TRIGONOMETRIA COVE‘AS

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  • 7/15/2019 TRIGONOMETRIA COVEAS

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    I1. Griterios preliminares

    Es el resultado de comparar dos cantidades, esta comparacin se expresa mediante el cociente de ellas.Ejemplo:Hallar la razn entre los lados menor y mayor del tringulo ABC.Resolucin:Lado menor: 2mLado mayor: 5m

    2mRazntr) =# 0,4Son aquellos smbolos matemticos que se apli-can a los ngulos. En este captulo estudiaremosseis de ellos.

    Es el resultado de aplicar un operador trigonom-trico a un ngulo.

    NmeroAnguloOperadortrigonomtrico

    Seno -)Coseno -+Tangente -+Cotangente -+__-lSecante /

    .lLOSeCante '

    SenCosTan o TgCot o CotgSecCsc o Cosec

    Nt_g -g:

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    2. Razones trigonomtricas en el tringulo rectngloEs el valor que se obtiene al comparar por cociente las longitudes de dos lados de un tringulo rectngulo conrespecto a uno de sus ngulos agudos.

    Observa.-.-. -vt

    TEOREMA DE PITCORAS:

    SenA= Cateto Opuesto al{A

    ctonCatetoopuesto Catetoadyacente Hipotenusa

    Respecto al < A a b CRespecto al < B b a C

    ANCUTOS AGUDOS: m{A+m{B=90o

    Cateto Opuesto al{ BHipotenusa. Cateto Adyacente al{ AC^. A HipotenusaCateto Opuesto al{ A

    HipotenusaCateto Adyacente al{ B

    HipotenusaCateto Opuesto al { B

    Cateto Adyacenteal {BCateto Adyacente al{ B

    Cateto Opuestoal{ BHipotenusa

    Cateto Adyacente al { BHipotenusaCateto Opuestoal{ B

    Cb

    Ca

    aabC

    aC

    aC

    bC

    SenB=CosB=TgB=

    Cotg B =SecB=

    Cosec B =

    Ca

    CbTgA=

    Cotg A =SecA=

    Cateto Adyacente al{ ACateto Adyacente al{ A

    Cateto Opuestoal{ AHipotenusa

    bb

    Cateto Adyacente al{ A. Hipotenusa-^.^- A -

    -

    Cateto Opuesto al{ AR.r. (p)

    )A5enCf = -257LOS CX, = -25

    24lscx-_7

    Cotg cr =

    Cosec cx =

    En la figura:coseco=13t =Y5m5Cosec 0 = 2,6

    Ejemplo prctico:

    senB =+ Cots p=+cos B=# sec B =#rsP=+ cosec g=+3, PropiedaGfuirdamentalesdelasrazones trigpnorfucas

    Trlil,i Los valores de las razones trigono-mtricas son cantidades numri-cas, es decir, adimensionales (sindimensiones), por tratarse de uncociente de magnitudes de Ia mis-ma especie.

    208 Quinto ao de secundaria

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    ffi Los valores de las razones trigonomtricas dependen nicamente de la magnitud del ngulo y no de lasdimensiones del tringulo reitngulo que contiene a dicho ngulo, es decir, que su valor no cambia si Iamedida del ngulo permanece constante.B

    En el N roc'^3encr=-5ACoscr=l

    cho tringu lo rectngu lo.Resolucin:* Del enunciado: (0 < cr)

    En el N Rsc'^93en=-=-15 s12.4Loscx,=-=-15 593Ig=-=-1245

    3lg0"= 4

    Ejercicio O Determinar las 6 razones trigonom-tricas del mayor ngulo agudo de un tringulo rectnguloABC, recto en C, siendo: a: 15; b : B.Resolucin:", Craficamos: A

    Ejercicio A En un tringulo rectngulo se sabe queel cateto m.yor es el doble del cateto menor. Calcularlas 6 razones trigonomtricas del menor ngulo de di-

    b:BC

    Teorema de Pitgoras: c2 = 152 + 82c = J2Bgc=17z, Notamos: a>b -+ m{A>m

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    Resolucin:o, En el N RgC:a ?or el teorema de Pitgoras:

    AC2 = 42 +32AC = J25t AC =Jl fs"no = ]-)J 5lr".o=Ilq

    En el N nco'Por el teorema de Pitgoras:

    AD2 = 52 +122

    1 * 1i 16 ,, ,:-,an Reernplazando: M=* =+- i'*,j645Ejercicio @ En un tringulo rectngulo ABC, rectoen B, se cumple que: Tg R = I . Calcular:

