OVértice

Lado Final

Lado Inicial

Lado Final

Lado Inicial

VérticeO

V2

1

1v

V4

3

V4

1

O

Es aquel ángulo que se genera por la rotación de un rayo alrededor de un punto fijo llamado vértice u origen desde una posición inicial hasta otra posición final, debiendo considerar que esta rotación se efectúa en un mismo plano.

Por lo tanto debemos considerar dos tipos de rotación:

Sentido Antihorario Sentido Horario

NOTA:

Si el ángulo tiene rotación antihoraria la medida del ángulo será positivo.

es positivo

Si el ángulo tiene rotación horaria la medida del ángulo será negativo.

es negativo

OBSERVACIONES

1. Ángulo de una vueltaEs aquel ángulo generado, cuando la posición inicial y final coinciden por primera vez, luego de cierta rotación lo denotaremos como: 1v.

2. Los ángulos trigonométricos son ilimitados a diferencia de la geometría.

- 1 -

G

OA

B

OA

-

Cambio de Sentido

Cambio de Signo

30º- x x + 10º

PRACTICA DE ÁNGULO TRIGONOMÉTRICO

10º - x

x + 50º

(x + 40)º (20 – x)º

x

-x

10º + x 20º+x

50º - 2x

A

B

C

O

(5x-3)º

(9-6x)º

Medida del ángulo trigonométrico < -; + >

3. Para sumar o restar ángulos trigonométricos que no se pueden realizar a simple vista debemos procurar tenerlos en un solo sentido de preferencia antihorario para ello se recomienda el cambio de sentido.

1. Señale la relación correcta entre y .a) + = 90ºb) - = 90ºc) + = -90ºd) + = 0e) - = 90º

2. Del gráfico determine x.a) 10ºb) 15ºc) 25ºd) 30ºe) 35º

3. Calcular “x”

a) -50b) -100c) -200d) -180e) -90

4. Hallar “x”

a)

b)

c)

d)

e)

5. Del gráfico hallar “x”

a) 15ºb) 35ºc) 55ºd) 30ºe) 60º

6. Del gráfico hallar “x”

a) 10ºb) 30ºc) 40ºd) 50ºe) 60º

7. Del gráfico hallar “x”; si OC es bisectriz.

a) 2b) 4c) 6d) 12e) 18

8. Hallar la relación entre , y a) - - = 90ºb) + - = 90ºc) - + = 90º

d) - -

θ2 = 90º

e)

β2 - -

θ2 = 90º

(Conversión entre Sistemas)

SISTEMA DE MEDICIÓN

Son las distintas formas o medios para medir ángulos cada una con sus propias reglas y unidades.

- 2 -

1º = 60’

1’ = 60’’1º = 3600”

Las unidades de medida en cada sistema se crean en forma arbitraria, tal es así que se le puede tomar

como unidad de medida un ángulo cuyo arco es equivalente a

1360 ,

1400 , etc. parte de un ángulo de una

vuelta.

Por lo expuesto se entiende que existen muchos sistemas para medir ángulos, pero los más usuales o conocidos son tres:

Sistema Sexagesimal Sistema Centesimal Sistema Radial

SISTEMA SEXAGESIMAL (S)

Llamado Sistema Inglés, es aquel que tiene como unidad a:

Un Grado Sexagesimal 1º

Dicho sistema divide al ángulo de una vuelta (1 v) en 360 partes iguales y a cada parte se le denomina 1º por lo tanto:

1 vuelta = 360º

Sus unidades:

1 minuto sexagesimal 1’

1 segundo sexagesimal 1”

Equivalencia:

SISTEMA CENTESIMAL (C)

Llamado también francés, es aquel que tiene como unidad a:

Un Grado Centesimal 1g

Dicho sistema divida al ángulo de una vuelta (1 v) en 400 partes iguales y a cada parte se le denomina 1g

por lo tanto:

1 vuelta = 400g

Sus unidades: 1 minuto centesimal 1m

1 segundo centesimal 1s

- 3 -

1g = 100m

1m = 100s1g = 10 000s

R

R

O L1 RadianR = L

Equivalencia:

SISTEMA RADIAL O CIRCULAR (R)

También llamado circular o internacional es aquel que tiene como unidad a un radian (1 rad).

1 Radian (1 Rad).- Se define así a la medida del ángulo central que subtiende en cualquier circunferencia un arco de longitud igual al radio.

Luego: 1 vuelta = 2rad

Observación. (Pi) = 3,141592654……Pero el valor de se le atribuye valores aproximados como:

= 3,14 ó =

227

EQUIVALENCIAS ENTRE LOS 3 SISTEMAS

9º = 10grad = 180º rad = 200g

1 vuelta = 360º = 400g = 2 rad

NOTA:

Consideraciones:

1. 1 rad > 1º > 1g

2. 180º < > 200g < > rad

- 4 -

Lo correcto seria 90 equivale 10g pero por comodidad para operar diremos que 90 = 10g.

Si: L = R = 1 Rad

PRACTICA DE SISTEMAS DE MEDICIÓN ANGULAR

3. 9º < > 10 g 27’ < > 50m 81” < > 250s

4. = xº y’ z” = xº + y’ + z” ( = 3º50’27” = 3º + 50’ + 27”)5. = xg ym zs = xg + ym + z”( = 4g50m20s = 4g + 50m + 20s)

Conversión Entre Sistemas: Es el procedimiento por el cual la medida de un ángulo se expresa en otras unidades diferentes a la primera.

Aplicaciones:

1. Convertir 15º a radianes.Observamos que vamos a relacionar el sistema (S) y (R) entonces utilizaremos una equivalencia donde aparezcan ambos sistemas.

15 º xπ rad180 º

⇒ π12

rad

2. Convertir 80g a sexagesimales.Utilizaremos la equivalencia.

80g .9 º

10g⇒ 72 º

3. Convertir

3π2

rad a sexagesimales.

Ahora utilizaremos 180º = rad

32

π rad ⇒ 3 x 180 º2

=270º

1. Expresar el complemento de 30º en el Sistema Circular.

a)

π3rad

b)

π6rad

c)

π4rad

d)

π5rad

e)

π8rad

2. Expresar el suplemento de 100g al Sistema Radial.

a)

π3rad

b)

π6rad

c)

π8rad

d)

π2rad

e)

π4rad

3. Determine: √a+b+c Si: 140g=abc ºa) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5

4. Calcular el valor de x: (4 x+10 )º=3π

20rad

a) 7 b) 9 c) 11d) 13 e) 15

5. Determine a + b + c.

Si: aºb’c” = 3º25’42” + 4º45’38”a) 25 b) 39 c) 52d) 63 e) 120

6. La diferencia de dos ángulos suplementarios

es

π3rad

determine el mayor de ellos.

a) 90º b) 100º c) 120ºd) 160º e) 130º

7. Calcular:

E=25 º+50g+ π

3rad

64 º+40g+π6rad

a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5

8. Si:

π64

rad=xºy ' z} {¿

Calcular el complemento de (x + y - z)º

- 5 -

rad = 180º

9º = 10g

18

xº

yg

rad3

2

SºCgR rad

a) 80º b) 81º c) 85ºd) 82º e) 54º

9. Expresar el suplemento de 60º en el Sistema Radial.

a)

π3rad

b)

π6rad

c)

π4rad

d)

2π3

rade)

5π4

rad

10. Expresar el complemento de 20g al sistema Sexagesimal.a) 70º b) 72º c) 82ºd) 56º e) 74º

11. Convertir

33 π25

rad al Sistema Centesimal.

a) 260g b) 264g c) 266g

d) 270g e) 300g

12. Convertir

π10

rad al Sistema Centesimal.

a) 10g b) 20g c) 30g

d) 40g e) 50g

13. Convertir

7π20

rad al Sistema Sexagesimal.

a) 60º b) 62º c) 63ºd) 64º e) 65º

14. Determine “x” si: (x + 7)º = (x + 9)g

a) 9 b) 10 c) 11d) 13 e) 27

15. Si: aºb’c” = 5º48’23” + 6º25’40”

Calcular: √a+b+c−4

a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5

16. Simplificar:

E=50g+25 ºπ

36rad+5º

a) 3 b) 5 c) 7d) 8 e) 9

17. Del gráfico calcular: 10x – 9y

a) 240b) 2 400c) 24 000d) 180e) 1 800

Es la relación que existe entre los números de grados sexagesimales (S), grados centesimales (C), y el número de radianes (R) que contiene un ángulo trigonométrico. En el gráfico tenemos:

Recordar: 180º = 200g = rad

Entonces:

S180

= C200

=Rπ …………. Fórmula General

De donde podemos establecer las siguientes consideraciones:

S9= C

10 S=180R

π C=200 R

π

- 6 -

1 2 3

PRACTICA DE CONVERSION DE SISTEMAS

Observación:

De

S9= C

10=K

S=9 KC=10 K } K=20R

π

Muchas veces conviene utilizar dicha observación por ejemplo:

Reducir:

SISTEMANÚMERO DE

GRADONÚMERO DE

MINUTONÚMERO DE SEGUNDO

Sexagesimal S 60 S 3 600 S

Centesimal C 100 C 10 000 C

APLICACIONES

1. Expresar en Radianes: 3S – 2C = 7

Reemplazando:S=180R

π∧ C=200 R

π

140R = 7 20R = 1 R =

120

2. Expresar en radianes si se cumple: C – S = 4

200 Rπ

−180Rπ

=4 ⇒ 20Rπ

=4 ⇒ 5Rπ

=1 R =

π5

1. Determine un ángulo en radianes si se

cumple:

( S9 −1) ( C10+1)=15

a) rad b)

π3rad

c)

π5rad

d)

π6rad

e)

π10

rad

2. Hallar la medida de un ángulo en radianes si

se cumple: C + S = (C2 – S2)

a)

π10

radb)

π20

radc)

π30

rad

d)

π40

rade)

π50

rad

3. Siendo S, C y R lo conocido, calcular:

E=√ C+SC−S

+√C+2SC−S

+√C+6 SC−S

a) 2 b) 3 c) 4d) 5 e) 6

- 7 -

1

O

B

A

O

r

r

L rad

4. Simplificar: E=2 πS+3 πC−10R

190R

a) 1 b) 2 c) 3d) 7 e) 5

5. Simplificar: E=Cπ+2Sπ+40 R

(C−S ) πa) 10 b) 20 c) 30d) 40 e) 50

6. Expresar el ángulo en centesimal si se cumple:

√S+√S+√S+.. .. . .. .. . .=C

a) (1, 2)g b) (1, 9)g c) (1, 8)g

d) 1,7g e) 2g

7. Siendo S, C y R lo convencional.

Simplificar: E=2 πS+0,5 πC+40 R

5 R

a) 100 b) 200 c) 250d) 150 e) 50

8. Determine un ángulo en radianes si se cumple:

πC+πS+10RπC−πS−10 R

− C+SC−S

=80Rπ

a)

π4rad

b)

π3rad

c)

π16

rad

d)

π8rad

e)

π2rad

9. Siendo S, C y R lo conocido para un mismo ángulo.

Reducir:

πC+πS+20 RπC−πS+20R

a) 1 b) 5 c) 10d) 20 e) 30

ARCO

Se denomina Arco a la figura que se parte de la circunferencia limitada en sus extremos.

Notación:

LONGITUD DE ARCO

La Longitud de un Arco se calcula multiplicando el número de radianes del ángulo central al

cual subtiende por la Longitud de Radio.

Notación:

Longitud de Arco AB = LAB = L

- 8 -

Arco AB = AB

El arco no puedeEl arco no puede ser menos que unser menos que un punto ni más quepunto ni más que

una circunferenciauna circunferencia..

L = r

0 2

O

10m

10m

A

36º

B

10 m

10 m

36ºO

B

A

En el ejercicio anterior no es necesario dibujar toda la circunferencia hasta dibujar solamente.

AB AB

b a

h

h

h

ba

¡Cuidado!

APLICACIÓN 1

Del gráfico mostrado calcular la Longitud de Arco AB.

Como el ángulo central debe estar expresado en radianes lo pasaremos al Sistema Radial.

36 º .π rad180 º

=π5rad

(

π5rad

suele escribirse también como

π5 )

L =

π5 . 10 m L = 2m

PROPIEDAD FUNDAMENTAL

APLICACIÓN 2

θ=20m−4m2m

=8

- 9 -

Aparentemente = 8 (8 radianes) resultado que no

puede ser ya que: 0 2

aprox. 0 6.28

4m 20m

2m

2m

PRACTICA DE LONGITUD DE ARCO

C

E

DA

B

45º

16

O

C

A

BD

L1 L L2O

A C

B

9cm

5

24

24

Por lo tanto el método es correcto pero el problema estaría mal propuesto.

1. Calcular la longitud de arco correspondiente

a un ángulo central de 75º en un

circunferencia de 24 m de radio.

a) 5 m b) 10 c) 15d) 20 e) 25

2. En un sector circular la longitud del arco es

4 cm y el ángulo central mide 50g. ¿Cuánto

mide su radio?

a) 14 cm b) 15 c) 16d) 12 e) 8

3. En un sector circular el ángulo central mide

70g y el radio 1 m. ¿Cuánto mide el arco?

a) 35 cm b) 5 c) 15d) 14 e) 7

4. Calcular la longitud de arco, correspondiente

a un ángulo central de 60º en una

circunferencia de 48 m de diámetro.

a) 6 m b) 7 c) 8d) 5 e) 10

5. En un sector circular la medida del arco y el

radio están representados por dos números

enteros consecutivos. Si el perímetro del

sector es 20 m. ¿Cuál es la medida del

ánodo central?

a) 4/3 rad b) 3/4 c) 2/3d) 3/2 e) ½

6. En el triángulo rectángulo, calcular la suma

de las longitudes de los dos arcos dibujados

tomando centro en A y C respectivamente.

a) 2 b) 4 c) 8

d) 16 e) 12

7. Del grafico, calcular : E = -1 -

a) 1 b) 2 c) 5

d) √5 /2 e) 1/2

8. En el grafico, calcular “L” , si : L1 + L2 = 8

a) 8 b) 4 c) 2d) e) /2

9. Siendo A, B y C los centros de los arcos

mostrados. Determine el perímetro de la

región sombreada, si ABC: equilátero de lado

igual a 15 cm.

a) 15 cm b) 20 c) 25d) 30 e) 21

10. Del grafico, calcular “”

- 10 -

O

B

A

O

B

A

.2

rS

2

O

B

A

r

r

rad

O

B

A

6 m

6 m

30º

a) 15º b) 12º c) 18ºd) 30º e) 36º

SECTOR CIRCULAR

Se denomina Sector Circular a la figura que es parte del círculo limitado por dos radios y un arco.

Notación:

ÁREA DE UN SECTOR CIRCULAR

El área de un Sector Circular es igual a la mitad del cuadrado del valor de su radio multiplicado por el número de radianes de su ángulo central.

Notación: S AOB

= Área del Sector Circular

APLICACIÓN 1

Calcular el área del Sector Circular mostrado.

Convertimos 30º a radianes: 30 º .

πrad180 º

⇒ π6rad

Aplicamos la fórmula: S=

(6 m)2

2π6

⇒ 3 π m2

Otras fórmulas para calcular el área de un Sector Circular.

- 11 -

Sector Circular AOB = AOB

El Sector CircularEl Sector Circular no puede serno puede ser menos que unmenos que un

radio ni mas queradio ni mas que

un círculoun círculo..

Sector Circular

AO

a

h

b S

PRACTICA DE ÁREA DE SECTOR CIRCULAR

45º

A B

C

30ºO

C

A

D

B

6

3

O A

B

D

36º

C

S1S2

O

C

A

D

B

a

a 5a

8+x

x2+1

x rad

x2+1

O

A

B

S= L . r2

S= L2

2θ

ÁREA DE UN TRAPECIO CIRCULAR

1. En un sector circular el arco mide 2 cm y el

ángulo central mide 20º. ¿Cuál es su área?

a) 12 cm2 b) 9 c) 18d) 6 e) 24

2. El ángulo central de un sector circular de

radio R es igual a 24º y se desea disminuir en

18º de tal manera que el área no varia,

aumentamos el radio una longitud “x”.

