Trigonometria 4º año ii volumen 2007

I.E.P. “SAN AGUSTIN” Trigonometría 4º

R.T. DE UN ÁNGULO EN POSICIÓN NORMAL

Para calcular las razones trigonométricas de un ángulo canónico, se necesita un punto perteneciente a su lado final.

Sen α = r

y

vectorRadio

PdeOrdenada =

Cos α = r

x

vectorRadio

PdeAbscisa =

Tg α = x

y

PdeAbscisae

PdeOrdenada =

Ctg α = y

x

PdeOrdenada

PdeAbscisa =

Sec α = x

r

PdeAbscisa

vectorRadio =

Csc α = y

r

PdeOrdenada

vectorRadio =

SIGNOS DE LAS RAZONES TRIGONOMÉTRICAS

ÁNGULOS CUADRANTALES

Son ángulos en posición normal, cuyo lado final es uno de los semi ejes.

Forma general

επε

zn,n2

zk,Kº90

R.T. DE ÁNGULOS CUADRANTALES

Ángulo Cuad. 0º 90º 180º 270º 360º

R.T. 2Kπ (4K+1)π/2 (2K+1) π (4K+3) π/2 (2K+2) π

Sen 0 1 0 -1 0

Os 1 0 -1 0 1

Tg 0 N.D 0 N.D 0

Ctg N.D 0 N.D 0 N.D

Sec 1 N.D -1 N.D 1

Csc N.D 1 N.D -1 N.D

-1-

TOMA NOTA:

x; abcisay: ordenadar: radio vector

r= 22 yx +

TE RETO

En la figura: calcular el r.v.

rv=

PONTE MOSCA

Los signos que toman la abcisa (x) y la ordenada (y) depende de cual sea el cuadrante en el que se encuentre “P” en cambio el radio vector siempre es positivo por ser una distancia

Ángulos CuadrantalesÁ

Recuerda ∠s Coterminaless

CONSTRUYENDOMIS CONOCIMIENTOS


Ejemplos:

1. Determinar el signo de:a) Tan 280º: como 280º ∈ IV C → Tan 280º es negativob) Sen 120º: como 120º ∈ II C → Sen 120º es positivoc) Cos 380º: Como 380º ∈ I C → Cos 380º es positivo

2. Determinar ángulos cuadrantales a 50º: 410º porque 410º-50º=360º 770º porque 770º-50º=720º -310º porque -310º-50º=-360º

3. Si Secθ=1,4 θ ∈ IV C

Secθ=5

7

10

14 =

x = +5y = -2 6rv = 7

Calculando: E=5Tanθ - 14Senθ

−−

−=7

6214

5

625E

6462E +−=62E =

1. Determinar el cuadrante de θ sabiendo: Secθ > 0 Senθ < o

2. Si: Cosθ < 0 y ctgθ > 0Senα > 0 y Secα < 0

¿A qué cuadrante pertenecen α y θ?

3. Si θ ∈ II C tal que:

Cosθ=5

4− , hallar:

E=Secθ + Ctgθ

-2-


4. Simplificar:

º180Sen6º90Sen3

º270Senº180Cos2º90Sen3M

++−=

5. Si Cosθ = 0,25; θ ∈ II CHallar:

θ−θθ−=

CscSec

Ctg1R

6. Calcular Tanθ, siendo:

7. Si: 4Tanθ=321-2Tanθ

Además: Senθ < 0Calcular: P=13Senθ + 5Ctgθ

-3-

REFORZANDOMIS CAPACIDADES


1. Determinar el signo:

º181Ctgº.111Cscº.297Sec

º305Tanº.282Cosº.204Tanº.92SenE =

a) + b) - c) + y -d) n.a e) t.a

2. Si Tanθ=12

5−y θ ∈ II C

Calcular:

θθθθ+θ=

Csc.Sec

Cos).Tan1(SenE

2

a)12

5b) 13 c)

12

13

d) 13

5e) n.a

3. Dada la relación:

5Tanθ-1=25 y π<θ<2

3π

Calcular M=secθ-Cscθ

a) 10 b) 102 c) 3

10

d) 3

102− e) n.a

4. Hallar el valor de:

E=Sen180º+2Cos180º+3Sen270º+4Cos270º

a) 5 b) -5 c) 6d) -6 e) n.a

5. Si Cscx=1,25 y x∈ II CHallar Tanx

a)3

4b)

3

4− c) 4

3

d) 4

3−e) n.a

6. Hallar el valor numérico de:

º270Cosº90Sen2º360Ctg2º180Tan

º270Sen5º180Cos2º90Cos3º270Sen2M

−+−−+−=

a) 10,5 b) - 21 c) 2

d) 3 e) n.a

7. Si 712Tanx+5=1Calcular:P=Senx - Cosx

a)13

11b)

13

10c)

13

14

d) 13

16e) n.a

8. Calcular: M=Ctgθ+Csc2θ-3Tanθ en:

a) 9 b) 8 c) 10d) 12 e) 11

9. Si Senθ=-3

1; Tan θ < 0

Hallar:)senTan(2 θ+θ

a) 0 b) 1 c) 2d) 4 e) -2

10. Sea Tanα=12

5 calcular:

P=Cscα - CtgαSi α ∈ III C

a) 2 b) -2 c) 5d) -5 e) N.a.

-4-


Al finalizar el presente capitulo Ud. será capaz de:

1. Conocer el concepto de Circunferencia Trigonométrica, así como sus elementos.2. Identificar las líneas trigonométricas en cada cuadrante así como sus variaciones.3. Resolver problemas.

En los capítulos anteriores se estudiaron las razones trigonométricas de ángulos; existe sin embargo, otro concepto muy importante el de las razones trigonométricas de números reales. La diferencia principal entre ambos conceptos radica en la etimología de argumento. Las representaciones trigonométricas de números reales es de amplia importancia en la matemática. Analiza la teoría y resuelve con entusiasmo y concentración los problemas.

CONCEPTOS PREVIOS

-5-

LA CAIDA DEL QUINTO POSTULADO DE EUCLIDES

Recordemos que ELEMENTOS se llamo la magistral colección de libros que en 13 tomos escribió EUCLIDES en el siglo III A.c. en Alejandría, ciudad situada en el delta del Nilo. Euclides, matemático griego, era en aquellos tiempos maestro del rey de Egipto Ptolomeo y sus libros han dado la vuelta al mundo en siglos sucesivos; venerados por los árabes, los ELEMENTOS se convirtieron en la Biblia científica de la baja Edad Media primero, y en el punto de partida de los pensadores renacentistas después. En los nueve primeros libros Euclides se encarga de proponer axiomas o postulados a partir de los cuales se elabora toda una doctrina, pero el quinto postulado origino ya mas de un problema; este dice:”Por un punto exterior a una recta pasa una y solo una paralela a dicha recta”. En 1733 Saccheri hizo notar que este postulado era equivalente a afirmar que: “La suma de los ángulos de un triangulo es igual a dos rectos” acercándose ligeramente a la verdad ya que después Bolilla, Gauss, Lobatchevsky y Riemann aportaron la respuesta correcta a esta cuetios. Todos ellos desde su propio punto de vista atacaron el 5º postulado de Euclides, básicamente a partir del siguiente hecho: Una regla apoyada sobre la superficie de una esfera (nuestro planeta) es un arco de circulo, y una recta por consiguiente, es un circulo completo, es decir: un circulo máximo. Paralelo estaríamos dibujando un circulo máximo y estos siempre se intersectan. Esto hace también pensar que por la imprecisión de nuestros instrumentos de medida, Euclides afirmaba que la suma de las medidas de los ángulos interiores de un triangulo equivale a la de dos ángulos rectos, lo que no se cumple si un triangulo es enorme. Euclides dijo su verdad, pero solo para figuras pequeñas y en el plano, más vivimos en un universo curvado, ¡Ese es nuestro mundo real! Newton y Einstein han contribuido en la comprobación de la curvatura del universo pero aun se sigue discutiendo el tipo de curvatura que adopta, mas el aporte de Euclides fue realmente valiosa.

