TRIGONOMETRIA COVEÑAS

7/15/2019 TRIGONOMETRIA COVEÑAS

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I

1. Griterios preliminares

Es el resultado de comparar dos cantidades,esta comparación se expresa mediante el cociente de ellas.

Ejemplo:

Hallar la razón entre los lados menor y mayor del triángulo ABC.

Resolución:

Lado menor: 2m

Lado mayor: 5m

2mRazóntr) =# 0,4

Son aquellos símbolos matemáticos que se apli-can a los ángulos. En este capítulo estudiaremos

seis de ellos.

Es el resultado de aplicar un operador trigonomé-trico a un ángulo.

Número

Angulo

Operador

trigonométrico

Seno -)Coseno -+

Tangente -+

Cotangente -+__-lSecante /

.lLOSeCante '

Sen

Cos

Tan o Tg

Cot o Cotg

Sec

Csc o Cosec

N

t_g -g:



2. Razones trigonométricas en el triángulo rectáng¡¡loEs el valor que se obtiene al comparar por cociente las longitudes de dos lados de un triángulo rectángulo conrespecto a uno de sus ángulos agudos.

Observa

.-.-. -vt¿

TEOREMA DE PITÁCORAS:

SenA= Cateto Opuesto al{A

cton

Catetoopuesto

Catetoadyacente Hipotenusa

Respecto al < A a b C

Respecto al < B b a C

ANCUTOS AGUDOS: m{A+m{B=90o

Cateto Opuesto al{ B

Hipotenusa

. Cateto Adyacente al{ AC^. A

Hipotenusa

Cateto Opuesto al{ A

Hipotenusa

Cateto Adyacente al{ B

Hipotenusa

Cateto Opuesto al { B

Cateto Adyacenteal {BCateto Adyacente al{ B

Cateto Opuestoal{ B

Hipotenusa

Cateto Adyacente al { B

Hipotenusa

Cateto Opuestoal{ B

C

b

C

a

a

a

b

C

a

C

a

C

b

C

SenB=

CosB=

TgB=

Cotg B =

SecB=

Cosec B =

C

a

C

bTgA=

Cotg A =

SecA=

Cateto Adyacente al{ A

Cateto Adyacente al{ A

Cateto Opuestoal{ A

Hipotenusa

b

b

Cateto Adyacente al{ A. Hipotenusa-^.^- A -

-

Cateto Opuesto al{ A

R.r. (p)

)A5enCf =

-25

7LOS CX, =

-25

24lscx-_7

Cotg cr =

Cosec cx =

En la figura:

coseco=13t =Y5m5Cosec 0 = 2,6

Ejemplo práctico:

senB =+ Cots p=+

cos B=# sec B =#

rsP=+ cosec g=+

3, PropiedaGfuirdamentalesdelasrazones trigpnorÉfuücasTrlil,i Los valores de las razones trigono-

métricas son cantidades numéri-cas, es decir, adimensionales (sin

dimensiones), por tratarse de un

cociente de magnitudes de Ia mis-

ma especie.

208 Quinto año de secundaria



ffi Los valores de las razones trigonométricas dependen únicamente de la magnitud del ángulo y no de las

dimensiones del triángulo reitángulo que contiene a dicho ángulo, es decir, que su valor no cambia si Ia

medida del ángulo permanece constante.

B

En el N roc'^3encr=-

5

ACoscr=l

cho triángu lo rectángu lo.

Resolución:

* Del enunciado: (0 < cr)

En el N Rsc'

^93enü=-=-15 s

12.4Loscx,=-=-15 5

93Igü=-=-124

5

3lg0"=4

Ejercicio O Determinar las 6 razones trigonomé-tricas del mayor ángulo agudo de un triángulo rectángulo

ABC, recto en C, siendo: a: 15; b : B.Resolución:

", Craficamos:A

Ejercicio A En un triángulo rectángulo se sabe que

el cateto m.yor es el doble del cateto menor. Calcular

las 6 razones trigonométricas delmenor ángulo de di-

b:B

C

Teorema de Pitágoras: c2 = 152 + 82

c = J2Bg

c=17

z, Notamos: a>b -+ m{A>m<B

, Calculamos las R.T. ({A):

a, Por el teorema de Pitágoras:

pR2= (2u), *(u),

pR = J;* -) pR = ^6a,r, Como "F" es el menor ángulo, nos piden:

senB =L=+-JgV5aJs5

CosB = ? =Z='6 Jsa r/s 5

TeB= u -1r 2a 2

Cateto Opuesto _ 15SenA= Hipotenusa 17

Cateto Adyacente _ BCos A =-

Hipotenusa17

^ Cateto Opuesto _ 15r-^ A _o Cateto Adyacente B

, Cateto Adyacente _ BCots.{= -- (rCateto Opuesto 15

CotgB =4=2a

secB=*=+f=

Cosecg=u'u=6a

Ejercicio @ o"l gráfico,calcular *= Tt"l::f P

fuc cr'Cotg BD

HipotenusaSecA=

Cosec A =

17 C

3

B

Cateto Adyacente B

Hipotenusa =yCateto Opuesto 15

a: 15

Quinto año de secundaria 209



Resolución:o¿, En el N RgC:

a ?or el teorema de Pitágoras:

AC2 = 42 +32

AC = J25

t AC =Jlfs"no = ]-)J 5

lr".o=IlqEn el N nco'Por el teorema de Pitágoras:

AD2 = 52 +122

1 * 1i 16 ,, ,:-,

an Reernplazando: M=* =+-i'*,j6

45Ejercicio @ En un triángulo rectángulo ABC, recto

en B, se cumple que: Tg R = I . Calcular:

Ejercicio O En un triángulo rectángulo ABC,en C, se cumple que: Cos A: 0,96. Calcular:

Tg A+Sec AP_

Resolución:

', Del dato: Cos A

,, También:

252 =a2 +242

a2 =49

cl-/

' Nos piden:

Cotg A+Ccec A

= o,96 = 96 ='4 =b100 25 c

B

lb=24-+J

lc=25

725+_n2424'

2425-

_+_77

A

4

3

32

24D = JTag

Fp=d-+ fto'"tP=T

l.o,sp=+

TgA

4977

4 D- :1--. .t,.t,,.:1,.2'll

9a \40c f u=n

Ic=40

Ejercicio O Del gráfico, calcular: K : Tg a + Tg p

A 4JlResolución:oo, En elN ngo:

z+ Etr el N RBC:

r, En el gráfico:

BD2:AD2-AB2BD2 -_ 52 _ 42

BD:3BC2:AC2_AB2

. _.)BC2 : (+Js )-

_ o,BC:B

B

E*

Resolución:

n, D"lenunciado:

', También:

b2 =g2 +402

b=ú681b=41

', Nos piden:

¡)

¡i)

:F

40 41_+_99* ,"E'!'4,.,J

41 (Sen A + Cos A)

Cotg A+Cosec A

B c:40




Ejercicio O A partir del gráfico, indicar las

razones triglnométricas de los ángulos "uy 0"C

Ejercicio g De la figura, calcular el valor de:

B

Tg0 - TgaK:-

Sen0

:i::'l :ir. :i ::',li li:,]': ' i i r: ',r

Ejercicio g En un triángulo rectánguloABC.(B : 90') Se tiene que: b : 3a.

