TRIGONOMETRIA COVEÑAS
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7/15/2019 TRIGONOMETRIA COVEAS
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I1. Griterios preliminares
Es el resultado de comparar dos cantidades, esta comparacin se expresa mediante el cociente de ellas.Ejemplo:Hallar la razn entre los lados menor y mayor del tringulo ABC.Resolucin:Lado menor: 2mLado mayor: 5m
2mRazntr) =# 0,4Son aquellos smbolos matemticos que se apli-can a los ngulos. En este captulo estudiaremosseis de ellos.
Es el resultado de aplicar un operador trigonom-trico a un ngulo.
NmeroAnguloOperadortrigonomtrico
Seno -)Coseno -+Tangente -+Cotangente -+__-lSecante /
.lLOSeCante '
SenCosTan o TgCot o CotgSecCsc o Cosec
Nt_g -g:
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2. Razones trigonomtricas en el tringulo rectngloEs el valor que se obtiene al comparar por cociente las longitudes de dos lados de un tringulo rectngulo conrespecto a uno de sus ngulos agudos.
Observa.-.-. -vt
TEOREMA DE PITCORAS:
SenA= Cateto Opuesto al{A
ctonCatetoopuesto Catetoadyacente Hipotenusa
Respecto al < A a b CRespecto al < B b a C
ANCUTOS AGUDOS: m{A+m{B=90o
Cateto Opuesto al{ BHipotenusa. Cateto Adyacente al{ AC^. A HipotenusaCateto Opuesto al{ A
HipotenusaCateto Adyacente al{ B
HipotenusaCateto Opuesto al { B
Cateto Adyacenteal {BCateto Adyacente al{ B
Cateto Opuestoal{ BHipotenusa
Cateto Adyacente al { BHipotenusaCateto Opuestoal{ B
Cb
Ca
aabC
aC
aC
bC
SenB=CosB=TgB=
Cotg B =SecB=
Cosec B =
Ca
CbTgA=
Cotg A =SecA=
Cateto Adyacente al{ ACateto Adyacente al{ A
Cateto Opuestoal{ AHipotenusa
bb
Cateto Adyacente al{ A. Hipotenusa-^.^- A -
-
Cateto Opuesto al{ AR.r. (p)
)A5enCf = -257LOS CX, = -25
24lscx-_7
Cotg cr =
Cosec cx =
En la figura:coseco=13t =Y5m5Cosec 0 = 2,6
Ejemplo prctico:
senB =+ Cots p=+cos B=# sec B =#rsP=+ cosec g=+3, PropiedaGfuirdamentalesdelasrazones trigpnorfucas
Trlil,i Los valores de las razones trigono-mtricas son cantidades numri-cas, es decir, adimensionales (sindimensiones), por tratarse de uncociente de magnitudes de Ia mis-ma especie.
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ffi Los valores de las razones trigonomtricas dependen nicamente de la magnitud del ngulo y no de lasdimensiones del tringulo reitngulo que contiene a dicho ngulo, es decir, que su valor no cambia si Iamedida del ngulo permanece constante.B
En el N roc'^3encr=-5ACoscr=l
cho tringu lo rectngu lo.Resolucin:* Del enunciado: (0 < cr)
En el N Rsc'^93en=-=-15 s12.4Loscx,=-=-15 593Ig=-=-1245
3lg0"= 4
Ejercicio O Determinar las 6 razones trigonom-tricas del mayor ngulo agudo de un tringulo rectnguloABC, recto en C, siendo: a: 15; b : B.Resolucin:", Craficamos: A
Ejercicio A En un tringulo rectngulo se sabe queel cateto m.yor es el doble del cateto menor. Calcularlas 6 razones trigonomtricas del menor ngulo de di-
b:BC
Teorema de Pitgoras: c2 = 152 + 82c = J2Bgc=17z, Notamos: a>b -+ m{A>m
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Resolucin:o, En el N RgC:a ?or el teorema de Pitgoras:
AC2 = 42 +32AC = J25t AC =Jl fs"no = ]-)J 5lr".o=Ilq
En el N nco'Por el teorema de Pitgoras:
AD2 = 52 +122
1 * 1i 16 ,, ,:-,an Reernplazando: M=* =+- i'*,j645Ejercicio @ En un tringulo rectngulo ABC, rectoen B, se cumple que: Tg R = I . Calcular:
Ejercicio O En un tringulo rectngulo ABC,en C, se cumple que: Cos A: 0,96. Calcular:Tg A+Sec AP_
Resolucin:', Del dato: Cos A,, Tambin:
252 =a2 +242a2 =49
cl-/
' Nos piden:
Cotg A+Ccec A= o,96 = 96 ='4 =b100 25 c
B
lb=24-+Jlc=25
725+_n2424' 24 25-_+_77
A43
3224D = JTagFp=d-+ fto'"tP=T
l.o,s p=+
TgA
49774 D- :1--. .t,.t,,.:1,.2'll
9a \40c f u=nIc=40
Ejercicio O Del grfico, calcular: K : Tg a + Tg p
A 4JlResolucin:oo, En elN ngo:z+ Etr el N RBC:
r, En el grfico:
BD2:AD2-AB2BD2 -_ 52 _ 42BD:3BC2:AC2_AB2. _.)BC2 : (+Js )- _ o,BC:B
B
E*Resolucin:n, D"lenunciado:', Tambin:
b2 =g2 +402b=681b=41
', Nos piden:)i)
:F40 41_+_99* ,"E'!'4,.,J
41 (Sen A + Cos A)Cotg A+Cosec A
B c:40
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Ejercicio O A partir del grfico, indicar lasrazones triglnomtricas de los ngulos "uy 0"C
Ejercicio g De la figura, calcular el valor de:B
Tg0 - TgaK:- Sen0
:i::'l :ir. :i ::',li li:,]': ' i i r: ',r
Ejercicio g En un tringulo rectnguloABC.(B : 90') Se tiene que: b : 3a.Calcular las 6 razones trigonomtricas del nguloA.Resolucin
Ejercicio !l En un tringulo rectngulo ABC,recto en "C" , se tiene que:J6CosecA: ^.
Calcular el valor de: E : CosB ' Cos AResolucin
Rpta: t: JilZpta: R : 1Ejercicio ftl En un tringulo rectngulo ABCrecto en B, se cumple que:Cosec'A:1,666...Calcular elvalor de:
BTgA - 5CosCN: 3l3c-ssenAResolucin
Ejercicio @ Del grfico, calcular el valor de:6 : ^,frgg:CosBB
Resolucin
Rpta: C : 615
c:60Sencx: lSen0:Cosg: lCos0:Tga: lTg0:Cotga: lCotg0:Secs: lSec0:Cosecg: lCosec0:
18 D-{
Rpta: N : 3Quinto ao de secundaria 211
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ru Ejercicio O En un tringulo rectngulo (rec-to en B) semple que:SecA'SecC : 2,5Calcular el valor de:E:Seccr+Tgu
acinSencr.Cosec a=9.8=l13 12
coscr.secu=+.p=r13 sTgcr'Cotga =+'!=t
De donde concluimos que: Sen cx y Cosec cx; Cos cxy Sec a; Tan cx y Cot son razones trigonomtricasrecprocas y cumplen la siguiente propiedad:El producto de 2 razones trigonomtricas recprocases igual a la unidad si y slo si estn aplicadas a unmismo ngulo.
Sen x'Cosecy = 1Cosx'SecY=1Tg "'CotgY = 1
Ejercicio A Deltringulo rectngulo mostra-do, calcular el valor de:
Y-(SenA+SenC)2Resolucin(2x+2) Resolucin
Rpta:Ff3ZlRazones trigonomtricas recprocasCalculemos las R.T. (cr) en el tringulo rectngulo mostrado:
Observ;.ffi
Rpta: M:l^el4"
Seng=Cos cx =
Tgo =Cotga =
^13ec cr =-513LOSCC[ = -12
1255
12
12135
13
NotaEx:y
Sen s.Cosec cr ='1
Coscr.Seccr = 1
Tga.Cotgcr = 1
[*no - 1J Cosec ala*".cr= 1I Sena[.*o - 1I Seccx115ec o =-I Cosa(- 1J 'to=corgsl-n"=+212 Quinto ao de secundaria
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'' Sobte razms trigonomtricre recpocasl,i-,.i,:t.l:,.':.: ii,.l-.,:,,, " ' lr''i,i lirr:r'.r,:L llEjercicio O Sabiendo que:
Sen(2x + 1 5")' Cosec 65" = 1Calcular el valor de "x".Resolucin:. Aplicando la propiedad de las R.T. recprocas:
Sen (2x + 1 5')'Cosec 65o = 12x+ 15o = 65o2x = 50ox=25o
Ejercicio A Si se cumPle que:cos(zx2 - 3)" ' Sec (2sx + 9)" -'l = 0, xe Z+hallar el valor de "x".Resolucin:
De la condicin: Cos (r"' -:)''Sec(ZSx + 9)" = 1De acuerdo a la propiedad de las R.T. recprocas:
7x2 -3 = 25x+97x2 -25x-12 = o7v,+3v/-\-4(zx+ )(* - 4) = o
i) 7x+3=0ii) x-4=O
iNo !
