diferencia de dos ngulos coterminales es un

    nmero entero de vueltas. Es decir, si y son

    ngulos coterminales; tal que .

    Se cumple: 360k k

    La R. T. de dos ngulos coterminales son siempre

    las mismas. As si y son ngulos coterminales,se cumple:

    R.T. R.T.

    IV. RELACIN ENTRE LAS RAZONESTRIGONOMTRICAS DE NGULOSNEGATIVOS CON NGULOS POSITI-VOS

    (x; y)

    r

    r

    (x; y)

    Sen ( ) = Sen

    Cos ( ) = Cos

    Tan ( ) = Tan

    Cot ( ) = Cot

    Sec ( ) = Sec

    Csc ( ) = Csc

    IMPAR

    PAR

    IMPAR

    IMPAR

    PAR

    IMPAR

    problemas resueltos

    o

  • 8/9/2019 12. Trigonometria

    18/74

    18LIBRO UNI TRIGONOMETRA

    RAZONES TRIGONOMTRICAS DE NGULOS DE CUALQUIER MEDIDAExigimos ms!

    Adems cos 1

    Reemplazando signos en P tenemos:

    P ( )( ) ( )( ) P ( ) ( )

    Respuesta:C) ()

    Problema 3

    Siendo A, B y C ngulos cuadrantales

    diferentes, positivos y menores o iguales

    a 360, adems se cumple:1-CosA + CosA-1 1 SenB...(1)

    CscB+ 2=|TanC-1|....(2)

    Determine el valor de A + B + C.

    A) 240

    B) 810

    C) 120

    D) 360

    E) 180

    Resolucin:

    Recordando el teorema:

    a 0 a 0

    Luego analizamos en la condicin (1)

    1 Cos A 0 y Cos A 1 0 Cos A 1 y Cos A 1

    Cos A 1 A 360 0;360

    Reemplazando Cos A = 1, en (1)

    1 1 1 1 SenB SenB 1

    B 270 0;360

    Reemplazado CscB = 1 en (2)

    1 2 | TanC| | TanC 1| 1

    Recordando el teorema:

    | a | b;b 0 a b a b

    Luego:

    Tan C 1 = 1 Tan C 1 = 1

    Tan C = 2 Tan C = 0

    Como A, B y C son diferentes y cua-

    drantales entonces C = 180.

    Finalmente:

    A + B + C = 360 + 270 + 180 = 810

    Respuesta: B) 810

  • 8/9/2019 12. Trigonometria

    19/74

    19LIBRO UNI TRIGONOMETRA

    REDUCCIN AL PRIMER

    CUADRANTE

    TRIGONOMETRA

    I. NGULO DE REFERENCIA

    El ngulo de referencia denotado por r , de un ngulo

    en posicin normal es el ngulo agudo formado por

    el lado final de dicho ngulo y el eje "X".

    Los siguientes grficos muestran ngulos en posicin

    normal con sus respectivos ngulos de referencia.

    Propiedad

    Si es un ngulo en posicin normal no cuadrantal tal

    que es menor que una vuelta entonces se cumpleque:

    R

    R

    R

    R

    Si IC

    Si IIC 180

    Si IIIC 180

    Si IVC 360

    Ejemplos:

    Calcula los ngulos de referencia r( ) de los siguientes

    ngulos en posicin normal ( ) .

    1. 40

    40 40 IC r 40

    2. 100

    100 100 IIC

    r 180 100 80

    3. 230

    230 230 IIIC

    r 230 180 50

    DESARROLLODEL TEMA

  • 8/9/2019 12. Trigonometria

    20/74

    20LIBRO UNI TRIGONOMETRA

    REDUCCIN AL PRIMER CUADRANTEExigimos ms!

    4. 290

    290 290 IVC

    r 360 290 70

    II. CLCULO DE NGULOS DE REFERENCIA

    PARA NGULOS MAYORES A UNA VUELTASi 1 vuelta entonces dividimos a entre 360 ycalculamos el r del ngulo residuo.

    Ejemplos:

    1. 2000 2000 360

    200 5

    Residuo = r200 III 200 180 20

    2. 1000 1000 360

    280 2

    Residuo = r280 IV 360 280 80

    3. 3400 3400 3400

    3400 360

    160 9

    Residuo = r160 II 180 160 20

    III. REDUCCIN DE UNA R.T. AL PRIMER

    CUADRANTEEs el proceso mediante el cual se determina el valor de

    una razn trigonomtrica utilizando su correspondiente

    ngulo de referencia.

    Propiedad

    Sea cualquier ngulo en posicin normal y R su ngulode referencia, entonces se verifica que las razones tri-

    gonomtricas de Ry tienen igual valor absoluto.

    R RR.T.( ) R.T.( ) R.T.( ) R.T.( )

    El signo del segundo miembro depender en que cua-

    drante se encuentra y de que R.T. se trate.

    Ejemplos:

    Reduce al primer cuadrante:

    1.

    r

    Sen200 Sen200 Sen20

    IIIC

    2.

    r

    Cos310 Sen310 Sen50

    I CV

    3.

    r

    Tan110 Tan110 Tan 70

    IIC

    4.

    r

    Sen( 140 ) Sen( 140 ) Sen 40

    IIIC

    5.

    r

    Cos2000 Cos 2000 Cos 20

    IIIC

    6.

    r

    Tan( 3400 ) Tan( 3400 ) Tan 20

    IIIC

    IV. CASOS ESPECIALES DE REDUCCIN

    A. Para ngulo negativos

    Si 0 ; entonces se cumple:

    Sen( ) Sen

    Cos( ) Cos

    Tan( ) Tan

    Cot( ) Cot

    Sec( ) Sec

    Csc( ) Csc

    B. Para ngulos complementarios

    Si 90 ; entonces se cumple:

    Sen Cos

    Tan CotSec Csc

    C. Para ngulos suplementarios

    Si 180 ; entonces se cumple:

    Sen Sen

    Cos Cos

    Tan Tan

    Cot Cot

    Sec Sec

    Csc Csc

    D. Para ngulos revolucionarios

    Si 360 se cumple:

    Sen Sen

    Cos Cos

    Tan Tan

    Cot Cot

    Sec Sec

    Csc Csc

  • 8/9/2019 12. Trigonometria

    21/74

  • 8/9/2019 12. Trigonometria

    22/74

    22LIBRO UNI TRIGONOMETRA

    REDUCCIN AL PRIMER CUADRANTEExigimos ms!

    Problema 3

    Reducir:

    Sen k x ;K

    A) Cosx (1) B) (1)kCosx

    C) Senx k D) (1)kSenx

    E) Cosk

    Resolucin: Sen k x Senk Cosx Cosk Senx

    k

    Cos(k )Senx

    ( 1) Senx

    Respuesta: D)

    k( 1) Senx

  • 8/9/2019 12. Trigonometria

    23/74

    23LIBRO UNI TRIGONOMETRA

    CIRCUNFERENCIA TRIGONOMTRICA:

    SENO - COSENO - TANGENTE

    TRIGONOMETRA

    I. DEFINICINEs aquella circunferencia inscrita en un sistema de co-ordenadas, su centro se ubica en el origen de coorde-nadas y su radio es igual a la unidad del sistema, raznpor la cual tambin se le suele llamar cincunferenciaunitaria (C.T. C.U.) La ecuacin de todo punto queest en la circunferencia trigonomtrica es: x2+ y2= 1y el crculo determinado por esta circunferencia es eldenominado crculo trigonomtrico.

    II. ELEMENTOS DE LA C.T.Y

    X

    A(1; 0) Origen de arcosB(0; 1) Origen de complementos

    A'(-1; 0) Origen de suplementosB'(0; 1) Sin nombre particularO(0; 0) Centro de la C.T..P(x; y) Punto cualquiera de la C.T..

    Ecuacin: x2+ y2= 1 radio: r = 1

    III. ARCO EN POSICIN NORMAL

    Un arco est en posicin normal, estandar o cannicacuando su extremo inicial este ubicado en el origen de

    arcos de la C.T.; el extremo final de estos arcos deter-minan el cuadrante al cual pertenecen.

    A. Ubicacin de ngulos en la C.T.

    B. Ubicacin de arcos en la C.T.

    Ejemplo: Ubicar los arcos cuyas medidas son 1, 2,3, 4, 5, 6 en la C.T.

    Resolucin: Para ubicar estos arcos en la C.T. re-emplazaremos el valor de como 3,14 en los arcoscuadrantales; obteniendo el esquema siguiente:

    DESARROLLODEL TEMA

  • 8/9/2019 12. Trigonometria

    24/74

  • 8/9/2019 12. Trigonometria

    25/74

    25LIBRO UNI TRIGONOMETRA

    CIRCUNFERENCIA TRIGONOMTRICA: SENO - COSENO - TANGENTEExigimos ms!

    1 sen 1

    mx(sen) = 1

    mn(sen) = 1

    B. Lnea coseno

    El coseno de un arco se representa en la C.T. me-diante la abscisa trazada por su extremo.

    Sabemos por teora que: cos = cos

    pero: xcos xr 1

    cos x

    En cada cuadrante

    Variacin analtica

    Rango de valores del coseno

    Y

    X

    1 cos 1

    mx(cos ) 1min(cos ) 1

    C. Lnea tangente

    Para representar la tangente de un arco en la C.T.trazamos primero el eje de tangentes (recta tan-gente a la C.T. trazada por el origen de arcos),luego se prolonga el radio que pasa por el extremodel arco hasta que corte el eje en un punto: la

    ordenada de este punto de interseccin nos re-presentar la tangente de arco. Y

    X

    Sabemos por teora que: tan = tan

    pero:y

    tan yr 1

    tan y

    En cada cuadrante

    Variacin analtica

    Rango de valores de la tangente

    t n lo cual implica que: tan

  • 8/9/2019 12. Trigonometria

    26/74

    26LIBRO UNI TRIGONOMETRA

    CIRCUNFERENCIA TRIGONOMTRICA: SENO - COSENO - TANGENTEExigimos ms!

