7 Trigonometria

7

Soluciones a los ejercicios y problemasPg. 1

PGINA 161 P RACTICARazones trigonomtricas de un ngulo agudo

1

Halla las razones trigonomtricas del ngulo a en cada uno de estos tringulos: a)7m

b)11 ,6 cm

c)am60

25

m

a

8m

32

252 72 = 24 = 0,96; tg a = 7 0,29 a) sen a = 7 = 0,28; cos a = 25 25 25 24b) sen a =

11,62 82 = 8,4 0,72411,6

11,6

cos a = 8 0,69; tg a = 8,4 = 1,05 11,6 8 c) sen a =32 = 32 = 8 0,47 2 68 17 + 60

322

cos a = 60 = 15 0,88; tg a = 32 = 8 0,53 68 17 60 15^

2a)

Midiendo los lados, halla las razones trigonomtricas de B en cada caso:B

b)C A

A

m

a

C

B

^ ^ ^ a) sen B = 2,8 0,82; cos B = 2 0,59; tg B = 2,8 = 1,4 3,4 3,4 2 ^ ^ ^ b) sen B = 1,3 0,34; cos B = 3,6 0,95; tg B = 1,3 0,36 3,8 3,8 3,6

Unidad 7. Trigonometra

7


3

Halla las razones trigonomtricas de los ngulos agudos de los siguientes ^ tringulos rectngulos (A = 90): a) b = 56 cm; a = 62,3 cm b) b = 33,6 cm; c = 4,5 cm c) c = 16 cm; a = 36 cm a)B 27,3 cm 62,3 cm^ sen B = 56 0,90 62,3

cos B =C

^

62,32 562 = 27,3 0,43862,3

62,3

A

56 cm

^ tg B = 56 2,051 27,3

^ ^ ^ sen C = 27,3 0,438; cos C = 56 0,90; tg C = 27,3 = 0,4875 62,3 62,3 56

b)

B4,5 cm

sen B =33,9 cm 33,6 cm

^

33,6 = 33,6 0,991 2 + 33,62 33,9 4,5

A

C

^ cos B = 4,5 0,133 33,9

^ tg B = 33,6 7,467 4,5 ^ ^ ^ sen C = 4,5 0,133; cos C = 33,6 0,991; tg C = 4,5 9,955 33,9 33,9 33,6

c)

B 16 cm 36 cm

sen B =

^

362 162 32,25 0,89636

36

) ^ cos B = 16 = 0,4 36C^ tg B = 32,25 2,016 16

A

32,25 cm

) ^ ^ ^ sen C = 16 = 0,4; cos C = 32,25 0,896; tg C = 16 0,496 36 36 32,25

4

Comprueba, con el teorema de Pitgoras, que los tringulos ABC y AHB son rectngulos.A 6,72 cm 24 cm 23,04 cm

C H 1,96 cm

Halla en cada uno las razones trigonomtricas del ngulo B y compara los resultados. Qu B observas?

El tringulo ABC es rectngulo en A: 242 + 72 = 625 = (23,04 + 1,96)2 = 252 = 625 El tringulo AHB es rectngulo en H: 23,042 + 6,722 = 576 = 242


7 cm

7

Soluciones a los ejercicios y problemasPg. 3 ^ sen B en ABC ^ cos B ^ tg B

7 = 0,28 25

24 = 0,96 25

7 0,292 24

en AHB

6,72 23,04 6,72 = 0,28 = 0,96 0,292 24 24 23,04

5

Calcula las razones trigonomtricas de los ngulos A y C , ABD y CBD.B

^

^

15A

12 cm

cm

D

16 cm

C

AD = 152 122 = 9; BC = 122 + 162 = 20^ A sen ^ C ^ ABD ^ CBD

12 = 0,8 15 9 = 0,6 15

12 = 0,6 20 16 = 0,8 20 12 = 0,75 16

9 = 0,6 15 12 = 0,8 15 9 = 0,75 12

16 = 0,8 20 12 = 0,6 20

cos

tg

) 12 = 1,3 9

) 16 = 1,3 12

Relaciones fundamentales

6

Si sen a = 0,28, calcula cos a y tg a utilizando las relaciones fundamentales (a < 90). cos a = 1 0,282 = 0,96; tg a = 0,28 0,292 0,96

7

Halla el valor exacto (con radicales) de sen a y tg a sabiendo que cos a = 2/3 (a < 90). sen a = 4 ( ) = 1 = 9 2 1 32

