8/7/2019 15. Trigonometria

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Facultad de Contadura y Administracin. UNAM Trigonometra Autor: Dr. Jos Manuel Becerra Espinosa

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MATEMTICAS BSICAS

TRIGONOMTRIA

RAZONES Y FUNCIONES TRIGONOMTRICAS

Un ngulo es la porcin de plano limitada por dos semirrectas con origen en un mismo punto. Lassemirrectas se llaman lado inicial y final. Al origen comn se le denomina vrtice del ngulo. Los ngulospositivos se miden en sentido contrario a las agujas del reloj y los negativos en el mismo sentido.

La trigonometra estudia las relaciones entre los lados y los ngulos de los tringulos1. Su etimologa

proviene de trigono tringuloy metra medida.

Sea el siguiente tringulo rectngulo:

a

c

b

cateto adyacente

cateto opuesto

hipotenusa

Se definen las siguientes razones2

trigonomtricas directas para el ngulo :

seno:c

b

hipotenusa

opuestocateto==sen cotangente:

b

a

opuestocateto

adyacentecateto==cot

coseno:c

a

hipotenusa

adyacentecateto==cos secante:

c

a

adyacentecateto

hipotenusa==sec

tangente:a

b

adyacentecateto

opuestocateto==tan cosecante:

b

c

opuestocateto

hipotenusa==csc

En trminos de variables, las funciones trigonomtricas son:

xsen= xy cot=

xcos= xy sec=

xy tan= xy csc=

1Recurdese que la suma de los ngulos internos de un tringulo es 180.

2Se entiende como razn al cociente que compara dos cantidades.

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De las definiciones anteriores, se puede concluir que:

x

xx

cos

sentan =

xx

xx

tan

1

sen

coscot ==

xx cos

1

sec=

xx sen

1

csc=

En caso de tener el valor de la razn trigonomtrica, para obtener el ngulo, se aplica la razntrigonomtrica inversa. Las seis razones trigonomtricas inversas para el ngulo son las siguientes:

seno inverso: x1

sen = cotangente inversa: x1

cot

=

coseno inverso: x1cos= secante inversa: x1sec=

tangente inversa: x1tan = cosecante inversa: x

1csc=

En trminos de variables, las funciones trigonomtricas inversas se definen como3:

xy 1sen = xy1

cot =

xy 1cos= xy1sec=

xy 1tan = xy1csc=

RESOLUCIN DE TRINGULOS RECTNGULOS

Para resolver tringulos rectngulos, basta con conocer slo dos datos. Las dems caractersticas sepueden deducir aplicando las expresiones anteriores y el teorema de Pitgoras que establece que elcuadrado de la hipotenusa de un tringulo rectngulo equivale a la suma de los cuadrados de los catetos.

Esto es: 222 bac +=

Ejemplos.Dados los siguientes tringulos, obtener los datos que faltan:

1)

?b =

4=a

9=c

?=

3Es importante sealar que existen otras dos notaciones para las funciones trigonomtricas inversas. Por ejemplo, para la funcin

trigonomtrica inversa del seno es equivalente escribir: xxxy senarcsenangsen 1 === , que respectivamente significan

ngulo cuyo seno y arco cuyo seno. Lo mismo sucede para las otras cinco funciones de este tipo.

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Solucin.

Se sabe que222 bac += . Por lo tanto, despejando a se tiene:

062865168149 2222 .bca ====

( ) === 50638950sen8950

9

65sen 1 ...

2)

16=c

?=b

?=a

= 53

Solucin.

Por la definicin de coseno: ( ) 10613819101616

35cos ..aa

==

177.923.8477.1712561064.1316 2222 ==== acb

3)

?=c

?=

71=a

20=b

Solucin.

Se sabe que222 bac += . Por lo tanto, se tiene:

24826689400289201722 .c =+=+=

( ) === 63491761tan176117

20tan 1 ...

4) Determinar la longitud de la sombra que se proyecta en el suelo por una persona de 801. metros

parada cerca de un arbotante cuya iluminacin tiene un ngulo 48 .

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4

sombra

= 84

.m.b 81=

?=a

Solucin.

Si se sabe que la suma de los ngulos de un tringulo es 180 , y como es 48 , el ngulo que se

forma con el suelo es = 424890180 . Por lo tanto, se tiene:

metros.