CAPITULO

05 CIRCUNFERENCIA TRIGONOMÉTRICA

122 =+ yx


1. ARCO ORIENTADO: Es la trayectoria descrita por un punto al desplazarse sobre una curva, en un determinado sentido. Estos arcos tienen un origen y un extremo. Para “α ” : B→ Origen

A→ ExtremoPara “β” : P → Origen

Q → Extremo

ARCO EN POSICION NORMAL: Son arcos orientados que se determinan en una circunferencia canónica; con origen en el punto “A” que es el punto de interseccion del eje X con la circunferencia, según se muestra en la figura; los cuales pueden tomarse en sentido antihorario (+) o en sentido horario (-), pc.

“α”∧ “θ” son arcos en posición normal. “ α ” : positivo

“ θ ”: negativo “M” y “N” extremos de arco

OJO: Estudiar a la circunferencia unitaria (r =1) es lo mismo que estudiar a la circunferencia Trigonométrica.

CIRCUNFERENCIA TRIGONOMETRICA

ELEMENTOS

O (0,0) : OrigenA (1,0) : Origen de arcosB (0,1) : Origen de complementos de arcosA’ (-1,0) : Origen de suplementos de arcosB’ (0-1) : Sin nombre especialP (x,y) : Extremos de arcoQ (x,y)α : (+) ∧ β : (-)

Siendo un punto de la circunferencia trigonométrica (C.T) cuyas coordenadas son (x;y) y el radio r= 1 se cumple que:

X2 + y2 = 1 ⇒ Ecuación de la C.T.

Ejemplos: Determinar cual de los siguientes puntos pertenece a la C.T.

2

3;

2

1P

5

4;

5

3M

-6-


LOS NUMEROS REALES SOBRE LA CIRCUNFERENCIA

TRIGONOMETRICA

En la matemática muchas veces realizamos aproximaciones, como:π = 3,14; 2 π =6,28

2

π= 1, 57 3 π /2 = 4, 71

A continuación presentamos un grafico en el que estos números aproximados sean ubicados sobre la circunferencia Trigonométrica.

Observamos que ambas graficas sean equivalentes:

Por lo tanto tomando como referencia dichos gráficos: Ubicar aproximadamente ± 1 ; ± 3 ± 5 ± 7

TOMA NOTA: usualmente en el lenguaje matemático no se escribe rad. Sino se sobre entiende, ejemplos: ∠ AOB = 2 en lugar de X AOB= 2,00,

Sen 3

π en lugar de Sen

4

radπ

REPRESENTACION DE LAS RAZONES TRIGONOMETRICAS

(LINEAS) EN LA CIRCUNFERENCIA TRIGONOMETRICA.

SENO: Es la Ordenada del extremo del Arco.

AB=Senα(+) OA=Sen2

π (+)

MN=Senθ (-) OB=Sen(-β)(-)-1 ≤ α 1≤ 1 Sen(Max)=1

Sen(Min)=-1

COSENO: Es la Abcisa del extremo del Arco. En el grafico, tenemos entonces que:

MS=Cosα(+)NR=Cosβ(-)PT=Cosθ(-)

-1≤Cosα≤+1

−==

1)(

1)(

min

max

αα

Cos

Cos

TANGENTE: Es la ordenada del punto de intersección entre la recta tangente

-7-


que pasa por el origen de arcos y la prolongación de radio que pasa por el extremo del arco. En el grafico, tenemos que:

Debe notarse que la L.T. Tangente puede ser trazada para cualquier arco “α ” excepto para los extremos de arco B y B’ ( ℜαε - [ ] 2/1n2 π+ ), ya que en esos puntos la recta tangente nunca se cortara con la prolongación de los radios debido a que son paralelas, cumpliéndose además:

-∞ < Tgα < +∞

−∞=α+∞=α

min

max

)Tg(

)Tg(

Ejemplo 1: Graficar Sen 2 ; Sen 3

4π

Ejemplo 2: Con la ayuda de la C.T. Graficar: Cos 70º ; Cos 220º

Ejemplo 3: Graficar

Tan 2 ; Tan 4

π

COTANGENTE: Es la abscisa del punto de intersección entre la recta tangente que pasa por el origen de complementos y la prolongación del radio que pasa por el extremo del arco.

Ejemplo 4: Graficar Ctg 2 ; Ctg 4

π−

LINEA SECANTE: Es la abscisa del punto de intersección entre la recta

-8-


tangente que pasa por el extremo del arco y el eje “X”. En el grafico, tenemos entonces que:

+1 ≤ Secα ≤ -1

COSECANTE: Es la ordenada del punto de intersección del eje y con la recta tangente trazada por el extremo del arco.

OU = Csc α (+); OV = Csc β (-), Debe notarse que la L.T. Cosecante puede ser trazada para cualquier arco “α ” excepto para los extremos de arco A y A¡ (

π−ℜαε n ), ya que la Tangente geométrica que pase por estos puntos nunca se cortara con la abscisa o eje “Y”, debido a que son paralelas, cumpliéndose además:

-∞ < Cscα ≤ -1+1 ≤Cscα < ∞

Es lo mismo que:

Cscα ≤ -1 v Cscα ≥ 1Ejemplo 5: Graficar: Sec 2,5 ∧ Csc 3

LINEAS TRIGONOMETRICAS AUXILIARES

1. Seno Verso o Verso (Vers): Es lo que le falta al Coseno de un arco “ θ ” para valer la unidad. El verso es siempre positivo.

Por definición: ν Rθε

Teniendo en cuenta lo anterior, se llega a deducir la variación del Verso:

θ ≤ vers θ ≤ 2Ejemplo 6: Calcular

Ver

π3

-9-

Vers θ = 1 – Cos θ

−∞=α+∞=α

min

max

)Csc(

)Csc(


2. Coseno Verso o Coverso (Vov): Es lo que falta al Seno de un arco “θ ” para valer la unidad. El Coverso es siempre positivo.

Por definición: Cov θ = 1 – Sen θ ∀ θ ε R

Teniendo en cuenta lo anterior, se llega a deducir la variación del Coverso:O ≤ Cov θ ≤ 2

Ejemplo 7.

3. Ex -Secante o External: Es el execeso de la Secante respecto a la unidad.Si la Secante se mide hacia la derecha del origen de arcos entonces la Ex – Secante es positiva de lo contrario es negativo.

Ejemplos:

1. Con la ayuda de una C.T. señale la expresión de menos valor entre: a) Cos70º b) Cos130º c) Cos160ºd) Cos220º e) Cos12º

Resolución: Graficamos en la C.T los arcos mencionados y ubicamos en ella las líneas trigonométricas coseno y observamos que:

Cos70º y cos310º: son (7)Cos130º, cos160º y cos220º son(-)

∴ entre los negativos notamos que el menor o más negativo es Cos160º.

2. Señale verdadero (v) o falso (f), según corresponda:I. Sen100º > Sen 170º

II. Cos100º > Cos 140ºIII. Sen210º > cos 210º

Resolución:Cada caso lo representaremos en una C.T.