    Ejercicio O En un tringulo rectngulo ABC,en C, se cumple que: Cos A: 0,96. Calcular:Tg A+Sec AP_

    Resolucin:', Del dato: Cos A,, Tambin:

    252 =a2 +242a2 =49

    cl-/

    ' Nos piden:

    Cotg A+Ccec A= o,96 = 96 ='4 =b100 25 c

    B

    lb=24-+Jlc=25

    725+_n2424' 24 25-_+_77

    A43

    3224D = JTagFp=d-+ fto'"tP=T

    l.o,s p=+

    TgA

    49774 D- :1--. .t,.t,,.:1,.2'll

    9a \40c f u=nIc=40

    Ejercicio O Del grfico, calcular: K : Tg a + Tg p

    A 4JlResolucin:oo, En elN ngo:z+ Etr el N RBC:

    r, En el grfico:

    BD2:AD2-AB2BD2 -_ 52 _ 42BD:3BC2:AC2_AB2. _.)BC2 : (+Js )- _ o,BC:B

    B

    E*Resolucin:n, D"lenunciado:', Tambin:

    b2 =g2 +402b=681b=41

    ', Nos piden:)i)

    :F40 41_+_99* ,"E'!'4,.,J

    41 (Sen A + Cos A)Cotg A+Cosec A

    B c:40

    210 Quinto ao de secundaria

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    Ejercicio O A partir del grfico, indicar lasrazones triglnomtricas de los ngulos "uy 0"C

    Ejercicio g De la figura, calcular el valor de:B

    Tg0 - TgaK:- Sen0

    :i::'l :ir. :i ::',li li:,]': ' i i r: ',r

    Ejercicio g En un tringulo rectnguloABC.(B : 90') Se tiene que: b : 3a.Calcular las 6 razones trigonomtricas del nguloA.Resolucin

    Ejercicio !l En un tringulo rectngulo ABC,recto en "C" , se tiene que:J6CosecA: ^.

    Calcular el valor de: E : CosB ' Cos AResolucin

    Rpta: t: JilZpta: R : 1Ejercicio ftl En un tringulo rectngulo ABCrecto en B, se cumple que:Cosec'A:1,666...Calcular elvalor de:

    BTgA - 5CosCN: 3l3c-ssenAResolucin

    Ejercicio @ Del grfico, calcular el valor de:6 : ^,frgg:CosBB

    Resolucin

    Rpta: C : 615

    c:60Sencx: lSen0:Cosg: lCos0:Tga: lTg0:Cotga: lCotg0:Secs: lSec0:Cosecg: lCosec0:

    18 D-{

    Rpta: N : 3Quinto ao de secundaria 211

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    ru Ejercicio O En un tringulo rectngulo (rec-to en B) semple que:SecA'SecC : 2,5Calcular el valor de:E:Seccr+Tgu

    acinSencr.Cosec a=9.8=l13 12

    coscr.secu=+.p=r13 sTgcr'Cotga =+'!=t

    De donde concluimos que: Sen cx y Cosec cx; Cos cxy Sec a; Tan cx y Cot son razones trigonomtricasrecprocas y cumplen la siguiente propiedad:El producto de 2 razones trigonomtricas recprocases igual a la unidad si y slo si estn aplicadas a unmismo ngulo.

    Sen x'Cosecy = 1Cosx'SecY=1Tg "'CotgY = 1

    Ejercicio A Deltringulo rectngulo mostra-do, calcular el valor de:

    Y-(SenA+SenC)2Resolucin(2x+2) Resolucin

    Rpta:Ff3ZlRazones trigonomtricas recprocasCalculemos las R.T. (cr) en el tringulo rectngulo mostrado:

    Observ;.ffi

    Rpta: M:l^el4"

    Seng=Cos cx =

    Tgo =Cotga =

    ^13ec cr =-513LOSCC[ = -12

    1255

    12

    12135

    13

    NotaEx:y

    Sen s.Cosec cr ='1

    Coscr.Seccr = 1

    Tga.Cotgcr = 1

    [*no - 1J Cosec ala*".cr= 1I Sena[.*o - 1I Seccx115ec o =-I Cosa(- 1J 'to=corgsl-n"=+212 Quinto ao de secundaria

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    '' Sobte razms trigonomtricre recpocasl,i-,.i,:t.l:,.':.: ii,.l-.,:,,, " ' lr''i,i lirr:r'.r,:L llEjercicio O Sabiendo que:

    Sen(2x + 1 5")' Cosec 65" = 1Calcular el valor de "x".Resolucin:. Aplicando la propiedad de las R.T. recprocas:

    Sen (2x + 1 5')'Cosec 65o = 12x+ 15o = 65o2x = 50ox=25o

    Ejercicio A Si se cumPle que:cos(zx2 - 3)" ' Sec (2sx + 9)" -'l = 0, xe Z+hallar el valor de "x".Resolucin:

    De la condicin: Cos (r"' -:)''Sec(ZSx + 9)" = 1De acuerdo a la propiedad de las R.T. recprocas:

    7x2 -3 = 25x+97x2 -25x-12 = o7v,+3v/-\-4(zx+ )(* - 4) = o

    i) 7x+3=0ii) x-4=O

    iNo !