Calcular las 6 razones trigonométricas del ánguloA.

Resolución

Ejercicio !l En un triángulo rectángulo ABC,

recto en "C" , se tiene que:

J6CosecA: ^.Calcular el valor de: E : CosB ' Cos A

Resolución

Rpta: t: JilZpta: R : 1

Ejercicio ftl En un triángulo rectángulo ABC

recto en B, se cumple que:Cosec'A:1,666...Calcular elvalor de:

BTgA - 5CosCN: 3l3c-ssenA

Resolución

Ejercicio @ Del gráfico, calcular el valor de:

6 : ^,frgg:CosB

B

Resolución

Rpta: C : 615

c:60Sencx: lSen0:Cosg: lCos0:Tga: lTg0:Cotga:

lCotg0:Secs: lSec0:Cosecg: lCosec0:

18

D-{

Rpta: N : 3




ruEjercicio O En un triángulo rectángulo (rec-

to en B) señmple que:

SecA'SecC : 2,5

Calcular el valor de:

E:Seccr+Tgu

ación

Sencr.Cosec a=9.8=l13 12

coscr.secu=+.p=r13 s

Tgcr'Cotga =+'!=tDe donde concluimos que: Sen cx y Cosec cx; Cos cx

y Sec a; Tan cx y Cot ü son razones trigonométricas

recíprocas y cumplen la siguiente propiedad:El producto de 2 razones trigonométricas recíprocas

es igual a la unidad si y sólo si están aplicadas a unmismo ángulo.

Sen x'Cosecy = 1

Cosx'SecY=1

Tg"'CotgY

= 1

Ejercicio A Deltriángulo rectángulo mostra-

do, calcular el valor de:

Y-(SenA+SenC)2Resolución(2x+2) Resolución

Rpta:Ff3Zl

Razones trigonométricas recíprocasCalculemos las R.T. (cr) en el triángulo rectángulo mostrado:

Observ

;.ffi

Rpta: M:l^el

4"

Seng=

Cos cx =

Tgo =

Cotga =

^13ec cr =-5

13LOS€CC[ =

-12

12

5

5

12

12

13

5

13

Nota

E

x:y

Sen s.Cosec cr ='1

Coscr.Seccr = 1

Tga.Cotgcr = 1

[*no - 1

J Cosec a

la*".cr= 1

I Sena

[.*o - 1

I Seccx

11 5ec o¿ =-I Cosa

(- 1

J 'to=corgs

l-n"=+




'

' Sobte razms trigonométricre recípocasl,i-,.i,:t.l:,.':.: ii,.l-.,:,,, " ' lr''i,i lirr:r'.r,:L

ll

Ejercicio O Sabiendo que:

Sen(2x + 1 5")' Cosec 65" = 1

Calcular el valor de "x".

Resolución:

. Aplicando la propiedad de las R.T. recíprocas:

Sen (2x + 1 5')'Cosec 65o = 1

2x+ 15o = 65o

2x = 50o

x=25o

Ejercicio

ASi se cumPle que:

cos(zx2 - 3)" ' Sec (2sx + 9)" -'l = 0, xe Z+

hallar el valor de "x".

Resolución:

De la condición: Cos (r"' -:)''Sec(ZSx + 9)" = 1

De acuerdo a la propiedad de las R.T. recíprocas:

7x2 -3 = 25x+9

7x2 -25x-12 = o

7v,+3v/-\-4(zx+ ¡)(* - 4) = o

i) 7x+3=0

ii) x-4=O

iNo !

Ejercicio 0 Si

Tg(2x + 3y - 20")'Cotg(Sx + 3y -50') = 1, hallar el

valor de "x".

Razona. Hallar "x" en:

Resolución:

o De las RT. recíprocas:Tg (2x+ 3y - 20")'Cotg (sx + 3y - 50') = 1

2x +3f - 20" = 5x +.XY - 50o

30" = 3x

x : 10o

Ejercicio @ Si se cumPle que:

Sen(3x +2y-30')'Cosec(*-y+10")=1 1

Tg(5x+y+20')'Cotg(x+2y+30')=1 2

calcular "*" " "y" .

Resolución:

¡ De1:

Sen(3x + 2y- 30")' Cosec(x-y + 10') : 1

3xt2Y-30':x-Yf2x * 3Y :40' "'

De 2:Tg(Sx+y+20')'Cotg (x+2Y +30")= 1

5x+y+2Oo=X*2Y+30'4x-Y = 10o"' 4

De3 y

2x+3y

4x-y

10"

3

4:-- 40"

= 10o

2x+3Y = 4Oo

(x3) , 12x-3y=30"

t M.A.M. 14x -- 7Oo

[-3x=--lI 7l

F ="])

4 r ReemPlazando en 3 :

z (s") + 40"

30"10'

3y

3y

v

Razona

. En un colegio se distribuyen 1B alumnos por_cada aula,

quedando 6 alumnos de pie; si se distribuyen ]9 alumnos

por cada aula, sobran 4 asientos. si se distribuyeran 20

ulr*nor por cada aula, 2cuántos asientos quedarán vacíos?

RPta' 14

B 3 6 3

7 6 X 9

6 9 1B 15 Rpta. x: 12

Q¡,¡into año de secundaria 213



5' Razones trigonométricas de ángulos corurplementarñosCalculemos las R.T. (cx) y R.T. (9) en el triángulo rectángulo mostrado: cx + F = 90o

)4Sencr=-'25

7Coscx = -25

24lsü-_7

Seccr=fs5g6B=4"7

Seng = Cos I

Tgo=Cotg0Seccr = Cosec0

cr+B=90"

Ejercicio O Si Sen (3x + 10') : Cos (2x + 35"),

calcular el valor de "x".