Determine “x”.

a) R b) 2R c) R/2d) 3R e) 3R/2

3. Del grafico, calcular el área de la región

sombreada, si : AC = 4√2a)

b) 2

c) 3

d) 4

e) 6

4. Calcular el área de la región sombreada

a) b) 2c) 3d) 4e) 5

5. De acuerdo al grafico, calcular : E =

S1

S2

Si: OA = 4CB

a) 4/3b) 1/3c) 2/9d) 4/9e) 2/3

6. Determine el área de la región sombreada :

a) 2a2

b) a2

c) 3a2

d) 3a2/2e) 3a2/4

7. En el grafico mostrado, señale el área del

sector circular AOB

a) 25b) 40c) 45d) 50e) 75

DEFINICIÓN

- 12 -

C

S=(a+b )

2. h

C

BA

ba

c

La razón trigonométrica de un ángulo agudo en un triángulo rectángulo se define como el cociente que se obtiene al dividir las medidas de las longitudes de dos de los lados del triángulo rectángulo con respecto a uno de los ángulos agudos.

Sea el triángulo rectángulo ABC recto en B.

Elementos:

Catetos

Hipotenusa (H) b

m ∢ CAB (agudo)

Cumpliéndose: (Teorema de Pitágoras)

b2 = a2 + c2

Definimos con respecto a :

Seno de senα=CO

H=ab

Coseno de cos α=CA

H= cb

Tangente de tg α=CO

CA=ac

Cotangente de ctg α=CA

CO= ca

Secante de sec α= H

CA=bc

Cosecante de csc α= H

CO=ba

Por ejemplo:senα=1

3 csc = 3

tg α=53

ctg α=35

NOTA:

1. En un triángulo rectángulo hipotenusa > catetos

Entonces 0 < sen < 1 0 < cos < 1

sec > 1 csc > 1

2. sen2 Sen2

- 13 -

Cateto opuesto (C.O.) a

Cateto adyacente (C.A.) c(con respecto a )

I

N

V

E

R

S

A

Inver

A B

C

a

c

b

AB

C

1

3

PRACTICA DE RAZONES TRIGONOMETRICAS

A C

B

4x + 2

7x + 1

3.

sen αsen β

≠αβ

APLICACIÓN

En un triángulo rectángulo ABC recto en B reducir:

E = senA secC + cosC cscA

Solución:

Del gráfico:

E=ab

xba+ ab

xba

E = 1 + 1 E = 2

Si: es un ángulo agudo tal que cos α=1

3 . Calcular tg.

Solución:

Del dato:cos α=1

3

debe estar dentro de un triángulo rectángulo.

Por Pitágoras:

32=12+BC 2Piden:

tg α=2√21

⇒ 2√2

BC=2 √2

1. En un triángulo ABC recto en C simplificar: E = a . ctgA – c . senB

a) 0 b) 1/3 c) ad) b e) 1/2

2. En un triángulo rectángulo ABC recto en B reducir: E = (secA - senC)ctgA - cosC

a) 1 b) 2 c) 0d) 3 e) -1

3. En un triángulo rectángulo ABC recto en B se cumple que: 2tgA = cscC

Calcular: E=2 senA+√3 tgC

a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5

4. Del gráfico calcular “x”. Si: tgB=3

2

a) 1b) 2

- 14 -

cateto hipoten

2

m

2m

A B C

DE 3

2

x + y x - y

xy6

a

a

45º

45º

2aa

a

a

45º

45º

c) 3d) 4e) 5

5. Si: sec x=√7

Calcular: E=tg2 x+√42 senx

a) 10 b) 12 c) 14d) 18 e) 20

6. Del gráfico hallar: E=3√( tg θ+tg β ) ctg α

2

a) 2b) 3c) 5

d) 2 √3e) 15

7. En un triángulo ABC recto en A se cumple tgB = 0,75; además: a – b = 6 m

Hallar su perímetro.

a) 12 m b) 24 mc) 36 md) 42 m e) 45 m

8. Se tiene un triángulo rectángulo ABC ( A=90 º ). Calcular: E = btgC + ctgB - c

a) a b) b c) cd) 2a e) 2c

9. En un triángulo ABC recto en C se cumple

3senA = 2senB. Calcular: E=√13 senA+6 tgB

a) 7 b) 9 c) 11d) 13 e) 15

10. Si: senα=2

3 donde “” es agudo. Calcule: ctg

a) √5 b) 2√5 c)

√52

d)

√55 e)

2√53

11. Si: senθ=√7

4 Calcular: E=3 secθ−√7 tg θ

a) 1/3 b) 2/3 c) 5/3d) 7/3 e) 1

12. En un triángulo rectángulo ABC (B = 90º)

tgA = 4tgC. Si el mayor lado mide 8√5m. ¿Cuál es el área del triángulo?

a) 16 cm2 b) 32 c) 64d) 8 e) 128

13. Del gráfico calcular: E = ctg - tg

a) 2/3b) 3/2c) 2d) 3e) 4/3

14. Del gráfico, calcular ctg2

a) 1b) 3c) 5d) 7e) 8

Son aquellos triángulos rectángulos donde conociendo las medidas de sus ángulos agudos, se puede saber la proporción existente entre sus lados.

Como por ejemplo:

Triángulo Notable de 45º y 45º

- 15 -

2a 2a

60º 60º

30º30º

a a

2a3a

60º

30º

a

a25 a

8º

82º

7a

25a 7a

16º

74º

24a

5a 3a

37º

53º

4a

PRACTICA DE RAZONES TRIGONOMETRICAS DE ÁNGULOS NOTABLES

30º

Triángulo Notable de 30º y 60º

TRIÁNGULOS APROXIMADOS

APLICACIÓN

1. Calcular: E = sen230º + tg37º

Reemplazando valores: E=( 1

2 )2

+ 34

⇒ 14+ 3

4⇒ E=1

2. Evaluar: E= sen2 45º+cos60 º

csc30 º

Reemplazando:

(√22 )

2

+12

2⇒

24+

12

2⇒ 1

2

Calcular: E = (sen30º + cos60º)tg37ºa) 1 b) 2 c) 1/4d) 3/4 e) 4/3

Determine el valor de “m” para que “x” sea 30º.

cos2 x=m−1m+1

a) 2 b) 3 c) 4d) 5 e) 6

3. Calcular: E = (sec245º + tg45º) ctg37º -

2cos60º

a) 0 b) 1 c) 2d) 3 e) 4

4. Calcular: “x”

3xsec53º - tg45º = sec60º(sec45º + sen45º)csc30º

a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5

5. Calcular: E = (tg60º + sec30º - sen60º)sec60º

a) 25/12 b) 25/24 c) 49/12d) 49/24 e) 7/18

6. Calcular: E= tg 30 ºsec 60º−sen37 ºcos30 º

sen245 º

a)

√35 b)

11√35 c)

3√35

d)

5√33 e)

2√35

7. CaResolver: 5xsen53º - 2sec60º = xtg45º +

sec245º

a) 1 b) 2 c) 3d) 1/2 e) 1/4

8. Determine tg en el gráfico.

- 16 -

=

a

b

c

a) √3 b)

√33

c)

√32

d)

√36

e)

3√32

9. Calcular:

a) 3 b) 5 c) 7d) 9 e) 11

10.Calcular: E = sec37º + ctg53º - 2sen30º

a) 0 b) 1 c) 2d) 3 e) 4

11. Indicar el valor de “x” en:

tg(2x - 5º) = sen230º + sen260º

a) 15º b) 20º c) 25ºd) 30º e) 35º

12. Calcular:

a) 1 b) 2 c) 3d) 5/2 e) 3/2

13. Calcular:

a) 1 b) 2 c) 3d) 1/2 e) 1/3

14. Calcular:

a) 7 b) 9 c) 10d) 11 e) 13

15.Calcular: E = (tg260º + sec60º) (4tg37º +

sec245)

a) 24 b) 21 c) 36d) 25 e) 12

16.Resolver: 5xsen37º - csc30º = 2tg45º - x

a) 1 b) 2 c) 1/2d) 1/3 e) 2/3

17.Determinar “x” en: 5xsen37º + cos30º = 2ctg53º - x

a) 2-1 b) 3-1 c) 4-1

d) 5-1 e) 6-1

18.Resolver:

a) 0 b) 3 c) 1d) 2 e) -1

19.Resolver:

a) 0 b) 3 c) 1d) 2 e) -1

20.Calcular el valor de “x”. Si:

a) 11º b) 22º c) 33ºd) 44º e) 65º

RECÍPROCAS

COMPLEMENTARIO

- 17 -

Siempre y cuando:

sen . csc = 1

cos . sec = 1

tg . ctg = 1

+ = 90º

PRACTICA DE LAS PROPIEDADES DE LAS RAZONES TRIGONOMÉTRICAS

3+6º+12º

180

x

APLICACIÓN 1

Si: sen 2x = cos 80º. Calcular: “x”