    Problema 1

    En la figura mostrada, halle el rea dela regin triangular OQP.

    UNI 2004 - INivel fcil

    A)Sen Cos

    4

    B)Sen Cos

    8

    C)Sen Cos

    16 D)

    Sen Cos2

    E) Sen Cos

    Resolucin:

    el grfico: h Cos Sen Luego:

    2 Cos Sen1A4 2

    Sen CosA4

    Respuesta:A)Sen Cos

    4

    Problema 2

    En la figura, halle el rea de la regin

    sombreada.

    UNI 2005 - II

    Nivel intermedio

    A) 1 (Sen Cos Tan )2

    B) 1 (Sen Cos Tan )2

    C) 1 (Sen Cos Tan )2

    D) 1 (Sen Cos Cot )2

    E) 1 (Sen Cos Cot )2

    Resolucin:

    (1)( Cos ) ( Tan )(1 Cos )S2 2

    Reduciendo, obtenemos:

    1S (Sen Cos Tan )2

    Respuesta: A)1

    - (Sen Cos Tan )2

    Problema 3

    Consideremos la siguiente expresin:

    2f( ) sen( ) sen5 4

    donde: 5 5;6 4 entonces el rango

    de f se encuentra en el intervalo.UNI 2007- I

    Nivel difcil

    A)2 2;2 5

    B) 2 2;2 5

    C) 2 2;2 5

    D) 2 2,2 5

    E) 22,5

    Resolucin:

    Datos:

    5 56 4

    2 2f sen 5 2

    ..............(1)

    De la C.U.

    2 1 sen2 2

    2 2 2 1 sen 2 5 5 10

    2 2 20 sen 5 2 5

    2 2 2 2 sen 2 5 2 5

    2 2Ranf ,2 5

    Respuesta: D)2 2

    - ,2 5

    problemas resueltos

  • 8/9/2019 12. Trigonometria

    27/74

    27LIBRO UNI TRIGONOMETRA

    CIRCUNFERENCIA TRIGONOMTRICA:

    cotangente - secante - cosecante

    TRIGONOMETRA

    I. LNEA COTANGENTEPara representar la cotangente de un arco en la C.T.

    trazamos primero el eje de cotagentes (recta tangentea la C.T. trazada por el origen de complementos), luego

    se prolonga el radio que pasa por el extremo del arco

    hasta que corte al eje en un punto: la abscisa de este

    punto de interseccin ser la cotangente del arco.

    Sabemos por teora que: cot = cot

    pero:x

    cot xr 1

    cot x

    A. En cada cuadrante

    B. Variacin analtica

    C. Rango de valores de la cotangente

    cot

    lo cual implica que cot .

    II. LNEA SECANTE

    La secante de un arco se representa en la C.T. mediante

    la abscisa del punto que se determina al intersectar la

    recta tangente trazada a la C.T. por el extremo del

    arco y el eje de abscisas.

    DESARROLLODEL TEMA

  • 8/9/2019 12. Trigonometria

    28/74

    28LIBRO UNI TRIGONOMETRA

    CIRCUNFERENCIA TRIGONOMTRICA: COTANGENTE - SECANTE - COSECANTEExigimos ms!

    Sabemos por teora que: sec = sec

    pero: xsec x1

    sec x

    A. En cada cuadrante

    B. Variacin analtica

    C. Rango de valores de la secante

    sec 1 sec 1

    mx(sec ) =1

    mn(sec ) = 1relativos

    III. LNEA COSECANTELa cosecante de un arco se representa en la C.T.

    mediante la ordenada del punto al que se determina

    al intersecar la recta tangente a la C.T. trazada por el

    extremo del arco y el eje de ordenadas.

    Sabemos por teora que: csc = csc

    pero: y

    csc y1

    csc y

    A. En cada cuadrante

    B. Variacin analtica

    C. Rango de valores de la cosecante

  • 8/9/2019 12. Trigonometria

    29/74

    29LIBRO UNI TRIGONOMETRA

    CIRCUNFERENCIA TRIGONOMTRICA: COTANGENTE - SECANTE - COSECANTEExigimos ms!

    csc 1 csc 1

    mx(sec ) =1

    mn(sec ) = 1relativos

    Observacin

    Las coordenadas para el extremo de un arco en la C.T.

    independientemente del cuadrante en el cual est

    ubicado este arco, son coseno y seno de dicho arco

    respectivamente; tal como se observa en la figura:

    Como muestra determinaremos las coordenadas

    de los extremos de los arcos cuadrantes.

    IV. LNEAS TRIGONOMTRICAS AUXILIARES

    A. Senoverso o verso (Vers)

    Es el segmento de recta orientado desde el pie de

    la perpendicular que nos representa el seno hasta

    el origen de arcos de la O.T.

    Por definicin:

    Ver () = QA

    Pero en la figura:

    cos

    QA 1 cos

    Y

    X

    Ver( ) 1 cos

    B. Cosenoverso o coverso (Cov)

    Es el segmento de recta orientado desde el pie de

    la perpendicular que nos representa el coseno hasta

    el origen de complementos de la C.T.

    Por definicin:

    Cov() = RB

    Pero en la figura:sen

    RB 1 Sen

    Y

    X

    Cov( ) 1 sen

    C. Exsecante o external (exsec)

    Es el segmento de recta orientado desde el origen

    de arcos de la C.T. hasta el extremo final de la secante.

    Por definicin:

    exsec() = 4SPero en la figura: AS = Sec 1

    X

    Y

    Ex sec( ) sec 1

  • 8/9/2019 12. Trigonometria

    30/74

    30LIBRO UNI TRIGONOMETRA

    CIRCUNFERENCIA TRIGONOMTRICA: COTANGENTE - SECANTE - COSECANTEExigimos ms!

    A ' 1;0 ; T 1;Tan

    Formamos la matriz.

    Como tomamos los puntos en senti-

    do antihorario omitimos las barras, en-

    tonces:

    1S Tan Sen 0

    2

    Conclusin y respuesta

    Finalmente obtenemos:

    1S Tan Sen2

    Respuesta: B) 1

    Tan +Sen2

    Problema 3

    Hallar max minF F , si:

    F 2Sen 3Vers 4 cov

    UNI

    Nivel intermedio

    A) 18 B) 16

    C) 15 D) 14

    E) 12

    Resolucin:

    Se sabe que:

    1 Sen 10 vers 2

    0 cov 2

    luego:

    max

    min

    F 2(1) 3(0) 4(2) 10

    F 2( 1) 3(2) 4(0) 8

    Respuesta:A) 18

    Problema 1

    Ordenar de menor a mayor:

    1 1 1M Sen ,N Cot ,P Cos2 3 4

    UNI

    Nivel fcil

    A) M, N, P B) M, P, N

    C) P, N, M D) N, P, M

    E) P, M, N

    Resolucin:

    Los argumentos1 1 1

    , ,2 3 4

    estn en ra-

    dianes, los cuales se grafican y se traza

    las lneas trigonomtricas respectivas:

    Se observa que:

    1 1 1Sen Cos Cot

    2 4 3

    luego: M < P < N

    Respuesta: B) M, P, N

    Problema 2

    En la circunferencia trigonomtrica

    mostrada

    mAB'P , determine el reade la regin triangular A'MT.

    UNI 2010 - II

    Nivel fcil

    A) 1 tan sen2

    B) 1 tan sen2

    C) 1 tan sen2

    D) 1 tan sen2

    E) 1 cot cos2

    Resolucin:

    Ubicacin de incgnita:

    La circunferencia es trigonomtrica,

    nos piden el rea de la regin tr iangu-

    lar A'MT.

    Anlisis de los datos o grficos:

    Un mtodo eficaz para determinar el

    rea es aplicando el determinante de

    la matriz formada por las coordenadas

    de los puntos A', M y T.

    Del grfico obtenemos:

    P Cos ;Sen

    M Cos ; Sen

    problemas resueltos

  • 8/9/2019 12. Trigonometria

    31/74

    31LIBRO UNI TRIGONOMETRA

    CIRCUNFERENCIATRIGONOMTRICA: VARIACIONES

    TRIGONOMETRA

    En esta seccin, comprobaremos que toda vez que cambia un arco en posicin normal tambin cambian las razones

    trigonomtricas correspondientes. A continuacin presentamos las variaciones de cada R.T.

    A. Variacin del seno

    B. Variacin del coseno

    C. Variacin de la tangente

    DESARROLLODEL TEMA

  • 8/9/2019 12. Trigonometria

    32/74

    32LIBRO UNI TRIGONOMETRA

    CIRCUNFERENCIA TRIGONOMTRICA: VARIACIONESExigimos ms!

    D. Variacin de la cotangente

    E. Variacin de la secante

    F. Variacin de la cosecante

  • 8/9/2019 12. Trigonometria

    33/74

    33LIBRO UNI TRIGONOMETRA

    CIRCUNFERENCIA TRIGONOMTRICA: VARIACIONESExigimos ms!

    Un mtodo eficaz para determinar el

    rea es aplicando el determinante de

    la matriz formada por las coordenadas

    de los puntos A', M y T.

    Del grfico obtenemos:

    P Cos ;Sen

    M Cos ; Sen

    A ' 1;0 ; T 1; Tan

    Formamos la matriz.

    Como tomamos los puntos en senti-

    do antihorario omitimos las barras, en-

    tonces:

    1S Tan Sen 02

    Conclusin y respuesta

    Finalmente obtenemos:

    1S Tan Sen2

    Respuesta: B) 1

    Tan +Sen2

    Problema 1

    Ordenar de menor a mayor:

    1 1 1

    M Sen ,N Cot ,P Cos2 3 4

    UNI

    Nivel fcil

    A) M, N, P

    B) M, P, N

    C) P, N, M

    D) N, P, M

    E) P, M, N

    Resolucin:

    Los argumentos:

    1 1 1, ,2 3 4

    estn en radianes, los cuales se grafican

    y se traza las lneas trigonomtricas res-

    pectivas:

    Se observa que:

    1 1 1Sen Cos Cot

    2 4 3

    luego: M < P < N

    Respuesta: B) M, P, N

    Problema 2

    En la circunferencia trigonomtrica mos-

    trada mAB'P .

