trigonometria esferica

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Trigonometría esférica Tema 1

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Trigonometría esférica

Tema 1

1.1 Triángulos esféricos

a, b, c: lados

A, B, C: ángulos

Los lados a, b, c pueden también

ser medidos desde el centro O de

la esfera.

Tanto ángulos como lados se

expresan en sexageximal ( grados,

minutos y segundos)

1. 2. Triedro correspondiente al triángulo

Al unir el centro O de la esfera con los vértices A, B, C del triángulo

se forma el triedro correspondiente al triángulo.

Sobre la arista OC se forma un

ángulo diedro. Este diedro en su

intersección con la superficie

esférica forma el ángulo C.

El ángulo diedro C es igual al

ángulo C del triángulo

esférico.

1.3 Triángulos polares suplementarios.

El triángulo polar del Δ ABC es otro

Δ A’B’C’ de modo que:

A’: polo del círculo máximo del lado

a que se halla en el mismo

hemisferio que el vértice A.

B’: polo del círculo máximo del lado b

que se halla en el mismo hemisferio que

el vértice B.

C’: polo del círculo máximo del lado c

que se halla en el mismo hemisferio que

el vértice C.

1.4 Propiedades de los triángulos esféricos.

1. En todo ΔABC los lados y los ángulos son menores que 2(π/2):

a, b, c, A, B, C < 180º

2. Todo lado es menor que la suma de los otros dos y mayor que su resta:

b – c < a < b + c

3. La suma de los lados es menor que 4(π/2):

a + b + c < 360º.

4. La suma de los ángulos es mayor que 2(π/2) y menor que 6(π/2):

180º < A + B + C < 540º

5. A lados iguales se oponen ángulos iguales (y viceversa)

a = b ↔ A = B

6. A mayor lado se opone mayor ángulo (y viceversa).

a < b ↔ A < B

7. Todo ángulo aumentado en 2(π/2) es mayor que la suma de los otros dos.

A + 180º > B + C

8. La suma de dos lados es menor (*) que 180º si y solo si la suma de sus

ángulos opuestos es menor (*) que 180º.

a + b < 180º ↔ A + B < 180 º

(*) : Análogamente sucede con el “>” y con el “=“.

a + b > 180º ↔ A + B > 180 º

a + b = 180º ↔ A + B = 180 º

9. Entre un ΔABC y su polar ΔA’B’C’ correspondiente se verifica que los lados

de uno son suplementarios de los ángulos respectivos del otro:

a + A’ = 180º, b + B’ = 180º, c + C’ = 180º

A + a’ = 180º, B + b’ = 180º, C + c’ = 180º

Se tiene:

A’N = 90º, C’M = 90º (ecuadores)

→ A’N + C’M = 180º →

A’N + C’N + MN = 180º

→ b’ + B = 180º

Análogamente:

A + a’ = 180º, C + c’ = 180º, etc.

CLASIFICACIÓN DE LOS TRIÁNGULOS ESFÉRICOS.

• Rectángulos: Un ángulo rectos.

• Birrectángulos: Dos ángulos rectos.

• Trirrectángulos: Tres ángulo rectos.

• Rectiláteros: Un lado recto.

• Birrectiláteros: Dos lados rectos.

• Trirrectilateros: Tres lados rectos.