90º (P. Complementarios)

2x + 80º = 90º x = 5º

1. Si : tg 3x . ctg(x + 40º) = 1. Calcular : Cos 3x

a) 1 b) 1/2 c) √3

d) √3 /2 e) 3/5

2. Hallar “x” si : cos(2x – 10º) sec(x + 30º) = 1

a) 10º b) 20º c) 30ºd) 40º e) 50º

3. Si : sen 7x sec 2x = 1. Calcular :E = tg2 6x + tg(x + 42º - y) . tg(3x + y + 8º)

a) 1 b) 3 c) 4d) 5 e) 6

4. Determine “x” :

sec(2x - 8) = sen 40º csc 40º +

tg 15 ºctg 75º

a) 17º b) 20º c) 28ºd) 30º e) 34º

5. Si en el gráfico se cumple tg tg 4 = 1. Calcular: “x”

a) 90b) 30

c) 90√3

d) 30√3

e) 10√3

6. Calcular : E = (5 tg 10º + 10 ctg 80º) tg 80ºa) 10 b) 12 c) 13

d) 14 e) 15

7. Si : sec(x + y + 5º) – csc(2y – x + 40º) = 0 tg(3x - y) . ctg(2x + y) = 1

donde “x” e “y” son agudos.

Hallar: E = sec 2x + tg(x + y) – 2 sen 2y

a) 0 b) 1 c) 2d) 3 e) 4

8. Si : sen(A - C) = cos (B + C).

Calcular: E = 2 sen( A+B3 )

+ tg( A+B2 )

a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5

9. Determine “x” : tg(2x + 10º) = ctg(x – 40º)a) 10º b) 20º c) 30ºd) 40º e) 60º

10. Si : tg x . tg 2x = 1.

Calcular: E =

sen x cos 2x sen3 x2

tg 37 º ctg3x2

. tg x

a) √2 /2 b) √3 /3 c) √6 /6

d) √5 /5 e) 1

- 18 -

Siempre y cuando:

(Complementario

sen = cos

tg = ctg

sec = csc

mm

m cos

m sen

m m

m ctg

m csc

m

m tg

m

m sec

aS

a a a a

11. Determine el valor de “x” :

sen(3x – 42º) csc(18º - 2x) = 1

a) 6º b) 12º c) 15ºd) 20º e) 24º

12. Sabiendo que : tg 5x . ctg (x + 40º) = 1.

Calcular : cos 3x

a) 1 b) 1/2 c) √2 /2

d) √3 e) 2/3

EJERCICIOS II

1. Calcular :

E = (tg 20º + ctg 70º) (ctg 20º + tg 70º)

a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 8

2. Reducir : E = (3 sen 40º + 4 cos 50º) csc 40º

a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 7

3. Se sabe que : tg( xm )

= ctg( ym )

. Calcular :

E = tg( x+ y

2m ) ctg

( x+ y3m )

a) √3 /3 b) √3 c) 1/2

d) 1 e) 2√3

Si se conoce un ángulo agudo de un triángulo rectángulo y uno de sus lados se puede calcular con facilidad los otros dos lados para ello aplican las siguientes observaciones o casos:

Caso 1 (Si el lado conocido es la hipotenusa)

Caso 2 (Si se conoce el cateto opuesto al ángulo conocido)

Caso 3 (Si se conoce el cateto adyacente al ángulo conocido)

OBSERVACIÓN 1 OBSERVACIÓN 2 OBSERVACIÓN 3

- 19 -

PRACTICA DE RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS

A

B

C

m n

x y

x

m

AD

BC

E

x

DA

B

Cx

45ºA B

D

C

m

m

xm

x

C

B

AD

n

A B C

D

m

A B

CDE

m

x

x

C

A D18 B

NIVEL I

1. Del gráfico, hallar : ACa) m sen x + n sen y b) m cos x + n sen yc) n sen x + m cos yd) m cos x + n cos ye) m sen y + n cos x

2. Hallar “x”a) m sen sen b) m sen cos c) m cos cos d) m cos sen e) m tg ctg

3. Del gráfico, hallar tgx en función de Si ABCD es un cuadradoa) tg - 1b) tg + 1c) ctg - 1d) ctg + 1e) 1 – tg

4. Hallar tg , si : BD = a , CD = b

a)

basenx+bcos x

b)

bcos xa+bsenx

c)

bsenxa+bcos x

d)

asenxa+bcos x

e) a sen x + b cos x

5. Del gráfico, hallar CD en función de m y m(cos + sen )m(cos - sen )m(sen - cos )m(cos + 2 sen )m sen cos

6. Determinar el área del triángulo mostrado a) 0,5 m tgb) 0,5 m ctgc) 0,5 m2 tg

d) 0,5 m2 ctge) 0,5 m2

7. Del gráfico determine x.a) m sen secb) m sen cscc) m cos secd) m cos csce) m sen tg

8. Del gráfico hallar “x” en función de n, y a) n sen cosb) n sen senc) n cos cosd) n sen cose) n tg tg

9. Determine AB en el gráfico:a) m(tg - tg)b) m(ctg - ctg)c) m(ctg - tg)d) m(tg - tg)e) m(ctg - ctg)

10. Determine “x” en función de y m (ABCD es un cuadrado)

a) m sen cos d) m (2sen + cos)

b) 2m (sen + cos) e)

m2 (sen +

cos)c) m (sen + cos)

11. Calcular “x”

Si: ctg α−ctg β=6

5

a) 11 b) 13 c) 14d) 15 e) 18

- 20 -

Línea Visual

Línea Horizontal

Línea Visual

Observador

Línea Visual

Línea Horizontal

Observador

: Ángulo de Elevación

Línea Visual

Línea Horizontal

IntroductorioEn el presente capítulo veremos problemas donde es necesario graficar el enunciado de un texto en forma

precisa. Para ello es necesario tener presente los siguientes conceptos u observaciones analizando las distintas posibilidades que se nos pueden presentar.

LÍNEA VISUAL Es la línea recta que une el ojo de un observador (generalmente una persona) con un objeto que se observa.

LÍNEA HORIZONTALEs la línea recta paralela a la superficie horizontal referencial que pasa por el ojo del observador.

ÁNGULOS VERTICALESSon aquellos ángulos obtenidos en un plano vertical formados por la línea visual y línea horizontal que

parten de la vista del observador. Los ángulos verticales pueden ser:

A) ÁNGULO DE ELEVACIÓNEs el ángulo formado por la línea horizontal y la línea visual cuando el objeto a observar se encuentra por

encima de la línea horizontal.

B) ÁNGULO DE DEPRESIÓNEs aquel ángulo formado por la línea horizontal y la línea visual cuando el objeto se encuentra por debajo de la línea

horizontal.

- 21 -

10 pies15 pies

6 pies

500 pies

25º 65º

25º 40º

100 pies

PRACTICA DE ÁNGULOS VERTICALES

: Ángulo de Depresión.

EJEMPLO DE ÁNGULOS VERTICALES

NIVEL I1. Si a 20 m de un poste se observa su parte más

alta con un ángulo de elevación de 37º y luego nos acercamos al poste una distancia igual a su

altura, el nuevo ángulo de elevación es .

Calcular tg .

Rpta: tg =32. Desde el punto medio de la distancia entre los

pies de dos torres, los ángulos de elevación de sus extremos superiores son 30° y 60° respectivamente. Calcula el cociente entre las alturas de dichas torres (la menor entre la mayor).

Rpta: 3. Desde la base y la parte superior de una torre se

observa la parte superior de un edificio con

ángulos de elevación de 60º y 30º respectivamente. Si la torre mide 36 m, calcula la altura del edificio.Rpta: 54m

4. A 20 m de la base de una torre un hombre observa la parte superior de la torre con' un ángulo de

elevación " ". En línea recta se aleja otros 20 m

y ahora la ve con un ángulo " ".