Ejercicio 0 SiTg(2x + 3y - 20")'Cotg(Sx + 3y -50') = 1, hallar elvalor de "x".Razona. Hallar "x" en:
Resolucin:o De las RT. recprocas:Tg (2x+ 3y - 20")'Cotg (sx + 3y - 50') = 1
2x +3f - 20" = 5x +.XY - 50o30" = 3x
x : 10oEjercicio @ Si se cumPle que:Sen(3x +2y-30')'Cosec(*-y+10")=1 1Tg(5x+y+20')'Cotg(x+2y+30')=1 2calcular "*" " "y" .Resolucin: De1:Sen(3x + 2y- 30")' Cosec(x-y + 10') : 13xt2Y-30':x-Yf
2x * 3Y :40' "'De 2:Tg(Sx+y+20')'Cotg (x+2Y +30")= 15x+y+2Oo=X*2Y+30'4x-Y = 10o"' 4De3 y
2x+3y4x-y
10"3
4:-- 40"
= 10o2x+3Y = 4Oo(x3) , 12x-3y=30"t M.A.M. 14x -- 7Oo[-3x=--lI 7lF ="])
4 r ReemPlazando en 3 :z (s") + 40"
30"10'3y3yv
Razona. En un colegio se distribuyen 1B alumnos por_cada aula,quedando 6 alumnos de pie; si se distribuyen ]9 alumnospor cada aula, sobran 4 asientos. si se distribuyeran 20ulr*nor por cada aula, 2cuntos asientos quedarn vacos?RPta' 14
B 3 6 37 6 X 96 9 1B 15 Rpta. x: 12
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5' Razones trigonomtricas de ngulos corurplementarosCalculemos las R.T. (cx) y R.T. (9) en el tringulo rectngulo mostrado: cx + F = 90o
)4Sencr=-'257Coscx = -25
24ls-_7
Seccr=fs5g6B=4"7
Seng = Cos ITgo=Cotg0Seccr = Cosec0 cr+B=90"
Ejercicio O Si Sen (3x + 10') : Cos (2x + 35"),calcular el valor de "x".Resolucin:'" Aplicando la propiedad de las R.T. complementarias:
Sen(3x + 1 0") = Cos (Zx + 35")(3x + 10") + (2x +35o) = 9go
5x+45o=90o
7Cotga=-^255ecCx--7
25Losec - -24
O tambin:
SenB =l-25)ACos B'257T89 = 24
)ACotgP=?SecB=4'24
Cosec B =47Observacin
. | .::::_,: : l: . )4Sena=CosB=1'25', ,. , .,;,,,,':iiif, )ATgcx = Cotgg =:- L:II 7
7SenB=Cos o-;7TgF = Cotgu= !-
-n25eCp=LOSeC=:-l24De donde concluimos que: Sen cr y Cos 0; Tg cr y Cotg p; Sec o y Cosec p son razones trigonomtricascomplementarias (O co-razones trigonomtricas) y cumplen la siguiente propiedad: Toda razn trigonomtricade un ngulo agudo es igual a la co-razn trigonomtrica del complemento de dicho ngulo.
En general: R.T. (0) : Co-R.T. (90'- qR.T. : razn trigonomtrica.Co-R.T. : co-razn trigonomtrica.0 : ngulo agudo.
5x = 45"x:9o
. Sobre razones trigonomtricas de nguloscomplementariosEjercicio 8 Siendo rs(*'+sx-1)' = 1, hallarelCotg (6x + 11)'valor de "x". (xe z-)Resolucin:,' De la condicin tenemos:
TB (*' + 5x - t)' = cotg (6x + 1 1)',,' Por la propiedad de las R.T. complementarias:(*' * sx - r)' + (6x + 1 1)o = 9oo
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x2 +11x