5 5/3 = 5 ; tg a = 3 2/3 2


7


8

Si tg a = 5 , calcula sen a y cos a (a < 90). sen a s = 5c = 5 cos a 1 6 ( 5c)2 + c 2 = 1 8 6c 2 = 1 8 cos a = = sen 2 a + cos 2 a = 1 6 6 sen a = 5

6 = 306 6

9

Calcula y completa esta tabla con valores aproximados:sen a 0,92 cos a tg a

0,12 0,75

sen a 0,92 0,6 0,99 cos a 0,39 0,8 0,12 tg a 2,35 0,75 8,27

En todos los casos solo tomaremos valores positivos. sen a = 0,92 8 cos a = 1 (0,92) 2 = 0,39 tg a = 0,92 = 2,35 0,39 tg a = 0,75 sen a = 0,75 8 sen a = 0,75 cos a cos a (sen a) 2 + (cos a) 2 = 1 8 (0,75 cos a) 2 + (cos a) 2 = 1 8 8 (cos a) 2 = 0,64 8 cos a = 0,8 sen a = 0,75 0,8 = 0,6 cos a = 0,12 8 sen a = 1 (0,12) 2 = 0,99 tg a = 0,99 = 8,27 0,12

10

Calcula el valor exacto (utilizando radicales) de las razones trigonomtricas que faltan en la tabla siguiente (a < 90):sen a 2/3 cos a tg a

2/3 2 7/3 2/3 7/2 25/5 5/5 2

2/3 cos a 5/3 tg a 2 5/5sen a


7


Como a < 90 8 sen a > 0 cos a > 0 sen a = 2 8 cos a = 3 tg a =

( ) =5 = 92 1 32

5 3

2/3 2 2 5 = = 5 5/3 5 3

2 8 sen a = cos a =tg a =

( ) =7 = 92

2 1 3

7 3

7/3 = 2/3

7 2

tg a = 2 8 sen a = 2 8 sen a = 2 cos a cos a (sen a)2 + (cos a)2 = 1 8 4(cos a)2 + (cos a)2 = 1 8 cos a = sen a =2 5 5 1 5 = 5 5

Calculadora

11

Completa la tabla siguiente, utilizando la calculadora:a sen a cos a tg a 15 55 20' 72 25' 40'' 85,5

a sen a cos a tg a

15

55 20'

72 25' 40''

85,5

0,26 0,97 0,27

0,82 0,57 1,45

0,95 0,30 3,16

0,997 0,078 12,71

12

Halla el ngulo a en cada caso. Exprsalo en grados, minutos y segundos. a) sen a = 0,58 d) sen a = b) cos a = 0,75 e) cos a =1 3

c) tg a = 2,5 f ) tg a = 32 c) a = 68 11' 55'' f ) a = 76 44' 14''

53

a) a = 35 27' 2'' d) a = 48 11' 23''

b) a = 41 24' 35'' e) a = 54 44' 8''


7


13

Halla, con la calculadora, las otras razones trigonomtricas del ngulo a en cada uno de los casos siguientes: a) sen a = 0,23 d) sen a =1 2

b) cos a = 0,74 e) tg a = 3

c) tg a = 1,75 f ) cos a =

32

a) cos a = 0,97; tg a = 0,24 c) sen a = 0,87; cos a = 0,5 e) sen a = 0,87; cos a = 0,5

b) sen a = 0,67; tg a = 0,91 d) cos a = 0,71; tg a = 1 f ) sen a = 0,5; tg a = 0,58

PGINA 162Resolucin de tringulos rectngulos

14

Halla la medida de los lados y ngulos desconocidos en los siguientes ^ tringulos rectngulos (A = 90): a) b = 7 cm c) b = 18 cm e) a = 35 cm c = 18 cm B = 40 C = 36^ ^

b) a = 25 cm d) c = 12,7 cm

b = 7 cm B = 65^

a) a = b 2 + c 2 = 72 + 182 19,31 cm

) ^ ^ tg B = b = 7 = 0,38 8 B 21 15' 2'' c 18 ^ C = 90 21 15' 2'' = 68 44' 58''b) c = a2 b 2 = 252 72 = 24 cm^ ^ sen B = b = 7 = 0,28 8 B 16 15' 37'' a 25 ^ C = 90 16 15' 37'' = 73 44' 23''

c) C = 90 40 = 50 ^ sen B = b 8 sen 40 = 18 8 a 28 cm a a ^ tg B = b 8 tg 40 = 18 8 c 21,45 cm c c d) C = 90 65 = 25 ^ tg B = b 8 tg 65 = b 8 b 27,23 cm c 12,7 ^ cos B = c 8 cos 65 = 12,7 8 a 30,05 cm a a^