Si tg + tg = 0,75 y el hombre mide 1,7 m, calcula la altura de la torre.Rpta: 11,7

5. José se encuentra a 20 m de un poste y observa su

parte más alta con un ángulo de elevación y alejándose 10 m más el ángulo de elevación es e!

complemento de . Calcula tg

- 22 -

Rpta: 6. Dos personas de alturas h y H desde un mismo

punto observan el extremo superior de un edificio

con ángulos de elevación y respectivamente. Si: H > h, calcular la altura del edificio

Rpta: 7. Un niño y dos árboles se encuentran alineados. El

niño que está entre los árboles observa las partes superiores de dichos árboles con ángulos de

elevación y . Si sus respectivas visuales miden 30 y 25 m, calcula la altura del mayor árbol, si la distancia a la que se encuentra e! niño de uno de ellos, es igual a la altura de! otro, siendo este

último el que se opone a . (Usar: sen == 2

sen . cos )Rpta: 24

8. Un avión que vuela horizontalmente, observa dos puntos en tierra "A" y "B", con ángulos de

depresión y respectivamente. Cuando está sobre A es visto desde B con un ángulo de

elevación ;

si tg =3 y tg = 2, calcular tg .

Rpta: tg =69. Un avión que se encuentra a 4500 m sobre un

objetivo, va cayendo con un ángulo de inclinación

por debajo de la horizontal. Luego de recorrer 1300 m, toma la posición horizontal y recorre una distancia x, al cabo de lo cual el piloto observa al objeto con un ángulo de depresión de 53°. Calcula

el valor de "x ", si sen = 5/13.Rpta: 1800m

10. Un hombre observa la parte más alta de una torre con un ángulo de elevación de 18°. Camina 1 km y ahora la observa con un ángulo de 54°. ¿A qué distancia (en km), quedó del pie de la torre?Rpta: (sen18º)km

11. Una persona colocada en el extremo superior de un muro de 2 m de altura sobre el nivel de un lago, observa a un globo con un ángulo elevación de 30° y a su imagen con un ángulo de depresión de 45º ¿A qué altura sobre el nivel del lago se encuentra el globo?.Rpta: 7,46m

12. Desde la base de un edificio "A" se observa la parte superior de un edificio "B" con un ángulo

de elevación " " y desde la parte superior del primer y segundo piso se observa la parte superior del edificio "B" con ángulos de elevación

" " y " " respectivamente. Calcula el número de pisos que tiene el edificio B si sus pisos son de

igual altura y además: tg - tg = 0,2 y tg =1,6Rpta: 10

13. Una avenida recta que conduce a una torre está inclinada un ángulo de 30° sobre la horizontal.

Desde un punto situado a m de la base de la torre, se observa la parte superior de ésta con un ángulo de elevación de 60°. Calcula su altura

Rpta: 14. Un niño observa los ojos de su padre con ángulo

de elevación " " y su padre observa los pies de

su hijo con un ángulo de depresión (90° - ). Determina la relación entre sus tamaños.

Rpta:

PAR ORDENADO

Intuitivamente, un par ordenado es un conjunto de dos elementos en el cual cada elemento tiene un lugar fijo, si los elementos son (a, b) el par ordenado se simboliza por :

(a , b) = { {a} , {a , b} }

donde : (a , b)

Segundo elemento, componente o coordenada

Primer elemento, componente ó coordenada

SISTEMA DE COORDENADAS CARTESIANAS O RECTANGULARES

- 23 -

(0, 0) a

b (a, b)

origen

XEje de abscisas

Y Eje de ordenadas

Origen de coordenadas

X

Y

(+)

(-)

X

Y

II

III

I

IV

Origen de coordenadas

Coordenadas

Es aquel sistema de referencia usado con más frecuencia para representar un par ordenado como un punto en el plano.

Representándose mediante la intersección de dos rectas (numéricas) en forma perpendicular llamadas Eje de Coordenadas.

La recta horizontal se llama eje X ó eje de abscisas. La recta vertical se llama eje Y ó eje de ordenadas. El punto de intersección se llama origen de coordenadas.

Observaciones :

Debemos tener en cuenta que tanto a la derecha como hacia arriba del origen de coordenadas se encuentran números reales positivos, a la izquierda y hacia abajo de los mismos números reales negativos.

Los ejes coordenados dividen al plano en cuatro zonas ó regiones llamadas CUADRANTES (primer, segundo, tercer y cuarto cuadrante).

Ejemplo :

- 24 -

d = √ ( x2−x1)2+( y2− y1 )

2

2

1-1

-3

5

5

-4-5

X

Y

(-3, 5)

(2, 1)

(-1, -4)(-5, -5)

A(x1, y1)

B(x2, y2)

d

Y

X

(-3, 1)

(3, 4)4

3-3

1

d

Y

X

(x, y)

Y

(2, 1) IC , (-3, 5) IIC , (-1, -4) IIIC y (5, -5) IVC

DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS

Dado los puntos A(x1, y1) y B(x2, y2) la distancia entre ellos se calcula de la siguiente manera:

d > 0

siempre es positiva

Ejemplo :

Calculando la distancia :

d = √ (3−(−3 ))2+(4−1)2

d = √ 62+32

d = √ 45 ó d = 3√ 5

CASO PARTICULAR

Radio Vector.- Es la distancia que existe entre el origen de coordenadas y punto cualquiera del plano, dicho radio vector se representa por r, siendo siempre positivo.

- 25 -

Y

X-1

22

r

A

B

M

b

a

X

Y

2

3

B

P

A(12, 2)

(-3, 7)

Calculando el radio vector :

r = √ ( x−0)2+( y−0)2

r = √ x2+ y2

Ejemplo :

Calculando el radio vector :

r = √ (−1)2+(√2)2

r = √ 3

DIVISIÓN DE UN SEGMENTO EN UNA RAZÓN DADA

Dado el segmento AB ubicamos el punto M tal que :

AMMB =

ab

Se cumple:

M =

Ab+Baa+b

Ejemplo : Calcular las coordenadas del punto P si

APPB =

23

Calculando “P” : P = =

(36 ,6 )+(−6 ,14 )5 =

(305

,205 )

= (6, 4)

- 26 -

5

2)7,3(3)2,12(

Y

X

M

A

B

(3, 5)

(5, 11)11

5

3 5

M

Y

X

G

A

C

BY

X

PRACTICA DE SISTEMA CARTESIANO

CASO PARTICULAR

Punto Medio.- Dado el segmento AB mostrado en el gráfico adjunto su punto medio M se halla así :

M =

A+B2

Ejemplo :

M =

(3,5 )+(5 ,11)2

M = ( 8

2,

162 )

M = (4, 8)

BARICENTRO DE UN TRIÁNGULO

Dado el triángulo ABC su baricentro G se halla de esta manera.

G =

A+B+C3

NIVEL I1. Señale la alternativa incorrecta :

a) (5, 3) ICb) (3, 0) esta ubicado en el semi eje positivo

de las abscisasc) (-2, -1) IIIC

- 27 -

(-7, 4a+1)

(-3, b+3)

(a, 9)

D C

B(7,3)A(-2,3)

X

Y

A

D(5,y)

C(7,9)B(x,5)

Y

X

A

B(3,7)

C

X

Y

56

d) (0, 6) IC ó IICe) (2, -5) IV

2. Halle la distancia del punto (1, -2) al punto (4, 2)

a) 5 b) 12 c) 13d) 4 e) 8

3. Determine el radio vector del punto medio del segmento que se forma al unir los puntos (-8, 7) y (6, 3)

a) b) c)

d) e) 5

4. Determine del gráfico :

a) 2 b) 3 c)

d) e) 2

5. (4, 2) es el punto del segmento formado al unir los puntos A(a, -3) y B(5, b). Determinar :

E =

a) b) c) 2d) 3 e) 5

6. Señale el punto P que divide el segmento de extremos A(-5, 1) y B(3, 5), si se sabe que :

= 3

a) (1, 2) b) (2, 3) c) (2, 4)d) (1, 4) e) (1, 1)

7. Si dos vértices de un cuadrado son (1, 3) y (-1, 2) el perímetro de cuadrado sería :

a) 4 b) 8 c) 12

d) 4 e) 4

8. Calcular el perímetro del rectángulo ABCD

a) 10b) 20c) 12d) 24e) 36

9. Del gráfico, hallar “x + y” (ABCD es un paralelogramo)

a) 5b) 6c) 7d) 8e) 9

10. Si en un triángulo dos de sus vértices son A(1, 3) y B(7, 1) además su baricentro es C(5, 0) ¿Cuál es la suma de coordenadas del tercer vértice C?

a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5

11. Del gráfico, calcular la distancia entre A y C.

a)

b) 2

c)

d) 2

e)

ÁNGULO EN POSICIÓN NORMAL

- 28 -

13 3 20

26

ab

5

7 3

ab

2 3

PB

AP

3

5 6

31

31

61

61

37

X

Y

X

Y

Y

X

X

Y

O

(a, b)

Y

X

r

Llamado también canónico ó estándar, es aquel ángulo trigonométrico cuyo vértice coincide con el origen de coordenadas rectangulares, su lado inicial se encuentra sobre el semi eje positivo de las abscisas y su lado final se ubica en cualquier parte del plano.