    Determine el rea de la regin trian-

    gular A'MT.

    UNI 2010 - II

    Nivel fcil

    A) 1

    tan sen2

    B) 1 tan sen2

    C) 1 tan sen2

    D) 1 tan sen2

    E) 1 cot cos2

    Resolucin:

    Ubicacin de incgnita:

    La circunferencia es trigonomtrica,

    nos piden el rea de la regin tr iangu-

    lar A'MT.

    Anlisis de los datos o grficos:

    problemas resueltos

  • 8/9/2019 12. Trigonometria

    34/74

    34LIBRO UNI TRIGONOMETRA

    CIRCUNFERENCIA TRIGONOMTRICA: VARIACIONESExigimos ms!

    Problema 3

    Hallar max minF F , si:

    F 2Sen 3Vers 4 cov

    UNI

    Nivel intermedioA) 18

    B) 16

    C) 15

    D) 14

    E) 12

    Resolucin:

    Se sabe que:

    1 Sen 1

    0 vers 2

    0 cov 2

    luego:

    max

    min

    F 2(1) 3(0) 4(2) 10

    F 2( 1) 3(2) 4(0) 8

    Respuesta:A) 18

  • 8/9/2019 12. Trigonometria

    35/74

    35LIBRO UNI TRIGONOMETRA

    IDENTIDADES TRIGONOMTRICASDEL ARCO SIMPLE

    TRIGONOMETRA

    I. IGUALDADDos expresiones sern iguales en los reales si paracualquier valor real asignado a sus variables; los valores

    numricos de estas expresiones son tambin iguales;dentro de estas igualdades encontramos las ecuaciones

    y las identidades; es decir:

    E x P x

    x

    VN E VN P

    II. ECUACINEs una igualdad que se verifica para cierto nmero de

    valores asignados a la variable; valores que reciben el

    nombre de soluciones de la ecuacin.2x 3 5 ; se cumple para x 1

    Ecuaciones 22x 1 7 ; se cumple para x 2

    x 1 5 ; se cumple para x 3

    Solucin de

    la ecuacin

    III. IDENTIDADEs una igualdad que se verifica para todo valor real ()

    asignado a la variable.

    2x 4 x 2 x 2 ; se cumple x

    Identidades 2 2x 2 x 4x 4 , se cumple x

    3 2x 1 x 1 x x 1

    , se cumple x

    Observacin

    Hay expresiones como las trigonomtricas en las cuales

    las variables no se encuentran libres sino que se en-

    cuentran en el ngulo, es decir, que las variables se

    encuentran afectadas de algn operador, razn por la

    cual no se le puede asignar un valor real cualquiera ya

    que podra dejar de existir la expresin, surgiendo as el

    concepto de valor admisible o permitido para una

    variable.

    IV. VALOR ADMISIBLE (VA)Para una expresin, se llama valor admisible de su va-

    riable a aquel valor asignado a sta, para el cual la ex-

    presin est definida en los reales ().

    Ejemplo: x 1E xx , para x = 1; E 1 2

    x 1 es un "VA" para E(x)

    .

    Ejemplo: E x tanx , para x4

    ; E 14

    x4 es un "VA" para E(x).

    Ejemplo: 2x 3

    E Xx 2

    , para x 2 ; 7

    E 20

    (No existe)

    2 ; No es "VA" para E(x).

    Ejemplo:1 senx

    E(X)cosx

    , para x2

    ;2

    E2 0

    (No existe)

    x2

    ; NO ES "VA" PARA E(x).

    V. CAMPO DE VALORES ADMISIBLES (CVA)Para una expresin, el campo de valores admisibles de

    una variable (CVA), es el conjunto formado por todos

    los valores admisibles de dicha variable; es decir:

    CVA para VALORESDE"X "E x / " x " es un VA para E(x)

    Ejemplo: 2x 1E(x)x 1

    E x x 1

    CVA x / x 1

    DESARROLLODEL TEMA

  • 8/9/2019 12. Trigonometria

    36/74

    36LIBRO UNI TRIGONOMETRA

    IDENTIDADES TRIGONOMTRICAS DE ARCO SIMPLEExigimos ms!

    Ejemplo: E(x) x 2 E x x 2

    CVA x / x 2;

    Ejemplo:

    4E(x)Senx

    E x Senx 0 x k ; k

    CVA x / x k

    Ejemplo:

    3

    E(x)Cosx1

    E X Cosx 1 x 2k ; k

    CVA x / x 2k

    VI. IDENTIDADES TRIGONOMTRICASEs una igualdad establecida entre expresiones que

    involucran razones trigonomtricas de una o ms va-

    riables, las cuales se verifican para todo valor admisible

    de dichas variables.

    Ejemplo:La igualdad: 2 2Sen x Cos x 1 , se verifica

    para cualquier valor real que le asignemos a la variable

    x; por consiguiente:

    2 2Sen x Cos x 1 es una identidad x

    Ejemplo:La igualdad:Senx

    TanxCos x

    , no est definida

    para: 3 5x ... , , ,...2 2 2 es decir para x 2k 1

    2

    ;

    k luego la igualdad se verifica para cualquier valor

    que le asignemos a la variable x, tal que: x (2k 1)2 ;

    k . Por consiguiente:Senx

    TanxCos x

    es una iden-

    tidad x 2k 1 2

    .

    Ejemplo:La igualdad 1CscxSenx

    , no est definida

    para: x ..,0, ,2 ,.. es decir para x k ; k,luego la igualdad se verifica para cualquier valor que le asig-

    nemos a la variable x, tal que x k ;k ; por consi-

    guiente: 1Csc xSenx

    es una identidad x k

    VII.IDENTIDADES TRIGONOMTRICASFUNDAMENTALESSe denomina a las igualdades obtenidas al relacionar

    las lneas trigonomtricas de un mismo arco en la cir-

    cunferencia trigonomtrica (C.T.)

    En la figura se observa:

    OBM OPT

    PT BM cot

    OAN OPS

    PS AN tan

    P cos ;sen C.T. Debe cumplir la ecuacin:

    x y 2 2x y 1

    Reemplazamos:x Cos

    y Sen

    2 2Sen Cos 1

    P Cos ;Sen Lf Las "rt " se obtienen

    utilizando: x Cos ; y Sen y r = 1.

    r 1

    Cscy Sen

    r 1

    Secx Cos

    y Sen

    Tanx Cos

    x Cos

    Coty Sen

    OPS (teorema de Pitgoras)

    2 2 2OP PS OS 2 21 Tan Sec

    OPT (teorema de Pitgoras)

    2 2 2OP PT OT

    2 21 Cot Csc

    A. Clasificacin de las identidades fundamentales

    1. Identidades pitagricas

    2 2Sen x Cos x 1 x

  • 8/9/2019 12. Trigonometria

    37/74

    37LIBRO UNI TRIGONOMETRA

    IDENTIDADES TRIGONOMTRICAS DE ARCO SIMPLEExigimos ms!

    Problema 1

    Si:3 1

    Senx Cosx2

    entonces el va-

    lor de M = Senx + Cosx es:

    UNI 2008 - II

    Nivel fcil

    A) 3 2

    2

    B)2 3

    3

    C)3 2

    3

    D)

    2 3

    2

    E)3 2

    2

    Resolucin:

    Nos piden M = senx + cosx

    Y como 3 1sen x cos x2

    Por las identidades de Legendr:

    2 2 2 2(a b) (a b) 2(a b )

    2 2

    2

    2

    (sen x cos x) (sen x cos x) 2

    3 1M 22

    2 2 3M2

    2 3M

    2

    Respuesta: D)2 3

    2

    Problema 2

    Halle la suma de las soluciones positivas

    menores de 2 de la siguiente ecua-

    cin: 22Tan x Sec x 1 0 UNI 2006 - II

    Nivel intermedio

    A)4

    B)3

    C)2

    D)

    E) 2

    2 21 Tan x Sec x x 2k 1 ; k 2

    2 21 Cot x Csc x x k ; k

    2. Identidades recprocas

    Sen xCsc x 1 x k ; k

    Cos x .Sec x 1 x 2k 1 ; k 2

    Tan x.Cot x 1 x k ; k 2

    3. Identidades de divisin

    SenxTanx

    Cos x x 2k 1 ; k 2

    CosxCot x

    Senx x k ; k

    VIII.IDENTIDADES TRIGONOMTRICASAUXILIARESAparte de las identidades trigonomtricas fundamen-

    tales, hay aquellas igualdades que aparecen frecuen-

    temente en la resolucin de problemas y su conoci-

    miento sera de mucha utilidad para facilitar la resolu-

    cin de estos problemas; estas igualdades son de sim-

    ple verificacin y en muchos casos son consecuencia

    directa de operaciones algebraicas elementales; den-

    tro de estas tenemos:

    4 4 2 2Sen x Cos x 1 2Sen x Cos x

    6 6 2 2Sen x Cos x 1 3Sen x .Cos x

    Tan x Cot x Sec x.Csc x

    2 2 2 2Sec x Csc x Sec x.Csc x

    4 4 2 2Sen x Cos x Sen x Cos x

    4 4 2 2Sec x Tan x Sec x Tan x

    4 4 2 2Csc x Cot x Csc x Cot x

    2Senx Cos x 1 2Sen xCos x

    2

    1 Senx Cos x 2 1 Sen x 1 Cos x

    De: 2 2Sen x 1Cos x 1 Cos x 1Cos x

    Senx 1 Cos x Senx 1 Cos x

    1 Cos x Senx 1 Cos x Senx

    x k; k

    De: 2 2Cos x=1Sen x= 1+Senx 1Senx

    Cos x 1 Senx Cos x 1 Senx

    1 Sen x Cos x 1 Senx Cos x

    x 2k 1 ;k 2

    Si: 2 2aSenx b Cosx a b

    2 2 2 2

    a bSenx Cos x

    a b a b

    problemas resueltos

  • 8/9/2019 12. Trigonometria

    38/74

  • 8/9/2019 12. Trigonometria

    39/74

    39LIBRO UNI TRIGONOMETRA

    IDENTIDADES TRIGONOMTRICAS DEL

    ARCO COMPUESTO PARA DOS VARIABLES

    TRIGONOMETRA

    I. NGULO COMPUESTO

    Es aquel que se puede expresar mediante una combi-

    nacin lineal de otros ngulos; as por ejemplo:

    x y : es un ngulo compuesto por dos ngulos.