^


7


e) B = 90 36 = 54 ^ sen C = c 8 sen 36 = a ^ cos C = b 8 cos 36 = a

^

c 8 c 20,57 cm 35 b 8 b 28,32 cm 35

15

Cuando los rayos del sol forman 40 con el suelo, la sombra de un rbol mide 18 m. Cul es su altura? tg 40 = x 8 x = 15,1 m mide el rbol. 1840 18 m

16

Una escalera de 3 m est apoyada en una pared. Qu ngulo forma la escalera con el suelo si su base est a 1,2 m de la pared?

cos a = 1,2 = 0,4 8 a = 66 25' 19'' 3

17

De un tringulo issceles conocemos su lado desigual, 18 m, y su altura, 10 m. Cunto miden sus ngulos?

b a 10 m a

) tg a = 10 = 1,1 8 a = 48 46'' 9b = 180 2a = 83 58' 28''

18 m

18a)18 cm

Calcula la altura, h, de los siguientes tringulos: b) B Bh D C h D A 28 cm 35

65 A

3m

a 1,2 m

C

a) sen 65 = h 8 h 16,3 cm 18

b) sen 35 = h 8 h 16,1 cm 28


7


19a)

Calcula la altura sobre el lado AB en los siguientes tringulos:B 70 15 cm A A C B 70 15 cm h A C C

b)

B 40 23 cm

a)

sen 70 = h 8 h 14,1 cm 15 b)B 40 23 cm A h C

sen 40 = h 8 h 14,8 cm 23

20

Halla: a) La longitud AC. b) El rea del tringulo ABC.23 cm A 53

B h D 35 cm 34 C

Ten en cuenta que AC = AD + DC.a) En ABD, cos 53 = AD 8 AD 13,84 cm 23 En BDC, cos 34 = DC 8 DC 29 cm 35 b) Hallamos la altura h en el tringulo ABD: sen 53 = h 8 h 18,37 cm 23 AABC = AC h = 42,84 18,37 393,49 cm2 2 2

AC 13,84 + 29 = 42,84 cm


7


Razones trigonomtricas de ngulos cualesquiera

21

Sita en la circunferencia goniomtrica los siguientes ngulos e indica el signo de sus razones trigonomtricas. a) 128 c) 87 e) 285 Comprubalo con la calculadora. a)128sen cos tg

b) 198 d) 98 f ) 305 b)+ 198sen cos tg

128

198 +

c)87sen cos tg

87+ + +

d)98sen cos tg

98+

e)285

285sen cos tg

f) + 305

305sen cos tg

+

22

Completa esta tabla sin usar la calculadora:0 sen cos tg 90 180 270 360

1 0 No tiene

0 sen cos tg

90

180

270

360

0 1 0

1 0 No tiene

0 1 0

1 0 No tiene

0 1 0


7


23

En cada uno de estos crculos est indicado el signo de las razones trigonomtricas de a, segn el cuadrante en el que est a. Cul corresponde a sen a. Cul a cos a? Y cul a tg a? a)

+ +

b)

+

+

c)

+

+

a) cos a

b) sen a

c) tg a

24

Resuelto en el libro de texto.

PGINA 163 25Dibuja dos ngulos cuyo seno sea 2/5 y halla su coseno.

Q

b O

P a A

sen a = 2 8 cos a = 5 cos AOP =

4 1 = 255

21 21 = 5 25

21 ; cos AOQ = 21

5

26

Dibuja un ngulo menor que 180 cuyo coseno sea 2/3 y halla su seno y su tangente.P a O A

El ngulo AOP cumple las condiciones. cos a = 2 8 sen a = 3 tg AOP =

4 1 = 5 8 sen AOP = 5 3 3 9

5/3 = 52/3 2


7


27

Sabiendo que tg a = 2 y a < 180, halla sen a y cos a. sen a s = 2c = 2 1 5 cos a 4c 2 + c 2 = 1 8 5c 2 = 1 8 c = = (sen a)2 + (cos a)2 = 1 5 5 cos a = 1 5 ; sen a = 2 = 2 5 = 5 5 5 5

