Trigonometria Taller

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- 1 - Es aquel ngulo que se genera por la rotacin de un rayo alrededor de un punto fijo llamado vrtice u origen desde una posicin inicial hasta otra posicin final, debiendo considerar que esta rotacin se efecta en un mismo plano. Por lo tanto debemos considerar dos tipos de rotacin: Sentido AntihorarioSentido Horario NOTA: Si el ngulo tiene rotacin antihoraria la medida del ngulo ser positivo. o es positivo Si el ngulo tiene rotacin horaria la medida del ngulo ser negativo. | es negativo OBSERVACIONES 1.ngulo de una vuelta Es aquel ngulo generado, cuando la posicin inicial y final coinciden por primera vez, luego de cierta rotacin lo denotaremos como: 1v. Lado Final Lado Inicial Vrtice O o O Vrtice Lado Final Lado Inicial | 1v V21 V41 V43 - 2 - 2.Los ngulos trigonomtricos son ilimitados a diferencia de la geometra. Medida del ngulo trigonomtrico e < -; + > 3.Parasumarorestarngulostrigonomtricosquenosepuedenrealizarasimplevistadebemosprocurar tenerlos en un solo sentido de preferencia antihorario para ello se recomienda el cambio de sentido. 1.Seale la relacin correcta entre o y |. a) o + | = 90 b) o - | = 90 c) o + | = -90 d) o + | = 0 e) | - o = 90 2.Del grfico determine x. a) 10 b) 15 c) 25 d) 30 e) 35 3.Calcular x a) -50 b) -100 c) -200 d) -180 e) -90 4.Hallar x a)902ub)902u+c)1802ud)1802u+e)2702u 5.Del grfico hallar x a) 15 b) 35 c) 55 d) 30 e) 60 6.Del grfico hallar x a) 10 b) 30 c) 40 d) 50 e) 60 7.Del grfico hallar x; siOCes bisectriz. a) 2 b) 4 c) 6 d) 12 e) 18 8.Hallar la relacin entre o, | y u a) | - o - u = 90 b) | + o - u = 90 c) | - o + u = 90 d) | - o - 2u = 90 e) 2| - o - 2u = 90 O G O A o B O A -o Cambio de Sentido Cambio de Signo o o | (x + 40) (20 x) xu -x30- xx + 1010 + x 20+x 50 - 2xu | o o | 10 - x x + 50 PRACTICA DE NGULO TRIGONOMTRICO A B C O (5x-3) (9-6x) - 3 - (Conversin entre Sistemas) SISTEMA DE MEDICIN Son las distintas formas o medios para medir ngulos cada una con sus propias reglas y unidades. Las unidades de medida en cada sistema se crean en forma arbitraria, tal es as que se le puede tomar como unidad de medida un ngulo cuyo arco es equivalente a 3601, 4001, etc. parte de un ngulo de una vuelta. Por lo expuesto se entiende que existen muchos sistemas para medir ngulos, pero los ms usuales o conocidos son tres: Sistema SexagesimalSistema CentesimalSistema Radial SISTEMA SEXAGESIMAL (S) Llamado Sistema Ingls, es aquel que tiene como unidad a: Un Grado Sexagesimal1 Dichosistemadividealngulodeunavuelta(1v)en360partesigualesyacadaparteseledenomina1porlo tanto: 1 vuelta= 360 Sus unidades: 1 minuto sexagesimal1 1 segundo sexagesimal1 Equivalencia: 1 = 60 1 = 60 1 = 3600 - 4 - SISTEMA CENTESIMAL (C) Llamado tambin francs, es aquel que tiene como unidad a: Un Grado Centesimal1g Dichosistemadividaalngulodeunavuelta(1v)en400partesigualesyacadaparteseledenomina1gporlo tanto: 1 vuelta= 400g Sus unidades: 1 minuto centesimal1m 1 segundo centesimal1s Equivalencia: SISTEMA RADIAL O CIRCULAR (R) Tambin llamado circular o internacional es aquel que tiene como unidad a un radian (1 rad). 1 Radian (1 Rad).