Introduccion trigonometria

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Introducción a la trigonometría y a las funciones trigonométricas Shirley Bromberg Raquel Valdés

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Introducción a la trigonometríay a las funciones trigonométricas

Introducción a la trigonometríay a las funciones trigonométricas

Shirley BrombergRaquel Valdés

Shirley BrombergRaquel Valdés

Un poquito de historia

Trigonometría es una palabra de etimología griega, aunque no es una palabra griega. Se compone de trigonon que significa triángulo y metria que significa medición. Y se habla de ella como matemática práctica.

La trigonometría resuelve el siguiente problema: conocidos algunas de las componentes de un triángulo, determinar las restantes

La geometría (teórica) nos dice cuándo ciertos datos determinan que salvo por posición un triángulo de lados dados, la trigonometría (práctica) nos dice cómo calcular los restantes.

a

cb

Si conocemos dos de los lados del triángulo, como el Teorema de Pitágoras afirma que

a2 + b2 = c2,

Comencemos con triángulos rectángulos.

conocemos el tercer lado. Eso sí, debemos saber si los lados que conocemos son catetos o la hipotenusa.

NOTEMOS que la hipotenusa pasa por los puntos de la retícula. Los triángulo de las esquinas tienen los mismos ángulos.

Dividimos los catetos en r partes iguales, y formamos una retícula. Los catetos de los triángulos de las esquinas miden a/r, b/r y su hipotenusa será, por el Teorema de Pitágoras igual a c/r.

Resolución de triángulos rectángulos.

Pero no tenemos ninguna información acerca de los ángulos. A continuación comenzaremos a abordar este problema.

Las observaciones anteriores permiten resolver el siguiente Las observaciones anteriores permiten resolver el siguiente

¿ Cuál será la altura del árbol que proyecta una sombra de 4 m si se encuentra al lado de Alberto que mide 1.75 m y proyecta una sombra de 3.5 m ?

¿ Cuál será la altura del árbol que proyecta una sombra de 4 m si se encuentra al lado de Alberto que mide 1.75 m y proyecta una sombra de 3.5 m ?

Problema

Sigamos con el problema de encontrar los ángulos en triángulos rectángulos.

Vamos a escoger triángulos “normalizados”, que representen a cada triángulo rectángulo.

Tomaremos triángulos con hipotenusa unitaria.

a2 + b2 = c2

c

a

b

a/c

b/c

(a/c)2 + (b/c)2 = 1

pasamos a

1

de 1

Construcción de triángulos de hipotenusa unitaria

Relacionamos ángulos y longitudes con Tablas de Cuerdas

En un comienzo, a cada ángulo se asoció la cuerda subtendida por él en una circunferencia de radio fijo.

cuerda

Tablas de cuerdas

Razonando con la figura allado se muestra que

2sen

2 cuerda

/2/2

Tablas de cuerdas

Para conseguir nuevos valores seusa la identidad

cos 1

2sen 2 2 cos 1

sen

y se obtienen tablas de cuerdas quevan de 5o en 5o.

Construcción de Tablas

ángulo cuerda seno coseno tangente

60o 11/2

30o 1/2

15o

45o ? 1

23

23

3

3

1

22

2 232

232

32

1

32

22

La figura muestra las funciones trigonométricas asociadas a un ángulo agudo ubicado en una circunferencia

sen

cos

tan

cotan

cosec

sec

secante

cosecante

radi

o seno

tangente

cotangentecoseno

Funciones trigonométricas: seno de

un ángulo agudo

Funciones trigonométricas: seno de

un ángulo agudo

ca

hipotenusa opuesto cateto

sen ca

hipotenusa opuesto cateto

sen

aa

bb

ccb/cb/c

a/ca/c1

Funciones trigonométricas: coseno

de un ángulo agudo

Funciones trigonométricas: coseno

de un ángulo agudo

cb

hipotenusa adyacente cateto

coscb

hipotenusa adyacente cateto

cos

aa

bb

ccb/cb/c

a/ca/c1

Funciones trigonométricas: tangente y cotangente de un

ángulo agudo

Funciones trigonométricas: tangente y cotangente de un

ángulo agudo

aa

bb

ccb/cb/c

a/ca/c1

ba

adyacente cateto opuesto cateto

tan ba

adyacente cateto opuesto cateto

tan ab

opuesto cateto adyacente cateto

cotan ab

opuesto cateto adyacente cateto

cotan

Funciones trigonométricas: secante y cosecante de un

ángulo agudo

Funciones trigonométricas: secante y cosecante de un

ángulo agudo

aa

bb

ccb/cb/c

a/ca/c1

bc

adyacente cateto hipotenusa

secbc

adyacente cateto hipotenusa

secac

opuesto cateto hipotenusa

cosecac

opuesto cateto hipotenusa

cosec

Todas las funciones trigonométricas de un ángulo agudo pueden expresarse a partir de una de ellas, a modo de ejemplo tomemos sen

cos sen -1 2

tan

cotan

sec

cosec

=

=

=

=

=

Identidades Trigonométricas

1

cos

sen

La identidad fundamentales consecuencia delTeorema de Pitágoras

1cos sen 22

Identidades Trigonométricas

1

Si es el ángulo complementariode , hay un triángulo rectánguloque los tiene como ángulos agudosy se tiene que

90 coscossen 90 coscossen

90sen sen cos 90sen sen cos

cos

sen

Identidades Trigonométricas

1

En una diapositiva anteriordemostramos que

cos1

2 2sen2

cos12

2sen2

sen212 cos 2 sen212 cos 2

o bien, tomando 2

Funciones Trigonométricasde ángulos arbitrarios

Funciones Trigonométricasde ángulos arbitrarios

Para calcular el seno (o el coseno) de un ángulo agudo , colocamos un triángulo rectángulo como en la figura.

