15. Trigonometria

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  • 8/7/2019 15. Trigonometria

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    Facultad de Contadura y Administracin. UNAM Trigonometra Autor: Dr. Jos Manuel Becerra Espinosa

    1

    MATEMTICAS BSICAS

    TRIGONOMTRIA

    RAZONES Y FUNCIONES TRIGONOMTRICAS

    Un ngulo es la porcin de plano limitada por dos semirrectas con origen en un mismo punto. Lassemirrectas se llaman lado inicial y final. Al origen comn se le denomina vrtice del ngulo. Los ngulospositivos se miden en sentido contrario a las agujas del reloj y los negativos en el mismo sentido.

    La trigonometra estudia las relaciones entre los lados y los ngulos de los tringulos1. Su etimologa

    proviene de trigono tringuloy metra medida.

    Sea el siguiente tringulo rectngulo:

    a

    c

    b

    cateto adyacente

    cateto opuesto

    hipotenusa

    Se definen las siguientes razones2

    trigonomtricas directas para el ngulo :

    seno:c

    b

    hipotenusa

    opuestocateto==sen cotangente:

    b

    a

    opuestocateto

    adyacentecateto==cot

    coseno:c

    a

    hipotenusa

    adyacentecateto==cos secante:

    c

    a

    adyacentecateto

    hipotenusa==sec

    tangente:a

    b

    adyacentecateto

    opuestocateto==tan cosecante:

    b

    c

    opuestocateto

    hipotenusa==csc

    En trminos de variables, las funciones trigonomtricas son:

    xsen= xy cot=

    xcos= xy sec=

    xy tan= xy csc=

    1Recurdese que la suma de los ngulos internos de un tringulo es 180.

    2Se entiende como razn al cociente que compara dos cantidades.

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    De las definiciones anteriores, se puede concluir que:

    x

    xx

    cos

    sentan =

    xx

    xx

    tan

    1

    sen

    coscot ==

    xx cos

    1

    sec=

    xx sen

    1

    csc=

    En caso de tener el valor de la razn trigonomtrica, para obtener el ngulo, se aplica la razntrigonomtrica inversa. Las seis razones trigonomtricas inversas para el ngulo son las siguientes:

    seno inverso: x1

    sen = cotangente inversa: x1

    cot

    =

    coseno inverso: x1cos= secante inversa: x1sec=

    tangente inversa: x1tan = cosecante inversa: x

    1csc=

    En trminos de variables, las funciones trigonomtricas inversas se definen como3:

    xy 1sen = xy1

    cot =

    xy 1cos= xy1sec=

    xy 1tan = xy1csc=

    RESOLUCIN DE TRINGULOS RECTNGULOS

    Para resolver tringulos rectngulos, basta con conocer slo dos datos. Las dems caractersticas sepueden deducir aplicando las expresiones anteriores y el teorema de Pitgoras que establece que elcuadrado de la hipotenusa de un tringulo rectngulo equivale a la suma de los cuadrados de los catetos.

    Esto es: 222 bac +=

    Ejemplos.Dados los siguientes tringulos, obtener los datos que faltan:

    1)

    ?b =

    4=a

    9=c

    ?=

    3Es importante sealar que existen otras dos notaciones para las funciones trigonomtricas inversas. Por ejemplo, para la funcin

    trigonomtrica inversa del seno es equivalente escribir: xxxy senarcsenangsen 1 === , que respectivamente significan

    ngulo cuyo seno y arco cuyo seno. Lo mismo sucede para las otras cinco funciones de este tipo.

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    Solucin.

    Se sabe que222 bac += . Por lo tanto, despejando a se tiene:

    062865168149 2222 .bca ====

    ( ) === 50638950sen8950

    9

    65sen 1 ...

    2)

    16=c

    ?=b

    ?=a

    = 53

    Solucin.

    Por la definicin de coseno: ( ) 10613819101616

    35cos ..aa

    ==

    177.923.8477.1712561064.1316 2222 ==== acb

    3)

    ?=c

    ?=

    71=a

    20=b

    Solucin.

    Se sabe que222 bac += . Por lo tanto, se tiene:

    24826689400289201722 .c =+=+=

    ( ) === 63491761tan176117

    20tan 1 ...

    4) Determinar la longitud de la sombra que se proyecta en el suelo por una persona de 801. metros

    parada cerca de un arbotante cuya iluminacin tiene un ngulo 48 .

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    sombra

    = 84

    .m.b 81=

    ?=a

    Solucin.

    Si se sabe que la suma de los ngulos de un tringulo es 180 , y como es 48 , el ngulo que se

    forma con el suelo es = 424890180 . Por lo tanto, se tiene:

    metros.

