Introduccion trigonometria

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1. Introduccin a la trigonometray a las funciones trigonomtricasShirley Bromberg Raquel Valds 2. Un poquito de historiaTrigonometra es una palabra de etimologagriega, aunque no es una palabra griega. Secompone de trigonon que significa tringuloy metria que significa medicin. Y se hablade ella como matemtica prctica. 3. La trigonometra resuelve el siguienteproblema: conocidos algunas de lascomponentes de un tringulo, determinar lasrestantesLa geometra (terica) nos dice cundo ciertosdatos determinan que salvo por posicin untringulo de lados dados, la trigonometra(prctica) nos dice cmo calcular los restantes. 4. Comencemos con tringulos rectngulos.Si conocemos dos de los ladosdel tringulo, como el Teoremade Pitgoras afirma quecb a2 + b2 = c2,a conocemos el tercer lado.Eso s, debemos saber si loslados que conocemos son catetoso la hipotenusa. 5. Resolucin de tringulos rectngulos.Pero no tenemos ninguna informacin acerca de losngulos. A continuacin comenzaremos a abordar esteproblema. Dividimos los catetos en r partes iguales, y formamos una retcula. Los catetos de los tringulos de las esquinas miden a/r, b/r y su hipotenusa ser, por el Teorema de Pitgoras igual a c/r. NOTEMOS que la hipotenusa pasa por los puntos de la retcula. Los tringulo de las esquinas tienen los mismos ngulos. 6. Las observaciones anteriores permitenresolver el siguienteProblema Cul ser la altura del rbol que proyecta una sombra de 4 m si se encuentra al lado de Alberto que mide 1.75 m y proyecta una sombra de 3.5 m ? 7. Sigamos con el problema de encontrar losngulos en tringulos rectngulos.Vamos a escoger tringulos normalizados, querepresenten a cada tringulo rectngulo. Tomaremos tringulos con hipotenusa unitaria. 8. Construccin de tringulos de hipotenusa unitaria c b 1 b/cde pasamos a 1 a a/c a2 + b 2 = c2 (a/c)2 + (b/c)2 = 1 9. Relacionamos ngulos y longitudescon Tablas de Cuerdascuerda En un comienzo, a cada ngulo se asoci la cuerda subtendida por l en una circunferencia de radio fijo. 10. Tablas de cuerdasRazonando con la figura al /2lado se muestra que/2 cuerda = sen 22 11. Tablas de cuerdas Para conseguir nuevos valores se usa la identidad sen 1 cos 2 sen2 = 1 cos 2 y se obtienen tablas de cuerdas que van de 5o en 5o. 12. Construccin de Tablasngulo cuerdaseno coseno tangente31/260o 13 230o1/23 12 3 2 315o 2 32+ 3 1 22 2+ 322245o?1 22 13. La figura muestra las funciones trigonomtricasasociadas a un ngulo agudo ubicado en unacircunferenciacotang entesen coseno tancosecante ge ntecos iosenorad tan secante cotan sec cosec 14. Funciones trigonomtricas: seno de un ngulo agudocateto opuesto asen = =hipotenusacc 1a/c ab/cb 15. Funciones trigonomtricas:coseno de un ngulo agudocateto adyacente bcos = = hipotenusa cc 1a/ca b/cb 16. Funciones trigonomtricas: tangente y cotangente de un ngulo agudo cateto opuesto a cateto adyacente btan = = cotan = =cateto adyacente b cateto opuesto ac1a/ca b/c b 17. Funciones trigonomtricas: secante y cosecante de un ngulo agudohipotenusachipotenusa csec = = cosec = =cateto adyacente bcateto opuesto ac 1 a/c ab/c b 18. Todas las funciones trigonomtricas de unngulo agudo pueden expresarse a partirde una de ellas, a modo de ejemplotomemos sen cos = 1 - sen 2 tan =cotan = sec = cosec = 19. Identidades TrigonomtricasLa identidad fundamentales consecuencia del1 Teorema de Pitgorassen cos sen + cos = 1 2 2 20. Identidades TrigonomtricasSi es el ngulo complementariode , hay un tringulo rectngulo1 que los tiene como ngulos agudossen y se tiene que