Matematicas Ejercicios Resueltos Soluciones Trigonometria 4º ESO o 1º Bachiller

Click here to load reader

  • date post

    27-Jul-2015
  • Category

    Documents

  • view

    16.281
  • download

    7

Embed Size (px)

description

Nivel Primer Curso Bachillerato Plan Antiguo o Cuarto de ESO Ensenanza Secundaria Obligatoria Opcion Ciencias de la Naturaleza Edad alumnas/os entre 15 y 16 años

Transcript of Matematicas Ejercicios Resueltos Soluciones Trigonometria 4º ESO o 1º Bachiller

: Es la parte de matemticas que estudias las RELACIONES MTRICAS entre los elementos de un tringulo. - Esto quiere decir, las medidas de las longitudes de los lados de los tringulos y los valores de los ngulos de los tringulos. - A cada ngulo central ejemplo - le corresponde un ARCO DE CIRCUNFERENCIA (en la figura el sealado en verde) y a cada ARCO le corresponde un ngulo. - En toda circunferencia a ARCOS IGUALES le corresponden, por supuesto, NGULOS CENTRALES IGUALES. - Por tanto podemos hablar de ARCOS y NGULOS o simplemente de ngulos, cuando tratemos de calcular razones trigonomtricas.

el ORGEN de los arcos.

- El punto A, en el que la direccin positiva del eje de abcisas corta a la circunferencia, es

- POSITIVO: Es el que recorre la circunferencia en sentido contrario a las agujas del reloj. - NEGATIVO: Es el que recorre la circunferencia en el mismo sentido de las agujas del reloj.

1

NGULO RECTO: Si dividimos a la circunferencia en 4 partes iguales, llamados cuadrantes, cada ngulo central es un ngulo recto.

GRADOS SEXAGESIMALES: Aqu cabe dar dos posibles definiciones, que sern a.- Si dividimos la circunferencia en 360 partes iguales, el ngulo CENTRAL correspondiente a cada una de esas partes es un ngulo que tiene por valor 1. b.- Es el ngulo PLANO que teniendo su vrtice en el centro de un crculo INTERCEPTA ( corta ) sobre la circunferencia de este crculo un arco cuya longitud es :

Cada grado se divide en 60 partes iguales llamados MINUTOS. Cada minuto se divide n 60 partes iguales llamados SEGUNDOS.

GRADOS CENTESIMALES: Si dividimos la circunferencia en 400 partes iguales, el ngulo central correspondiente a cada una de ellas es un ngulo que tiene por valor 1 centesimal

Cada grado se divide en 100 partes iguales llamados MINUTOS.

2

Cada minuto se divide en 100 partes iguales llamados SEGUNDOS. RADIN: Aqu cabe tambin la posibilidad de dar dos definiciones:

a.- Es el ngulo que le corresponde a un arco que tiene la longitud igual a la del radio de la circunferencia, b.- Es el ngulo plano, que teniendo su vrtice en el centro del crculo INTERCEPTA (corta) sobre la circunferencia de este crculo un arco cuya longitud es igual a la del radio.

Observemos el tringulo que tenemos dibujado y comencemos a establecer razones entre ngulos y lados del tringulo:

Las razones trigonomtricas del ngulo

se definen del modo siguiente:

3

Seno del ngulo

es la razn entre el cateto opuesto y la hipotenusa.

Coseno del ngulo

es la razn entre el cateto contiguo y la hipotenusa.

Tangente del ngulo contiguo.

es la razn entre el cateto opuesto cateto

Las razones inversas del seno, coseno y tangente se llaman respectivamente:

4

Primero vamos a insertar una serie de imgenes para hacer el clculo, lo ms comprensible posible. Es necesario no memorizarlo, sino razonarlo:

En el tringulo de la izquierda tenemos el tringulo equiltero BCB: Sabemos que un tringulo equiltero es el que tiene los tres lados iguales: Los hemos designado en la figura con la letra a a cada uno de ellos. Tambin sabemos que la suma de los ngulos de un tringulo son 180 Por ser un tringulo equiltero, cada uno de ellos mide 60.

CBB

Lado BC = a Lado CB = a Lado BB = a

CBB

ngulo B = 60 ngulo C = 60 ngulo C = 60

En el tringulo de la derecha tenemos el tringulo equiltero ABC. Si dividimos el tringulo a la mitad, formamos un nuevo tringulo ABD.

5

Este nuevo tringulo ABD que aparece rayado en la figura es un tringulo rectngulo.

Lado AB = a AB

Angulo D = 90 Angulo B = 60 Angulo A = 30

Lado BD = vamos a calcularlo

Cmo lo calculamos? Sencillo: partiendo de la base de que es un tringulo rectngulo, establecemos las siguientes generalidades: Suma de los ngulos de un tringulo = 180 180 +B+C = 30+60+90 =

Al ser un tringulo rectngulo, aplicamos el Teorema de Pitgoras: La hipotenusa al cuadrado = suma de los cuadrados de los catetos En el tringulo ABD: Hipotenusa = a Un cateto = a

a2 = h2 + (a/2)22

a2 =

a2

+ h2

a 2 = a 2 + h2 4

4a2 = a2 + 4h2

4h2 = 3a2

h2 = 3a2 4

Por tanto, ya hemos calculado el lado que nos faltaba en el tringulo rectngulo ABD

6

Aprovechando que tenemos el tringulo rectngulo ABD, y ya conocemos las medidas de los tres lados, estamos en condiciones de calcular las razones trigonomtricas de los 3 ngulos. Para ello recurrimos a las definiciones de las razones trigonomtricas en los tringulos rectngulos. Seno de 30:

Coseno de 30:

Tangente de 30:

Cosec 30 Es la inversa del seno de 30 Sec 30 Cotag 30 Es la inversa del coseno de 30 Es la inversa de la tangente de 30

* Ahora vamos a calcular las razones del ngulo de 60

Seno 60

7

Coseno 60

Tangente 60

* Ahora vamos a calcular las razones de los ngulos de 45:

Hemos dibujado un cuadrado y lo hemos dividido a la mitad, trazando su diagonal. El cuadrado ha quedado dividido en 2 partes iguales, que son dos tringulos rectngulos. La diagonal del CUADRADO es la hipotenusa ( h ) del tringulo rayado :

Aplicando el teorema de Pitgoras: h2 = a2 + a2

h=

Seno de 45:

8

Coseno de 45 Tangente de 45

A continuacin creamos una tabla de valores trigonomtricos de los ngulos que vamos a trabajar con ms frecuencia y queconviene aprender de memoria

Si interpretamos geomtricamente que un ngulo es una regin plana: solo podemos expresar ngulos menores o iguales a 360. PERO HAY MS CASOS

1 Caso.- Vamos a suponer un mvil que se desplaza efectuando un movimiento circular en una circunferencia de radio r. Parte del punto A (origen de los ngulos) y giro en sentido positivo (es decir contrario a las agujas del reloj).

9

Cuando se para en el punto P, el arco recorrido es: AP. La regin angular es AOP. 2 Caso.- El mvil no se detiene en P, sino que sigue girando, pasando por A y detenindose en P, al efectuar el segundo paso. - El camino recorrido es arco AP. 1 vuelta entera a la circunferencia + el

Sabemos que la longitud de la circunferencia es L =2r. Cuando el mvil completa una vuelta partiendo del punto A (origen de los ngulos) hasta volver a detenerse en el punto A ha recorrido toda la longitud de la circunferencia =2r, pero sigue su camino y llega al punto P y se detiene. En este momento habr recorrido 2r+AP:

En este momento ya no podemos hablar de regin angular .Ser toda la circunferencia + la regin angular OAP. No la podemos representar en el plano ser toda la circunferencia + parte de de ella.

10

La nica forma de expresar este camino es comparndolo con el arco que determina un radin. 1 vuelta = 2 Ejemplo 3 vueltas y cuarto sern: 3.2 +

Vamos a dibujar una circunferencia y establecer relaciones:

Figura 1

Figura 2

- En la figura 1 el ngulo es AGUDO: En el tringulo OAA : El cateto AA es la ordenada del punto A. El cateto OA es la abcisa del punto A. La hipotenusa es el radio OA. - En la figura 2 el ngulo no es agudo, es OBTUSO : En el tringulo OAA : El lado AA es la ordenada del punto A. El lado OA es la abcisa del punto A. El lado OA es el radio de la circunferencia. Ahora ya vamos a comenzar a establecer las razones trigonomtricas:

Ahora ya podemos deducir: Las razones trigonomtricas NO DEPENDEN de la circunferencia elegida para definirlas.

11

* La circunferencia ms sencilla es la que tiene por radio 1. Se llama circunferencia goniomtrica o circulo unitario. Tomando como referencia la circunferencia de radio 1, aplicando las razones trigonomtricas, observamos lo siguiente: sen

= x abcisas

cos

= y ordenadas

Los signos de ordenadas y abcisas se determinan, conociendo el cuadrante en que se encuentra el ngulo, y viene determinado por sus coordenadas.

Son las siguientes:

12

Hipotenusa = radio Sen = cateto opuesto = AC = OG radio Cosec = OE Cos = OA = GC tg = BD

sec = OD

cotg = FE

Son las siguientes:

Sen = CA = OG OC OC

cos = OA = CG OC OC

tg = BD OB

Cosec = OE OF

sec = OD OB

cotg = FE OF

13

ngulos suplementarios: Son los que unidos suman 180.

Observamos que el ngulo determinado por la amplitud de determina un arco de circunferencia, que abarca desde A (origen de los ngulos ) hasta P. En la figura central, el punto P, lo unimos con el eje de abcisas, y formamos un tringulo rectngulo, en el cual podemos establecer las razones trigonomtricas generales: Para ello observamos las coordenadas del punto P: La proyeccin de x sobre el eje de abcisas determina un valor negativo, ya que el eje de abcisas desde el origen (0,0) hacia la izquierda toman un valor negativo. Por tanto el valor de x es negativo: -x La proyeccin de y sobre el eje de ordenadas determina un valor positivo, ya que el eje de ordenadas desde el origen (0,0) ha arriba toman un valor positivo. Por tanto el valor de y es positivo: y Conclusin el punto P, queda determinado por las coordenadas ( -x, y) como vemos en la figura de la derecha. 14

Ahora ya establecemos las relaciones trigonomtricas del tringulo rectngulo OAP : Ya que el punto y como hemos dicho toma un valor positivo.

Ya que el punto x como hemos dicho toma un valor negativo.

Podemos resumirlas de la siguiente forma: sen 180- = + sen cos 180- = - cos tg 180- = - tg

15

Observamos que el ngulo determinado por la amplitud de 180 + determina un arco de circunferencia, que abarca desde A (origen de los ngulos) hasta P. En la figura central, el punto P, lo unimos con el eje de ordenadas, y formamos un tringulo rectngulo