I)

Sen100º > Sen 170º

-10-


II)

Por ser más negativo cos140º Cos 100º > Cos 140º

III)

Observamos que sen 210º y Cos 210º son negativos pero Cos210º es más negativo:

∴ Sen210º > Cos 210º

Después de analizar cada caso se tiene:

I) V II) V III) F

3. En la C.T. mostrada expresar en términos de θ.

a) La longitud del segmento OM

Resolución:

En el gráfico se puede reconocer:

AOM ∼ AHP

θ+=

θ cos1

1

sen

h

θ+θ

=cos1

senh

Donde:

senθ=senθ cosθ=-cosθ

∴ h=θ−

θcos1

sen

-11-



1. Señale la expresión de mayor valor:

Sen 10º; Sen100º y Sen 300º

2. Señale la expresión de menor valor:

a) Cos 70ºb) Cos 130ºc) Cos 160ºd) Cos 220ºe) Cos 310º

3. Indicar A + B siendo:

A el máximo valor de:4Senx + 2Cos y

B el mínimo valor de:2Cosθ + Senθ

4. Determinar verdadero (v) o falso (F) en:

I. Sen 3 > Sen 1II. Cos 6 > Cos 5III. Tan 1 < Tan 3

5. Si π−<<<π−12 xx

2

3

Analizar la verdad o falsedad en:Sen x1 < Sen x2

Sen

π<

π21 x

Senx

-12-


6. Si α=30º calcular:S=versα . covα + ExSecα

7. Calcular la ordenada y1 la abscisa x2 de los puntos P y Q en la C.T.

8. ¿Cuál es la variación de M=3Senθ+1; θ∈R?

9. Si π<θ<α<π2

Señalar las proposiciones verdaderas:

I. Tanα < TanθII. Ctgα < Ctgθ

III. Tanα . Tanθ < 0

-13-

REFORZANDOMIS CAPACIDADES


1. Indicar el signo de comparación que debe ir en el círculo, si x ∈ IIC.

Sen x Tgxa) > b) < c) ≥

d) ≤ e) =

2. Indicar el orden creciente de los siguientes valores: Sen 3; Cos3; Tg3.

a) Sen 3; Cos3; Tg3b) Cos 3; Tg3; Sen3c) Cos 3; Sen 3; Tg3d) Tg 3; Cos 3; Sen3e) Tg 3; Sen 3; Cos3

3. Indicar el orden creciente de los siguientes valores: Sen1; Cos3; Tg5.

Sen1; Cos3; Tg5Tg5; Cos3; Sen1Tg5; Sen1; Cos3Cos3; Tg5; Sen1Cos3; Sen1; Tg5

4. Cuando el ángulo x aumenta de 90º a 180º ¿Cuál de las siguientes afirmaciones es verdadera?

a) El seno aumenta b) El coseno aumenta c) La cosecante aumenta d) La secante disminuye

5. Indicar el máximo valor de:A=Cosx + Cosy – Cosza) 1 b) 2 c) -1d) 4 e) 0

6. Determine el signo de comparación que se debe ubicar en el recuadro:

Sen 110º Sen 10º

Cos 200º Cos 100º

a) >; > b) >; = c) >; <d) <; < e) =; <

7. ¿Cuál de los siguientes valores es el menor?a) Cos20º b) Cos100º c)Cos160ºd) Cos260º e) Cos320º

8. Señale (V) o (F) en:Tan 50º > Tan 70º ……… ( )Tan100º > Tan140º …….. ( )Tan200º > Tan 240º…….. ( )a) FVV b) VFF c) VFVd) FFF e) VVV

9. Si: π<β<α<π2

23

Señale (V) o (F) en:Sen α > senβ ( )Tan α > tanβ ( )Ctg α > Ctgβ ( )

a) VVF b) VVV c) FFFd) FFV e) FVV

10.Determinar el área en:

-14-


CIRCUNFERENCIA TRIGONOMETRICA II

1. En la C.T. hallar el área de la región sombreada:

2. Hallar el área de la región sombreada:

3. Calcular el área sombreada:

4. En la C.T. mostrada expresar en términos de θ:

A: La longitud del segmento OMB: El área de la región triangular AOP

-15-


REFORZANDO MIS CAPACIDADES

1. Hallar el área de la región sombreada en la C.T.

a) Senθ b) Cosθ c) 21 senθ

d) 21 Cosθ e) 2Senθ

2. Hallar el área de la región sombreada en función de θ.

a) 0,5 Cosθb) -0,5 Cosθc) 0,5 Senθd) 2Cosθe) n.a

3. Calcular el área de la región sombreada:

a) Senθ b) Cosθ c) -Cosθd) -Senθ e) 1

4. Determinar el área de la región sombreada:

a) 43 Cosθ b) 4

3 senθ c) 43− Senθ

d) - 43 Cosθ e) 2

1 Senθ

-16-


5. Hallar el área de la región sombreada:

a) Cosθ b) 2Cosθ c) 21 cosθ

d) Senθ e) 2Senθ

6. En la C.T. mostrada. Cosθ= 32 y

OM=MB. Calcular el área de la región triangular OMP.

a)61

b) 31

c) 41

d) 21 e)

32

7. Determine el área en:

a)4

3 Senθ

b) 21 Senθ

c) Senθ

d) - 21 Senθ

e) -4

3 Senθ

8. Si Senα=0,8. Hallar MQ.

a) 3 b) 4 c) 5d) 0,8 e) 0,6

-17-

CAPITULO

06 IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS


Al finalizar el capitulo; Ud. Será capaz de:

1. Conocer los distintas relaciones entre las razones trigonométricas de un mismo ángulo

2. reducir expresiones donde intervienen razones trigonométricas aplicando conveniente las identidades dadas.

Una de las muchas aplicaciones que se puede presentar sobre las identidades trigonométricas se muestra en la figura. La distancia “d” que recorrerá la pelota en el aire

esta dada por la expresión:9

2 2 θθ= CosSenVd

Aplicando Identidades queda Simplificada: 9

22 θ= SenVd

-18-


IDENTIDADES TRIGONOMETRICAS FUNDAMENTALES

Son igualdades en las que intervienen razones trigonométricas, las cuales se verifican para todo valor permitido de la variable, las Identidades principales son:

A Identidades Reciprocas

Sen x Cscx= 1 Cosx Secx = 1

Tan x Ctgx =1

B Identidades Por Cociente:

Tanx = Cosx

SenxCta x=

Senx

Cosx

C Identidades Pitagóricas:

Sen2 + Cos2x = 1

1 + Tan2x = Sec2x

1 + Cta2x = Csc2x

TIPOS DE EJERCICIOS SOBRE IDENTIDADES

Los ejercicios sobre identidades pueden ser de 4 tipos:

I. Demostraciones: Para demostrar una identidad, implica que el primer miembro se pueda reducir al segundo miembro o viceversa o que cada miembro por separado se pueda reducir a una misma forma. Para la verificación de identidades se puede utilizar las diferentes transformaciones tanto algebraicas como trigonométricas y en este último caso resulta muy útil escribir la identidad en términos de senos y cosenos.

Ejemplo: Demostrar que:( )

xTan2SenxCosCtg

1CosxSenx 22

=−

−+

Resolución:

xTan2xCos

xSen2

)xSen1(Cosx

Senx.SenxCosx2

SenxCosxSenx

Cosx1SenxCosx2xCosxSen 2

2

2

2

22

==−

=−

−++

-19-

NO OLVIDES

Cscx =Secx = Ctgx =

IDENTIDADES AUXILIARES

Sen4x+Cos4x=1-2Sen2xCos2xSen6x+Cos6x = 1-3Sen2xCos2xSec2+Csc2x = Sec2x . Csc2xTagx + Ctgx = Secx . Cscx(1±Senx±Cosx)2=2(1±Senx)(1±Cosx)Versx = 1-CosxCovx = 1-SenxEx Secx = Secx-1

TE RETO

Demostrar:D



II. Simplificaciones: Se buscara una expresión reducida de la planteada con ayuda de las Identidades fundamentales y/o auxiliareis con transformaciones algebraicas.