Resolución:

'" Aplicando la propiedad de las R.T. complementarias:

Sen(3x + 1 0") = Cos (Zx + 35")

(3x + 10") + (2x +35o) = 9go

5x+45o=90o

7Cotga=-

^255ecCx--7

25Losec ü - -24

O también:

SenB =l-25)A

Cos B'257

T89 =24

)ACotgP=?

SecB=4'24

Cosec B =47

Observación. | .::::_,: : l: .

)4Sena=CosB=1'25

', ,. , .,¡;,,,,':iiif,)A

Tgcx = Cotgg =:- L:II7

7SenB=Cos o-;

7TgF = Cotgu= !-

-n25eCp=LOSeCü=:-l24

De donde concluimos que: Sen cr y Cos 0; Tg cr y Cotg p; Sec o y Cosec p son razones trigonométricascomplementarias (O co-razones trigonométricas) y cumplen la siguiente propiedad: Toda razón trigonométricade un ángulo agudo es igual a la co-razón trigonométrica del complemento de dicho ángulo.

En general: R.T. (0) : Co-R.T. (90'- q¡

R.T. : razón trigonométrica.Co-R.T. : co-razón trigonométrica.

0 : ángulo agudo.

5x = 45"

x:9o

. Sobre razones trigonométricas de ánguloscomplementarios

Ejercicio 8 Siendors(*'+sx-1)'

= 1, hallarelCotg (6x + 11)'

valor de "x". (xe z-)

Resolución:

,' De la condición tenemos:

TB (*' + 5x - t)' = cotg (6x + 1 1)'

,,' Por la propiedad de las R.T. complementarias:

(*' * sx - r)' + (6x + 1 1)o = 9oo




x2 +11x-80 = 0

x \ n+16*A -5(x+16)("-5)=o

. Ii) x+16=o +p1q]iNot---)

{iir x-5=o -f=slx=5

E.iercicio B Si se cumPle que:

Sen (2x +y+ Bo) : Cos(x + 2Y + 16") 1

Sec (2x + 3y - Bo) : Cosec (x + Y + 20") ... 2

calcular "x" e "Y"

Resolución:

. De 1 : Sen(2x+y+B')=Cos(x+2y+16")

(Zx +y + B') + (x + 2Y + 16') = 90o

3x+3Y =66"

x+y --22"... 3

o De 2 : Sec(2x+3y-B')=Cosec (**y+20")

(Zx + 3y - S")+ (x + Y + 20') = 90o

3x+ 4y =78" 4

4x - 3x: 10

-E=go Reemplazandoen 3: 10o*y=22"

Y =12"

Ejercicio @ Si Tg (2x+1s")'Tg s1o -- 1,

hallar el valor de "x".

Resolución:

r De la condición: Tg(2x + 15o\ - 1

'- Tgt.''

Tg(2x+ 15")=

Cotg 51o

+ 2x+15o+51o=90o

2x-24x =12"

Tg 0'Cotg 0 =

Cotg 0 =

. De 3 y 4:

X+Y =22o

3x+ 4Y =78"

(x4)

Rpta: x:3y1

Notag

4x+4y=BBo

3x+ 4y =7Bo I

1

1

Tgo

ffiEjercicio G Si: Cos(3x-10') 'Sec 50' : 1

Hallar el valor de "x".

Resolución

Eiercicio Q| Hallar los valores de "x" que

verifican la @raldad:

3)" ' Cose c(2x2 * 3)" : 'lSen (Bx -

Resolución

Rpta: x:20o




ffiEjercicio I Calcularx e y si:

Tg(3x - y)" 'Cotg(2x + 3y + 10)' : 1 ... (l)

x + 2Y : 70o... (ll)

Resolución

Ejercicio O Se cumple que:

Tg{2a -B + 10") : Corg(a + 29 - 5') ... (l)

Sec(cx + 15') : Cosec(2p + 30') ...(ll)

Calcular el valor de cx y B.

Resolución

Rpta: u.: 25" Y F: 10'

tjercicio e Sabiendo que:

Tg (2x-y)'' Cotg7O" : 1 ...(l)

Tg(x + y)' : Cotg40" ...(ll)

Calcular el valor de x e y.

Resolución

Rpta: x:4oo ,y:10"

Ejercicio f;! Si:

Sen (5x *40') : Cos (2x -10o), hallar el valor de,rxrr.

Resolución

Rpta: 20"

Ejercicio 0 Calcular el valor de "x", si:

Cos(2xx + 19)'. Cosec(xx - 10)"- 1 : 0

Resolución

Rpta: x : 3

Ejercicio @ Si se cumple que:

Cos40o'Cotg(2x + 10') 'Cosec50o : Tg3x

Calcular el valor de "x".

Resolución


Rpta: x : '16o



. Gasos que se Presentan conen la resolución de triángulosPrimer caso

Datos: Hipotenusa"c" Y un ángulo "u,"

mucha frecuenc¡arectángulos

Datos: Un ángulo agudo "a" y su cateto opuesto "a 'i:

lncógnita: Expresar los catetos en términos de lncógnita: Expresar el otro cateto y la hipotenusa en tér-t'c" y " u."

En el N gCR'

l) Sen cr = 99CB

minos de "a" y "a".

En elN BCA:

ABl) Co sec

BC = c.Sen cr

AC = c.Cos cr

Tercer caso

Datos: Un ángulo "a" y su cateto adyacente "b"'

tncógnita: Expresar el otro cateto y la hipotenusa en

términos de "a" y "b".

En eI \ BCA:

ll) Corgo=49

AC = a'Cotg cr

Ejercicio A De la figu-

ra, hallar "AD" en términosde "a", "g," y "F"

Resolución:

a, E(rel N goc: Sen o =BD -+

a

En el NRos: rsF = P -+'BD

a

AB = a .Co sec ü,

ACll) Cos crC

Ejercicio O Delgráfi-co, hallar "AH" en términos

de "a" y "a".

a-------*Resolución:

,¡, Enel N BAC: Seno =AB -+ AB = a'Sen c[,

a

BHC+- a -----------.1-

t) secg = + ll) Tgu= BCt

AH =19.Coscr

AH = a Seno'Coscr

BD = aSencr

AD=BD.TgB

AD-aSenu Tgp

En el N RHe'AHLosü,=-AB




Ejercicio A En el gráfico, hallar tt\Dtt en términosde "a" ; "cr" y "e"

Resolucién:.' Enel N

,, Enel N

^cCD:Cotg a = 1'-a

BCD:Tgg=E!'a

ABlgcr=-a

B

-+ AB=aTga

-+ AD = AB .Cos 0

AD=aTgcr.Cos0

A1/ ls T aCotgo

"4.'fl1--

B¡.-,N.^/'"\

Resolución:

En el \ ABC:

Enel Nnog:Coso=ADAB

Resolución

Ejercicio S En la figura, hallar BH, en térmi-

nosdeayü.

