TRIGONOMETRIA ESF

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buen libro de geodesia

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NOCIONES DE TRIGONOMETRIA ESFERICA

La Trigonometra es una rama de la Matemtica en la que se analiza la medida de las partes de los tringulos, tanto de los tringulos planos como de los esfricos as como de las figuras que se forman con ellos.

As como en Topografa y en Cartografa es muy importante la Trigonometra Plana, en Astronoma y en Geodesia es fundamental el anlisis de los tringulos esfricos.

La trigonometra esfrica es la parte de la geometra esfrica que estudia los polgonos que se forman sobre la superficie de la esfera, en especial, los tringulos. La resolucin de tringulos esfricos tiene especial relevancia en astronoma nutica y navegacin para determinar la posicin de un buque en altamar mediante la observacin de los astros. Es un Trirectangulo Esferico

Geometra sobre la superficie esfrica

Los conceptos fundamentales de esta Geometra son los siguientes:

Circunferencias mximas: Es la interseccin de la esfera con planos que pasan por su centro

Circunferencias menores: Son aquellas que se obtienen como interseccin de la esfera con planos que no pasan por su centro.

Distancia esfrica: Distancia entre dos puntos de un circunferencia

Angulo esfrico : Angulo entre dos planos

Polos : Son los extremos del dimetro de la esfera que es perpendicular al plano que define la circunferencia mxima

LA ESFERA

Una esfera E, de centro en el punto (a,b,c) y radio k, es el dominio de definido por todos aquellos puntos en el espacio tridimensional que cumplen con la siguiente definicin:

Superficie de la esfera

Se llama superficie de una esfera de centro en el punto (a,b,c) y radio k, al dominio de R3definido porE x,y, zR3 /x a2 y b2 z c2 k2

Crculos mximos

Se llaman crculos mximos de una esfera de radio k a las circunferencias de radio k. Los crculos mximos estn contenidos en la superficie de la esfera.

Se llama ngulo barrido sobre un crculo mximo comprendido entre dos punto A y B del mismo, al ngulo AOB siendo O el centro matemtico de la esfera.

La interseccin de una esfera con un plano que contenga su centro genera un crculo mximo y una circunferencia mxima sobre la superficie de la esfera. Un crculo mximo divide a la esfera en dos hemisferios iguales. Como ejemplos de crculos mximos en la superficie de la Tierra tenemos los meridianos o la lnea del ecuador.La distancia entre dos puntos de la superficie de la esfera, unidos por un arco de crculo mximo, es la menor entre ellos y se denomina distancia ortodrmica.

Volumen y superficie de la esferaEl volumen de una esfera es el volumen de revolucin engendrado por un semicrculo que gira alrededor del dimetro. Segn esta definicin, si su radio es r, su volumen ser: La superficie es la superficie lateral de un cuerpo de revolucin y vendr dada por:

Si consideramos a la esfera centrada en el origen, se tiene: Dominio sobre la superficie esfricaUn dominio de superficie esfrica es un recinto o rea sobre la superficie de la esfera limitado por curvas contenidas en dicha superficie. Tringulo esfricoSi tres puntos de la superficie esfrica son unidos por arcos de crculo mximo menores a 180, la figura obtenida se denomina tringulo esfrico. Los lados del polgono as formado se expresan por conveniencia como ngulos cuyo vrtice es el centro de la esfera y no por su longitud. Este arco medido en radianes y multiplicado por el radio de la esfera es la longitud del arco. En un tringulo esfrico los ngulos cumplen que: 180 < + + < 540

Propiedades elementales

a) Cuatro puntos del espacio eucldeano en R3 definen una esfera, y solo una.

b) Por un punto P de la superficie de una esfera pasan infinitos crculos mximos.

c) Por dos puntos P y Q de la superficie de una esfera pasa un crculo mximo y solo uno.

d) Si la longitud de arco desde A a B es a y el radio de la esfera es k, el ngulo sobre el crculo mximo es m = a/k.

Sea el tringulo esfrico de vrtices A, B y C, cuyo dominio es la superficie esfrica limitado por tres crculos mximos que se cortan en A, B y C.

Los lados, a, b y c, son respectivamente, los arcos de crculo mximo opuestos a A, B y C.

En todo tringulo esfrico de lados a, b y c, y de vrtices A, B y C, sobre una superficie esfrica de radio k, se pueden distinguir 6 ngulos

A, B y C: son los ngulos diedros que definen los crculos mximos que se cortan en dichos puntos. a/k, b/k, c/k son los ngulos centrales (con vrtice en el centro de la esfera) barridos por cada uno de los lados a, b y c.Las razones trigonomtricas seno, coseno, tangente, cotangente, secante y cosecante de cada uno de estos ngulos son tambin el seno, coseno, tangente, cotangente, secante y cosecante del ngulo plano de igual amplitud.