Ejemplo: Simplificar:

SenxTanxCosx

Secx.SenxP

+=

Resolución:

Cosx

Senx.SenxCosx

Cosx

1.Senx

P+

=

Cosx

xSenCosx

Cosx

Senx

P2

+=

Senx1

Senx

Cosx

xSenxCosCosx

Senx

P22

==+

=

III. Condiciones: Si la condición es complicada debemos simplificarla y así llegar a una expresión que pueda ser la perdida o que nos permita hallar fácilmente la que nos piden de lo contrario se procede a encintrar la expresión pedida.

Si Senx-Cosx=3

1 Hallar Secx.Cscx

Resolución:

Secx.Cscx= )I...(SenxCosx

1

Senx

1.

Cosx

1 =

Además:

(Senx-Cosx)2=2

3

1

Sen2x+Cos2x-2SenxCosx=9

1

-2SenxCosx= 19

1 −

SenxCosx=9

4

En (I) 4

9

9

41/1

SenxCosx

1 ==

-20-

IMPORTANTE

Una buena recomendación consiste en transformar todo el miembro elegido en una expresión en función de Seno y Coseno

NO OLVIDES

En: E

a2 = c2 - b2

c2 = a2 + b2

b2 = c2 - a2

DESAFIO

Calcular el equivalente de:(Cscθ-Ctgθ)(Ctgθ+Cscθ)


1. DemostrarSenx . Secx = Tanx

2. Demostrar: Cos3θ + CosθSen2θ=Cosθ

3. Demostrar:

CscxSenxxCsc

1xCosxCtg

2

22 =

++

4. Demostrar:(Tanα+Ctgα)3=Sec3αCsc3α

5. Demostrar:1-Tan2αCos4α-Ctg2αSen4α= Sen4α+Cos4α

6. Si: Cos4θ-Sen4θ=MCos2θ-1Es una identidad. Hallar M.

7. Determinar “n” en:

-21-


n)ctg(SenCsc

CosSec θ=θ−θθ−θ

8. Simplificar: (Sen4αCos2α+Cos4αSen2α)(Tanα+Ctgα)2

9. Reducir:

Sen2x.Ctgx.Secx-Senx.Ctgx+Cos2x.tanx

10. Simplificar:

++

+−=

Senx

Cosx31

Cosx1

Senx)CtgxCscx(E


-22-


Demostrar:

1. Sec2x-Tan2x=12. Sen4x+Cos4x=1-2Sen2xCos2x3. Tanx+ctgx=secxcscx

4. +αα

cos

Sen3

SenαCosα=Tanx

5.α−

α=−cos1

sen

senx

xcos1

6. (senα+cosα)2(senα-cosα)2

=2(sen4α+cos4α)-1

7. (Tanα-ctgα)(tan2α+csc2α)=tan3α-ctg3α

8. Simplificar:

( )xcsc.xsec

2xcosSenxP 2 +−=

a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) n.a

9. Simplificar:

α−

αα+=

2

2

cos

2

cos

sen1A

a) 2tanαb) Sec2αc) 2tanα+sec2αd) 2tanα-sec2αe) n.a

10. Simplificar:

α+αα+α

CscCtg

TanSen

a) Secαtanαb) cosαtanαc) senαtanαd) cscαctgαe) secαcscα

11. Simplificar:

SenaCsca

CosaSecaT

−−=

a) Sec2ab) 1-tan2ac) Sen3acos3ad) Tan3ae) 1

12. Reducir:

xtanSenx1

CosxP −

−=

a) 1b) Senx c) Secx d) Cosx e) Cscx

13. ¿Qué valor debe ocupar k para ser una identidad?

Secθ-Cosθ=Ksecθa) Senθb) Cosθc) Secθd) Cscθe) Sen2θ

14. Al simplificar:

SenxSenx

Cosx1

Cosx1

SenxP

++

+=

Se obtiene:a) 1b) 2c) Senxd) Cosxe) Tanx

15. Al simplificar:

)1)(1(

))((

−−−−

CscxSecx

CosxctgxSenxTanx

Se obtiene:a) Senx b) Cosx c) Tanx d) Senx Cosxe) n.a

-23-


IV. Eliminación del ángulo: Estos ejercicios consisten en que a partir de ciertas relaciones trigonométricas debemos encontrar relaciones algebraicas en donde no aparezca el ángulo.

EJEMPLOS

1. Determinar una expresión independiente de la variable angular “x”; si se sabe que se verifican los siguientes condiciones:

)2......(3

1Cosx.Senx

)1.........(Cosx

b

Senx

a

=

=

Resolución:

De (2) ……..: 3Cosx

1.

Senx

1 =

Secx . Cscx=3

∴ Tanx+Ctgx=3

Reemplazado en 1

Porque: b

aTanx

b

a

Cosx

Senx =∴=

ab3ba3a

b

b

a 22 =+∴=+

2. Eliminar θ en:

Senθ=x y Cosθ=y

Resolución:

Sea Senθ=x …… ICosθ=y …… II

Elevamos al cuadradoSen2θ=x2 …… ICos2θ=y2…… II Sumamos: I y II

Sen2θ+Cos2θ=x2+y2

1= x2+y2

-24-

ATENCIÓN

En este tipo de problemas tenemos que operar con las igualdades proporcionadas de tal modo que obtengamos otra donde no aparezca el ángulo a eliminar.

DESAFIO

Eliminar x en:a + b Senx = 2a – b Cosx = 4



1. Si Tanx=3

2 calcular:

A=Sen m+ Cos m

2. Si Sen2θ + Csc2θ = 7Calcular: A = 2Senθ + Cosθ Ctgθ

3. Calcular el valor numérico de:Q=Cosz(Senz+Cos2z.Cscz)Se sabe que: Tan2z=0,25

4. Se sabe que:

Cosa + Sena Tana=5

6

Calcular Seca

5. Se sabe que:P=Sec2P-1Z=Csc2p-Ctg2pA=1-Sen2pHallar: P.A.Z

6. Sea:Senα=aCosα=bEliminar el ángulo.

7. Si Senx + Cosx=bHallar el valor de:R=2Senx . Cosx+1

8. Si Senx-Cscx=7Calcular Senx + Cscx

-25-



1. Si Senx+Cosx . Ctgx=1,2Calcular: Cscxa) 1 b) 1,2 c) 0,8d) 0,6 e) n.a

2. Hallar “x” para que sea una identidad:

Ctgα - Cosα = xCtgαa) 1-Cosα b) 1-Senα c) Tanαd) Ctgα e) n.a

3. Sabiendo que:Senθ + Cosθ= 2 encontrar M=Tanθ + Ctgθa) 1 b) -1 c) 2d) 5 e) n.a

4. Si: Cscx – Senx = aSecx – Cosx = 2aHallar Tan x:

a) 2 b) 3 c) 3 2d) 3 3 e) 4 2

5. Si: ab

1

b

Tan

a

Sec 22

=α−α

Hallar: Tanα

a)ba

1b

−−

b) 1b

ba

−−

c) 1a

1b

−−

d) 1b

1a

−−

e) n.a

6. Si 2Sec2x-Csc2y=1Calcular: M=2Sec2y-Csc2x

a) 1 b) -1 c) 0d) 2 e) -2

7. Eliminar “x” de:Tanx + ctgx=mTanx – ctgx=n

a) mn=1 b) 2mn=1 c) 4mn=1

d) m2+n2=1 e) m2-n2=4

8. Si se sabe que:Senθ = 0,4Calcular el valor de:

C=(Sen2θ-1)2 ( θ2Tan

1) Cos2θ

a) 25

24b)

4

3c) 1

d) 2

1e)

5

4

9. Si Senθ + Cscθ=a, calcular:E=Sen2θ + Csc2θa) a2 b) 2 c) a2-1d) a2-2 e) n.a

10. Elimina “θ” de:x=1+Senθ+Sen2θ+Sen3θ+…..y=1+Cos2θ+Cos2θ+Cos3θ+….

a) ( ) ( ) 1112

y12

x1 =++−

b) ( ) ( ) 1112

y12

x1 =+++

c) ( ) ( ) 1y1x1 22 =−+−d) ( ) ( ) 1y1x1 22 =+++e) N.a

-26-


Al finalizar el presente capítulo Ud. estará en la capacidad de:

Conocer la equivalencia de la razón trigonométrica de ángulos de la forma (K90º±x) en los términos de la razón trigonométrica del ángulo x (K∈Z).