    ..

    a

    .2

    9000

    801

    42tan

    80180142tan

    ==

    MEDIDAS DE UN NGULO

    Las unidades de medida de ngulos mas conocidas son los grados, minutos y segundos. Este tipo demedidas est basada en la divisin en partes iguales de una circunferencia. Las equivalencias son lassiguientes:

    =360 un giro completo alrededor de una circunferencia

    2

    1180 = vuelta alrededor de una circunferencia

    4

    1

    90=

    de vuelta

    360

    11 = de vuelta, etc.

    radianes= 2360

    radianes2

    radin1 2957.

    360

    y y

    x x

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    Tambin se puede definir otra unidad angular, el radin, que en las aplicaciones fsicas es ms prctico ydirecto que trabajar con grados.

    La magnitud de un ngulo medido en radianes est dada por la longitud del arco de circunferencia quesubtiende, dividido por el valor del radio. El valor de este ngulo es independiente del valor del radio; porejemplo, al dividir una pizza en diez partes iguales, el ngulo de cada pedazo permanece igual,independiente si la pizza es chica, mediana o familiar.

    De esta forma, se puede calcular fcilmente la longitud de un arco de circunferencia; solo bastamultiplicar el radio por el ngulo en radianes.

    ( )( )erenciainfcircladeradioradianesenngulonciacircunfereladearcodelongitud =

    Ya que se conoce el permetro de una circunferencia de radio unitario ( )= 22 r , entonces el ngulo de unacircunferencia completa, medido en radianes es 2 . Como adems se sabe que este mismo ngulo, medido

    en grados mide 360 , entonces se puede definir una equivalencia:

    = 2957

    2

    3601 .radin .

    A partir de esta igualdad, se puede determinar que:

    Grados 0 30 45 60 90 120 135 150 180 210 225 240 270 300 315 330 360

    Radianes 06

    4

    3

    2

    3

    2

    4

    3

    6

    5

    6

    7

    4

    5

    3

    4

    2

    3

    3

    5

    4

    7

    6

    11

    2

    Para convertir un ngulo de grados a radianes o viceversa, lo que debe hacerse es una regla de tres,

    considerando que: radianes= 2360 .

    Ejemplo.

    Transformar 15 a radianes.

    Solucin.

    =

    =

    radianesx

    radianes

    15

    2360. Por lo tanto:

    ( )radianes

    radianesx

    12360

    215 =

    =

    Ejemplo.

    Transformar5

    2radianes a grados.

    Solucin.

    =

    =

    radianesx

    radianes

    5

    2

    2360

    . Por lo tanto: =

    = 72

    2

    5

    2360

    radianes

    radianes

    x .

    CRCULO TRIGONOMTRICO

    Se llama as a una circunferencia de radio uno y con el centro en el origen de un sistema coordenado. Se

    puede considerar que el punto P que se utiliza para calcular las razones trigonomtricas es el de interseccinde uno de los vrtices un tringulo equiltero unitario con el crculo trigonomtrico cuyo centro coincide conotro de los vrtices del tringulo. Esta consideracin permite determinar el comportamiento de los segmentos

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    en el plano que representan grficamente las razones seno y coseno, tal y como se muestra en la siguientefigura:

    = cateto adyacente

    = cateto opuestosen

    cos

    y

    x

    P

    1

    1

    1

    VALORES NOTABLES DE FUNCIONES TRIGONOMTRICAS

    En la figura anterior, al mover el ngulo en la direccin mostrada, los segmentos verticales representanlas razones seno y los horizontales las razones coseno. Estos valores dependen de la orientacin de lossegmentos, por lo que ellos determinan el signo de estas razones.

    Adems, debido a que la tangente es igual al cociente del seno entre el coseno, que la cotangente, lasecante y la cosecante son los recprocos de la tangente, coseno y seno respectivamente, con saber lamagnitud y signo de estas ltimas se pueden obtener los valores de las primeras.

    Los valores notables de las funciones trigonomtricas se obtienen a partir de sus definicionesconsiderando los valores de los catetos y de la hipotenusa. Por ejemplo, para calcular los valores para

    30 se puede construir la siguiente figura:

    2

    3

    2

    1

    2

    130

    30

    1

    1

    x

    y

    Teniendo en cuenta que se forma un tringulo equiltero unitario en el tringulo rectngulo, el valor de lahipotenusa es uno, el del cateto opuesto es su mitad y, aplicando el teorema de Pitgoras, se obtiene que

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    el valor del cateto adyacente que es2

    3. Por lo tanto, el valor del seno de 30 es

    2

    1, el valor del

    coseno de 30 es

    2

    3y en consecuencia:

    3

    1

    2

    3

    2

    1

    30cos

    30sen30tan ==