Tringulo polar

Se llama tringulo polar relativo, al tringulo esfrico de vrtices A,B y C, y lados a, b y c, al tringulo de vrtices A', B' y C', y lados a', b' y c', definido por:

A' = 180 - a/k, B' = 180 - b/k, C' = 180 - c/k

a'/k = 180 - A, b'/k = 180 - B, c'/k = 180 C

Esfera trigonomtrica

Se llama as a una esfera de radio unidad, en los cuales los ngulos centrales coinciden en esta esfera con los lados del tringulo.

1. FORMULAS DE LOS SENOS

Sea el tringulo esfrico ABC sobre una esfera de radio k y centro en el punto O(0,0,0).

Tracemos la normal AD al plano OBC.

Por el punto D tracemos ahora la normal DF a la recta OB y la normal DE a la recta OC.

La paralela por F a DE corta a OC en el punto G y la paralela a OC por D corta a OB en el punto H.

Analicemos los tringulos planos que se forman al efectuar el trazado de las anteriores rectas al objeto de obtener una relacin entre los senos de los ngulos que aparecen en el tringulo esfrico.

Si consideramos el tringulo rectngulo plano AFD y tambin que el ngulo de vrtice en F coincide con el ngulo B del tringulo esfrico se tiene:

AD AF.sen B AO. sen c / k. sen B

Anlogamente, podemos considerar el tringulo plano AED y que el ngulo de vrtice en Ecoincide con el ngulo C del tringulo esfrico

AD AE.sen C AO. sen b / k. sen C

al identificar

AO. sen c / k. sen B AO.sen b / k. sen C

o sea

En definitiva

En un tringulo esfrico se verifica siempre que el ngulo central que barre cada uno de los lados es proporcional al seno del ngulo diedro opuesto.

2. FORMULAS DE LOS COSENOS

Para deducir ciertas relaciones bsicas entre los cosenos de los ngulos del tringulo esfrico, utilizaremos la figura del apartado anterior. Partiendo de la relacin

Podemos partir de la relacin:

OE = OG + GE

obtenemos la expresin de cada uno de estos tres trminos:

Si consideramos el tringulo plano ADE, vemos que est situado en un plano perpendicular al segmento OC, por lo que el lado AE es perpendicular a OC.

Se verifica, entonces, que

OE OA.cos b / k k.cos b / k

Anlogamente, se obtienen:

OG OF.cos a / k k.cos c / k.cos a / k

GE FD.sen a / k AF.cos B.sen a / k k.sen c / k.cos B.sen a/ k

Por tanto, se verifica que:

k.cos b / k k.cos c / k.cos a/ k k.sen c / k.cos B.sen a / k

es decir:

cos b / k cos c / k.cosa / k sen c / k.cos B.sen a / k

Anlogamente se obtienen, proyectando los otros dos vrtices del tringulo esfrico, frmulas anlogas.

cos a / k cos b / k. cos c / k sen b / k. sen c / k. cos Acos b / k cos c / k. cosa / k sen c / k. sen a / k. cos Bcos c / k cos a / k. cosb / k sen a / k. sen b / k. cos C

O sea:

En un tringulo esfrico, el coseno del ngulo central barrido por un lado es igual al producto de los cosenos de los ngulos barridos por los otros dos lados ms el producto de los senos por el coseno del ngulo diedro opuesto.

Si se trata de la esfera trigonomtrica, se tiene:

cos a cos b. cosc sen b. sen c. cos A

cos b cos c. cosa sen c. sen a. cos B

cos c cos a. cosb sen a. sen b. cos C

Si en las frmulas del coseno, sustituimos alguno de los cosenos despejados, por el ejemplo el que figura en la tercera relacin, en su expresin en el primer sumando de alguna de las otras dos relaciones, se obtiene una frmula para el producto de un seno por un coseno:

El conjunto de las frmulas de Bessel puede escribirse, para la esfera de radio unidad, esto es, la esfera trigonomtrica, de la forma

sen c. cosB cosb. sen a cosa. senb. cosCsen c. cos A cosa. sen b cosb. sena. cosCsen b. cos A cosa. sen c cos c. sena. cosBsen b. cosC cos c. sen a cosa. senc. cosBsen a. cosB cosb. sen c cosc. senb. cos Asen a. cosC cos c. sen b cosb. senc. cos A

3. FORMULAS DE LAS COTANGENTES

Combinando las frmulas de Bessel con la frmula de los senos, se obtiene el grupo de frmulas llamado formulas de las cotangentes.

Tomando una cualquiera de las frmulas de Bessel, la primera del grupo, por ejemplo:

sen c / k. cosB cosb / k. sen a / k cosa / k. sen b / k. cosC

dividimos a continuacin por la expresin del teorema de los senos

senA. senb / k sena / k. senB

resulta:

que, para la esfera trigonomtrica, se convierten en :

senc. ctgb senA. ctgB cos c. cos A

senc. ctga senB. ctgA cosc. cosB

senb. ctga senC. ctgA cosb. cosC

senb ctgc senA. ctgC cosb. cos A

sena. ctgb senC. ctgB cosa. cosC

sena. c