N

105º

N

52º

CIUDAD B

CIUDAD A

EL VALOR DE LA BUENA CONDUCTA Y LA PERSEVERANCIA CONQUISTA A TODO LO QUE SE LES PONE POR DELANTE.

Emerson.

-27-

CAPITULO

07 REDUCCIÓN AL I CUADRANTE


REDUCCIÓN AL I CUADRANTE

Es el procedimiento mediante el cual se expresa el valor de las funciones trigonométricas de un ángulo de cualquier magnitud en función de un ángulo agudo del primer cuadrante (ángulo reducido).

A. PARA ÁNGULOS POSITIVOS Y MENORES QUE UNA VUELTA.Para esto usaremos un criterio muy sencillo al que llamaremos el ángulo más pequeño:Ángulo Referencial: rs

Pasos a emplear:

1. Ubicamos el cuadrante al que pertenece θ. (ángulo)

2. Determinamos su ángulo referencial empleando los casos anteriores.

3. Establecemos el signo de la razón trigonométrica en el

cuadrante al que pertenece el ángulo.

Ejemplos:

1. Reducir al I cuadrante:Sen 250º

250º ∈ III C Sen 250º es de signo (-) Ángulo referencial:

250-180º = 70º∴ Sen 250º=-Sen70º

2. Calcular el ángulo reducido suplementario de los siguientes ángulos menores de una vuelta:

α = 235º, β=320º, γ=139º,

δ=145º, ϕ=-298º, θ=-195º

Resolución.

Como α=235º ⇒ α ∈ III CLuego: rs=235º - 180º = 55º

Como β =320º ⇒ β ∈ IV CLuego: rs = 360º-320º = 40º

Como γ = 139º ⇒ γ ∈ II CLuego: rs = 180º-139º = 41º

Como δ= -145º ⇒ δ ∈ III CLuego: rs = -145º+180º=35º

Como ϕ = -298º ⇒ ϕ ∈ I –CLuego: rs = 360º - 298º = 62º

Como θ = -195º ⇒ θ ∈ II CLuego: rs = 195º - 180º = 15º

B. PARA ÁNGULOS POSITIVOS Y MAYORES QUE UNA VUELTA

Como la diferencia de dos ángulos coterminales es un número entero de vueltas y cuyo valor es el mismo se procede a resolver de la siguiente manera:

-28-


Ejemplos: 1. Calcular el ángulo reducido de los

siguientes ángulos mayores de una vuelta.

α = 1478º

Dividimos entre 360º

1478º 360º1440º 4 38º

38º ∈ IC

2. Reducir: θ=-8595º

- 8595º 360 8280º 23 315º

-315º ∈ IV CSu coterminal es 45º

∴ Para entenderlo mejor ten en cuenta los siguientes casos:

CASOS DE REDUCCIÓN

1er. Caso: Para ángulos positivos menores de una vuelta.

Se tienen los siguientes pasos a seguir:

i) Se determina el cuadrante al que pertenece el ángulo dado.

ii) Se encuentra el ángulo reducido suplementario del ángulo dado.

iii) Se determina el signo que tiene la F.T. del ángulo dado, según el cuadrante al que pertenece, el cual ha sido obtenido en el paso inicial.

iv) El valor de la F.T. del ángulo dado es igual al valor de la F.T. del ángulo reducido suplementario con el signo respectivo determinado en el paso anterior.

Ejemplos:1. Reducir al primer cuadrante:

Cos320ºSolución:Como el ángulo 320º ∈ IVC⇒ rs = 360º - 320º ∈ IVCY el signo del coseno en IV C es +

Luego: Cos320º = +Cos40º

Aplicando el criterio de confusión el resultado puede ser también así:Como el ángulo 320º ∈ IVC⇒ rc = 320º - 270º = 50º

Y el signo del Coseno en IV es (+)Luego: Cos320º ) +Sen50ºUniendo los dos resultados podemos decir:∴ Cos 320º = +Cos40º = +Sen50º

2. Reducir al primer cuadrante: Sen(8π/5)Solución:Como el ángulo 8π/5 ∈ IVC⇒ rs = 2π - 8π/5 = 2π/5Y el signo del seno en IVC es (-)Luego: Sen(8π/5) = sen(2π/5)

Aplicando el criterio de confusión el resultado puede ser también así:

Como el ángulo 8π/5 ∈ IV C⇒ rc = 8π/5 - 3π/2 = π/10

Y el signo del seno en IV C es (-)Luego: Sen(8π/5) = -Sen(2π/5)

= -Cos(π/10)

2do. Caso: Para ángulos positivos mayores de una vuelta.Se tienen los siguientes pasos a seguir:i) Se divide el ángulo dado entre

360º ó 2π y se obtiene el resto de dicha división.

ii) El cuadrante al que pertenece el ángulo dado es el mismo que del ángulo obtenido en el resto de la

-29-


división realizada en el paso anterior, ya que son coterminales.

iii) El ángulo reducido suplementario del ángulo dado es el mismo que del ángulo obtenido en el resto de la división realizada en el primer paso.

iv) Se determina el signo que tiene la f.T. del ángulo dado, según el cuadrante al que pertenece, el cual ha sido obtenido en el segundo paso.

v) El valor de la F.T. del ángulo dado es igual al valor de la F.T. del ángulo reducido suplementario con el signo respectivo determinado en el paso anterior.

Ejemplos:

1. Reducir al primer cuadrante:Sen 1290º

Solución:

Efectuadnos la división obtenemos:1290º 360º1080º 3 210º ∈ IIIC

⇒: rs = 210º - 180º=30º

Y el signo del seno en IIIC es (-)

Luego: Sen1290º = -Sen30º = -1/2

Aplicando el criterio de cofunción el resultado pueden ser también así:

Como el ángulo 1290º ∈ III C⇒ rc=370º-210º=60º

Y el signo del seno en III C es (-)Luego: Sen 1290º=-Cos60º=-1/2

Uniendo los dos resultados podemos decir:∴ Sen 1290º = -Sen30º

= -Cos60º=-1/2

2. Reducir al primer cuadrante:Tg(313π/3)

Solución:Efectuando la división obtenemos:

313π 6π/3312π 52 π/3 ∈ IC

⇒ rs = π/3

Y el signo de la Tg en IC es (+)

Luego: Tg(313 π/3) ) +Tg π/3 = 3

Aplicando el criterio de Cofunción el resultado pueden ser también así:

Como el ángulo (313π/3) ∈ IC⇒ rc = π/2 - π/3 = π/6

Y el signo de la Tg en IC es (+)

Luego: Tg(313π/3) = +Ctgπ/6= 3

Uniendo los dos resultados podemos decir:

∴Tg (313π/3) = +Tgπ/3 = +Ctgπ/6 =

3

3er. Caso: Para ángulos negativos.Se tienen los siguientes pasos a seguir:i) La F.T. del ángulo negativo se

convierte a F.T. del ángulo positivo: con signo más (+) para el coseno y la secante y con signo menos (-) para seno, tangente, cotangente y cosecante.

ii) Luego se aplican las reglas del 1er ó 2do caso según sea el ángulo positivo resultante menor o mayor de una vuelta.