:

:

o Observa los siguientes gráficos e indica si los ángulo están en posición normal y si es así diga

usted a que cuadrante pertenecen.

: ________ : ________

: ________ : ________

DEFINICIÓN DE LAS RAZONES TRIGONOMÉTRICAS

a : abscisa

b : ordenada

r : radio vector

Se define:

- 29 -

(-4,-3)

x

y

180º 0º ; 360º

90º

270º

II C I C

III C IV C

Todas las R. T. son positivas Solo seno y cosecante son (+)

Solo Tangente y cotangente son (+)Solo coseno y secante son (+)

PRACTICA DE .R. T. DE UN ÁNGULO EN POSICION NORMAL

5

Y

Y

X

(-2,1)

Ejemplo : Si el punto pertenece al lado final del ángulo en posición standar “”. Calcular Sen

Sol. :

Calculando “r” :

r = √ x2+ y2

r = √ (−4 )2+(−3 )2

r = 5Me piden :

Sen =

−35 =

−35

SIGNOS DE LAS RAZONES TRIGONOMÉTRICAS

Los signos :

o Sen 100º =

o Cos 200º =

o Tg 250º =

o Cos 290º =

o Las razones trigonométricas que no se encuentren mencionadas en los cuadrantes se consideran

negativas.

Ejemplo : Determine el signo de E =

Cos 200º+Sen 300 ºCsc 100 º

1. Si “” es un ángulo en posición normal cuyo lado final pasa por (-2, -3). Determinar :

√ 13 Sen + 6 Tg

a) -1 b) 1 c) 2d) 4 e) 6

2. Si el punto Q(5, -12) pertenece al lado final del ángulo en posición normal “”. Calcular : E = Sec + Tg

a) 0,5 b) -0,5 c) 0,2d) -0,2 e) 1

3. Del gráfico, determine : E = Tg + Tg

a) -0,5 b) -0,25 c) 0,25d) 0,5 e) 8,25

4. Calcular : A = √ 5 csc - ctg

a) 3

- 30 -

Y

X

(m-5,m-2)

Y

X

(k+3,-2)

(k+1,-3)

Y(x,8)

10

X

Y

(-3,-4)

(12,-5)

b) 4c) 5d) 6e) 7

5. Si : Ctg = -2. Calcular “m”

a) -5b) -4c) -3d) -2e) 3

6. Del gráfico. Hallar “k”

a) -5b) -7c) -9d) -4e) -6

7. Del gráfico, hallar Cos

a) 0,6b) -0,6c) 0,8d) -0,8e) -0,3

8. De la figura, hallar : 5 Sen + 13 Cos

a) 1b) -1c) 7d) -7e) 8

9. Determine a que cuadrante pertenece “”, si : Sen > 0 Tg > 0a) I b) II c) IIId) IV e) Ninguno

ÁNGULO CUADRANTALES

Son aquellos ángulos en posición normal que su lado final coincide con los semi ejes coordenados. Los ángulos cuadrantales son múltiplos de 90º.

Ángulo cuadrantal = 90º K ó

π2 K ; K ℤ

OBSERVACIÓNVerificar si son ángulos cuadrantales:

Los ángulos y a que cuadrantes pertenecen:

NOTA:A los ángulos cuadrantales se le considera que no pertenecen a ningún cuadrante

ÁNGULOS0 ; 2 /2 3/2

0º ; 360º 90º 180º 270º

Sen 0 1 0 -1

- 31 -

PRACTICA DE .ÁNGULOS CUADRANTALES

6

5

Y

(-3,4)

30ºX

Y

53º

X

Y

Cos 1 0 -1 0

Tg 0 Nd 0 Nd

Ctg Nd 0 Nd 0

Sec 0 Nd -1 Nd

Csc Nd 1 Nd -1

1. Del gráfico, calcular : E = 5(Sen + Cos ) + 6 . Ctg

a) 3 b) 4 c) 5d) 6 e) 7

2. Del gráfico, hallar : E = √ 5 . Csc + Ctg

a) 0 b) 1 c) 2d) 3 e) 4

3. Del gráfico, calcular : E = 3 Tg + 1

a) 0 b) 1 c) -1d) 2 e) -2

4. Calcular: D = (Sec 360º + Ctg 90º - 8 Sen 3/2)Sen

30º

a) 3 b) 3 c) 2d) 2 e) 5

5. Calcular : D =

6 Sec 180 º + 11 Csc 270º − Cos 0 º3 Sen90 º + Cos 360 º

a) -1/2 b) -3/2 c) -5/2d) -9/2 e) -11/2

6. Si : Sen . Cos > 0. ¿En qué cuadrante está ?

a) I b) II c) IIId) I IV e) I y III

7. Sabiendo que Csc < 0 y Ctg < 0.

Indicar el signo de : R =

Ctg α + Tg αSec α + Cos α -

Cos αSen α

a) - b) + c) + ó –d) + y - e) No tiene signo

8. Calcular :

E =

3 Cos 0 º − 4 Sen 270 º + Sec 360 ºCos 180º + Csc 270 º

a) 2 b) -2 c) 1d) 4 e) -4

9. Calcular : E =

Sec 2π − Cos π + Senπ2

Tgπ4− Sen

3π2

a) 1 b) -1 c) 0

- 32 -

Permanece igual

Depende del cuadrante

d) -1,5 e) 1,510. Calcular el valor de la siguiente expresión :

(Cos π3 )Sen

3 π2 + (Csc 3 π

2 )Secπ3

a) 1/2 b) 1 c) 3/2

d) 2 e) 3

11. Reducir :

A =

(a+b )2 Cos 360 º + (a−b )2 Csc 270 ºa Sen 180º + ab Sen 270 º + b Sen 360 º

a) -4 c) -2 c) 1d) 2 e) 4

REDUCCIÓN AL PRIMER CUADRANTE DE ARCOS POSITIVOS MENORES DE UNA VUELTA

Consiste en comparar el valor de las razones trigonométricas de un ángulo de cualquier magnitud con respecto al valor de la razón trigonométrica de un ángulo del primer cuadrante (agudo). Para poder entender mejor daremos las siguientes observaciones:

I. Razones trigonométricas de ángulos negativos

Sen (-) = -Sen Cos (-) = Cos Tg (-) = -Tg Ctg (-) = -Ctg Sec (-) = Sec Csc (-) = -Csc

II. Cofunción ó Co -razón

Sen CosTg CtgSec Csc

III.

R.T.

(180 º ± α ¿ ) ¿¿

¿¿ = R.T. ()

Ejemplo : Tg 300º (300º IV)

Tg 300º = Tg (360º - 60º) = -Tg 60º = -√ 3 (en el IVC la Tg es -)

Tg 300º = -√ 3

- 33 -

Cambia

Depende del cuadrante

Cambia por su co - razón

PRACTICA DE .REDUCCIÓN AL PRIMER CUADRANTE

R.T.