B

Ejercicio @ En la figura, hallar'AB" en términos de " a" , " a" y "9" .

En la figura: AB=AC-BCAB=aCotgcx-aTgB

AB = a (cotg cr - TS 0)

f.'...i...'.....'l'l.l.]

Ejercicio Q! Delgráfico, hallar BC, en térmi-

nos de a, ay0

--) AC = a.Cotg u

-+ BC = u Tg0

A


Rpta: BH : aTg2u Rpta: BC : aCoseccx .Cotg0



ruEjercicio O De la figura, hallar AB en térmi-

nos de ay aEjercicio g En el gráfico, hallar AE en térmi-

nosdea;a;$y0

Resolución

Rpta: AB : aCos3 cx Rpta: AE : aTg0 ' Seccr' SenB

Observación

al En trigonometría, los operadores no

operaciones algebraicas con ellos, de

C.on AJLrrv= Sen -+ (Absurdo)

e

tienen significado por sí solo, ni tampoco se puede realizar

manera que, es absurdo, considerar las operaciones'

' Sen (a) + Sen (9) + Sen (cx + P)

b1 ) que las razones trigonométricas son números, luego con ellos se puede operar así:Se ha demostradc

f) 5 SecB-3 Sec B+2 Sec 9=4 Sec P

ll) (: Cotg a+2 Cosec o) Sen cr = 3 Cotg cx'Sen a+2 Cosec cx'Sencx

= 3(cosu) r"n a+2( :-l''"n ü = 3 cos cr+2

[SenuJ lsenüJ

Tenga cuidado con la equivalencia. Senn ¡ : (señ x)n; la primera se utiliza continuamente, pero la

seg,Jndu no, porque se corre el riesgo de concluir que:

(Sen x)n = Sen xn -+ y esto es incorrecto'

Quinto afro de secundaria 219



lBrkEjercicio O En untriánguloABC, rectoenC,secum-

ple que: Cos A =tt: t

. Calcular P : SecA - Cotg B.5

nl 16-z sl J5-l c) 16+1D) ..6+z E) ..5*s

Resolución:

r Del enunciado:

B

o Por el teorema de Pitágoras:

a2 +b2 = c2

a2 +b2 = 5b2

a2 - 4b2

a=2b. Nos piden:

P=SecA-CotgB

o-c a

bbp=6b -'b -b

A) .6 B) J7

Resolución:

o Tenemos que:

cos A --Cosec B

5

C

q= bc5

5b2 =c2A .5b=.

Ejercicio A Si Cosec o : B; (cr : agudo), calcular el

valor de: r =][c"ts]-c** ")

P'+ :'i''i Rptu. A

c) 2J7 D) 3J7 E) J7 - J5


ü,b+cbcCote: = =_* - =Cotg Cr+Cosec Cl¿"2 a a a

cots * = Cosec cr + Cotg u"2üo También: fS i = Cosec cr-Cotg cr2

At\l[,,N[j",it.BzJTc

r =l t:,fr-co,". o]

r = ] fcoseco + Cotg cr - Cosec a]

1

E=jCotga1_

E = I .ZJl -+3

Ejercicio O En un triángulo rectángulo ABC(f : 90"), sé cumple que: a2 + b2 + c2 : 2O m2; yCotg A : 9 ' Cotg B. Hallar el área de la región triangular

En el problema:

BC2 =82 -12

BC = J63

BC = 3J7

ABC.

A) 0,25 m2

D) 1m2

Resolución:

. Delenunciado:

.ür'ü'br"

. Del dato:

. Además:

E = J7 Rpta. B

C) O,75 m2) 0,5 m2

E) 1,5 m2

CotgA=9CotgB

!=nle)a (.bl

b2 - 9a2

b=3a

AbC

a2 +b2 +c2 -20+c2 =20

c2 =10c=úo

,2



o En el N gro:

Sec cr =BD -, BD = EB.Sec crEB

BD = a Cos2tx Secs, Rpta. C

Ejercicio O En un triángulo ABC, recto en "C" se

Tg A'Cotg B TgB'Cotg Atleneque:

1-sen A =-:-cosB

"Tg A + Tg B"

Reemplazandoen: a2 +b2 = c2

a2 +ga2 = 10

1oa2 - 1o

a=1 rll} b=3

Nos piden: S NABC = ub = 1'322'sNABC = 1;5 m2 Rpta. E

Tg A.Cotg B _ TgB'Cotg A

1-Sen A 1-Cos B

Ejercicio @ En la figura, hallar "BD" en términos de,,a,, y ,, a,, .

A) a Sen a Sec 2cr

B) a Sen 2cr Sec a

C) a Cos 2o Sec o

D) a Coscr Sec 2cr

E) a Cos cr Cosec 2cr

Resolución:

a .cos 2cr

E

Delgráfico:

Se prolonga CD hasta un punto "E" tal que CEIBE,además: 0+cx:90o.

En elN BEC: Cos 2cr = Eq + EB = a Cos2üa

A)1 B)2

Resolución:

o De la condición:

c) 3 D) -1 E) -2

a

o

. Obtenemos:

a.a bbb b --q a-

lr-s) lr-g)t c) ( c)

u2 b2J = 7+aa = b4b- a'

. De la expresión incógnita:

"Tg A + Tg B"; obtenemos:

a=b... I

TgA+TgB=l*9 llcrba

. Reemplazamos I en ll :

rgA+TgB=f *f ='' +1=2bb

rs Íjif+$i$i li Rpta. B

E.iercicio @ En el gráfico, hallar "x" en términos de

"u" y "0"

A)aTg0'Sen20C) a Sen0 ' Cos 0

E)a Cos 0 ' Sec 20

Resolución:B

B) aTg0'

Sec 20D) aSen0'Sen20

2e-DA=DH a'Tg 0

20; i Rpta. B

/A

o Enel NOgC: Teg=P=BD')BCaa'Tg 0=BD --> DH=a'Tg0

En el NnHO' Sec

u.fg o.Sei




Ejercicio O Del gráfico, obtene r "Tg Q"

H

J7 tz c) J7 13^)

J7

C

B) D)J7t4 E)J7ls

Resolución:

r En el N CBD:

/NPor elteorema de Pitágoras: BC2 = 82 -12

BC = J63

BC = 3J7

r En el N CBA: Tg0 =;: = *

i*l-;.r '

Rpta. C

Ejercicio O Si se cumple que:

Sen (x + 10") ' Cosec (3y + 20') : 1 ... 1

Tg(2x+Y) 'Tgx:1 ...2calcular x - y.