El seno (o coseno) del ángulo es la ordenada (o la abscisa) del punto de intersección de la hipotenusa con el círculo.

P

P

Pero no es necesario tener todo el rectángulo, bastacon tener la recta que une con el origen.P

Funciones Trigonométricasde ángulos arbitrarios

Funciones Trigonométricasde ángulos arbitrarios

DEFINIMOS para un ángulo , medido a partir de la recta contra las manecillas del reloj:

Pl sen

la abscisa de la ordenada de

cos P

lP

Funciones Trigonométricasde ángulos arbitrarios

Funciones Trigonométricasde ángulos arbitrarios

La tangente de un ángulo , medido a partir de la recta contra las manecillas del reloj, es la longitud (orientada) señalada

P

l

l

ta

n

P

ta

n

Funciones Trigonométricasde ángulos arbitrarios

Funciones Trigonométricasde ángulos arbitrarios

P

l

I II III IV

sen + + - -cos + - - +tan + - + -

P

PP

¿Cómo obtuvimos la última hilera de la tabla?

P

III

III VI

Medida absoluta de ángulos:RADIANES

1

El círculo unitario también nos permite usar longitudes para medir ángulos, aprovechando que el ángulo es proporcional al arco que subtiende. Un ángulo de un radián es el ángulo que subtiende un arco de longitud uno.

Medida absoluta de ángulos:RADIANES

Como la circunferencia unitaria mide 2, un cuarto de circunferencia mide /2 y como un ángulo recto sub-tiende un cuarto de circunferencia, el ángulo recto mide /2 radianes.

Medida absoluta de ángulos:RADIANES

/2 90oComo

Entonces si Rad es la medida de un ángulo en radianes y Grad la medida en grados,

Rad

180Grad

Medida absoluta de ángulos:RADIANES

Rad

180Grad

ángulo en radianes

ángulo en grados

1

1

45

120

Actividad I…Actividad I…

Construir un triángulo cuyos lados sean de longitud 3, 4 y 5 . Comparar los distintos triángulos que se obtienen.

Construir un triángulo cuyos lados sean de longitud 3, 4 y 5 . Comparar los distintos triángulos que se obtienen.

Nota: cada quien es libre de escoger la escala

…Actividad I…Actividad I

Con la escala proporcionada, medir la razón entre pares de lados del triángulo diseñado

Medir en centímetros los lados del triángulo diseñado y obtenga la razón entre los pares de lados

Con la escala proporcionada, medir la razón entre pares de lados del triángulo diseñado

Medir en centímetros los lados del triángulo diseñado y obtenga la razón entre los pares de lados

Actividad II…Actividad II…

Para cada uno de los triángulos rectángulos proporcionados, midan las siguientes razones, según el ángulo marcado con el círculo rojo:

a) Cateto opuesto e hipotenusab) Cateto adyacente e hipotenusac) Cateto opuesto y cateto adyacente

Para cada uno de los triángulos rectángulos proporcionados, midan las siguientes razones, según el ángulo marcado con el círculo rojo:

a) Cateto opuesto e hipotenusab) Cateto adyacente e hipotenusac) Cateto opuesto y cateto adyacente

… Actividad II… Actividad II

Problema Problema

En una circunferencia de centro O y radio 5 estátrazada una cuerda que mide 3.5 ¿cuánto mideel ángulo central asociado?En la misma circunferencia, halle la longitud de la cuerda subtendida por un ángulo de 72o.

O

5

Problema Problema

Una cuerda de 100m de largo se estira un metro másy se sostiene del centro (ver la figura). ¿ A qué alturase encuentra el punto C?Dé una medida aproximadadel ángulo .

100m

101m

C

PreguntaPregunta

aa

bb

cc

¿ cuáles son los valores máximo y mínimo de la función coseno ?

¿alguno de los catetos puede sermayor que la hipotenusa?

¿ cuáles son los valores máximo y mínimo de la función seno ?

¿ cuáles son los valores máximo y mínimo de la función tangente ?

ProblemaProblemaCon apoyo del círculo unitario, construyala gráfica de la función sen

)(sen )(sen

15 30 45 60 75 90 120 150 ···105 135

(0,1)

(-1,0)

(-1,-1)

(0,1)

Problema…Problema…1. Trace los triángulos rectángulos definidos por las siguientes ternas de puntos:

a) (0,0), (8,0), (8,6)b) (0,0), (-4,0), (-4,3)c) (0,0), (-3,0), (-3,-4)d) (0,0), (8,-6), (8,0)

2. En cada uno de los triángulos trazados, ubique el ángulo formado entre la hipotenusa y el eje de las abscisas.

3. Calcule el seno, coseno y tangente de tal ángulo.

1. Trace los triángulos rectángulos definidos por las siguientes ternas de puntos:

a) (0,0), (8,0), (8,6)b) (0,0), (-4,0), (-4,3)c) (0,0), (-3,0), (-3,-4)d) (0,0), (8,-6), (8,0)

2. En cada uno de los triángulos trazados, ubique el ángulo formado entre la hipotenusa y el eje de las abscisas.

3. Calcule el seno, coseno y tangente de tal ángulo.

… Problema… Problema

III

III IV

I II III IV

sen() + + - -cos() + - - +tan() + - + -