Ejemplos:1. Reducir al primer cuadrante:

Sen(-210º)Solución:La F.T. del ángulo negativo, lo convertimos a F.T. de ángulo positivo.

Sen(-210º) = - [ ]º210SenComo el ángulo 210º ∈ IIIC

⇒ rs = 210º - 180º = 30º

-30-


Y el signo del seno en el IIIC es (-)

Luego: Sen(-210º)=- [ ]º30sen=+sen30º=1/2

También se puede obtener el resultado considerando el ángulo reducido directamente del ángulo negativo:Como el ángulo -210º ∈ IIC⇒ rs = 210º - 180º = 30º

Y el signo del seno en el II C es (+)

Luego: Sen(-210º) = +Sen30º =1/2

2. Reducir al primer cuadrante:Sec(-335π/8)Solución:La F.T. del ángulo negativo, lo convertimos a F.T. de ángulo positivo.

Sec (-335π/8)=sec(335π/8)

Efectuando la división obtenemos:

335π/8 16π/8320π/8 20 15π/8 ∈ IV C

⇒ rs = 2π - 15π/8 = π/8

Y el signo de la sec en el IV C es (+)

Luego: sec(-335π/8)=+sec(π/8)

OTRO CASO DE REDUCCIÓN

Rt (90±α) = ± co-r+(α)Rt (180±α) = ± R+(α)Rt (270±α) = ± CO – R+(α)Rt (360±α) = ± R+(α)

Ejemplo:

Reducir:

)x180(Cos

)x90(SenC

−+=

Resolución:

Sen(90+x) = +CosxCos (180-x) = -Cosx

Cosx

CosxC

−+=

C=1

Ejemplos:

1. Calcular:

º135Tanº240Cosº330Sen

º150Senº120Cosº300CosN

++++=

Resolución:Aplicando reducción al IC.

º45Ctgº60Cosº30Sen

º60Cosº60Cosº60CosN

−−−+−=

Reemplanzando valores:

22

1

12

1

2

12

1

N−

=−−−

=

∴ N=4

1−

2. Calcular:

S=Cos10º+Cos20º+Cos30º+…...... +Cos160º+Cos170º

Como los ángulos que están equidistantes suman 180º por lo tanto:

x+y = 180º → Cosx = -Cosy

∴ S=Cos10º+Cos20º+Cos30º+….... –Cos20º-Cos10º

S=0

-31-



1. Reducir al I cuadrante:a) Sen 210º

b) Cos 200º

c) Sen (180 + θ)

2. Reducir al I cuadrante:a) Tan 800ºb) Sec 18905º

3. Simplificar:

346

3

32

º74Csc25TanCsc1

Tanº53Secº16Cosº37Sec

+++ ππ

π

4. Reducir:

)aº270(Cosº.220Senº.430Ctg

)aº180(Senº740Tanº.130CosP

++−=

-32-


5. Reducir: Sec 4

33π

6. Simplificar:

)aº270(Ctg)aº360(Sen)aº90(Csc

)aº180(Tan)aº270(Cos)aº360(SecM

+−++−−=

7. Calcular:( )

β+α+

β−α

β+α+β−α=SenSen

3Sen3

CosCosCos3F

8. Reducir:

( )

( ) ( )xCosx2

CosxSen1

x2Cosx2

3Senx

2

3Cos2

E22 −π−

+π++π+

−π−

+π

−π

=

-33-



1. Simplificar:

( )

( )

θ−π−θ−π

θ−π+

θ+π

=

2

5Tan2Ctg

Ctg2

3Tan

M

a) 0 b) 1 c) 2d) 2

1 e) -Tanθ

2. Calcular:E=Sen150º.Ctg225º.Tan220º

a)63 b) 1 c) 4

1

d) 43 e) 32

3. Efectuar:M=Sen(90-θ) Csc(270º-θ)a) 1 b) 2 c) -1d) Sen2θ e) Csc2θ

4. Hallar Tan 36660º

a) 3 b) 2

1− c) 2

2−

d) 2

1e) 3−

5. Calcular:

º180330Sec.3a) 1 b) -2 c) 2−d) -1 e) 2

6. Calcular:

º150Ctgº.225Cosº.120Csc

º150Secº.315Senº.120TanR =

b) 1 b) -1 c) 2d) -2 e) 3

7. Calcular:

º330Tanº300Senº.315Sec

º135Cscº.300Ctgº.330CosM =

a) -1 b) 2

1c)

22

d) 1 e) 2

8. Efectuar:

Sen

π

3

77Tan

π

6

55

a)2

1b) 1 c) -

2

1

d) 2 e) 2

3

9. Simplificar:

º450Sen)1b(º1260Cos)1b(

º630Sen)1a(º540Cos)1a(E

++−−−+=

a) 1 b) -1 c) b

a

d) a

b−e)

a

b

10. Si θ=6

π

Calcular:

( )

( ) ( )

θ+π+θ−−θ−π

π+θ−θ−π+

π+θ

=

2CscSen2Cos

6tanCos

2

3Sen

M

a) 8 b) 6 c) 2d) -6 e) -6

11. Calcular:

[ ]3323

74Csc

3

59Sen

4

71Tan

+

π

π−

π−

a) 1 b) 4

1c)

2

1

d) 16

1e)

9

4

-34-


REDUCCIÓN AL I CUADRANTE II

1. Simplificar:M=Cos6º+Cos12º+…Cos168º+Cos174º

2. Calcular el valor de R en:

)2SecCsc)(2Cos(21

)º180Secº270Sen21(2R

22

2

π+π++−=

π

3. La expresión:

)º160(Csc)º290(Sec)º340(Ctg

)º470(Tan)º520(Cos)º650(SenE

−−−−=

Es equivalente a:

4. Hallar el signo de la expresión:E=Ctg432º.Tan2134º.Csc3214º.Sen4360º

-35-



1. Determina la expresión falsa:

a) Sen185º=-Cos85ºb) Sec205º=-Sec25ºc) Tg29º=Ctg61ºd) Csc305º=-Csc55ºe) Sec111º=-Csc69º

2. Hallar:

º375Ctg

º105Tgº210Sen ⋅

a) 1/2 b) 2 c) 1d) 3 e) 1/3

3. Hallar el valor de:N=Sen2390º+Tg315º+3Cos2135º+4Tg217º

a) 4/3 b) 3/4 c) -3/5d) -1 e) 15/4

4. Halla el valor numérico de:

)º240(Tg

º210Csc

º510Cos

)º240(Senx

−+−=

a) 0,1547 b) 2,1547 c) 3d) 2 e) n.a

5. Simplificar:Cos165º+Tg375º+Ctg465º

a) 2Tg15º b) 0 c) 1d) Tg15º e) 2 n.a

6. Calcular:

E=Sen1500º+Cos720º

a) 23 + b) 2

13 +c)

2

23 +

d) 2

23 −e) n.a

7. Simplificar:N=bTg21140º-9aSec900º.Tg21470º

a) 3(a-b) b) a+b c) 3(a+b)d) 3(a+b)2 e) n.a

8. Calcular “x”:

º990Senº2520Sec

º180Cos1x

−−=

a) 1 b) 2 c) 3d) 0 e) n.a.