A) 26" B) 24" C) 22" D) 20" E) 1 B"

Resolución:

q De 1 : Sen(x + 10").Cosec (¡y * 2o') - 1

x+10o =3y +20"x-3y=10o... 3

* De 2: Tg (zx+y)=+r8 x

Tg (2x + Y) = Cotg x

2x+y*x=90o3x+Y=90o...4


* Resolviendo 3 yA:x-3y = 10o------f x-3Y = 10o

I *3x + Y = 90'gqg":-il-:ZO' I -

10x = 280"

^=?8"a Reemplazandoen 4: 3(28') *y=90o

84"+Y=90o

Y =6"

, Nos piden:

Ejercicio

Siendo AP bisectriz.

A) 1 A

B)2

C) 3 1s

D)4

E) s B

Resolución:

*" En el gráfico:

Por Pitágoras:

BC2 =3g2 -1s2BC = JT2%

* Por la propiedad de la bisectriz:

BP PC

x -y -2Bo -6ox-y =22" RPta. C

Delgráfico, calcular:

E=2 Cotg e-ú3 Sen 0

BP\

15

36-BP

1s 39 s 1313BP=180-5BP

- [,8.' il

w En el N ABP: AP2 = 152 + 1o2

AP = JnsAP = s ú3



Nos piden:

Ejercicio

@P -

T87*Cotg 6x

B)0

Resolución:

u Del dato: Sen 9x

9x+ 4x

13x

E-2f]I)-r'l-gl- L (.rJ "'-[ t {-) )

E=3-2 -) E=1 Rpta.A

Si Sen 9 x - Cos 4x : 0, calcular

c)1 D)2

= Cos 4x

= 90o

= 90o

E)'',/,

w Pero: 7x+6x = 13x

7x+6x = 90o

R.T(7x) = Co - R.T. (6x)

TgTx = Cotg 6x

TgTx _1Cotgi* - '

P: 'l Rpta. C

Ejercicio @ En un triángulo rectángulo ABC,.lecto

en B, se sabEque el perímetro es igual a Bm. Hallar la

hipotenusa, sabiendoque se cumPle:

(t + sen A) (1+ Sen C) = :B

9169169A)o u) n c) G D) T E)t

Resolución:

* Craficando: (

Teorema de Pitágoras a

a2 + cz = b2 B

* Del dato:

a+b*c=B

,--b2- (a+b+.)2 =(B)2t_ _La2 +b2 +12 +2ab+2ac+2bc-64

2b2 +2ab+2ac+2bc-64

b2+ab+ac+bc=32

* Además:

(t + Sen AX1+ Sen C) = ;

[,.;) ['.;)= ;

(b+a)(b+c)=962

b2+ab+ac+b.=9b2

32

B

9. -t

= -b-B

W.!e

b, = 19 RPta' D

r,:ii-*'

Tg20 - 2 rg0.jercicio @ De la figura, hallar R:

A) 112 B) 1

Resolución:

E) 314

Observamos: A ADP: lsósceles

<DPA:{ DAP:0

También: < BDE :20 ({ exterior)

Enel N DBE: Te2o-a+b)a

Enel NRec' Tso- bu2a

Nos piden:

R-a+b-rlg)a \2a)

*-a+b-b -+ ft+1 Rpta.Ba




Ejercicio O En un triángulo rectángulo ABC,recto en C, se cumple: Tg B : 2 Sec A. Calcular

E : Cosec2 A-2 Sec B

Resolución

t,',,, I ,':: , :r ', :

',.' . t-,. t'.

t, a''t,..,

,

Ejercicio ffle

cular 3 TS :IResolución

Si Tg 0 : 2,4 (0 : 4 agudo), cal-

Ejercicio O Del gráfico, calcular "Tga,"

Resolución

Ejercicio O En un triángulo ABC (C : 90o)se verifica que: Tg B : Cos A (4 - Cosec A)

Calcular R: TgA * Cosec B.

Resolución

Rpta: rEJ'

Rpta: 7

Ejercicio E Si Sen (3x + 1 0") : Cos (x * 12"),calcular el valor de:

Cos (3x - 2)".Tg (3x - 1)"_Sen x .Tg2x .Cotg 46o

Resolución

Ejercicio fi!ls. /x

S¡ aü 10x= 1, calcular


Rpta: Tan 68" Rpta: 0



Ejercicio O

Resolucién:

De la figura, calcular elvalor de:

P:TgB'TgCB

tjercicio @B

Del gráfico, calcular "f 90"

Resolución:

Ejercicio @ De la figura, calcular:

n Cosec0-fSFt

--Cotg P-Sec a

razones trig;nométricas

rJI+-- e ---F 6-l- B

C

Nivel I

c) 2,4De Ia figura, calcular:

IB

D) 2,5E) 2,8

D

Ejercicio O

A)2

B) 3

c)4D) s

E) 6

A) 3/13D) el13

Eiercicio g

- TgcrF--

Tgo

De la figura, calcular:

E=Tgcx*SecoB

A) 1,8 B) 2,2Ejercicio Gl

Ejercicio g En un triángulo rectángulo ABC, recto

en B, se cumple que: Cotg X=a

CalcularM:SenA-SenC

A24BA) O,2 B) 0,3 c\ a,4 D) 0,5 E) 0,6

Ejercicio @ Calcular "x", siendo:

Sen (4x + 12'): Cos (3x + B')

A) B" B) 9" c) 10"D)

12"E) 15'

Ejercicio @ Calcular "x" sabiendo que:

Tg (2x + 17')' Cotg (x + 34') : 1

A)12" B)13" c)15' D)17" E)18'

Ejercicio @ Sabiendo que:Tg (x f Y) : Cotg 40' ... 1

Sen (x - Y) ' Cosec 30o : 1 ...2Calcular x/y

c)3 D)4 E) s

B) s/13E) 11113

Delgráfico,

c) 7113

calcular:

B) 3

C

II

Li

:) €6

B

E

Sen g+Cos0

A) z c)4A) 1 B)2

Suinto año de secundaria 225



Ejercicio s} Del gráfico, hallar "x" en términos dett a't y tt a't

cA) a Sen a'Tg a ,/17B) aSencx'Secc¿ /r/ ll

D) aCos*.",r** AIE) aSeccr'Coseccr A B

Ejercicio @ Calcular "x" entérminos de"a" y "O"

C

;l :[::;;:'¿L,, ,41

C) a Cos cx ' Cosec cx

D) aCosa'Cotga

C) a(Sec0-Tg0)D) a(Cosec0-Sec0)E) a (Cotg 0

-Tg 0)

a¡--* -1e

a

a

ltB

1. A

2.C

Clave de respuestas

3.A s.E 7. D

4. D 6. C B.D

Nivel ll

9.D10. E

Ejercicio O En un triángulo rectángulo

ABC (C - 90o), se cumple: Sen A .Sen B =

B) 0,5 c) 1,25 D) 1,5

6 En el gráfico, calcul ar "Tga"

4

ICalcular: E = JCoGÁ+Corg B

A) 0,25

Ejercicio

A) 213

B) 312

c) 314

D) 413

E) 112

Ejercicio B"Cotg0"A) 1

B)2

c)112

c) .6

D) G'2

E)2

En la figura, CM es mediana. Calcular


Ejercicio @ En un triángulo rectángulo lahipotenusa mide el triple del cateto menor. Calcular la

tangente del mayor ángulo agudo de dicho triángulo.

^)J, B) 2J1 c) 3J1 D) 2

Ejercicio @ Simplificar la expresión:W = Sen 20'.Tg 40o.Tg 50"'Sec 70o

A)O B)1 C)Tg20'

E)4

K_Cos 65o + Cotg 55o + Cosec 66o

A) Tg 84' B) Cotg 84' C) 2 D) 1 E) O

Ejercicio A En un triángulo rectángulo, el períme-

tro es igual a 90 cm y el coseno de uno de sus ángulos12

agudos "r 13. Hallar la longitud de la hipotenusa de

dicho triángulo.

A) 13 B) 26 C) 39 D) sz E) 6s

Ejercicio !} Si Cos (2x - 0) ' Cosec (x * 30) : 1,

Sen 3x -Cos 20calcular P -

-

' Tg(x+o)

D) Sec 20'Ejercicio fil

A) o

Ejercicio

A) 112

B) 314

c) 1

D)2

ilJ'Ejercicio

A) 1

B)2

c) 2,5

D) 3

E)4

1. D

2.D

E) Cotg 40'Reducir la expresión:

Sen 25o+Tg 35'+Sec 24o

B) 1 C)2 D)112

g A partir del gráfico, calcular:

M=Cotgcr-Tg0B

Clave de respuestas

3.C s.B 7. C

4. B 6. D B.A

n 314

Delgráfico, hallar W = T8 20.Cotg 0

E

9.C10. D



Nivel preuniversitario

Ejercicio O En un triángulo rectángulo

ABC (B : 90o), se cumple que: Sen O =3=,:18jCosec C

Hallar el valor de: U - Tg A + Tg C

A) 1 B) 3 c) s D)4 E) 1,s0

Ejercicio A Sabiendo que:

r-Sec0 442 =2s"ce;(o: {agudo)

Calcular el valor de: E -gTg20-^,F Cosec 0

A) 1 B)2 C) 3 D) 4 E) s

Ejercicio A En un triángulo rectángulo, el cuadra-

do de la hipotenusa es al producto de los catetos como

13 es a 6. Hallar el valor de la tangente del menor án-

gulo de dicho triángulo.

Ejercicio g En la figura: Cos 0 =

Hallar "AB" .

A) 12

B) 13

c) 1s

D) 16

E) 18A

A) 114 B) 413 C) 213 D)

Ejercicio $| En la figura, Tg 0 =

M : CotB cr f Cosec cr

A) 415

B) 3/s

c) 213

D) sl4

E) sl3

Ejercicio p Del gráfico mostrado, hallar:

S:OA+OB+OC+OD+.....

5

13;AD : 52 m.

2 E) 314

. Calcular:

Jl,

3

7

B))

C)

E)

1-Sen 0

1+Sen 0

1-Sen 0

1- Cos 0

1- Cos 0

1+Cos 0D) 1- Cos 0

& A partir del gráfico,

2+Tg0.

A

1+ Cos 0

Ejercicio

hallar E :A) 1

B) \6C) \6D) J6

E) 2JIEjercicio

A) 2ls

B) 314

c) 4ls

D) 2le

E) 317

Ejercicio

^)J'

J14

E) 4J'

Ejercicio

A) 10

B) 11

c) 12

D) 13

E) 14

1. B

2.c

B) €2

U 2J'

ADB

+-4En la figura, calcular el valor de:

"Cotg a"1E

g Del gráfico, calcular el valor de:

"Cotg e" (O y Ol: centros)A

T------.-l,/\[$B

C

2

C

3

De la figura, hallar el valor de:

n 13 C¡sec u-12Cotg Pt

--

O

C¡tg o

Il\'-=''¡l \/lL ' t

A+- 5-----t

C

Clave de respuestas

3.E4.C

s.E6.8

7. c 9.4B. E 10.C

T1

i




7. Estudio del triángulo pitag oricoTodo triángulo pitagórico tiene sus lados expresados pornúmeros enteros positivos. Dichos lados tienen la siguien-te forma:

Siendo "^" y "n" números enteros positivos.

Además: m > n

Observación {

Ejemplo: Cuando: m : 5 y n : 2

ON

lt

NXro

N

*-22:zl

2mn

(n? - n2)

Si elegimos valores de "m" y "n" (números primos enteros entre sí) tal que (m * n) resulte unnúmero impar, se obtienen triángulos pitagóricos cuyas medidas de sus lados también son númerosprimos entre sí.

Ejemplo: Cuando: m : B y n : 3

oO=tlt

aXI

N

82- 32: 5s

Observacion 2,WCuandolosvaloreSde,,m,,Y,,n,,(nosonprimosentresí)ocuyaSumade,,m,,y,,n,,SeaUnnúmero

M pur, se obtienen triángulos pitagóricos cuyas medidas de sus lados están expresadas por númerosw¿w¿ffi' que tienen un divisor común.

Ejemplo: Cuando: m : 4y n : 2 Ejemplo: m:7yn:3

rlt

NXvN

uando:

N$

il

GX5N

>?\X

t1

,1:2

Cuando se tiene dos números enteros (m y n), pero consecutivos; entonces se cumplirá:

k2+1 k2-l . r ,m-- y n=-j ;siendok:#impar.