    2x 3y : es un ngulo compuesto por dos ngulos.

    x y z : es un ngulo compuesto por tres ngulos.

    2x 3y 4z : es un ngulo compuesto por tres ngulos.

    II. RAZONES TRIGONMETRICAS DENGULOS COMPUESTOS

    Cuando los operadores trigonomtricos afectan a n-

    gulos compuestos, se definen operaciones matemticas

    que no se efectan como multiplicaciones algebraicas,

    as por ejemplo:

    Sen(x y) Senx Seny

    Cos(x y) Cosx Cosy

    Tan(x y) Tanx Tany

    Cot(x y) Cotx Coty

    III. IDENTIDADES TRIGONOMTRICASPARA LA SUMA DE DOS NGULOS

    Estas igualdades se verifican para todos los valores admi-sibles de sus variables y son las siguientes:

    Ejemplo:

    Calcule el valor de Sen75.

    Resolucin:

    Expresamos nuestro ngulo que es "75" en funcin

    de ngulos conocidos por ejemplo "45 + 30", para

    luego aplicar las identidades de la suma de ngulos.

    Sen75 = Sen(45 + 30) = Sen45Cos30 + Cos45 . Sen30

    2 3 2 1Sen75 . .

    2 2 2 2

    6 2Sen754

    IV. IDENTIDADES TRIGONOMTRICASPARA LA DIFERENCIA DE DOS NGULOS

    Estas igualdades se verifican para todos los valores ad-

    misibles de sus variables y son las siguientes:

    DESARROLLODEL TEMA

  • 8/9/2019 12. Trigonometria

    40/74

  • 8/9/2019 12. Trigonometria

    41/74

    41LIBRO UNI TRIGONOMETRA

    IDENTIDADES TRIGONOMTRICAS DEL ARCO COMPUESTO PARA DOS VARIABLESExigimos ms!

    2 2

    2 2

    Sen(x y)Sen(x y) Sen x Sen y

    Sen(x y)Sen(x y) Cos y Cos x

    2 2Cos(x y)Cos(x y) Cos x Sen y

    Tan(x y) Tanx Tany Tanx Tany Tan(x y)

    Importante:

    a,b,x 2 2 2 2

    f(x) aSenx bCosx

    a b f(x) a b

    a,b x 2 2 baSenx bCosx a b S en(x ) s i Tan

    a

    Problema 1

    Si:

    4x 3xtan a y tan b7 7 entonces al simplificar:

    2 2 xE (1 a b ) tan(x) tan 7 se obtiene:

    UNI 2011-II

    A) a b

    B) a2 b2

    C) a + b

    D) abE) a/b

    Resolucin:

    Ubicacin de incgnita

    Simplificar:

    2 2 xE (1 a b ) Tanx Tan 7

    Anlisis de los datos o grficos

    4x 3xTan a; Tan b7 7

    Operacin del problema

    * Aplicacin de la frmula, teorema

    o propiedad

    4x 3xTan(x) Tan

    7 7

    4x 3xTan Tan

    7 74x 3x1 Tan Tan7 7

    x 4x 3xTan Tan7 7 7

    4x 3xTan Tan

    7 74x 3x1 Tan Tan7 7

    * Solucin del problema

    2 2

    2 2

    (a b) (a b)E (1 a b )

    (1 ab) (1 ab)

    (1 a b )

    2 2

    2 2

    (a b )

    (1 a b )

    2 2(a b )

    Conclusiones y respuesta:

    2 2E a b

    Respuesta: B) a2 b2

    Problema 2

    En un tringulo acutngulo ABC. Cal-

    cule el valor de:

    cos(A B) cos(B C) cos(A C)

    E senA senB senB senC senA senC

    UNI 2011-I

    A) 3 B) 4

    C) 5 D) 6

    E) 8

    Resolucin:

    Ubicacin de incgnita

    Nos piden simplificar la expresin E:

    cos(A B) cos(B C) cos(A C)

    E senA senB senB senC senA senC

    Anlisis de los datos o grficos

    Si A + B + C = 180

    cot A cot B cot B cot C cot A cot C 1

    Operacin del problema

    Aplicamos la propiedad:

    cos( )cot cot 1

    sen sen

    E cot A cotB 1cotB cot C 1 cot Acot C 1

    1

    E 3 cotA cotB+cotB cotC+cotA cotC

    E = 4

    Respuesta: B) 4

    Problema 3

    De la figura, calcular Tan .

    45

    10

    4 2

    UNI

    Nivel intermedio

    A)37

    B)47

    C)74

    D)94

    E)84

    problemas resueltos

  • 8/9/2019 12. Trigonometria

    42/74

    42LIBRO UNI TRIGONOMETRA

    IDENTIDADES TRIGONOMTRICAS DEL ARCO COMPUESTO PARA DOS VARIABLESExigimos ms!

    Resolucin:

    10

    2

    2

    46

    4

    2 1Tan

    6 3

    2 1Tan10 5

    Tan TanTan Tan( )

    1 Tan Tan

    1 18 43 5Tan

    1 1 17 713 5

    Respuesta: B) 47

  • 8/9/2019 12. Trigonometria

    43/74

    43LIBRO UNI TRIGONOMETRA

    IDENTIDADES TRIGONOMTRICAS DEL

    ARCO COMPUESTO PARA TRES VARIABLES

    TRIGONOMETRA

    I. SENO DE LA SUMA DE TRES ARCOS

    Sen( ) Sen Cos Cos Sen Cos Cos

    Sen Cos Cos Sen Sen Sen

    Demostracin:

    Sen( ) Sen[ ( )]

    Sen( ) Sen Cos( ) Cos Sen( )

    Sen( ) Sen (Cos Cos Sen Sen )

    Cos (Sen Cos Cos Sen )

    Sen( ) Sen Cos Cos Sen Sen Sen

    Sen Cos Cos Sen Cos Cos

    Sen( ) Sen Cos Cos Sen Cos Cos

    Sen Cos Cos Sen Sen Sen

    Ejemplo 1:

    Sen6x = Sen(x + 2x + 3x)

    Sen6x = SenxCos2xCos3x + Sen2xCosxCos3x +

    Sen3xCosxCos2x SenxSen2xSen3x

    Ejemplo 2:

    Sen20 = Sen(2 + 8 + 10)

    Sen20 = Sen2Cos8Cos10 + Sen8Cos2Cos10 +

    Sen10Cos2Cos8 Sen2Sen8Sen10

    III. COSENO DE LA SUMA DE TRES ARCOS

    cos( ) cos cos cos cos sen sen

    cos sen sen cos sen sen

    Demostracin:

    Cos( ) Cos[ ( )]

    Cos( ) Cos Cos( ) Sen Sen( )

    Cos( ) Cos (Cos Cos Sen Sen )

    Sen (Sen Cos Cos Sen )

    Cos( ) Cos Cos Cos Cos Sen Sen

    Cos Sen Sen Cos Sen Sen

    Cos( ) Cos Cos Cos Cos Sen Sen

    Cos Sen Sen Cos Sen Sen

    Ejemplo 1:

    Cos12x = Cos(2x + 4x + 6x)

    Cos12x = Cos2xCos4xCos6x Cos2xSen4xSen6x

    Cos4xSen2xSen6x Cos6xSen2xSen4x

    Ejemplo 2:

    Cos15 = Cos(3 + 5 + 7)

    Cos15 = Cos3Cos5Cos7 Cos3Sen5Sen7

    Cos5Sen3Sen7 Cos7Sen3Sen5

    IV. TANGENTE DE LA SUMA DE TRES ARCOS

    Tan Tan Tan Tan Tan Tan

    Tan( ) 1 Tan Tan Tan Tan Tan Tan

    Demostracin:

    Tan( ) Tan[ ( )]

    Tan Tan( )Tan( )

    1 Tan Tan( )

    Tan TanTan

    1 Tan TanTan( )

    Tan Tan1 Tan

    1 Tan Tan

    Tan Tan Tan Tan Tan Tan

    1 Tan TanTan( )

    1 Tan Tan Tan Tan Tan Tan

    1 Tan Tan

    Tan Tan Tan Tan Tan TanTan( )

    1 Tan Tan Tan Tan Tan Tan

    Ejemplo 1:Tan10x = Tan(2x + 3x + 5x)

    Tan2x Tan3x Tan5x Tan2xTan3xTan5xTan10x1 Tan2xTan3x Tan3xTan5x Tan2xTan5x

    DESARROLLODEL TEMA

  • 8/9/2019 12. Trigonometria

    44/74

    44LIBRO UNI TRIGONOMETRA

    IDENTIDADES TRIGONOMTRICAS DEL ARCO COMPUESTO PARA TRES VARIABLESExigimos ms!

    Problema 1

    Simplificar:

    1tan

    cot( )p

    tan1cot( )

    UNI 1981

    Nivel fcil

    A) tan tan

    B) tan tan

    C) cot

    D) tan

    E) cot

    Resolucin:

    1tan

    cot( ) tan tan( )p

    tan 1 tan tan( )1cot( )

    p tan( ( )) tan

    Respuesta:D) tan

    Problema 2

    Dadas las ecuaciones:

    Sen(x 45) Sen(x + 45) = p

    Cos(x 60) Cos(x + 60) = q

    Calcule el valor de (p + q).