P I E N S A Y R E S U E LV E 28Dos antenas de radio estn sujetas al suelo por cables tal como indica la figura. Calcula la longitud de cada uno de los tramos de cable y la distancia AE.B D 100 m 45 30 P C 75 m 30 E

60 A

Q

sen 60 = 100 8 AB 115,47 m AB sen 30 = 100 8 BC = 200 m BC cos 45 = 75 8 CD 106,07 m CD cos 30 = 75 8 DE 86,6 m DE

tg 60 = 100 8 AP 57,74 m AP tg 30 = 100 8 PC 173,21 m PC tg 45 = CQ 8 CQ = 75 m 75 tg 30 = QE 8 QE 43,3 m 75

AE = 57,74 + 173,21 + 75 + 43,3 = 349,25 m

29

Una escalera para acceder a un tnel tiene la forma y las dimensiones de la figura. Calcula la profundidad del punto B.

A 25 m 30 10 m 30 m 50 B

A x 25 m 30 10 m y 30 m 50 B

sen 30 = x 8 x = 12,5 m 25 sen 50 = y 8 y 22,98 m 30 Profundidad: 12,5 + 22,98 = 35,48 m


7


30

Una seal de peligro en una carretera nos advierte que la pendiente es del 12%. Qu ngulo forma ese tramo de carretera con la horizontal? Cuntos metros hemos descendido despus de recorrer 7 km por esa carretera?100 a

12

sen a = 12 = 0,12 8 a = 6 53' 32'' 100

7 km 6 58' 34''

x

sen a = x 8 x = 0,12 7 = 0,84 km = 840 m 7

31

En una ruta de montaa, una seal indica una altitud de 785 m. Tres kilmetros ms adelante, la altitud es de 1 265 m. Halla la pendiente media de esa ruta y el ngulo que forma con la horizontal.1265 m 3 km a x

785 m

x = 1 265 785 = 480 m sen a = 480 = 0,16 8 a = 9 12' 25'' 3 000 Pendiente = tg a = 0,162 8 16,2%

32

Los brazos de un comps, que miden 12 cm, forman un ngulo de 50. Cul es el radio de la circunferencia que puede trazarse con esa abertura? sen 25 = x 8 x 5,07 cm 12 Radio de la circunferencia 10,14 cm50 12 cm

x


7


33a)

Calcula el rea de cada uno de estos tringulos:Bm

A

12

50 23 m Qm

C

b)20

P

35

35

R

a) Calculamos la altura, h, sobre AC: sen 50 = h 8 h 9,19 m 12 rea = 23 9,19 = 105,685 m2 2 b) Calculamos la altura, h, sobre PR: sen 35 = h 8 h 11,47 m 20 Calculamos la base, PR : cos 35 = PR/2 8 PR = 40 cos 35 32,77 m 20 rea = 32,77 11,47 188 m2 2

34

En el tringulo ABC calcula h y a. En el tringulo ABP: sen 65 = h 8 h 16,31 cm 18 cos 65 = AP 8 AP 7,61 18 PC = AC AP = 23 7,61 = 15,39 a = h2 + PC 2 = 16,312 + 15,392 22,42 cm18 cm 65 A

B

h

a

P

C 23


7


35

En el tringulo ABC halla x, h e y. En el tringulo ABP: cos 50 = x 8 x 10,93 cm 17 sen 50 = h 8 h 13,02 cm 17 En el tringulo BCP: y = 292 h2 = 292 13,022 25,91 cmA B 17 cm 50 x P y 29 cm

h

C

36

Calcula h, x y b.

A

En el tringulo PAB, PB = x + 17.sen 32 = h 8 h 30,74 cm 58 cos 32 = x + 17 8 x 32,19 cm 58 b = x 2 + h2 44,51 cmh 58 cm b x 32 C 17 cm B

P

37

Conocemos la distancia de nuestra casa a la iglesia, 137 m; la distancia de nuestra casa al depsito de agua, 211 m, y el ngulo, 43, bajo el cual se ve desde nuestra casa el segmento cuyos extremos son la iglesia y el depsito. Cul es la distancia que hay de la iglesia al depsito de agua?Im

13

7

43 C

P 211 m

D

En el tringulo IPC : cos 43 = CP 8 CP 100,2 m 137 sen 43 = IP 8 IP 93,43 m 137 PD = 211 100,2 = 110,8 m Distancia de la iglesia al depsito: ID = PD 2 + IP 2 = 110,82 + 93,432 144,93 m


7


PGINA 164 38Desde la torre de control de un aeropuerto se establece comunicacin con un avin que va a aterrizar. En ese momento, el avin se encuentra a una altura de 1 200 metros y el ngulo de observacin desde la torre (ngulo que forma la visual hacia el avin con la horizontal) es de 30. A qu distancia est el avin del pie de la torre si esta mide 40 m de altura?

