Parcial trigonometria

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  1. 1. PARCIAL TRIGONOMETRA Actividad 3: -Una rana se adhiere fuertemente al borde de la rueda de un molino de agua de un metro de radio cuyo centro est exactamente en la superficie del agua. De manera inmediata, la rana es sacada del agua y gira junto con la rueda. La rueda gira en sentido antihorario, de modo que da una vuelta completa cada 6 minutos. 1) Cuntos grados gira la rana cada minuto y cada segundo? 6 minutos _______ 360 60_________ 60 1 minuto________ 60. 1__________ 1. Rta: La rana gira 60 cada minuto y 1 cada segundo. 2) Si la rana recorri 20, a qu altura de la superficie del ro estar? Si en ese preciso momento la rana se dejara caer directamente hacia el agua, a qu distancia del centro de la rueda caera? Explica tu respuesta. Sen: Sen: 1 Sen 20 x 1 m = x a 0,34 m=
  2. 2. Cos : cos 20 x 1 m = Cos 20: 1 0,94 m = Rta: La rana estar a 0,34 metros de la superficie del ro. Se resolvi con la relacin trigonomtrica del seno ya que se contaban con los datos del radio de la rueda del molino de agua y el ngulo recorrido, es decir el cateto opuesto al ngulo y la hipotenusa del tringulo conformado. Si se deja caer, caer a 0,94 metros del centro de la rueda, y se utiliz la relacin trigonomtrica del coseno para resolver la incgnita a. 3) Si la rana se queda pegada en el borde de la rueda: a) para cuntos grados estar a 20 cm de altura del agua? Explica tu respuesta. Sen = = arc sen 0.20 Sen = 0.20 1 m = 11 3213 Rta: Para 20 cm de altura del agua la rana estar formando un ngulo de 11 3213 con respecto a la superficie. Para hallar el ngulo se tom a la altura como cateto opuesto y el radio de la rueda del molino como hipotenusa, utilizamos la relacin trigonomtrica del seno. 1 m 20cm
  3. 3. b) Para cuntos grados estar a una distancia horizontal de 75 cm del centro de la rueda? Cos = : arc cos = 0,75 1 Cos = 0,75 1 m : 41 2434 Rta: A una distancia horizontal de 0,75 m, la rana formar un ngulo de 41 2434 con respecto al centro de la rueda. c) Para cuntos grados la rana estar bajo el agua? Explica tu respuesta. Rta: Dependiendo del lugar donde est ubicada la rana deber dar un giro de 180 o menos para estar bajo del agua. 0,75 m 180 180 Superficie terrestre Debajo delagua
  4. 4. d) Si empezamos a contar el tiempo en el instante en que la rana sale del agua, en cunto tiempo llegar de nuevo al agua y que distancia habr recorrido? Explica tu respuesta. 360 180 Rta: Llegar al agua nuevamente en 3 minutos y habr recorrido 180, teniendo en cuenta que en 6 minutos recorre un giro completo (360). 1 vuelta360 vuelta180 Rta: Desde el instante en que la rana haya salido del agua hasta que ingrese nuevamente habr recorrido 3,14 metros. Porque al saber que en una vuelta recorre 6,28 metros en media vuelta recorrer la mitad (3,14 metros). e) Si la rana permanece 5 horas en la rueda, cuntas vueltas dio y que distancia recorri? Explica tu respuesta. 5 horas = 300 minutos 6 minutos 300 minutos Una vuelta 50 vueltas Rta: Si en 6 minutos la rana recorre una vuelta (360), en 5 horas, que equivalen a 300 minutos, recorrer 50 vueltas (1800). Si en una vuelta recorre 6,28 metros, entonces en 50 vueltas transitar 314 metros. 6 minutos X = (180x6) 360 3 minutos 180 Sale del aguaLlega nuevamente al agua x d = 6,28 m X = 3,14 metros Una vuelta X = (300x1) 6 50 vueltas = 6,28 metros = 50x6,28 314 metros
  5. 5. 2- Elaborar el concepto de circunferencia unitaria, goniomtrica o crculo trigonomtrico, cuadrantes. Circunferencia goniomtrica Para el estudio de las funciones trigonomtricas se utiliza como base la circunferencia de radio 1 o circunferencia unitaria. Para obtener la frmula de la circunferencia unitaria usamos la frmula de distancia entre dos puntos. Consideramos el centro O con coordenadas (0,0), el radio 1 y un punto cualquiera M sobre la circunferencia de coordenadas (x,y). Definicin de cuadrantes: Los ejes de coordenadas X e Y dividen al plano en 4 partes iguales y cada uno de ellos se llama cuadrante. Cada cuadrante mide un ngulo recto. y x I (+,+)II (-,+) III(-,-) IV (+,-)
  6. 6. 2. Indica cules son las coordenadas de M Las coordenadas del lado son (X, Y) 3. Dibuja el tringulo rectngulo que se forma con el punto M, la distancia y y la parte positiva del eje x. 4. Aplicando lo que sabes sobre razones trigonomtricas en tringulos rectngulos, calcula el valor de x y el valor de y del tringulo que dibujaste. Explica tu respuesta. El lado es el lado opuesto al ngulo de referencia, por lo que se toma la funcin seno para calcular su valor: Seno = Seno = Seno = 5. Representar en un crculo trigonomtrico de radio 1, en forma aproximada, los siguientes ngulos (cada ngulo en un crculo): a) 30 ; 45; 60; 90; 225; 300; -45