cos (sen = cos = cos 90 )cos = sen = sen ( 90 ) 21. Identidades TrigonomtricasEn una diapositiva anteriordemostramos que 1 2sen 2 = 1 cos 2 o bien, tomando = 2cos 2 = 1 2sen 2 22. Funciones Trigonomtricasde ngulos arbitrarios P Para calcular el seno (o elcoseno) de un ngulo agudo ,colocamos un tringulo rectngulo como en la figura.El seno (o coseno) del ngulo esla ordenada (o la abscisa) delpunto de interseccin P de lahipotenusa con el crculo.Pero no es necesario tener todo el rectngulo, bastacon tener la recta que une P con el origen. 23. Funciones Trigonomtricas de ngulos arbitrariosP DEFINIMOS para un ngulo , medido a partir de la recta l contra las manecillas del reloj: lsen la ordenada de P cos la abscisa de P 24. Funciones Trigonomtricasde ngulos arbitrarios Ptan ltan P La tangente de un ngulo , medido a partir de la recta l contra las manecillas del reloj, es la longitud (orientada) sealada 25. Funciones Trigonomtricasde ngulos arbitrarios P PIII PI II III IVsen + +- - Pl cos + -- + Ptan + -+ -III VICmo obtuvimos la ltima hilera de la tabla? 26. Medida absoluta de ngulos: RADIANESEl crculo unitariotambin nos permite usarlongitudes para medir ngulos, aprovechando 1que el ngulo esproporcional al arco quesubtiende. Un ngulo deun radin es el nguloque subtiende un arco delongitud uno. 27. Medida absoluta de ngulos:RADIANESComo la circunferencia unitaria mide2, un cuarto de circunferencia mide/2 y como un ngulo recto sub-tiende un cuarto de circunferencia,el ngulo recto mide /2 radianes. 28. Medida absoluta de ngulos: RADIANESComo/290oEntonces si Rad es la medida de un nguloen radianes y Grad la medida en grados,Grad Rad=180 29. Medida absoluta de ngulos:RADIANES ngulo en radianes ngulo en gradosGrad Rad=1180 1 /345 120 30. Actividad IConstruir un tringulo cuyos ladossean de longitud 3, 4 y 5 .Comparar los distintos tringulosque se obtienen.Nota: cada quien es libre de escoger la escala 31. Actividad ICon la escala proporcionada,medir la razn entre pares delados del tringulo diseadoMedir en centmetros los ladosdel tringulo diseado y obtengala razn entre los pares de lados 32. Actividad IIPara cada uno de los tringulosrectngulos proporcionados, midan lassiguientes razones, segn el ngulomarcado con el crculo rojo:a) Cateto opuesto e hipotenusab) Cateto adyacente e hipotenusac) Cateto opuesto y cateto adyacente 33. Actividad II 34. ProblemaEn una circunferencia decentro O y radio 5 esttrazada una cuerda que mide53.5 cunto mideOel ngulo central asociado?En la misma circunferencia,halle la longitud dela cuerda subtendida por unngulo de 72o. 35. Problema Una cuerda de 100m de largo se estira un metro ms101m C y se sostiene del centro (ver la figura). A qu altura100m se encuentra el punto C? D una medida aproximada del ngulo . 36. Pregunta cules son los valores mximoy mnimo de la funcin seno ? cules son los valores mximocy mnimo de la funcin coseno ? aalguno de los catetos puede serbmayor que la hipotenusa? cules son los valores mximo y mnimo de la funcin tangente ? 37. Problema Con apoyo del crculo unitario, construya la grfica de la funcin sen (0,1) (-1,0) (0,1) sen( )(-1,-1) 15 30 45 60 75 90 105 120 135 150 38. Problema1. Trace los tringulos rectngulos definidospor las siguientes ternas de puntos:a) (0,0), (8,0), (8,6)b) (0,0), (-4,0), (-4,3)c) (0,0), (-3,0), (-3,-4)d) (0,0), (8,-6), (8,0)2. En cada uno de los tringulos trazados,ubique el ngulo formado entre la hipotenusa yel eje de las abscisas.3. Calcule el seno, coseno y tangente de talngulo. 39. ProblemaIIII II III IV sen() + +- - cos() + -- + tan() + -+ -III IV