1200 m

D30 40 m

d

tg 30 = 1 200 40 8 d = 1 160 = 2 009,2 m d tg 30 Utilizando el teorema de Pitgoras: D = (1 200)2 + (2 009,2)2 = 2 340,3 m La distancia del avin al pie de la torre es de 2 340,3 m.

39

Desde el lugar donde me encuentro, la visual de la torre forma un ngulo de 32 con la horizontal.

32 25 m

50

Si me acerco 25 m, el ngulo es de 50. Cul es la altura de la torre? h tg 32 = 25 + x 25tg 32 + x tg 32 = h h x tg 50 = h tg 50 = x 25tg 32 + x tg 32 = x tg 50 25tg 32 = x(tg 50 tg 32) 25tg 32 = 27,56 m tg 50 tg 32 La altura de la torre es h = 27,56 tg 50 = 32,84 m. x=


7


40

Calcula la altura de la luz de un faro sobre un acantilado cuya base es inaccesible, si desde un barco se toman las siguientes medidas: El ngulo que forma la visual hacia la luz con la lnea de horizonte es de 25. Nos alejamos 200 metros y el ngulo que forma ahora dicha visual es de 10.

h 25 x 200 m 10

tg 25 = h 8 h = x tg 25 x h tg 10 = 8 h = (x + 200)tg 10 x + 200 x tg 25 = (x + 200)tg 10 8 x(tg 25 tg 10) = 200 tg 10 8 8 x= 200 tg 10 = 121,6 m tg 25 tg 10

h = x tg 25 = 121,6 tg 25 = 56,7 m

41

Para calcular la altura del edificio, PQ, hemos medido los ngulos que indica la figura. Sabemos hay un funicular para ir de S a Q, cuya longique tud es de 250 m. Halla PQ.P Q25 0m

10 30

R

S

Calculamos SR y RQ con el tringulo SQR : cos 30 = SR 8 SR = 250 cos 30 216,5 m 250 sen 30 = RQ 8 RQ = 250 sen 30 = 125 m 250 Calculamos RP con el tringulo SPR : tg 40 = RP 8 RP = 216,5 tg 40 181,66 m SR Luego, PQ = RP RQ = 181,66 125 = 56,66 m La altura del edificio es de 56,66 m.


7


42

Las tangentes a una circunferencia de centro O, trazadas desde un punto exterior, P, forman un ngulo de 50. Halla la distancia PO sabiendo que el radio de la circunferencia es 12,4 cm.cm

25

sen 25 = 12,4 8 POP

12,4

O

8 PO =

12,4 29,34 cm sen 25

43

Dos edificios distan entre s 150 metros. Desde un punto del suelo que est entre los dos edificios, vemos que las visuales a los puntos ms altos de estos forman con la horizontal ngulos de 35 y 20. Cul es la altura de los edificios, si sabemos que los dos miden lo mismo? tg 20 = h xh

h

tg 35 =

h 150 x

20

35

x 150 m

h = x tg 20 150 tg 35 = 98,7 m (150 x)tg 35 = x tg 20 8 x = tg 20 + tg 35 h = (150 x) tg 35

h = 98,7 tg 20 = 35,92 m La altura de los dos edificios es de 35,92 m.

44

En dos comisaras de polica, A y C, se escucha la alarma de un banco B. Con los datos de la figura, calcula la distancia del banco a cada una de las comisaras.B h A 27 x 5 km 35 C

B

27 A 5 km

35 C

h tg 27 = x h tg 35 = 5x

h = x tg 27 h = (5 x)tg 35

(5 x)tg 35 = x tg 27 8 5tg 35 = x tg 35 + x tg 27 x= 5tg 35 = 2,89 km 8 h = 1,47 km tg 35 + tg 27

AB 2 = x 2 + h2 8 AB = 2,892 + 1,472 = 3,24 km BC 2 = (5 x)2 + h2 8 BC = 2,112 + 1,472 = 2,57 km