( 90 º + α ¿ )¿¿

¿¿ = Co. R.T. ()

Ejemplo : Sen 120º (120º IIC)

Sen 120º = Sen (90º + 30º) = +Cos 30º =

√ 32

(en el IIC el Sen es +)

Sen 120º =

√ 32

1. Reducir : E =

Sen (−x )Sen x +

Cos (−x )−Cos x

a) -1 c) -2 c) 0d) 1 e) 3

2. Reducir : E = Sen (-x) Csc (-x) + Tg x Ctg (-x)a) 0 b) -1 c) 1d) 2 e) -2

3. Simplificar :

Sen (−x )Sen x +

Tg ( x− y )Tg ( y−x )

a) 1 b) 2 c) -2d) -1 e) 0

4. Calcular el valor de Sen 120º . Cos 330º

a) √ 3 /4 b) √ 3 /2 c) 1/4d) 3/4 e) 1

5. Calcular el valor de : E = Sen 150º - Cos 120º + Tg 135ºa) -2 b) -1 c) 0d) 1 e) 2

6. Simplificar :

3 Sen 20 º − 2 Cos 110 ºCos 70 º

a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5

7. Afirmar si es “V” ó “F” :I. Tg ( - x) = -Tg xII. Csc (2 - x) = Csc x

III. Cos( 3π

2+x )

= -Sen x

a) FVF b) VFV c) FVVd) VFF e) VVF

8. Reducir :

Tg ( π−x )Tg (−x ) -

Cos ( x−π )Cos (2π−x )

a) √ 2 b) -3 c) 1d) 2 e) 5

9. Simplificar : E =

Csc (270º +x ) + Sec (90 º +x )Sec (360 º −x ) + Csc (180 º −x )

a) -1 b) 0 c) 1d) 2 e) 2 Tg x

10. Reducir : E =

Sen (π + x ) Tg ( π2 − x )Ctg (2 π − x ) Sen (2 π + x )

a) 1 b) 2 c) -1d) -2 e) 3

11. Simplificar : E =

Sen (90 º − x )

Sen ( 3 π2

+ x) +

Tg (270 º − x )

Tg ( π2 + x)a) -2 b) -1 c) 0d) 1 e) 2

12. Simplificar : E = Cos10º + Cos20º + Cos30º + … + Cos170º + Cos180ºa) 1 b) 0 c) -1d) 1/2 e) -1/2

REDUCCIÓN PARA ÁNGULOS POSITIVOS MAYORES DE UNA VUELTA

- 34 -

Para este caso bastará con dividir a la variable angular por 360º o su equivalente 2 rad, para finalmente trabajar con el residuo. Si el residuo no pertenece al primer cuadrante, deberá utilizarse la reducción explicada en el capítulo anterior.

360º ___ K = 360º K + R.T. () = R.T.()

APLICACIONES:

Reducir al primer cuadrante:

1. Sen 1985º

1985º 360º 1800º 5 Residuo 185º

Luego : Sen 1985º = Sen 185º = Sen (180º + 5º) …… (*)

= -Sen 5º

Sen 1985º = -Sen 5º

2. Tg 5535º

5535º 360º 5400º 15 Residuo 135º

Luego : Tg 5535º = Tg 135º = Tg (90º + 45º) …… (*)

= -Ctg 45º

Tg 5535º = -1

¡NO TE OLVIDES!Los pasos (*), pertenecientes al capítulo anterior.

3. Sen (-2400º)Sen (-2400º) = -Sen 2400º

2400º 360º 2160º 6 Residuo 240º

Luego: -Sen 2400º = -Sen 240º

= -Sen (180º + 60º) …… (*)

- 35 -

PRACTICA DE .REDUCCIÓN AL PRIMER CUADRANTE MAYORES DE UNA VUELTA

IDENTIDAD TRIGONOMÉTRICA

Igualdad de expresiones trigonométricas que se verifica para todo valor admisible de la variable

es una

Las notables son:

RECIPROCASSen.Csc = 1 Cos.Sec = 1Tg.Ctg = 1 Cos

Sen

PITAGÓRICASSen2 + Cos2 = 11 + Tg2 = Sec21+ Ctg2 = Csc2

= -(-Sen 60º) = Sen 60º

Sen (-2400º) =

√ 32

1. Calcular Sen 7290ºa) 1 b) 0 c) -1d) 1/2 e) -1/2

2. Calcular el valor de : E = Sen 36270º Cos 36180ºa) 0 b) -1 c) 1d) 1/2 e) -1/2

3. Calcular el valor de : E = Tg 1920º Ctg 36135º

a) -√ 3 /3 b) -√ 3 c) 1

d) √ 3 /3 e) √ 3

4. Calcular :

Sen 1170 º − Cos 3780 º

Sen2 990 ºa) -1 b) 2 c) -2d) 1 e) 0

5. Calcular el valor de : E = Ctg(91 π12 )

- Tg(70 π

3 )a) -2 b) 2√ 3 c) -√ 3

d) 1 e) -√ 3 /3

6. Simplificar :E = 2 Tg (1485) + 6 Cos 2200º - 2 Sen 750ºa) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5

7. Calcular : Cos 750º

a) 1/2 b) -√ 3 /2 c) 3/4

d) √ 3 e) √ 3 /28. Calcular : Sen 4020º

a) 1/2 b) √ 2 /2 c) √ 3 /2

d) -√ 3 /2 e) -√ 2 /2

9. Calcular : Sen 2610º

a) 1/2 b) √ 2 /2 c) √ 3 /2d) 1 e) 0

10. Calcular : Cos 5380ºa) 1/2 b) -1/2 c) 1/3d) -1/3 e) 1/4

11. Calcular : Tg 2933ºa) 3/4 b) -3/4 c) 4/3d) -4/3 e) -3/5

12. Calcular : E = Csc 690º Tg 600º

a) -1 b) √ 3 c) 1

d) -2√ 3 e) -√ 3

13. Simplificar : E =

Sen 500ºSen 400 º +

Cos 740ºCos 520º

a) 1 b) 2 c) -2d) -1 e) 0

- 36 -

Cos.Sec = 1

1Cos =

Sec

1Sec =

Cos

Sen.Csc = 1

1Sen =

Csc

1Csc =

Sen

Tg.Ctg = 1

1Tg =

Ctg

1Ctg =

Tg

Sen2 + Cos2 = 1

Sen2 = 1 - Cos2

Cos2 = 1 - Sen2

1 + Tg2 = Sec2

Sec2 - Tg2 = 1

Sec2 - 1 = Tg2

1 + Ctg2 = Csc2

Csc2 - Ctg2 = 1

Csc2 - 1 = Ctg2

IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS FUNDAMENTALESEn trigonometría se presentan gran cantidad de formulas que muestran la variada forma en que se interrelacionan las Razones Trigonométricas. De estas, las más importantes son las Identidades Trigonométricas llamadas fundamentales o básicas, que se clasifican así:a) Identidades Reciprocas

b) Identidades de cociente

c) Identidades Pitagóricas

d) Identidades Auxiliares

- 37 -

Tg =

Ctg =

Sen4 + Cos4 = 1 - 2Sen2 . Cos2

Sen6 + Cos6 = 1 - 3Sen2 . Cos2

Tg + Ctg = Sec . Csc

Sec2 + Csc2 = Sec2 . Csc2

(1+ sen + cos )2 = 2(1 + sen )(1 + cos )

Sen4 - Cos4 = Sen2 - Cos2

Tg2 - Sen2 = Tg2 . Sen2

Sugerencias para demostrar identidades

Las siguientes son sugerencias que nos permiten transformar expresiones trigonométricas y a través de estos procedimientos demostrar las identidades planteadas.

1ra. Transformar el miembro más complejo utilizando las identidades básicas.

2da. Si las condiciones lo favorecen, escribir la expresión trigonométrica de un miembro de la igualdad en términos de seno y coseno.

3ra. Si un miembro de la igualdad es una fracción con un solo término en el denominador, escribir la fracción como una suma o diferencia de fracciones homogéneas, así:

4ta. Si uno de los miembros está formado por la suma o diferencia de varias fracciones, calcular el mínimo común denominador y escribir como una sola fracción.

Sta. Descomponer en factores y/o desarrollar las expresiones. 6ta. Evitar introducir expresiones con radicales.