    UNI 2006 - II

    Nivel intermedio

    A) 1/4

    B) 0

    C) 1/4

    D) 1/3

    E) 1/2

    Resolucin:

    Se sabe que:

    2 2Sen( ) Sen ( ) Sen Sen

    2 2Cos ( ) Cos ( ) Cos Sen

    En el problema:

    Sen (x 45 ) Sen (x 45 ) p

    22 1Sen x p .... (I)

    2

    Cos (x 60 ) Cos(x 60 ) q

    22 3Cos x q .... (II)

    2

    (I) + (II):

    2 2 1 3Sen x Cos x p q2 4

    5 1p q 1 p q4 4

    Respuesta:A)1

    4

    Problema 3

    Sean ; ; los ngulos internos de un

    tringulo, tal que:

    (tan )(tan )(tan ) 2006

    Entonces podemos afirmar que el valor

    de 1 tan tan tan es:

    UNI 2008 - I

    Nivel difcil

    A) 2006

    B) 2007

    C) 2008D) 2009

    E) 2010

    Resolucin:

    Condicin: 180

    tan tan tan tan tan tan

    Por dato:

    tan tan tan 2006

    Entonces:

    tan tan tan 2006

    1 tan tan tan 2007

    Respuesta:B)2007

    Ejemplo 2:

    Tan12 = Tan(2 + 4 + 6)

    Tan2 Tan4 Tan6 Tan2 Tan4 Tan6Tan121 Tan2 Tan4 Tan4 Tan6 Tan2 Tan6

    IV. PROPIEDADES PARA TRES NGULOS

    Estas propiedades se cumplen siempre que los tres

    ngulos estn relacionados bajo una condicin:

    Siendo:

    x y z K , K Z

    Tanx Tany Tanz TanxTanyTanz

    CotxCoty CotxCotz CotyCotz 1

    Siendo:

    x y z (2K 1) ; K Z2 2

    Cotx Coty Cotz CotxCotyCotz

    TanxTany TanxTanz TanyTanz 1

    problemas resueltos

  • 8/9/2019 12. Trigonometria

    45/74

    45LIBRO UNI TRIGONOMETRA

    IDENTIDADES TRIGONOMTRICASDEL ARCO DOBLE

    TRIGONOMETRA

    El objetivo es expresar las razones trigonomtricas del arco

    doble (2x; 2y; 2x; ...) en trminos de las razones del arco

    simple (x; y; z; ...) para lo cual partiremos de las identidades

    del arco compuesto.

    I. SENO DEL ARCO DOBLE

    Sen2x 2Senx.Cosx

    Demostracin:

    Sen2x = Sen(x + x)

    = Senx.Cosx + Cosx.Senx

    = 2Senx.Cosx

    II. COSENO DEL ARCO DOBLE2 2Cos2x Cos x Sen x

    Demostracin:

    Cos2x = Cos(x + x)

    = Cosx.Cosx Senx.Senx

    = Cos2x Sen2x

    Reemplazando Sen2x = 1 Cos2x

    Cos2x = Cos2x (1 Cos2x)

    2Cos2x 2Cos x 1

    Demostracin:

    Reemplazando Cos2x = 1 Sen2x

    Cos2x = 2(1 Sen2x) 1

    2 2Sen2x 1

    2Cos2x 1 2Sen x

    III. TANGENTE DEL ARCO DOBLE

    2

    2TanxTan2x

    1 Tan x

    Demostracin:

    Tan2x = Tan(x + x)

    Tanx Tanx1 Tanx.Tanx

    2

    2Tanx

    1 Tan x

    Ejemplos:

    Sen14 = 2Sen7.Cos7

    Sen6 = 2Sen3 .Sen3

    2Sen17 . Cos17 = Sen34

    Cos10 = Cos25 Sen25

    Cos23 Sen23 = Cos6

    2

    2Tan3Tan61 3Tan 3

    2

    2Tan5 Tan101 Tan 5

    IV. SENO DEL ARCO DOBLE EN FUNCINDE LA TANGENTE DEL ARCO SIMPLE

    2

    2TanxSen2x1 Tan x

    Demostracin:

    Sen2x = 2Senx.Cosx

    =2

    2

    Sec x(2Senx.Cosx)Sec x

    = 22Senx.Secx

    Sec x

    =2

    2SenxCosx

    1 Tan x= 2

    2Tanx

    1 Tan x

    DESARROLLODEL TEMA

  • 8/9/2019 12. Trigonometria

    46/74

    46LIBRO UNI TRIGONOMETRA

    IDENTIDADES TRIGONOMTRICAS DEL ARCO DOBLEExigimos ms!

    V. COSENO DEL ARCO DOBLE EN FUNCINDE LA TANGENTE DEL ARCO SIMPLE

    2

    2

    1 Tan xCos2x1 Tan x

    Demostracin:

    Cos2x = Cos2x Sen2x

    =2

    2 22

    Sec x(Cos x Sen x)Sec x

    =2 2

    2

    Sen x.Sec x1Sec x

    =

    2

    2

    2

    1 Sen x

    Cos x

    1 Tan x

    =

    2

    2

    1 Tan x

    1 Tan x

    VI. FORMAS CUADRTICAS DEL SENO YCOSENO

    22Sen x 1 Cos2x

    22Cos x 1 Cos2x

    Demostracin:

    De Cos2x = 1 2Sen2x

    2Sen2x = 1 Cos2x

    De Cos2

    x = 2Cos2

    x 1

    2Cos2x = 1 + Cos2x

    Ejemplos:

    2Sen210 = 1 Cos20

    2Cos2217 = 1 + Cos34

    1 Cos6 = 2Sen23

    1 + Cos8 = 2Cos24

    VII. EXPRESIONES LINEALES DE:

    8sen4x 8cos4x

    48Sen x 3 4Cos2x Cos4x

    48Cos x 3 4Cos2x Cos4x

    Demostracin:

    8Sen4x = 2(2Sen2x)2

    = 2(1 Cos2x)

    = 2(1 2Cos2x + Cos22x)

    = 2 4Cos2x + 2Cos22x

    = 2 4Cos2x + 1 + Cos4x

    = 3 4Cos2x + Cos4x

    Ejemplos:

    8Sen410 = 3 4Cos20 + Cos40

    8Cos43x = 3 + 4Cos6x + Cos12x

    VIII.IDENTIDADES AUXILIARES

    Demostracin:

    Cotx + Tanx = Cosx SenxSenx Cosx

    =2 2Cos x Sen x

    Senx Cosx

    =1

    Senx Cosx

    =2

    2Senx Cosx

    =2

    Sen2x

    =12

    Sen2x

    = 2Csc2x

    Tan2xSec2x 1Tanx

    Sec2x 1 Tan2x Tanx

    Demostracin:

    1Sec2x 1 1

    Cos2x

    =1 Cos2x

    Cos2x

    =22Cos x Sen2x

    Cos2x Sen2x

    =22 Cos xSen2x

    Cos2x 2Senx Cosx

  • 8/9/2019 12. Trigonometria

    47/74

    47LIBRO UNI TRIGONOMETRA

    IDENTIDADES TRIGONOMTRICAS DEL ARCO DOBLEExigimos ms!

    Problema 1

    Para el crculo trigonomtrico que se

    muestra en la figura, calcule: y Sen2 .

    Nivel fcil

    2005 - I

    2

    2

    A) 45

    B)35

    C) 25

    D)15

    E) 0

    Resolucin:

    Del grfico:

    Tg 2

    2

    2TgSen2

    1 Tg

    2

    2( 2) 4Sen251 ( 2)

    Respuesta:A)-

    Problema 2

    Calcule el rango de la funcin:

    2f(x) 2(Cos2x 3)( 2 Sen x) , x IR

    Nivel intermedio

    2005 - II

    A) 7,23 B) 8,23

    C) 8,24 D) 8,25

    E) 7,25

    Resolucin:

    2

    2

    f(x) 2(Cos2x 3)( 2 Sen x)

    1 2Sen x

    2 2f(x) 4(Sen x 2)(Sen x 1)

    4 2f(x) 4(Sen x 3Sen x 2)

    22 3 1f(x) 4 Sen x

    2 4

    2x 0 Sen x 1

    Construyendo f(x), obtenemos:

    22 3 18 4 Sen x 24

    2 4

    Finalmente el rango es:

    8;24

    Respuesta:C)

    Problema 3

    Si: sen8a + cos8a es igual a la expresin:

    A + Bcos4a + Ccos8a

    para cualquier valor real de a.

    Halle A + B + C.

    2007 - I

    = 1Tan2xSenxCosx

    =Tan2xTanx

    1 Sen2x Senx Cosx

    1 Sen2x Senx Cosx

    Demostracin:

    1 Sen2x = 2 2Sen x Cos x 2Senx Cosx

    = 2(Senx Cosx)

    = Senx Cosx

    4 4 3 Cos4xSen x Cos x4

    6 6 5 3Cos4xSen x Cos x8

    Demostracin:

    Sen4x + Cos4x = 1 2Sen2x Cos2x

    =211 (2Senx Cosx)

    2

    =21 1 Sen 2x

    2 2

    =21 1 (2Sen 2x)

    2 4

    =1 1 (1 Cos4x)2 4

    =3 Cos4x

    4

    problemas resueltos

  • 8/9/2019 12. Trigonometria

    48/74

    48LIBRO UNI TRIGONOMETRA

    IDENTIDADES TRIGONOMTRICAS DEL ARCO DOBLEExigimos ms!