- Se define as a la medida del ngulo central que subtiende en cualquier circunferencia un arco de longitud igual al radio. Luego: 1 vuelta = 2trad Observacin.t (Pi) = 3,141592654 Pero el valor de t se le atribuye valores aproximados como: t = 3,14 t = 722 1g = 100m 1m = 100s 1g = 10 000s R R OL 1 Radian R = L Si: L = R u = 1 Rad - 5 - EQUIVALENCIAS ENTRE LOS 3 SISTEMAS 9 = 10gtrad = 180trad = 200g 1 vuelta = 360 = 400g = 2t rad NOTA: Consideraciones: 1.1 rad > 1 > 1g 2.180 < > 200g < > trad 3.9 < > 10 g27 < > 50m81 < > 250s 4.o = x y z = x + y + z(o = 35027 = 3 + 50 + 27) 5.| = xg ym zs = xg + ym + z(| = 4g50m20s = 4g + 50m + 20s) Conversin Entre Sistemas: Es el procedimiento por el cual la medida de un ngulo se expresa en otras unidades diferentes a la primera. Aplicaciones: 1.Convertir 15 a radianes. Observamosquevamosarelacionarelsistema(S)y(R)entoncesutilizaremosunaequivalenciadonde aparezcan ambos sistemas. rad12 180radx 15tt 2.Convertir 80g a sexagesimales. Utilizaremos la equivalencia. 7210 9. 80gg3.Convertirrad23t a sexagesimales. Ahora utilizaremos 180 = trad 2702 180 x 3rad23= t Lo correcto seria 90 equivale 10g pero por comodidad para operar diremos que 90 = 10g. trad = 180 9 = 10g 180 - 6 - 1.Expresarelcomplementode30enelSistema Circular. a)rad3tb)rad6tc)rad4t d)rad5te)rad8t 2.Expresar el suplemento de 100g al Sistema Radial. a)rad3tb)rad6tc)rad8t d)rad2te)rad4t 3.Determine:c b a + +Si: abc 140g =a) 1b) 2c) 3 d) 4e) 5 4.Calcular el valor de x: rad203) 10 x 4 (t= +a) 7b) 9c) 11 d) 13e) 15 5.Determine a + b + c.Si: abc = 32542 + 44538 a) 25b) 39c) 52 d) 63e) 120 6.Ladiferenciadedosngulossuplementarioses rad3t determine el mayor de ellos. a) 90b) 100c) 120 d) 160e) 130 7.Calcular: rad640 64rad350 25Eggt+ +t+ +=a) 1b) 2c) 3 d) 4e) 5 8.Si:" z ' y x rad64=t Calcular el complemento de (x + y - z) a) 80b) 81c) 85 d) 82e) 54 9.Expresarelsuplementode60enelSistema Radial. a)rad3tb)rad6tc)rad4t d)rad32te)rad45t 10.Expresarelcomplementode20galsistema Sexagesimal. a) 70b) 72c) 82 d) 56e) 74 11.Convertirrad2533t al Sistema Centesimal. a) 260g b) 264g c) 266g d) 270g e) 300g 12.Convertirrad10t al Sistema Centesimal. a) 10g b) 20g c) 30g d) 40g e) 50g 13.Convertirrad207t al Sistema Sexagesimal. a) 60b) 62c) 63 d) 64e) 65 14.Determine x si: (x + 7) = (x + 9)g a) 9b) 10c) 11 d) 13e) 27 15.Si: abc = 54823 + 62540 Calcular:4 c b a + +a) 1b) 2c) 3 d) 4e) 5 16.Simplificar: 5 rad36 25 50Eg+t+=a) 3b) 5c) 7 d) 8e) 9 17.Del grfico calcular: 10x 9y a) 240 b) 2 400 c) 24 000 d) 180 e) 1 800 x yg rad32t PRACTICA DE SISTEMAS DE MEDICIN ANGULAR - 7 - Es la relacin que existe entre los nmeros de grados sexagesimales (S), grados centesimales (C), y el nmero de radianes (R) que contiene un ngulo trigonomtrico. En el grfico tenemos: Recordar:180 = 200g = trad Entonces: t= =R200C180S . Frmula General De donde podemos establecer las siguientes consideraciones: 10C9S = t=R 180S t=R 200CObservacin:DeK10C9S= = t=)`== R 20KK 10 CK 9 S Muchas veces conviene utilizar dicha observacin por ejemplo: Reducir: 2S C 2(9K) 10K 8KE E E 8C S 10K 9K K = = = SISTEMA NMERO DE GRADO NMERO DE MINUTO NMERO DE SEGUNDO SexagesimalS60 S3 600 S CentesimalC100 C10 000 C S Cg R rad o 123 1 - 8 - APLICACIONES 1.Expresar en Radianes:3tS 2tC = 7 Reemplazando: t= .t=R 200CR 180S 180R 200R3 . 2 . 7 t t =t t 140R = 720R = 1R = 201 2.Expresar en radianes si se cumple: C S = 4 1R 54R 204R 180 R 200=t =t =tt R = 5t 1.Determine un ngulo en radianes si se cumple: 15 110C19S=|.|