EJERCICIOS

1) Demuestra que: sen x . sec x = tg x2) Demuestra que: csc x - ctg x . cos x = sen

x

- 38 -

3) Demuestra que:

4) Demuestra que: ctg2x - cos2x = ctg2x . cos2x

5) Demuestra que:

6) Demuestra que:

7) Demuestra que:

8) Demuestra que: tg2 x - sen2 x = tg2 x . sen2 x

9) Demuestra que: (1 + sen x+ cos x) 2 = 2(1 + sen x) (1 + cos x)

- 39 -

PRACTICA DE .REDUCCIÓN AL PRIMER CUADRANTE MAYORES DE UNA VUELTA

10) Demuestra que,: sen2.tg+cos2.ctg+2sen.cos = tg+ctg

11) Demuestra que,: sen(1+tg)+cos(1+ctg) = sec+csc

1. Si ]0;

π4 [ , simplificar:

a) 2Cos b) 2Sec c) 2Send) 2Csc e) 2SenCos

2. Reducir:

a) Sen b) 2Cscx c) 2Secxd) 2Cosx e) 2Tgx

3. Reducir:

a) 2Secx b) 2Cscx c) 2Secxd) 2Cosx e) 2Tgx

4. Si: calcular: Tg + 2Ctg

a) 2 b) 3 c) 4d) 5 e) 6

5. Simplificar:

a) 1 b) Sen c) Tgd) Cos e) 2

6. Reduciendo la expresión: (Sen + Cos)2 + (Sen - Cos)2 se obtiene:

a) 1/2 b) 1 c) 2d) 3 e) 4

7. Reducir: E = Tg (Csc - Sen)

a) Sen b) Cos c) Tg

d) Sen22 e) Cos2

EJERCICIOS Nº 2

1. Reducir: M = (Cscx – Ctgx) (1 +Cosx)

a) 1 b) Senx c) Cosxd) Sen2x e) Cos2x

2. Reducir: M = (Secx-Cosx)Ctgx

a) 1 b) Senx c) Sen2xd) Secx e) Cos2x

3. Simplificar:

a) 1 b) 2 c) 2Sec2.d) 2Tg e) 2Ctg

4. Reducir:

a) 2 b) 2Secx c) 2Cscxd) Secx e) Cscx

5. A qué es igual la expresión:

a) Senx b) Cosx c) Tgx

- 40 -

d) Ctgx e) Secx

6. Simplificar: P = SenCosTgSec

a) 1 b) Sen c) Cosd) Sec e) Csc

7. Si: Tg + Ctg = 4 Calcular: Tg2 + Ctg2

a) 16 b) 14 c) 12d) 10 e) 8

F.T. de la suma de dos ángulos:

1)

2)

F.T. de la diferencia de dos ángulos:

- 41 -

0! 1POR DEFINICIÓN

El factorial de n es el producto de los n primeros números naturales no nulos. Se simboliza por ó .

Ejemplos:

2! = 1 x 2 = 2 3! = 1 x 2 x 3 = 6 4! = 1 x 2 x 3 x 4 = 24

Ejemplo:

5! = 5 x 4!

8! = 8 x 7 x 6!

Ejemplo: E =

8 !6 !

+ 6 !5 ! Ejemplo: Simplificar

Resolución.- Resolución.

- 42 -

= n! = 1 x 2 x 3 x 4 x .... x(n – 1) x n

PROPIEDAD

n! = n ( n – 1 )!

PRACTICA DE FACTORIAL DE UN NÚMERO

Ejemplo: Simplificar

Simplificar cada una de las siguiente expresiones:

1. E =

5! +6 ! +7 !5 ! + 6 !

a) 5 b) 6 c) 7

d) 8 e) 9

2. F =

15 ! + 16 !15 ! + 16 ! + 17 !

a)

117 b)

115 c)

116

d)

13 e)

12

3. B = [ 4 ! x 15 !

7 ! x 13 ! ]3!

a) 1 b) 64 c) 16

d) 32 e) 128

4. M =

n !+( n−1)!( n+1) !

a) n + 1 b) n-1 c) n - 1

d) 2n + 1 e) 2n – 1

5. Calcular la suma de los valores que toma “x” en: (x – 5)! = 1

a) 5 b) 6 c) 7

d) 10 e) 11

6. Si se sabe que: V nk= n !(n−k )!

Hallar el valor de: E =

V 102

x V 83

V75

a) 10 b) 11 c) 12

d) 13 e) 14

7. Reducir: E =

a !+(a−1) !+( a+1) !a ! + (a+2 )!− a(a−1) ! . ( a+2) !

a) a b) 1/2 c) 1/a

d) a! e) a – 1

8. Hallar “x” en:

( x+6 )! x ( x+8 )!( x+6 )! x ( x+7 )!

=12

a) 2 b) 3 c) 4

d) 5 e) 6

- 43 -

9. Resolver:

( x+5) !( x+3) !

=156

a) 6 b) 7 c) 8

d) 9 e) 10

10. Hallar “n” si: [ (n! + 2)! – 4]! = 20!

a) 1 b) 2 c) 3

d) 4 e) 5

11. Sabiendo que: a = 2 x 2! y b =

√4 ! + 0 !Calcular el valor de E: E = (a . b)b – a

a) 20 b) 9 c) 15

d) 4 e) 16

12. Efectuar: 3!2 ! 0 !

- 2!3 ! 1 !

a) -32 b) -24 c) -28

d) -42 e) 8

13. Simplificar:

( a+1)! + a !(a−1)! + (a−2)!

a) a2+2a+1 b) a2-3a+2 c) a

d) a2+a-2 e) a2-a+2

14. Simplificar:

[ ( ( 1! + 1 ) ! + 1 ) ! +1 ] ![ ( ( 0 ! + 0 ) ! + 0 ) ! +0 ] !

a) 1 b) 0 c) 6

d) 5040 e) 5!

15. Hallar “x” (x 6)! = 1

a) 5 b) 6 c) 7

d) 8 e) 6 ó 7

16. Calcular: E =

16 ! + 17 !16 ! + 17 ! +18 !

a) 1/15 b) 1/18 c) 17

d) 15 e) 31

17.Calcular: E =

20 ! + 21! +22 !20 ! + 21!

a) 12 b) 14 c) 16

d) 22 e) 20

18.Reducir: R =

8 ( 4 7 )2

8! x 8

a) 2 b) 4 c) 8

d) 7 e) 32

19.Expresar “E” como factorial:E = 3 x 6 x 9 x 12 x … x (3n)

a) 3n x n! b) 3! x n c) 3! x n!

d) n! x 3n e)

n!3

20. Simplificar: E =

2! (3 ! )! ((4 !) ! )! (((5! ) ! )! ) !6 !(24 ! ) ! ((120 !) ! )!

a) 1 b) 2 c) 3

d) 16 e) 64

21.Hallar “n”:

(n ! + 1) !−(n ! ) !(n ! )!− (n !− 1) ! x (n !−1) = 6(n!)

a) 1 b) 2 c) 3

d) 4 e) 6

- 44 -

22.Simplificar: E =

1! 2 ! 3 ! 4 ! 5 !6 !− 5 !

a) 64 b) 64/5 c) 24/5

d) 192/5 e) N.A.

23.Simplificar:

E =

[n x (n−2 )!− (n−2) !] n(n−1 )!

a) 1 b) n2 c) n!

d) n e) N.A.

24.Hallar: A + B

A =

10 ! 12 !9 ! 11 !

B =

1! 2 ! 3 ! 4 ! 5 !6 !

a) 72 b) 168 c) 480

d) 158 e) N.A.

25.Resolver:

(n+3 )! x (n+5 )!(n+3 )! + (n+4 )!

=120

a) 0 b) 1 c) 2

d) 3 e) N.A.

26.Si: (n + 3)! = n4 + 6n3 + 11n2 + 6nCalcule los valores de “n”:

a) 1 ; 5 b) 1 ; 3 c) 2 ; 1

d) 2 ; 3 e) N.A.

27.Simplifique:

n ! + (n+1) ! +(n+2 )!n ! +(n+1 )! , n N

a) n b) n + 1 c) n + 2

d) n – 1 e) n + 3

28.Calcular (m + n):(120 ! +1 )!−((5 ! )! )!

(120 !−1 )!=((n !) ! )m

a) 7 b) 5 c) 25

d) 14 e) N.A.

29.Simplificar:

E =

2 ! 3 ! 4 ! 5 ! .. . . 79 ! 80 !

279 x 378 x 477 .. . .792 x 80

a) 1/2 b) 1/4 c) 280

d) 1 e)N.A

- 45 -