7


45

Halla el rea de un octgono regular de 12 cm de lado.12 cm22,5

x

360 = 45; 45 = 22,5; apotema: x 8 2 tg 22,5 = 6 8 x = 14,49 cm x rea = (12 8) 14,49 = 695,52 cm2 2

46

En un trapecio issceles de bases AB y DC, conocemos los lados AB = 5m y BC = 32 m, y los ngulos que forma la base mayor con los lados oblicuos, que son de 45. Halla su rea. h sen 45 = 8 h=3m 3 2 5m B A x 32 m cos 45 = 8 x=3m h 3 2D 45 45 x C

Base mayor: 5 + 3 + 3 = 11 m

rea = (5 + 11) 3 = 24 m2 2

47

El lado de la base de una pirmide cuadrangular re gular mide 6 m y el ngulo APD = 60. Halla su volumen.P60

P

P l C m l 60 l A 6m D A

B D

C

B A O D6

El tringulo APD es equiltero; l = 6 m Altura de la pirmide: d 2 = 62 + 62 8 d = 6 2 md 6m

AO =

6 2 = 3 2 m 2

En el tringulo APO, PO = 62 (3 2)2 = 18 = 32 m Volumen = 1 62 32 = 362 m3 3


7


48

Halla el ngulo que forma la diagonal de un cubo de arista 6 cm con la diagonal de la base.

a

B 6 cm a 62

6 cm

C 6 cm

C A

A

AC 2 = 62 + 62 8 AC = 6 2 cm tg a =6 6 2

=

1 8 a = 35 15' 52'' 2

49

Desde un faro F se observa un barco A bajo un ngulo de 43 con respecto a la lnea de la costa; y unbarco B, bajo un ngulo de 21. El barco A est a 5 km de la costa, y el B, a 3 km. Calcula la distancia entre los barcos. Calculamos FA y FB : sen 43 = 5 8 FA = 5 = 7,33 km sen 43 FA sen 21 = 3 8 FB = 3 = 8,37 km sen 21 FBF A d B 43 21 5 km 3 km

Para calcular d utilizamos el tringulo de la derecha: sen 22 = 5 7,33 h = 7,33 sen 22 = 2,74 km F cos 22 = x 8 x = 7,33 cos 22 = 6,8 km 7,33 y = 8,37 x 8 y = 8,37 6,8 = 1,57 km Utilizando el teorema de Pitgoras: d = h2 + y 2 = 2,742 + 1,572 = 3,16 km La distancia entre A y B es de 3,16 km.

A

7,3322

kmh y

d B

x 8,37 km


7


PGINA 165 R EFLEXIONA SOBRE LA TEORA 50Observa el tringulo rectngulo MPN, y en las siguientes igualdades, sustituye los puntos suspensivos por sen, cos o tg. a) M = m p^ ^ c) M = m n

M n P p m N

b) N = m p^ ^ d) N = n p

a) sen M = m p^

b) cos N = m p^

c) tg M = m n^

^ d) sen N = n p

51

Existe algn ngulo a tal que sen a = 3/5 y No, porque si sen a = 3 , cos a = 5

tg a = 1/4?

9 1 = 4 y tg a = 3/5 = 3 ? 1 . 4/5 4 4 25 5

52

Existe algn ngulo agudo cuyo seno sea mayor que la tangente? Justifica la respuesta. El seno es siempre menor que la tangente, porque seno = cateto opuesto y tangente = cateto opuesto hipotenusa cateto continguo y la hipotenusa es, siempre, mayor que el cateto contiguo.

53

En un tringulo rectngulo, uno de los catetos mide el doble que el otro. Cunto valen las razones trigonomtricas del ngulo menor? 5 a 2

1

sen a =

1 5 ; cos a = 2 = 2 5 ; tg a = 1 = 5 5 2 5 5

54

Puede existir un ngulo cuyo seno sea igual a 2? Y uno cuyo coseno sea igual a 3/2? Razona las respuestas. No, porque el cateto opuesto es siempre menor que la hipotenusa y, por ello, el valor del seno de un ngulo agudo es siempre menor que 1. El coseno es tambin menor que 1 por la misma razn. No puede ser igual a 3/2.


7


55

Indica, en cada caso, en qu cuadrante est el ngulo a: a) sen a > 0, cos a < 0 b) tg a > 0, cos a > 0 c) sen a < 0, cos a > 0 d) sen a < 0, cos a < 0 a) 2. cuadrante. c) 4. cuadrante. b) 1.er cuadrante. d) 3.er cuadrante.