  7. 7. b) /4; -/4/6; 2/3 ; -
  8. 8. 6. Sea un ngulo de 450: a) Grafica el ngulo en un crculo trigonomtrico. A qu cuadrante pertenece este ngulo? Pertenece al primer cuadrante B) Determina cuntos giros completos lo forman y cunto sobra y luego completa: 450 = 360 cantidad de giros + ngulo que sobra Lo forma un giro completo y sobran 90: 450 = 360 x cantidad de giros + ngulo que sobra. 450= 360 x 1 + 90 7. Elabora una regla general para que, dado un ngulo cualquiera mayor que un giro, lo puedas reducir a su equivalente que llamaremos . 360 = Regla general: Sea un ngulo mayor a 360 (un giro) se lo puede reducir a su equivalente ( ); multiplicando 360 por la cantidad de giros. Luego se hace la diferencia entre y dicho resultado. 1. A qu cuadrante pertenece un ngulo de: a) 500 b) 1000 c) 786 a) 500: 500-360 = 140, por lo que pertenece al II cuadrante. 450 - 360 = 90 I
  9. 9. b) 1000: 1000-720= 280, es decir que pertenece al IV cuadrante. c) 786: 786-720= 66, pertenece al I cuadrante. 2. Sea un ngulo de -120: a) Grafica el ngulo en un crculo trigonomtrico. A qu cuadrante pertenece este ngulo? A qu ngulo positivo equivale? - 120 pertenece al III cuadrante y su ngulo equivale positivo es 240 -120 + 360 = 240. b) Realiza el mismo anlisis para 300: - 300 + 360= 60. c) Trata de pensar en una regla o frmula para transformar un ngulo negativo cualquiera en un positivo equivalente, que llamaremos . El ngulo-300 pertenece al I cuadrante y su ngulo equivalente positivoes60.
  10. 10. Regla: Para transformar un ngulo negativo en su equivalente positivo se le suma 360 por la cantidad de giros. - + 360 x la cantidad de giros = 1- Utiliza una hoja de clculos, en el progama Excel y realiza una tabla como la siguiente, transforma las amplitudes de los angulos a radiales, y a halla las funciones trigonomtricas que aqu se piden: Amplitud del ngulo en grados Amplitud del nguloen radiales Seno Coseno Tangente 0 0 0 1 0 30 0,52 0,5 0,87 0,58 60 1,05 0,87 0,5 1,73 90 1,57 1 0 120 2,09 0,87 -0,5 -1,73 150 2,62 0,5 -0,87 -0,58 180 3,14 0 -1 0 210 3,66 -0,5 -0,87 0,57 240 4,19 -0,87 -0,5 1,73 270 4,71 -1 0 300 5,23 -0,87 0,5 -1,73 330 5,76 -0,5 0,87 -0,58 360 6,28 0 1 0 2. Construye, utilizando un programa graficador, las grficas de las funciones seno, coseno y tangente de los ngulos que usaste en la tabla.
  11. 11. 3. Analiza los valores obtenidos en la tabla de la actividad 1, observa los grficos que obtuviste en la actividad 2 y responde las siguientes preguntas: a) Para qu amplitudes los resultados de la funcin coseno se repiten? Para la funcin coseno las amplitudes que se repiten son: 30 y 330 (0,87) 60 y 300 (0,5) 0 y 360 (1) 90 y 270 (0) 120 y 240 (-0,5) 150 y 210 (-0,87) b) Qu resultados de la funcin seno son nulos? Qu periodicidad observan? Los resultados de la funcin seno que resultan nulos son 0, 180 y 360. La periodicidad que observamos es cada 180 en la tabla; y cada 2 en la grfica, es decir, se repite cada tramo comprendido entre 2. c) Para qu amplitudes el resultado de la funcin coseno es 0,5? Para las amplitudes 60 y 300 la funcin coseno es igual a 0,5. d) Para qu amplitudes la funcin tangente presenta resultados negativos? Para las amplitudes 120, 150, 300 y 330 la funcin tangente presenta resultados negativos. sen cosec tg cotg cos sec + + + + + +
  12. 12. c) De lamismaforma que enel incisoa) trabaja la consignacompleta, peroconngulosdibujados enel segundocuadrante,terceroycuarto y luegosintetizatus respuestasenungrficode la circunferenciagoniomtrica. En el segundocuadrante, el cateto adyacente cae sobre el eje negativode lasx,mientrasque el catetoopuestosigue sobre el ele positivode lasy.El radio (lahipotenusa)sigue siendopositivaen todosloscuadrantes.Por lotanto: el coseno,latangente ysusinversas(secante ycotangente) tienenresultadosnegativos. sen cosec tg cotg cos sec + + - - - - REFERENCIAS TAN SEN COS REFERENCIAS SEN TAN COS
  13. 13. En el tercer cuadrante, tantoel cateto adyacente comoel catetoopuestotienensussignos negativos,yaque caensobre la parte negativade losejes.Eneste casola tangente (ysuinversa,la cotangente) resultanpositivas(- :- = +) sen cosec tg cotg cos sec - - + + - - En el cuarto cuadrante, el catetoadyacente vuelve aestarsobre el eje positivode lasx,mientras que el catetoopuestosigue sobre el eje negativode lasy.En este caso,las nicasfuncionescuyo resultadoserpositivosonel cosenoylasecante. sen cosec tg cotg cos sec - - - - + + REFERENCIAS SEN TAN COS REFERENCIAS SEN TAN COS