22Luego:

@2- rl )

Ejemplo:

Cuando: k : 5

:il

-l-' l^

nl

52 +113

2

Ejemplo:

Cuando:k:11

rI

e'l-)¿

k2 +1 _u,

42- 22: 12 72- 32: 40




g. Razones trigonométricas de ángulos especialeso notables

Sean los catetos del N ABC: r+-B.G "l-

Por el teorema de Pitágoras:

AC2 =AB2 +BC2

AC2 -É +É -2É

de 45'.

sen45o =h=+=+-+ cosec 45o =i={=O

cos 45o = /=- + --J-? -> sec 45o = + -* = O-\'JTJ -,LJ1-O- 2 'vvv J1 2

rg 45' =f=1=. -+ cotg 45o =1 - I

Luego, calculamos las razones trigonométricas del ángulo

AC = Jrt --lrJÉ

BC2 -BH2 +HC:

ú =BH2*lI'l' -Lrr' 'IrJ

ú =BH2 *L -C -L= BH2 -t= BH2444

para hallar las razones trigonométricas de 30" y 60", construimos un triángulo equilátero, veamos:

En el N BHC, calculamos BH, por el teorema de Pitágoras:

B

A--H c

Luego, calculamos las razones trigonométricas de 30'y 60'en el ABHC'

LSen 30o -Z-L

J-tv

cos 3oo =+=

L

rg 3o' =h=+=2

cte 3oo - a= 3S=J¡3

Sec 30o -+=

Csc 30'= 31

J-tv

Sen 60o = 2, - '6L2

v;1

Cos 60o - =- =t/)L

JTv

Tg6o'=+=",5tla

cts 60o -1'/ r

U3

Sec 60o = 2

csc 6oo =2Jt3

s3




Sen 37"

Cos 37o

Tg 37"

Cotg 37"

Sec 37o

Cosec 37o

ASen 53"

5

Cos 53o = 3'5A

Te 53ou3

Cote 53o =3

U4

Sec 53o - 5

3

Cosec 53' = I4

_ Fl-'.-r5t \,/

=vt-i3-i'td \.,'f4l ,/'-^

- t-l ./

B{=ff'.-_t-5] ,/\l;v

lJt

Sen 1 6o

Cos 1 6o

Tg 16"

Cotg 16'

Sec 16o

Co sec 1 6o

)ASen74"

25

Cos 74o - 7

25)A

Ts 74"o7

Cotp 74o -l-)24

Sec 74o --257

cosec 74" =U24

_tri..-l25l \,/_w/\\Wr*=-ll/ñ

=124li \,tE^-l ,/\-Er

_ lzsJ.-W

w,/\Er

Para hallar las razones trigonométricas de los ángulosde 15' y 75'tomamos como referencia el N nota-ble de 30'y 60", luego prolongamos AB (como semuestra en la figura) hasta obtener un triánguloisósceles EBC, siendo: EB : BC: 2.

En el N fAC, calculamos el valor de "x" por mediodel teorema de Pitágoras.

^' = (2* Jt)' * (1)' -+ x2 : 4+ +Jj +Jj2 +tx2=B++Jj

' t i---*, =JB ++Jj-+ ,¡=' .i i'

E

-I-li

i

2

B

lca

A

EC2 =EA2 +AC2




Luego, calculamos las razones trigonométricas de 1 5" Y 75"'

1

sen 15o ='!-6 ¡ "l-2

znJ3Cos 1 5o

Tg 15'

Cotg 15'

Sec 1 5'

Cosec 15o =

.Jo +

Ji1_

-:

- z+Jl_z+^11 _

1

4

Jo +.Jz

4

Sen 75o =

Cos 75o =

J-o + Jj4

J6 -J,4

fg75" =2+$

Cotg 75' -2-Ji

sec 750 =J-a * J1

Cosec 75o = J6 - J1

I _

-ilJa - Jzl= l_i_____-_____i_t--I + lll

-lt

.-.-------..-.--._tl

_lJo+J, i lL* i

-i-'-(z..,6)

J6 -J,

Para hallar las razones trigonométricas de los

ángulos de 22'30' y 67'30' tomamos como

refÉrencia el Nnotable de 45', luego procede-

mos de igual manera que en el caso anterior'

En el N f SR; calculamos el valor de "x" por

medio del teorema de Pitágoras.

EA2 =EB2 +BA2

^' = (Jr+ r)2 + (r)2

x2 - 2 + zJl+ 1 + 1 = 4 + zJl = z(z+ Ji)r._-..-:

- J, ,lz + "lz

-+I c.l

t;

C

1

B

Sen 67o30' =

tr-tlz+ 42

1

r-'--"--'--:

^lz- Jz

Luego, calculamos las razones trigonométricas de 22"30', y 67"30',

z(z + J2)

Sen 22o30'

Cos 22o30'

Tg 22"30'

cotg 22o30'

Sec 22o30'

1,

-\Jz (Jz . Jr)

"12+1

J1 +1

J2 +t

Jr(.re)Cos 67o30' =

Tg 67"30' = Jl+l

Cotg 67"30' - Jl-l_lr-.---:\

sec 67030' = Jzlíz+Jz I\: t

Cosec 6T%a' =.8(.8:iE)

r1(Jr:T'

r, (Jt.T4osec 22o3O'=




ObservaciónPara calcular las razones trigonométricas de la mitad deun ángulo agudo vamos a tener en cuenta lo siguiente:

Ejemplo: De la

A

\

t\,,"L \sc

figura, hallar: " Tg

cr 12 12t^

'61- 13*5-

1B

c[

2

Tg ü2-=-3

CX, A

-=- c+b Tg

Para hallar las razones trigonométricas de los

ángulos de 26"30'y 63"30'tomamos como re-ferencia el Nnotable de 37" y 53" procedien-do como en el ejemplo anterior.