56

Los dos ngulos agudos de un tringulo rectngulo se llaman complementarios porque su suma es uno recto. Observa la figura, completa la tabla y expresa simblicamente lo que obtienes:B c A a a 90 a b Csen cos tg a 90 a

a sen cos tg

90 a

b/a c/a b/c

c/a b/a c/b

sen a = cos (90 a) cos a = sen (90 a) 1 tg a = tg(90 a)

57

Usando las relaciones fundamentales, demuestra que: a) (sen a + cos a)2 + (sen a cos a)2 = 23 2 b) (sen a) + sen a (cos a) = 1 sen a 3 2 c) (sen a) + sen a (cos a) = tg a cos a

d) 1 + (tg a)2 =

1 (cos a)2

a) (sen a + cos a)2 + (sen a cos a)2 = = (sen a)2 + (cos a)2 + 2sen a cos a + (sen a)2 + (cos a)2 2sen a cos a = 1 + 1 = 23 2 2 2 b) (sen a) + sen a (cos a) = sen a[(sen a) + (cos a) ] = sen a = 1 sen a sen a sen a 3 2 2 2 c) (sen a) + sen a (cos a) = sen a[(sen a) + (cos a) ] = sen a = tg a cos a cos a cos a

d) 1 + (tg a)2 = 1 +

(sen a)2 (cos a)2 + (sen a)2 = = 1 2 2 2 (cos a) (cos a) (cos a)


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P ROFUNDIZA 58Sobre la circunferencia goniomtrica sealamos un ngulo a en el primer cuadrante y a partir de l dibujamos los ngulos: 180 a 180 + a 360 a Busca la relacin que existre entre: a) sen (180 a) y sen a cos (180 a) y cos a tg (180 a) y tg a b) sen (180 + a) y sen a cos (180 + a) y cos a tg (180 + a) y tg a c) sen (360 a) y sen a cos (360 a) y cos a tg (360 a) y tg a a) sen (180 a) = sen a cos (180 a) = cos a tg (180 a) = tg a c) sen (360 a) = sen a cos (360 a) = cos a tg (360 a) = tg a b) sen (180 + a) = sen a cos (180 + a) = cos a tg (180 + a) = tg a180 a a

180 + a

a

a 360 a

59

Sita el ngulo dado sobre la circunferencia goniomtrica y expresa sus razones trigonomtricas utilizando un ngulo agudo como en el ejemplo: Ejemplo: 215 sen 215 = sen 35 cos 215 = cos 35 tg 215 = tg 35 a) 150 d) 225 a) sen 150 = sen 30 cos 150 = cos 30 tg 150 = tg 30150 30

b) 240 e) 100

c) 300 f ) 320 b) sen 240 = sen 60 cos 240 = cos 60 tg 240 = tg 60240 60


7


c) sen 300 = sen 60 cos 300 = cos 60 tg 300 = tg 6060 300

d) sen 225 = sen 45 cos 225 = cos 45 tg 225 = tg 45225

45

e) sen 100 = sen 80 cos 100 = cos 80 tg 100 = tg 80100 80

f ) sen 320 = sen 40 cos 320 = cos 40 tg 320 = tg 40

320

40

60 61

Resuelto en el libro de texto. Resuelve las siguientes ecuaciones sabiendo que 0 x 360: a) (sen x)2 sen x = 0 b) 2(cos x)2 3 cos x = 0 c) 3 tg x + 3 = 0 d) 4(sen x)2 1 = 0 e) 2(cos x)2 cos x 1 = 0 a) (sen x)2 sen x = 0 sen x(sen x 1) = 0 sen x = 0 sen x = 1 b) 2(cos x)2 3 cos x = 0 cos x = 0 cos x(2 cos x 3 ) = 0 cos x = 3/2 x = 135 x = 315 x = 90 x = 270 x = 30 x = 330 8 x=0 x = 180 x = 90

c) 3 tg x + 3 = 0 8 tg x = 1


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d) 4(sen x)2 1 = 0 8 (sen x)2 = 1 4

1 sen x = 2 1 sen x = 2

x = 30 x = 150 x = 210 x = 330

e) 2(cos x)2 cos x 1 = 0 cos x = 1 1 + 8 1 3 = 4 4 cos x = 1 1 cos x = 2 8 x = 0 x = 120 x = 240


7 Trigonometria

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