..

a

.2

9000

801

42tan

80180142tan

==

MEDIDAS DE UN NGULO

Las unidades de medida de ngulos mas conocidas son los grados, minutos y segundos. Este tipo demedidas est basada en la divisin en partes iguales de una circunferencia. Las equivalencias son lassiguientes:

=360 un giro completo alrededor de una circunferencia

2

1180 = vuelta alrededor de una circunferencia

4

1

90=

de vuelta

360

11 = de vuelta, etc.

radianes= 2360

radianes2

radin1 2957.

360

y y

x x

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Tambin se puede definir otra unidad angular, el radin, que en las aplicaciones fsicas es ms prctico ydirecto que trabajar con grados.

La magnitud de un ngulo medido en radianes est dada por la longitud del arco de circunferencia quesubtiende, dividido por el valor del radio. El valor de este ngulo es independiente del valor del radio; porejemplo, al dividir una pizza en diez partes iguales, el ngulo de cada pedazo permanece igual,independiente si la pizza es chica, mediana o familiar.

De esta forma, se puede calcular fcilmente la longitud de un arco de circunferencia; solo bastamultiplicar el radio por el ngulo en radianes.

( )( )erenciainfcircladeradioradianesenngulonciacircunfereladearcodelongitud =

Ya que se conoce el permetro de una circunferencia de radio unitario ( )= 22 r , entonces el ngulo de unacircunferencia completa, medido en radianes es 2 . Como adems se sabe que este mismo ngulo, medido

en grados mide 360 , entonces se puede definir una equivalencia:

= 2957

2

3601 .radin .

A partir de esta igualdad, se puede determinar que:

Grados 0 30 45 60 90 120 135 150 180 210 225 240 270 300 315 330 360

Radianes 06

4

3

2

3

2

4

3

6

5

6

7

4

5

3

4

2

3

3

5

4

7

6

11

2

Para convertir un ngulo de grados a radianes o viceversa, lo que debe hacerse es una regla de tres,

considerando que: radianes= 2360 .

Ejemplo.

Transformar 15 a radianes.

Solucin.

=

=

radianesx

radianes

15

2360. Por lo tanto:

( )radianes

radianesx

12360

215 =

=

Ejemplo.

Transformar5

2radianes a grados.

Solucin.

=

=

radianesx

radianes

5

2

2360

. Por lo tanto: =

= 72

2

5

2360

radianes

radianes

x .

CRCULO TRIGONOMTRICO

Se llama as a una circunferencia de radio uno y con el centro en el origen de un sistema coordenado. Se

puede considerar que el punto P que se utiliza para calcular las razones trigonomtricas es el de interseccinde uno de los vrtices un tringulo equiltero unitario con el crculo trigonomtrico cuyo centro coincide conotro de los vrtices del tringulo. Esta consideracin permite determinar el comportamiento de los segmentos

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en el plano que representan grficamente las razones seno y coseno, tal y como se muestra en la siguientefigura:

= cateto adyacente

= cateto opuestosen

cos

y

x

P

1

1

1

VALORES NOTABLES DE FUNCIONES TRIGONOMTRICAS

En la figura anterior, al mover el ngulo en la direccin mostrada, los segmentos verticales representanlas razones seno y los horizontales las razones coseno. Estos valores dependen de la orientacin de lossegmentos, por lo que ellos determinan el signo de estas razones.

Adems, debido a que la tangente es igual al cociente del seno entre el coseno, que la cotangente, lasecante y la cosecante son los recprocos de la tangente, coseno y seno respectivamente, con saber lamagnitud y signo de estas ltimas se pueden obtener los valores de las primeras.

Los valores notables de las funciones trigonomtricas se obtienen a partir de sus definicionesconsiderando los valores de los catetos y de la hipotenusa. Por ejemplo, para calcular los valores para

30 se puede construir la siguiente figura:

2

3

2

1

2

130

30

1

1

x

y

Teniendo en cuenta que se forma un tringulo equiltero unitario en el tringulo rectngulo, el valor de lahipotenusa es uno, el del cateto opuesto es su mitad y, aplicando el teorema de Pitgoras, se obtiene que

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el valor del cateto adyacente que es2

3. Por lo tanto, el valor del seno de 30 es

2

1, el valor del

coseno de 30 es

2

3y en consecuencia:

3

1

2

3

2

1

30cos

30sen30tan ==