)º1140(Tg

)º1470(Tg)º2010(Tg2P

+−=

a) 1 b) 2 c) 0d) -2 e) n.a

10. Halla [ ] º45Tg.)6/(Cscº390Csc π−+ a) 3 b) 2 c) 1d) 0 e) n.a.

11. Reducir:

L=Tg(x-π/2)Tg(x-π)Sen(x-3π/2)

a) Senx b) -Senx c) Cosxd) -Cosx e) -1

12. Calcular:

π−ππ= 173Cos2

325Sen1º153CosA

a) 1 b) -1 c) -2d) 0 e) 2

13. Reducir:

)x2/321(Csc

)x2/157(Tg)x123(SecU

+π−π+π=

a) Ctgx b) Tgx c) -Tgxd) -Ctgx e) -1

14. En un triángulo ABC, reducir:

TanB

)AC(Tan

CosA

)CB(Cos

SenC

)BA(SenI

+++++=

a) -1 b) 1 c) 0d) 3 e) -3

15. Hallar el signo de LIVIAL=Sena Tana Secc a∈IIICI=Tana Tanb Tan200º b∈IICV=Seca.Sena-Secb c∈IVCA=Tan404g.Cosa

-36-


a) -, -,++ b) +,-,+- c) +,+,+,+d) -,-,-,- e) n.a

Al finalizar el presente capítulo usted será capaz de: Conocer el desarrollo de la forma Sen(c±y); cos(x±y) y Tan(x±y) Calcular el valor de razones trigonométricas de ángulos no conocidos mediante las

identidades de la suma o diferencia de arcos cuyas razones sean conocidas.

El Príncipe d las Matemáticas

Así se le reconoce a Carl Friedrich Gauss genio matemático alemán, nacido en 1777 quien de mayor solía decir que aprendió a contar antes que andar. A los 3 años de edad corrigió a su padre una suma de salarios que efectuaba en su casa. Cuentan también sus biógrafos que a los 10 años de edad no le permitió a su maestro de escuela darse un descanso mientras les propuso efectuar la suma 1+2+3+..+99+100; al poco rato de escrito el ejercicio en la pizarra, el niño Carl anunció que el resultado era 5050…. ¿Cómo lo hizo?...¡¡había notado que 1+100=2+99=3+98=4+97=..!! es decir, descubrió que lo que el maestro propuso equivalía a la suma de 50 veces 101 ó 50x101=5050.

Si bien es cierto que revolucionó todas las ramas de las matemáticas, también es verdad que contribuyó al desarrollo de la astronomía, la óptica y el magnetismo.

… ¿Podríamos imaginar a un asteroide que se les perdió a los científicos?.... veamos: resulta que en 1801 los astrónomos conmocionan al mundo con el descubrimiento del asteroide CERES, pero tras escasas observaciones los científicos perdieron su rastro, intentando recuperarlo después de enormes esfuerzos, entonces aparece el genio de Carl Gauss que al tiempo de culminar algunos cálculos matemáticos les indicó a los astrónomos hacia donde debían dirigir sus telescopios y … CERES fue ubicado

-37-

CAPITULO

08 IDENTIDADES TRIGONOMETRICAS DE ARCO COMPUESTO



nuevamente, prodigio que les permitió ser nombrado Director del Observatorio de Göttingen.

IDENTIDADES DE LA SUMA Y DIFERENCIA DE 2 ÁNGULOS

IDENTIDADES BÁSICAS

Las idetnidades básicas para la suma o

diferencia de 2 ángulos son las

siguientes:

Sen(A+B)=SenACosB+CosASenB

Ejemplo:

Sen(x+2y)=SenACosB-CosASenB

Sen(A-B)=SenA CosB - CosASenB

Ejemplo:

Sen(α-β)=SenαCosβ-CosαSenβ

Cos(A+B)=CosACosB-SenASenB

Ejemplo:

Cos(25+x)=Cos25Cosx-Sen25Senx

Cos(A-B) = CosA CosB + SenA SenB

Ejemplo:

Cos(x-30)=CosxCos30+SenxSen30

Tan(A+B)=TanATanB1

TanBTanA

−+

Ejemplo:

Tan(a+2b)=TanATanB1

b2TanTana

−+

Tan(A-B)=TanATanB1

TanBTanA

+−


Sen(A+B)Sen(A-B)=Sen2A-Sen2B

Tan(A+B)=TanA+TanB+TanATanBTan(A+B)

1. Aplicar la identidad correspondiente

en: cada caso:

Sen(2x+3y) = __________________

Sen(30º+θ)=___________________

Cos(2α+β)=____________________

Cos(60º-30º)=__________________

Cos ( )θ−π4 =__________________

_____________________________

Tan(45º+θ)=___________________

_____________________________

2. Identificar:

Sen2xCosθ+Cos2xSen4θ

_____________________________

_____________________________

Sen3θSen4θ-Cos3θCos3θ

_____________________________

_____________________________

Cos60Cos30+Sen60Sen30

_____________________________

_____________________________

_____________________________

-38-


3. Calcular:

Sen22ºCos8º+Cos22ºSen8º

4. Calcular:

Cos50ºCos5º-Sen40ºSen5º


Sen7º

6. Calcular:

π−π

12

Tan3

12

5Cos

7. Simplificar:

Tan24º+Tan20º+Tan20ºTan24Tan44

8. Simplificar:

Tan12º+Tan48º+ 3 Tan12ºTan48º

9. Ctg(π+4θ)

-39-



1. Aplicar la identidad correspondiente:

Sen(3x+4y)=___________________

Cos(x+5y)=____________________

Sen(45º+A)=___________________

____________________

____________________

Tan(45º+B)=___________________

____________________

____________________

2. Calcular:

Cos20ºCos80º-Sen80ºSen20º


Sen23º

Cos23º

Tan82º


Cos29ºCos24-Sen29Sen24

5. Calcular:

Tan97º

Cosc23º

6. Simplificar:

a) Tan8º+Tg10º+Tg8º+Tan10ºTg18º

b) Tan21º+Tg24º+Tg21º.Tan24ª

7. Simplificar:

a) Sen(180º+2x)

___________________________

___________________________

b) Cos(360º-3x)

___________________________

___________________________

c) Tan(180º-4x)

___________________________

___________________________

8. Simplificar:

a) Sen

θ−π

2

b) Cos

θ+π

2

3

c) Tan(2π+3θ)

d) Sec

+π

º502

-40-


PROBLEMAS RESUELTOS

1. Senx=13

12 (x∈IC)

Cosy=0,6 (y∈IC)

Calcular: Tan(x+y)

2. A partir de la identidad:

Tan(45-M)=1ATanM

ATanM

−−−

Calcular:

π+

π

ASen

4

ATan

3. Siendo:

Tan(α+β+θ)=2

1.