    A)132

    B)116

    C)18

    D)14

    E) 1

    Resolucin:

    Como:

    2sen2a = csc2a + 1,

    Elevando al cuadrado:

    23 . sen4a = cos4a 4cos2a + 3

    27sen8a = cos8a 8cos6a + 28cos4a

    56cos2a+35 ...... (i)

    Analogamente:

    27.cos8a = cos8a + 8cos6a + 28cos4a

    + 56cos2a + 35 .. (ii)

    Sumando (i), (ii), se tiene:

    27. (sen8a + cos8a) = 2cos8a + 56cos4a + 70

    Luego:

    8 8 1 28 35sen a cos a .cos 8a cos 4a64 64 64

    Por dato:

    sen8a + cos8a = A + Bcos4a + C.cos8a

    1 28 35A B C 164 64 64

    Observacin:

    Una forma prctica de comprobar que

    la suma de coeficientes es igual a la

    unidad, es asignar la variable un valor

    arbitrario en la identidad planteada.

    sen8a + cos8a = A + Bcos4a + c + cos8a

    Para a = 0

    8 8

    1 10 1

    sen 0 cos 0 A B cos 0 C.cos 0

    A B C 1

    Respuesta:E) 1

  • 8/9/2019 12. Trigonometria

    49/74

    49LIBRO UNI TRIGONOMETRA

    IDENTIDADES TRIGONOMTRICASPARA EL ARCO MITAD

    TRIGONOMETRA

    DEFINICIN

    El objeto de estas igualdades es expresar las razones

    trigonomtricas del ngulo mitadx

    ; ;....;2 2 2

    en trminos

    de las razones trigonomtricas del ngulo simple ( ; ;....; x) ;

    estas igualdades son vlidas para todos los valores admisibles

    de sus variables.

    I. IDENTIDADES FUNDAMENTALES

    x 1 CosxSen x2 2

    x 1 CosxCos x2 2

    x 1 CosxTan x {(2n 1) );n2 1 Cosx

    x 1 CosxCot x {2n );n2 1 Cosx

    Observacin

    La eliminacin del valor absoluto depende del

    cuadrante en el cual se ubique el arco mitadx

    2

    ;

    s por ejemplo:

    Si:x xIIC Sen ser ( )2 2

    Si: x xIIIC Cos ser ( )2 2

    Si:x xIVC Tan ser ( )2 2

    II. IDENTIDADES AUXILIARES

    x 1 CosxTan Cscx Cotx2 Senx

    x 1 CosxCot Cscx Cotx2 Senx

    III. DEMOSTRACIN DE LAS IDENTIDADESFUNDAMENTALES

    * Demostracin de: x 1 CosxSen2 2

    Sabemos que: 22Sen 1 Cos2 ; haciendo: x2

    Tendremos:

    2 2x x 1 Cosx2Sen 1 Cosx Sen2 2 2

    x 1 CosxSen2 2

    * Demostracin de: x 1 CosxCos2 2

    Sabemos que: 22Cos 1 Cos2 ; haciendo: x2

    Tendremos:

    2 2x x 1 Cosx2Cos 1 Cosx Cos2 2 2

    x 1 CosxCos2 2

    * Demostracin de: x 1 CosxTan2 1 Cosx

    DESARROLLODEL TEMA

  • 8/9/2019 12. Trigonometria

    50/74

    50LIBRO UNI TRIGONOMETRA

    IDENTIDADES TRIGONOMTRICAS DEL ARCO MITADExigimos ms!

    Sabemos que:

    xSen

    2xTan2 xCos

    2

    Reemplazando:x xSen y Cos2 2

    Tendremos:

    1 Cosxx 2Tan2 1 Cosx

    2

    x 1 CosxTan2 1 Cosx

    * Demostracin de: x 1 CosxCot2 1 Cosx

    Sabemos que:

    xCos2xCot

    2 xSen2

    Reemplazando:

    x xSen y Cos2 2

    Tendremos:

    1 Cosxx 2Cot2 1 Cosx

    2

    x 1 CosxCot2 1 Cosx

    IV. IDENTIDAD RACIONALIZADA DELARCO MITAD

    A.x

    Tan Cscx Cotx2

    Demostracin de:

    xTan Cscx Cotx2

    Sabemos que:

    xSenx 2Tan2 xCos

    2

    ; multiplicando por:

    x2Sen2

    (Numerador y denominador), tendremos:

    2

    Senx

    x x xSen 2Sen 2Sen

    x 1Cosx2 2 2Tan .x x x x2 Senx

    Cos 2Sen 2Sen Cos2 2 2 2

    x 1 CosxTan 2 Senx Senx

    xTan Cscx Cotx2

    B.x

    Cot Cscx Cotx2

    Demostracin de: xCot Cscx Cotx2

    Sabemos que:

    xCosx 2Cot

    x2Sen

    2

    ; multiplicando por:

    x2Cos

    2 (numerador y denominador), tendremos:

    2

    Senx

    x x xCos 2Cos 2Cos 1 Cosxx 2 2 2Cot2 x x x x Senx

    Sen 2Cos 2Sen Cos2 2 2 2

    x 1 CosxCot

    2 Senx Senx

    xCot Cscx Cotx2

    V. IDENTIDADES AUXILIARESSabemos:

    xCscx Cotx Cot ..... I2

    xCscx Cotx Tan ..... II2

    x x

    I II 2Cscx Cot T an2 2

    x xI II 2Cotx Cot T an2 2

    Ejercicios de aplicacin:

    Csc40 Cot40 Cot20

    Csc6 Cot6 Tan3

    Cot20 Tan20 2Csc40

    Cot12 Tan12 2Cot24

  • 8/9/2019 12. Trigonometria

    51/74

    51LIBRO UNI TRIGONOMETRA

    IDENTIDADES TRIGONOMTRICAS DEL ARCO MITADExigimos ms!

    Problema 1

    De la siguiente igualdad:

    3

    1Sen10

    6 ATan20 B1

    Cos206

    Halle (A + B).

    A)3 1

    2

    B)

    12

    C)32

    D)42

    E) 43

    Resolucin:

    Transformando el primer miembro:

    3

    1Sen30 Sen10

    3 ATan20 B1

    Cos60 Cos203

    Utilizando:

    1 1Sen30 Cos602 2

    3

    33

    1(3Sen10 4Sen 10 ) Sen10

    3 ATan20 B1

    (4Cos 20 3Cos20 ) Cos203

    Utilizando la relacin trigonomtrica de

    triple:

    3

    33

    4Sen10 Sen 10 Sen10

    3 ATan20 B4

    Cos 20 Cos20 Cos203

    3

    33

    4Sen 10

    3 ATan20 B4

    Cos 203

    Simpificando:

    Sen10ATan20 B

    Cos20

    Simplificando y operando:

    Sen(30 20 )ATan20 B

    Cos20

    (Sen30Cos20 Cos30 Sen20 )ATan20 B

    Cos20

    Identificando A y B3 1

    A B2 2

    3 1A B

    2

    Respuesta:A)3 -1

    2

    Problema 2

    Si: 23Cosx Senx3

    , calcule Sen3x.

    A)2

    3B)

    12

    C)2327

    D)427

    E)233

    Resolucin:

    De la condicin dividimos a ambos miem-

    bros entre dos.

    pero Sen3x Sen( 3x) por reduccin

    al primer cuadrante.

    Sen3x Sen 3 x3

    Transformando:

    3Sen3x 3Sen x 4Sen x3 3

    21 1

    Sen3x 3 43 3

    usando1

    Sen x3 3

    4Sen3x 1 operando27

    23Sen3x

    27

    Respuesta:C)2327

    Problema 3

    Sabemos que Cosx = 0,125; entonces

    calcule:

    3 Sen3x(1 Cos3x)k Sen2x Senx

    A)5

    8B) 7

    C) 3 58

    D) 5 3 78

    E)53

    Resolucin:

    Por identidades del arco triple y doble

    3Senx(2Cos2x 1)(1 Cos3x)

    k2SenxCosx Senx

    23

    Senx 2(2Cos x 1) 1 (1 Cos3x)k

    Senx(2Cosx 1)

    Utilizando Cos2x = 2Cos2x-1

    23 (4Cos x 1)(1 Cos3x)k

    2Cosx 1

    problemas resueltos

  • 8/9/2019 12. Trigonometria

    52/74

    52LIBRO UNI TRIGONOMETRA

    IDENTIDADES TRIGONOMTRICAS DEL ARCO MITADExigimos ms!

    Simplificando y operando:

    3(2Cosx 1)(2Cosx 1)(1 Cos3x)

    k2Cosx 1

    Por diferencia de cuadrados:

    3k (2Cosx 1)(1 Cos3x)

    ...(1)

    Pero:

    31Cosx Cos3x 4Cos x 3Cosx8

    31 1

    Cos3x 4 38 8

    47Cos3x

    128

    Reemplazando en (1) los valores del

    Cosx y Cos3x tenemos:

    3333

    3 3

    1 47 5 175 5 x7K 2x 1 1 x

    8 128 4 128 2 x4

    35K 78

    Respuesta: D)35 7

    8

  • 8/9/2019 12. Trigonometria

    53/74

    53LIBRO UNI TRIGONOMETRA

    IDENTIDADES TRIGONOMTRICASDEL ARCO TRIPLE

    TRIGONOMETRA

    I. 3Sen3x 3Senx 4Sen x

    Demostracin:

    Sen3x = Sen (2x + x)

    Sen3x = Sen2xCosx + Cos2xSenx

    Sabemos por arco doble:

    Sen2x 2SenxCosx ; 2Cos2x 1 2Sen x

    Reemplazando:

    Sen3x = (2Senx Cosx)Cosx + (1 2Sen x) Senx2

    2 3Sen3x 2SenxCos x Senx 2Sen x

    Sabemos: 2 2Cos x 1 Sen x

    Reemplazando:

    Sen3x = 2Senx (1 2Sen x)+ Senx 2Sen x2 3

    3 3Sen3x 2Senx 2Sen x Senx2Sen x3Sen3x 3Senx 4Sen x

    Anlogamente: 3Cos3x 4Cos x 3Cosx

    II. Cos3x Cosx 2Cos2x 1

    Demostracin:

    Sabemos: 3Cos3x 4Cos x 3Cosx

    2Cos3x Cosx 2 x2Cos x 3

    Recordando:21 Cos2x 2Cos x Doble

    Cos3x Cosx 2 1 Cos2x 3

    Cos3x Cosx 2Cos2x1

    III.3

    2

    3Tanx Tan xTan3x

    1 3Tan x

    Demostracin

    Sabemos:

    TanA TanB TanC TanATanBTanCTan A B C

    1 TanATanB TanATanC TanBTanC

    Sea:

    Tan3x Tan x x x

    Tanx Tanx Tanx TanxTanxTanxTan3x

    1 TanxTanx TanxTanx TanxTanx

    Efectuando operaciones:

    3

    2

    3Tanx Tan xTan3x

    1 3Tan x

    En general:

    3Sen3x 3Senx 4Sen x

    Sen3x Senx 2Cos2x 1

    Sen3x 4SenxSen 60 x Sen 60 x

    3Cos3x 4Cos x 3Cosx

    Cos3x Cosx 2Cos2x 1

    Cos3x 4CosxCos 60 x Cos 60 x

    3

    2

    3Tanx Tan xTan3x

    1 3Tan x

    Tan3x TanxTan 60 x Tan 60 x

    Nota:

    Cot3x CotxCot 60 x Cot 60 x

    DESARROLLODEL TEMA

  • 8/9/2019 12. Trigonometria

    54/74

    54LIBRO UNI TRIGONOMETRA

    IDENTIDADES TRIGONOMTRICAS DEL ARCO TRIPLEExigimos ms!

    Problema 1

    Simplifique:3 3Sen x Cos x 1K

    Sen3x Cos3x 2

    Nivel fcil

    2005 - I

    A) 3Sen2x Cosec6x

    B) 3Sen2x Cosec6x

    C) 3 Sen2x Cosec6x2

    D) 3 Sen2x Cosec6x2

    E) Sen2x Cosec6x

    Resolucin:3 34Sen 4Cos 1K

    4Sen3x 4Cos3x 2

    3Senx Sen3x 3Cosx Cos3x 14Sen3x 4Cos3x 2

    3Senx 14Sen3x 4

    3Cosx 1

    4Cos3x 4

    12

    3 SenxCos3x CosxSen3x2 x 2Sen3x Cos3x

    3Sen x 3xK

    2Sen6x

    3K Sen2x Cosec6x2

    Respuesta: D)3- Sen2x Cosec 6x2

    Problema 2

    Calcule 2 xE Tan

    4 2

    en trminos

    de "a", si Secx = a + Tanx.

    Nivel intermedio

    2005 - I

    A)4

    1

    aB)

    3

    1

    aC)

    2

    1

    a

    D) 1a

    E) 4a

    Resolucin:

    21 Cos x

    2xE Tg4 2

    1 Cos x

    2

    1 Senx1 Senx Cosx Cosx1 Senx 1 Senx

    Cosx Cosx

    2

    11a

    a a

    Respuesta: C) 21

    a

    Problema 3

    Al resolver la ecuacin:

    x xcot 4 tan 2csc x2 4

    Determine xcos 2

    Nivel difcil

    2007 - II

    A) 12

    B) 13

    C) 14

    D) 1

    5 E)

    16

    Resolucin:

    x xCot 4 tan 2 csc x2 4

    x xTan Cot 2 csc x2 2

    Reemplazando:

    x x x xCot 4Tan Tan Cot2 4 2 2

    x x4Tan Tan4 2

    xTanTan224 ; Sec2 1TanxTan

    4

    x x4 Sec 1 Sec 32 2

    x 1Cos 2 3

    Respuesta: B)13

    problemas resueltos

  • 8/9/2019 12. Trigonometria

    55/74

    55LIBRO UNI TRIGONOMETRA

    TRANSFORMACIONES TRIGONOMTRICAS:DE ADICIN A MULTIPLICACIN

    TRIGONOMETRA

    I. DE ADICIN A MULTIPLICACINSe le suele llamar tambin factorizacin tr igonomtrica

    y consiste en expresar mediante un producto una de-

    terminada suma o diferencia. Para transformar a pro-ducto una expresin, esta deber estar compuesta

    por la suma o diferencia de dos senos o cosenos con

    ngulos ordenados de mayor a menor. Los ngulos re-

    sultantes en los factores del producto sern la semi-

    suma y la semidiferencia de los ngulos iniciales.

    A. Adicin de senos a multiplicacin

    Considerando:

    A B

    A B A BSenA SenB 2Sen Cos2 2

    A B A BSenA SenB 2Cos Sen2 2

    B. Adicin de cosenos a multiplicacin

    Considerando: A B

    A B A BCosA CosB 2Cos Cos

    2 2

    A B A BCosA CosB 2Sen Sen2 2

    II. DEMOSTRACIN DE LAS IDENTIDADESFUNDAMENTALES

    A. Demostracin de la transformacin de senos

    Para efectuar estas demostraciones partiremos del

    seno de la suma y diferencia de dos arcos (iden-

    tidades de ngulos compuestos).

    Sabemos que:Sen(x y) SenxCosy Cosx Seny

    Sen(x y) SenxCosy Cosx Seny

    Sumando tendremos:

    Sen(x y) Sen(x y) 2SenxCosy

    A B

    Haciendo:x y A

    x y B

    Se obtiene: A B A Bx y2 2

    A B A BSen(A) Sen(B) 2Sen Cos2 2

    Restando tendremos:

    A B

    Sen(x y) Sen(x y) 2Cosx Seny

    Haciendo:x y A

    x y B

    Se obtiene:A B A B

    x y2 2

    A B A BSen(A) Sen(B) 2Cos Sen2 2

    B. Demostracin de la transformacin de cosenos

    Para efectuar estas demostraciones partiremos del

    coseno de la suma y diferencia de dos arcos (iden-

    tidades de ngulos compuestos).

    Sabemos que:

    Cos(x y) CosxCosy SenxSeny

    Cos(x y) CosxCosy SenxSeny

    Sumando tendremos:

    Cos(x y) Cos(x y) 2CosxCosy

    A B

    Haciendo:x y A

    x y B

    Se obtiene:A B A B

    x y2 2

    A B A BCosCos(A) (B) 2Cos Cos2 2

    Restando tendremos:

    Cos(x y) Cos(x y) 2SenxSeny

    A B

    DESARROLLODEL TEMA

  • 8/9/2019 12. Trigonometria

    56/74

    56LIBRO UNI TRIGONOMETRA

    TRANSFORMACIONES TRIGONOMTRICAS: DE ADICIN A MULTIPLICACINExigimos ms!

    Problema 1

    Calcular:

    Sen11x SenxACos11x Cosx

    A) Tan5x B) Tan6x

    C) Cot6x D) Cot5xE) Tan7x

    Resolucin:

    Sabemos:

    A B A BSenA SenB 2Sen Cos2 2

    A B A BCosA CosB 2Cos Cos2 2

    Reemplazando:

    2Sen6x Cos5xA

    2Cos6x Cos5x

    A = Tan6x

    Respuesta:B) Tan6x

    Problema 2

    Simplificar:

    K = Cos5 + Cos115 + Cos235

    A) 1 B) 1

    C) 0 D) 2

    E) 2

    Haciendo:x y A

    x y B

    Se obtiene:A B A B

    x y2 2

    A B A BSenCosCos(A) (B) 2Sen

    2 2

    Ejemplos de aplicacin y casos que se pre-

    sentan

    3x x 3x xSen3x Senx 2Sen Cos 2Sen2x.Cosx2 2

    5x x 5x xSen5x Senx 2Cos .Sen 2Cos3x.Sen2x2 2

    6x 2x 6x 2xCos6x Cos2x 2Cos Cos 2Cos4x.Cos2x

    2 2

    7x x 7x xCos7x Cosx 2Sen Sen 2Sen4x.Sen3x2 2

    Resolucin:

    Es conveniente agrupar los 2 primeros

    trminos y luego reducimos al primer

    cuadrante el tercer trmino.

    K=(Cos115+cos5)+Cos(180+55)

    K 2Cos60 Cos55 ( Cos55 )

    Reemplazando los valores notables:

    1K 2 Cos55 Cos552

    K = 0

    Respuesta: C) 0

    Problema 3

    Calcular la suma de 3 cosenos cuyos

    arcos estn en progresin aritmtica

    de razn 23 .

    A) 2 B) 1

    C) 0 D) 1

    E) 2

    Resolucin:

    En base a los datos del enunciado se

    puede expresar la suma de la siguiente

    manera:

    2 4S Cosx Cos x Cos x3 3

    2 2S Cos x Cosx Cos x3 3

    En la segunda expresin y agrupamos

    los extremos.

    Sabemos:

    A B A BCosA CosB 2Cos Cos2 2

    (1/2)

    2S 2Cosx Cos Cosx3

    2 2S Cos x Cos x Cosx3 3

    Reemplazando los valores notables.

    1S 2Cos Cosx2

    S = 0

    Respuesta: C) 0

    problemas resueltos

  • 8/9/2019 12. Trigonometria

    57/74

    57LIBRO UNI TRIGONOMETRA

    TRANSFORMACIONES TRIGONOMTRICAS:

    DE MULTIPLICACIN A ADICIN

    TRIGONOMETRA

    I. TRANSFORMACIN DE MULTIPLICA-CIN A ADICINSe le suele llamar tambin desdoblamiento del producto

    y consiste en expresar mediante una suma o diferenciaun determinado producto. Para efectuar el

    desdoblamiento se deber tener el doble producto

    de senos y/o cosenos. Los ngulos resultantes en el

    desdoblamiento sern la suma y la diferencia de los

    ngulos iniciales.