\|+|.|

\|a) t radb)rad3tc)rad5t d)rad6te)rad10t 2.Hallar la medida de un ngulo en radianes si se cumple: C + S = (C2 S2) a)rad10t b)rad20tc)rad30t d)rad40te)rad50t 3.Siendo S, C y R lo conocido, calcular: S CS 6 CS CS 2 CS CS CE+++++=a) 2b) 3c) 4 d) 5e) 6 4.Simplificar: R 190R 10 C 3 S 2E t + t=a) 1b) 2c) 3 d) 7e) 5 5.Simplificar: t + t + t=) S C (R 40 S 2 CEa) 10b) 20c) 30 d) 40e) 50 6.Expresar el ngulo en centesimal si se cumple: C . .......... S S S = + + +a) (1, 2)g b) (1, 9)g c) (1, 8)g d) 1,7g e) 2g 7.Siendo S, C y R lo convencional. Simplificar: R 5R 40 C 5 , 0 S 2E+ t + t=a) 100b) 200c) 250 d) 150e) 50 8.Determine un ngulo en radianes si se cumple: t=+ t t+ t + t R 80S CS CR 10 S CR 10 S C a)rad4tb)rad3tc)rad16t d)rad8te)rad2t 9.SiendoS,CyRloconocidoparaunmismo ngulo.Reducir: R 20 S CR 20 S C+ t t+ t + t a) 1b) 5c) 10 d) 20e) 30 PRACTICA DE CONVERSION DE SISTEMAS - 9 - ARCO Se denomina Arco a la figura que se parte de la circunferencia limitada en sus extremos. Notacin: LONGITUD DE ARCO LaLongituddeunArcosecalculamultiplicandoelnmeroderadianesdelngulocentralalcual subtiende por la Longitud de Radio. Notacin: Longitud de Arco AB = LAB = L APLICACIN 1 Del grfico mostrado calcular la Longitud de Arco AB. Arco AB = AB O B A E El l a ar rc co o n no o p pu ue ed de e s se er r m me en no os s q qu ue e u un n p pu un nt to o n ni i m m s s q qu ue e u un na a c ci ir rc cu un nf fe er re en nc ci ia a. . L = u r O r r L u rad 0 s u s 2t O 10m 10m A 36 B - 10 - Como el ngulo central debe estar expresado en radianes lo pasaremos al Sistema Radial. rad5 180rad. 36t=t ( rad5t suele escribirse tambin como 5t) L = 5t.10 m L= 2tm PROPIEDAD FUNDAMENTAL APLICACIN 2 8m 2m 4 m 20== u Por lo tanto el mtodo es correcto pero el problema estara mal propuesto. AB bau h h hb a = u4m 20mu 2m 2m C Cu ui id da ad do o! ! AB 10 m 10 m 36O B A E En n e el l e ej je er rc ci ic ci io o a an nt te er ri io or r n no o e es s n ne ec ce es sa ar ri io o d di ib bu uj ja ar r t to od da a l la a c ci ir rc cu un nf fe er re en nc ci ia a h ha as st ta a d di ib bu uj ja ar r s so ol la am me en nt te e. . Aparentemente u = 8 (8 radianes) resultado que no puede ser ya que: 0 s u s 2t aprox. 0 s u s 6.28 - 11 - 1.Calcularlalongituddearcocorrespondientea unngulocentralde75enuncircunferencia de 24 m de radio. a) 5t mb) 10tc) 15t d) 20te) 25t 2.En un sector circular la longitud del arco es 4t cmyelngulocentralmide50g.Cuntomide su radio? a) 14 cmb) 15c) 16 d) 12e) 8 3.En un sector circular el ngulo central mide 70g y el radio 1 m. Cunto mide el arco? a) 35t cm b) 5tc) 15t d) 14te) 7t 4.Calcularlalongituddearco,correspondientea un ngulo central de 60 en una circunferencia de 48 m de dimetro. a) 6t mb) 7tc) 8t d) 5te) 10t 5.Enunsectorcircularlamedidadelarcoyel radioestnrepresentadospordosnmeros enterosconsecutivos.Sielpermetrodel sectores20m.Culeslamedidadelnodo central? a) 4/3 radb) 3/4c) 2/3 d) 3/2e) 6.Eneltringulorectngulo,calcularlasumade laslongitudesdelosdosarcosdibujados tomando centro en A y C respectivamente. a) 2tb) 4tc) 8t d) 16te) 12t 7.Del grafico, calcular :E = u-1 - u a) 1b) 2c) 5 d)5 /2e) 1/2 8.En el grafico, calcular L , si : L1 + L2 = 8t