Donde Tanα=3

1 Tanβ=

2

1

Calcular Tanθ

4. Si α+β+θ=2

radπ

Calcular:

M=TanαTanβ+TanαTgθ+TgβTgθ

-41-



1. Reducir: )yx(Cos)yx(Cos

)yx(Sen)yx(SenA

+−−−++=

a) Tgx b) Ctgy c) Tgy

d) Ctgx e) 1

2. Reducir:

33Cosº3Sen3Cos33Sen

48Cosº12Senº12Cosº48SenE

−+=

a)2

1b) 1 c)

2

3

d) 2 e) 3

3. Si Ctgθ=4

1

Calcular: Tg(45º+θ)

a) -1 b) -3 c) 3

5−

d) 3 e) 3

4−

4. Hallar Tgθ en:

a) 9/19 b) 10

1c) 21

d) 21

1e)

10

9

5. Si se cumple:

2Sen(x+y)=3Sen(x-y)

Calcular Tgx . Ctgy

a) 1/5 b) 5 c) -5

d) 5

1−e) 1

6. De: Tanα + Tgθ = 12

7

Tgα - Tgθ = 12

1

Calcular P=)(Sen

)(Sen

θ−αθ+α

a) 7 b) 4 c) 4

1

d) 7

1e) 2

7. De la condición:

3

1

TgTan1

TgTg22

22

=βα−

β−α

Calcular: Tg(α-β)

a) 3 b) 3

1c) -3

d) 3

1−e) 6

8. Siendo A+B=3

π

Calcular: CtgBCtgA

1

TgBTgA

1K

+−

+=

a) 3 b) 2

3c)

4

3

d) 3

3e)

3

3−

9. Si α y β son complementarios y

además:

4

Sen

3

Sen β=α

Calcular: Tan(α-β)

a)24

7b)

24

7−c)

7

24

b)7

24

−e) n.a

10. Si: 5 Senb=Sen(2a+b)

¿Cuál es el equivalente de:

Tan(a+b)?

a) 1 b) 1,5 c) Tana

-42-


d) 1,6 e) N.A

IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS DE ÁNGULOS MÚLTIPLES

ObjetivosDeducir las identidades relativas a funciones trigonométricas de ángulo doble.

IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS DE ÁNGULOS MÚLTIPLES

A. ÁNGULOS DOBLES.- Se tiene:

CosxSenxSenxCosx)xx(Sen

dobleángulodelSen

+=+

∴ Sen2x=2Senx Cosx

Ejemplo:

Sen(10a) = Sen(5a+5a)

= 2Sen 5a Cosa

Coseno del Ángulo doble:

Cos(x+x)=CosxCosx-SenxSenx

Cos2x=Cos2x-Sen2x

También:

Cos2x=1-2Sen2x

Cos2x=2Cos2x-1

Ejemplo:

Cos6β=Cos23β-Sen23β

También:

Cos6β =1-2Sen23β

=2Cos23β-1

Tangente del ángulo Doble:

TanxTanx

TanxTanxxxTan

−+=+

1)(

∴ xTan

TanxxTan

21

22

−=

IDENTIDADES AUXILIARESSabemos que:Cos2x=1-2Sen2xEjemplo:

Tan4θ=xTan

Tanx21

2

−Ejemplo:

Tan4θ= θθ21

222Tan

Tan

−


Sabemos que:

Cos2x==1-2Sen2x

Sen2x=2

21 xCos−

Además Cos2x=2Cos2x-1

Cos2x=2

21 xCos+

B. ÁNGULO MITAD Seno del ángulo mitad:Si:

Sen2x=2

21 xCos−

Si x=2

α

2

1

2

αα CosSen

−±=

Ejemplo:

2

451

2

45 CosSen

−±=

Coseno del ángulo mitad:

2

1

2

αα CosCos

+±=

Ejemplo:

Cos2

751

2

75 Cos+±=

-43-



Tanααα

Cos

Cos

+−±=

1

1

2

Ejemplo:

Tan301

301

2

30

Cos

Cos

+−±=

Nota: El signo del 2º miembro se

elige según el cuadrante del arco 2

α

y de razón trigonométrica que lo afecta.Ejemplo:

Sen2

3151

2

315 Cos−+=

22

21−

=

2

22 −=

C. ÁNGULO TRIPLE

Seno del ángulo triple

Si:

Sen(2x+x)=Sen2xCosx+Cos2xSenx

Como: Sen2x=2SenxCosx

Cos2x=1-2Sen2x

∴ Sen3x=3Senx-4Sen3x

Ejemplo

Sen45º=Sen3(15)

=3Sen15-4Sen315

Análogamente

Cos3x=4Cos3x-3Cosx

Tan3x=xTan

xTanTanx2

3

31

3

−−


Senx Sen(60-x) Sen(60+x)=4

1 Sen3x

Cosx Cos(60-x) Cos(60+x)= 4

1Cos3x

Tanx Tan(60-x) Tan(60+x)=Tan3x

Ctgx Ctg(60º-x) Ctg(60º-x) = Ctg3x

1. Simplificar:

a) 2Sen10x Cos10x

Resolución:

b) Sen29x - Cos29x

Resolución

2. Si Tanθ=3

3

Calcular Sen2θ

Resolución:

-44-


3. Si Cosφ=13

12; 270º < φ < 360º

Calcular: Sen2

φ

Resolución:

4. Calcular:

(Sen7º30’+Cos7º30’)2

Resolución

5. Simplificar:

23

3

)2423(2

43441

xSenxSen

xCosxCosF

−−+=

Resolución:


1. Simplificar:

a. Cos2 7x - Sen2 7x

b. 1-2Sen25x

c. 2Cos24x-1

d. 4Cos3 7-3Cos7x

e. 3Sen10º-4Cos380º

2. Si Senθ=3

3

Calcular Cosθ

3. Si Senα=3

2

90º<α<180º

Calcular Cos3α

4. Si Cosφ=13

12

270º<φ<360º

Calcular Cos2

φ

5. Si Tg(45-x)=2

1−

Calcular Tg2x

6. Calcular Cos6x

Sabiendo que

Cosx=5

1

7. Simplificar:

E=Senx Cos3x-Sen3xCosx

8. El equivalente de la expresión:

Sen20º Cos320º-Sen320ºCos20º

Es:

9. Si Cosβ=3

3

-45-


Calcular Cos4β

PROBLEMAS PLANTEADOS

CONSTRUYENDO MIS CONOCIMIENTOS

1. Si Ctgθ=3

1

Calcular Tan2θ

Resolución.

2. Calcular:

Cos10º(ctg40+Tg40)

Resolución:


+

+

+

+=

8

71

8

51

8

31

81

ππππCosCosCosCosx

Resolución:

4. Si:

Sen6β+Cos6β=4

3

Calcular Cos2β

Resolución:

5. Si Cos2a=3

1

Calcular:

R=Cos8a-Sen8a

Resolución:

-46-



1. Si Secx= 5 además:

0º < x < 90º

Calcular: Sen2x

a) 0,2 b) 0,4 c) 0,6

d) 0,8 e) 1

2. Si Cosx=4

1; 270º<x<360º

Calcular Cos2

x

a) 2

1− b) 2

1c)

8

5−

d) 8

5e)

8

3−

3. Senx=3

1

Calcular Sen3x

a) 7

3b)

27

23c)

17

3

d) 27

5e)

8

3

4. Si Secθ= 10 Senθ

Determinar el valor de:

T=+Cos4θ

a) 2

1b)

3

1c)

5

1

d) 7

4e) n.a

5. Si 16Cos2α-9=0

παπ2

2

3 <

Calcular Tg2

α

a) 1 b) 7− c) 7

d) 7

7−e)

4

7−

6. Simplificar:

θθθθ

θθθθ

SenCos

SenCos

SenCos

SenCos

+−−

−+

a) Tgθ b) 2Tgθ c) Tg2θ

d) 2Tg2θ e) 4Tgθ

7. Hallar k si cumple:

Cos2(45-α)-Sen2(45-α)

=kSenαCosα

8. Si: 32

CosxSenx =

Hallar: Tg2x

a) 12

5b)

5

12c)

4

3

d) 3

4e) 3

9. Si: 3

13 =Senx

xSen

Calcular Cos4x

a) 3

1b)

9

7c)

3

1−

d) 9

7−e)

3

2−

10. Factorizar:

a. 123 +−=E

b. 4Sen24

5

8

ππSen

c.24

5.

824

ππSenSen

d.24

5.

82

ππCosCos

e.8

2π

Cos

-47-


f.12

5

824

ππSenSen−

-48-

Trigonometria 4º año ii volumen 2007

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