    Considerando:A B

    2SenACosB Sen(A B) Sen(A B)

    2SenBCosA Sen(A B) Sen(A B)

    2CosACosB Cos(A B) Cos(A B)

    2SenASenB Cos(A B) Cos(A B)2SenASenB Cos(A B) Cos(A B)

    Observacin

    "Cuando se desdobla el doble producto de seno por coseno

    se tiene que si el primer ngulo es el mayor entonces se

    obtiene una suma de senos y si el primer ngulo es menor

    se obtiene una diferencia de senos".

    Ejemplos:2Sen3xCosx = Sen(3x + x) + Sen(3x x)

    = Sen4x + Sen2x

    2SenxCos2x = Sen(2x + x) Sen(2x x)

    = Sen3x Senx

    2Cos3xCos2x = Cos(3x + 2x) + Cos(3x 2x)

    = Cos5x + Cosx

    2Sen5xSenx = Cos(5x x) Cos(5x + x)

    = Cos4x Cos6x

    2Sen40Cos20= Sen(40 + 20) + Sen(40 20)

    = Sen60 + Sen20

    2Sen10Cos40 = Sen(40 + 10) Sen(40 10)

    = Sen50 Sen30

    2Cos50Cos20 = Cos(50 + 20) + Cos(50 20)

    = Cos70 + Cos30

    2Sen70Sen10 = Cos(70 10) Cos(70 + 10)

    = Cos60 Cos80

    Problema 1

    Si en un tringulo acutngulo ABC, se cumple:

    Sen2A + Sen2B + Sen2C = 2SenASenB

    Calcular la medida del ngulo C.

    UNI

    Nivel fcil

    A) 30 B) 50

    C) 60 D) 40

    E) 80

    Resolucin:

    Como A + B + C = 180

    Aplicando la propiedad antes mencionada:

    4SenASenBSenC = 2SenASenB

    Reduciendo:

    2SenC = 1 1SenC 2

    por dato:

    C = 30

    Respuesta:A) 30

    Problema 2

    Siendo:

    Cos2a.Tan(b + c) Cos2b.Tan(a + c) = Sen2a Sen2b

    Donde: a b k

    DESARROLLODEL TEMA

    problemas resueltos

  • 8/9/2019 12. Trigonometria

    58/74

    58LIBRO UNI TRIGONOMETRA

    TRANSFORMACIONES TRIGONOMTRICAS: DE MULTIPLICACIN A ADICINExigimos ms!

    Calcular:

    E = Cos2a + Cos2b + Cos2c

    UNI

    Nivel intermedio

    A) 10 B) 20

    C) 2 D) 0

    E) 15

    Resolucin:

    De la condicin del problema, escribiendo as:

    Cos2a.Tan(b + c) Sen2a = Cos2b.Tan(a + c) Sen2b

    Segudamente efectuamos, obteniendo:

    Cos2aSen(b c)- Sen2aCos(b+c) Cos2bSen(a c)- Sen2bCos(a+c)Cos(b c) Cos(a c)

    Los numeradores son iguales a:

    Sen(b c 2a) Sen(a c 2b)

    Cos(b c) Cos(a c)

    Luego:

    2Sen(b c 2a) Cos(a c) 2Sen(a c 2b)Cos(b c)

    Sen(b 2c a) Sen(b 3a) Sen(a 2c b) Sen(a 3b)

    Ahora:

    Sen(b 2c a) Sen(a 2c b) Sen(a 3b) Sen(b 3a)

    Seguidamente:

    2Cos2c.Sen(b - a) = 2Cos(a + b)Sen2(a - b)

    2 Cos2c. Sen (b a) 2Cos(a b) 2 Sen(b a)Cos(b a)

    Cos2c 2Cos(a b)Cos(b a)

    Cos2a Cos2b

    Finalmente:

    Cos2c = -Cos2a Cos2b

    Cos2a + Cos2b + Cos2c = 0

    E = 0

    Respuesta: D) 0

    Problema 3

    Si: A B C , a que es igual:A B C 3A 3B 3C

    V 3Cos Cos Cos Cos Cos Cos2 2 2 2 2 2

    UNI

    Nivel difcil

    A) SenA + SenB + SenC

    B) Sen3A + Sen3B + Sen3C

    C) Sen2A + SenB + Sen2C

    D) Sen3A + SenB + SenC

    E) N.A.

    Resolucin:

    Trabajando por partes, tendremos:

    A B C 3 A B C3Cos Cos Cos x 2Cos Cos Cos2 2 2 2 2 2 2

    Efectuando tendremos:

    3 C C A B A B2Sen Cos 2Cos Sen4 2 2 2 2SenC SenA SenB

    Luego:

    A B C 33Cos Cos Cos (SenA SenB SenC)2 2 2 4

    ... (I)

    Ahora:

    3A 3B 3C 1 3A 3B 3CCos Cos Cos x 2Cos Cos Cos2 2 2 2 2 2 2

    Efectuando, tendremos:

    1 3C 3C 3 32Sen Cos 2Cos (A B)Sen (A B)

    4 2 2 2 2Sen3C Sen3A Sen3B

    Luego:

    3A 3C 1Cos Cos3BCos (Sen3A Sen3B Sen3C)

    2 2 4 ... (II)

    (I) y (II) en "V", obtendremos:

    3 1V (SenA SenB SenC) (Sen3A Sen3B Sen3C)4 4

    Seguidamente, tendremos:

    3SenA SenA 3SenB Sen3B 3SenC Sen3CV

    4

    Recordando, por teora del triple, sabemos que:

    (*) 33Sen Sen 4Sen

    Reemplazando dicha propiedad en el problema:

    3 3 34Sen A 4Sen B 4Sen CV4

    V = Sen3A + Sen3B + Sen3C

    Respuesta: B) Sen3A + Sen3B + Sen3C

  • 8/9/2019 12. Trigonometria

    59/74

    59LIBRO UNI TRIGONOMETRA

    SUMATORIAS Y PRODUCTORIASTRIGONOMTRICAS

    TRIGONOMETRA

    I. SUMA DE SENOS DE NGULOS EN

    PROGRESIN ARITMTICA

    Senx Sen(x r) Sen(x 2r) ... Sen(x (n 1)r)

    nrSen (P U)2 Sen2rSen

    2

    Denominndose a:

    P = primer ngulo

    U = ltimo ngulo

    r = razn de la progresin

    n = nmero de trminos

    Demostracin

    Llamemos "S" a la suma de la serie de senos:

    S = Senx + Sen(x + r) + Sen(x + 2r) + ... + Sen[x +

    (n 1)r]

    Multiplicamos a ambos miembros por r2Sen 2

    r r2Sen S 2Sen [Senx Sen(x r) Sen(x 2r) ...2 2Sen(x (n 1)r)]

    Cada trmino del segundo miembro vamos a trans-

    formarlo en una diferencia de cosenos, as:

    r r r2Senx Sen Cos x Cos x2 2 2

    r r2Sen(x r) Sen Cos x2 2 3rCos x2

    r 3r2Sen(x 2r) Sen Cos x2 2 5rCos x2

    r 32Sen(x (n 1)r).Sen Cos x n r2 2

    1Cos x n r2

    Sumando todos los trminos en columnas, obtenemos:

    r r 12Sen S Cos x Cos x n r2 2 2

    2

    rSen .S 2

    2

    1 r 1 rx n r x x n r x2 2 2 2Sen .Sen

    2 2

    (x) (x (n 1)r)r nr2Sen .S 2Sen Sen2 2 2

    Hacemos los siguientes cambios:

    P = x; U = x + (n 1)r

    Reemplazando:

    r P U nr2Sen .S 2Sen Sen2 2 2

    nrSen (P U)2S Sen 2rSen

    2

    Ejemplos:

    1. Calcular la suma de la siguiente serie:

    S = Senx + Sen2x + Sen3x + ... + Sen nx

    Resolucin:

    Aplicamos la propiedad:

    DESARROLLODEL TEMA

  • 8/9/2019 12. Trigonometria

    60/74

    60LIBRO UNI TRIGONOMETRA

    SUMATORIAS Y PRODUCTORIAS TRIGONOMTRICASExigimos ms!

    nrSen (P U)2S Sen2rSen

    2

    Identificamos:

    P = x; U = nx; r = x

    Reemplazamos:

    nxSenx nx2S Sen

    2xSen2

    nxSen (n 1)2S Sen x2xSen

    2

    2. Calcular la suma de la siguiente serie:S = Sen1 + Sen3 + Sen5 + ... + Sen45

    Resolucin:

    nrSenP U2S Sen

    2rSen2

    2Sen231 452S Sen

    21Sen2

    Sen23S1Sen Sen232

    2Sen 23S1Sen2

    II. SUMA DE COSENOS DE NGULOS ENPROGRESIN ARITMTICA

    Cosx Cos(x r) Cos(x 2r) ... Cos(x (n 1)r)

    nrSen (P U)2 Cosr 2Sen2

    Denominndose:

    P = Primer ngulo

    U = ltimo ngulo

    r = Razn de la progresin

    n = Nmero de trminos

    Ejemplos:

    1. Calcular la suma de la siguiente serie:

    S = Cos2x + Cos4x + Cos6x + ... + Cos2nx

    Resolucin:

    Identificamos:

    P = 2x; U = 2nx; r = 2x

    nrSen (P U)2S Cos2rSen

    2

    n.2xSen2x 2nx2S Cos

    22xSen2

    Sen(nx)S Cos(n 1)xSenx

    2. Calcular la suma de la siguiente serie:

    S = Cos1 + Cos3 + Cos5 + ... + Cos31

    Resolucin:

    nrSen(P U)2S Cos

    2rSen2

    16.2Sen (1 31)2S Cos22Sen

    2

    Sen16S Cos16Sen1

    2Sen16 Cos16

    S 2Sen1

    2Sen32S2Sen1

    III. PROPIEDADES

    1. Si A + B + C