Tg153' t

Ir]Tg 26o30'

A partir de este resul-tado construimos el 1

triángulo rectángulo:

1

2

.6 I

Sen 26'30 =;f,=TI

,"r 63.30,=+=+

2JsCos 63.30 ,

= += fvssTg 63'30' =1=,

..6

Tg 26"30' - 1

Cotg 26'3 0' =4 = 2 I a.,rn 63o3o, = ]7=t Icotg63o30'=It-tvs l- .6Sec26o30'- 'e I S".63"30,-^/f,=^.62 l"--"" 1

FICosec 26"30 = + = S; I aoru. 63.30,= +

Para hallar las razones trigonométricas delos ángulos de 1B'30' y 71"30' tomamoscomo referencia el N notable de 37" y 53"aplicando el mecanismo anterior:

/ ¡-o \ rt.-{r/ l= '2 ) s++

Tg 18o30'= l3

A partir de este resul-tado construimos el

triángulo rectángulo:

1 ú0.sen 1Bo3o' - -+ = -j-

./10 10

cos 1go3o' =j 3fi0 i

Jto= 10 {cos71"30'

Tg 1B'30' = ;Cots1Bo30' =3=31

Sec 18o30' =fi

úo 10

1 .úo

Jm 10

1Ja

1

1

3

t;sec 71o30, _ ./10

= Jt o1

qá^^^'i Jm

3 3úoSen 71 "30'

Tg71o3A'

Cotg 71o30'

Cosec 'lBo30' = = JJ o j cor". 71"30'= t=3

m1

7)4Sen 1 60 - ;Cos 1 60 -

4';T9.16o25 25

16o =4 ,s"r16o = I, cor"c 16o -25724'7

: cots 74o =Z , s". 74o =I, cor" c74o =25 u 24' 7' 24

7=_;cotg24' v

jSen /4"!

)47- - ' ;Cos74"25 25

)4; Ts74"

7

232 Q¡"*into año de secundaria



_1.J1Sen B" = ---= = --sJ2 10

7 t"lzCos Bo = -----: = -J2 10

TgB' =1

1

-7

1Cotg Bo =

Sec Bo =SJt

7

Cosec B"=

¡e=

sJÍ1

7 7"t1Sen B2o - --= =

- sJ2 10

1 ",1,Cos B2o = -_= =-.12 10

7Tg 82" =1=7

Cote B2o = ]v7

Sec B2o =+ = s,l|

cosec 82" -5J'

Sen Cos Tg Cotg Sec Cosec

45" :11

2

J1

2

I 1 J' J1

3001

1^.62

.63

.62Jt

32

600.6

2

1

t ^6^63

22.,11

3

37"3

5

T5

I4

4

t ¡4

t3

53" I5

25

4; 1

4:3

t4

15"J6 -Jj

4

Jo *"11

42- J5 2+J5 J6 -J2 Jo+JI

75" Ju *Q4

J6

-J,4 z+Jj 2- Jj Jo +Jj J6 -JT

1607

25

24

25

7

24

24

7u24

25

7

74"24

25

7

25

24'7

7

24

25

7

25

24

80J110

7"lt10

1: 75"1,

7s^11

82"7.12

10

"t,10

717

5JlsJ2

7

22"30',,tt-J2

2

,lz * Jl2 ^ñ

_l JT+t "11(Jr:E) Jrur.Tr)

67"30', ,lz + J1 Jl +t Jj -t rr(J;E)26"30',

t=a/5

5

2"ll5

1

t 2.62

.6

63030'?J5

5"65

21

2,6 .6

2

18030' ^rc10

3.,m"

10

1

t JJio

3Jlb

71o30'3Ji o

10

.,re10

J1

3 úo.Ro

3




Ejercicio O Calcular el valor de:

Sec230o.Tg 45'+Cos 60''Cotg 37oP- Cosec45o.Cosec 30o

Resolución:

Recordemos:

Reemplazando:

2J'3 (1) + t;)ti)_

42,_t*5_ 2 1 o_J,' 2J, 2J1 J, '" 2

Ejercicio g Si Sen (3x + 17') : Cos (x * 23"),

calcular el valor de: u - sen (2x + 12')+ Cotg (4x - 5")

Ig (ax + 3')

Resolución:

rz De la condición: Sen (3x +17') = Cos (x + 23")+ 3x+17"+x+23o=90o

4x = 50o

2x * 25"

'r' Reeffiplazando:

E_

E_

Sen (25" +12")+ Cotg (so'- s')Tg (so'+ 3')

Sen 37o + Cotg 45'Tg 53'

3B-

r'l

-'' - )46-) -)-- ..4 - 4- zo "'t5

r=95

Eiercicio g Del gráfico, B

calcular el valor de "Tg 0".

sec 3oo -'JjT945" -1

Cos 60'= f2

(rr)Q)


A.]_- B -----t B

Ejercicio @ Si se cumple que:

calcular: E - Tg 5x - Cotg 2x

Sec2 3x

Resolución:

¡ De la condición:

Resolución:

'nTrabajando en el gráfico:

Nngr' Norable (37' ;53')

En elNrco' 4a

Tg 0 -4ua

Tg0=4

r Reemplazando: E -

Cotg (eo'- x) .Cotg

[]

* t'ro)

= '',

rs * Cotg[i. fro )=

t

X

x = I +7o30'2

X aolt-:z ¡ü'2

x: 15o

Tg 75'- Cotg 30'

sec2 45o

Eiercicio [| De la figura, hallar "ED"

D



Rer isando el gráfico:[jercicio @ En la figura, calcular: "f ga" siendo ABC

triángulo equiláteroB

Resolución:

' En el gráfico: +_- B --------+ B

En el N ngc, Sec 3 7o =AC

a)o

+AC=Bll)\4 )

AC: 10

En el NcRr' Sec45o = *-+ EC = 10(Jt)

EC = 10.,11

En el NcDE: Cos 3oo - l%10,12

-r€)D=10J2

1-?I

\')ED=5J6

Trazamos

N Nuc,

Enel N

NH -L nc.

Notable (30" ;

AHN: Tg u

60')

_J54

,it rr,'i,r','::'i .',ir',i:'rl

i

hlerctclojercicio tD Calcular el valor de:

A : Cos 53' . Cotg3O'' Sec37''Cotg60''Tg45'Resolución

aE-

Hallar el valor de:

Cotg 75" + Cotg 30o

Sec 60o

RPta:

Quinto año de secundaria

Resolución

I.)

d- -4 E:1pta:

235



Ejercicio g 5í Cos (4x-17")- Sec(x * 16') :1 calcular el valor de:

K_Cotg (+x + 1)'- Sen (3x + 4)"

Cos (6x - 6)"

Resolución Resolución

Ejercicio f| Del gráfico, hallar "Cotga". Ejercicio ftl De la figura, hallar el valor de

a+bb

(a-b)

ResoluciónResolución

)ARota:' 17 Rpta: B

Ejercicio A De Ia figura, hallar el valor de PQ. Ejercicio O Del gráfico, hallar "Tg0".

Resolución Resolución

1

t

(a+ b)

A

It961

rlB


Rpta: 28Rpta:

TRIGONOMETRIA COVEÑAS

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