    Ejercicio 0 SiTg(2x + 3y - 20")'Cotg(Sx + 3y -50') = 1, hallar elvalor de "x".Razona. Hallar "x" en:

    Resolucin:o De las RT. recprocas:Tg (2x+ 3y - 20")'Cotg (sx + 3y - 50') = 1

    2x +3f - 20" = 5x +.XY - 50o30" = 3x

    x : 10oEjercicio @ Si se cumPle que:Sen(3x +2y-30')'Cosec(*-y+10")=1 1Tg(5x+y+20')'Cotg(x+2y+30')=1 2calcular "*" " "y" .Resolucin: De1:Sen(3x + 2y- 30")' Cosec(x-y + 10') : 13xt2Y-30':x-Yf

    2x * 3Y :40' "'De 2:Tg(Sx+y+20')'Cotg (x+2Y +30")= 15x+y+2Oo=X*2Y+30'4x-Y = 10o"' 4De3 y

    2x+3y4x-y

    10"3

    4:-- 40"

    = 10o2x+3Y = 4Oo(x3) , 12x-3y=30"t M.A.M. 14x -- 7Oo[-3x=--lI 7lF ="])

    4 r ReemPlazando en 3 :z (s") + 40"

    30"10'3y3yv

    Razona. En un colegio se distribuyen 1B alumnos por_cada aula,quedando 6 alumnos de pie; si se distribuyen ]9 alumnospor cada aula, sobran 4 asientos. si se distribuyeran 20ulr*nor por cada aula, 2cuntos asientos quedarn vacos?RPta' 14

    B 3 6 37 6 X 96 9 1B 15 Rpta. x: 12

    Q,into ao de secundaria 213

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    5' Razones trigonomtricas de ngulos corurplementarosCalculemos las R.T. (cx) y R.T. (9) en el tringulo rectngulo mostrado: cx + F = 90o

    )4Sencr=-'257Coscx = -25

    24ls-_7

    Seccr=fs5g6B=4"7

    Seng = Cos ITgo=Cotg0Seccr = Cosec0 cr+B=90"

    Ejercicio O Si Sen (3x + 10') : Cos (2x + 35"),calcular el valor de "x".Resolucin:'" Aplicando la propiedad de las R.T. complementarias:

    Sen(3x + 1 0") = Cos (Zx + 35")(3x + 10") + (2x +35o) = 9go

    5x+45o=90o

    7Cotga=-^255ecCx--7

    25Losec - -24

    O tambin:

    SenB =l-25)ACos B'257T89 = 24

    )ACotgP=?SecB=4'24

    Cosec B =47Observacin

    . | .::::_,: : l: . )4Sena=CosB=1'25', ,. , .,;,,,,':iiif, )ATgcx = Cotgg =:- L:II 7

    7SenB=Cos o-;7TgF = Cotgu= !-

    -n25eCp=LOSeC=:-l24De donde concluimos que: Sen cr y Cos 0; Tg cr y Cotg p; Sec o y Cosec p son razones trigonomtricascomplementarias (O co-razones trigonomtricas) y cumplen la siguiente propiedad: Toda razn trigonomtricade un ngulo agudo es igual a la co-razn trigonomtrica del complemento de dicho ngulo.

    En general: R.T. (0) : Co-R.T. (90'- qR.T. : razn trigonomtrica.Co-R.T. : co-razn trigonomtrica.0 : ngulo agudo.

    5x = 45"x:9o

    . Sobre razones trigonomtricas de nguloscomplementariosEjercicio 8 Siendo rs(*'+sx-1)' = 1, hallarelCotg (6x + 11)'valor de "x". (xe z-)Resolucin:,' De la condicin tenemos:

    TB (*' + 5x - t)' = cotg (6x + 1 1)',,' Por la propiedad de las R.T. complementarias:(*' * sx - r)' + (6x + 1 1)o = 9oo

    214 Quinto ao de secundaria

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    x2 +11x