• Definición de ángulo• Definición de razones trigonométricas• Relación entre las razones trigonométricas • Circunferencia trigonométrica• Sistema de medición de ángulos• Signos de las razones trigonométricas• Reducción al primer cuadrante • Resolución de ecuciones trigonométricas• Resoluciòn de triangulos• Ejercicios

ANGULO ORIENTADO• Se trata de un ángulo engendrado por la

rotación de una semirrecta alrededor de su extremo

• La posición inicial se llama lado inicial, . la posición final, lado terminal

• El punto fijo se llama Vértice • Si la rotación se realiza en sentido anti

horario, el ángulo se considera positivo, en caso contrario negativo

• Los ángulos orientados s pueden representar en un sistema de referencia: un par de ejes x e y llamados ejes cartesianos ortogonales

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RAZONES TRIGONOMÉTRICAS• Si tomamos un ángulo y en el lado terminal

consideramos un punto al vector lo denominamos radio vector cuya medida se puede obtener aplicando Teorema de Pitágoras

• Definición de las tres primeras razones trigonométricas:• SENO: cociente o razón entre la ordenada del punto P y el radio

vector • COSENO: cociente o razón entre la abscisa del punto P y el radio

vector • TANGENTE: cociente o razón entre la ordenada y la abscisa del

punto P

𝑷=(𝒙 ;𝒚 )

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Sistemas de medición de ángulos

100G

400G

300G

200G

I cuadrante

IV cuadrante

II cuadrante

III cuadrante

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Sistema sexagesimal mide en grados minutos y segundos la amplitud de los ángulos El ángulo de un giro mide 360º

Sistema circular Mide el arco que el ángulo determina sobre una circunferencia de radio 1 El ángulo de un giro determina un arco que mide 2π

Pasaje de sexagesimal a circular

si

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Relaciones entre las razones trigonométricas

• Teniendo en cuenta las definiciones de SENO y COSENO se demostrar que:

• Cuando hablamos de razones trigonométricas recíprocas nos referimos:

• Cocientes entre razones trigonométricas

𝒔𝒆𝒏𝟐 (𝜶 )+𝐜𝐨𝐬𝟐 (𝒙 )=𝟏1

1

1

inicio

1+cotg2(x)=cosec2(x)Tag2(x)+1 = sec2(x)

Identidades Trigonométricas • Una identidad trigonométrica es una igualdad entre expresiones que contienen

razones trigonométricas y es válida para todos los valores del ángulo en los que están definidas

• Verificar una identidad La operatoria para el desarrollo de la verificación tiene tres variantes, en general cada profesor recomienda una o mas de los tres formas que paso a detallar:

• Partiendo del primer miembro se llega al segundo por aplicación de operatoria y reemplazo de identidades.

• Partiendo del segundo miembro se llega al primero por aplicación de operatoria y reemplazo de identidades.

• Se opera con los dos miembros por aplicación de la operatoria y el reemplazo de identidades hasta llegar a una igualdad evidente.

• En esta clase de ejercicios nunca se realiza pasaje de términos de un miembro a otro de la igualdad, en consecuencia, los términos siempre permanecen en el miembro en que se originaron

• En la verificación de identidades, el método de resolución se basa en todos los casos en la aplicación de las seis identidades fundamentales, a saber:

1cossen)1 22

cossentg)2

sencosgcot)3

cos1sec)4

sen1eccos)5

tgg 1cot)6

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EJERCICIOS

inicio

Circunferencia trigonométrica• En un sistema de ejes cartesianos se

representa una circunferencia con centro en el punto (0 ; 0 ) y radio r = 1

•Los ejes determinan 4 regiones llamadas «CUADRANTES» que e enumeran en sentido anti horario

•Cuando representamos un ángulo en estas circunferencia el extremo del lado terminal tiene coordenadas :

ya que:

inicio

Has clip si quieres ver como funciona una circunferencia trigonométrica circulo trigonomètico.ggb

2º cuad. 1º cuad.

4º cuad.3º cuad.

Signo de las razones trigonométricasgeo gebra\SI trigonomètico.ggb

CuadrantesSigno de: I II III IVx

y

sec csc

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Definición. Esta reducción es el procedimiento mediante el cual se determinan las razones trigonométricas de un ángulo que no es agudo, en función de otro que si lo sea recurso: http://tube.geogebra.org/m/1325997

sen

coscos

sen

•Indicar los segmentos correspondientes al seno y el coseno de . •Observa y compara•Conclusión:

•Ejemplo: •

• función de

inicio

𝛽=180 º −𝛼

• Determinar el del Ic • D sen

sencos

cos

• Indicar cuales son los segmentos correspondientes al seno y el coseno de • Conclusión

inicio

𝛽=180 º+𝛼

•Determina el ánulo del Ic•D:

•Indicar los segmentos correspondientes al seno y el coseno de •Observa y copara•Conclusión:

sensen

coscos

inicio

𝛽=360 º−𝛼

𝑠𝑒𝑛 (36 0 º−𝛼 )=−𝑠𝑒𝑛𝛼   𝑐𝑜𝑠 (36 0 º −𝛼 )=𝑐𝑜𝑠𝛼

Resolución de triángulos

Triángulos rectángulos

PITAGORA

H2 = C2 + C2

RAZONES TRIGONOMÈTRICAS

Triángulos oblicuángulos

TEOREMA DEL SENO

TEOREMA DEL COSENO

𝛼𝛽

𝜑

𝛼CO

H

CA

inicio

Resolución de triángulos rectángulos•

Resolución de triángulos oblicuángulos

c = 23 cm

f 15º

=20º

b

ab

C = 15cm

b = 4cm

a = 13cm

• Determinar le valor de los ángulos interiores del siguiente triángulo

Cálculo de Cálculo de b Cálculo de j

1) Utiliza las relaciones establecidas entre las mediciones de ángulos en sistemas sexagesimal y radial para Completa la información

inicio

EJERCITACIÓN

• Pasa a sistema circular-

• Aplica la definición• Obtener el valor de las razones

trigonométricas• Verifica identidades

Calculo de las razones trigonométricas 2) Ejercicios para usar la calculadora • Utilizando la calculadora, halla las siguientes rezones trigonométricas redondeando a 4 decimales: sen 34º 35’ 57” cos 85º 7’ 23” tg 87º 33” sen 43º 35’•Utilizando la calculadora, halla los ángulos (en grados y en radianes) de las siguientes razones trigonométricas:sen = 0,3456 cos = 0,5555 tg = 1,4572 cos = 0,25 sen = 0,05253) Ejercicios para la obtención de las razones trigonométricas dada las coordenadas del un punto en el lado terminal 4) Obtener el valor de las razones trigonométricas de los ángulos de 0º 90º 180º 270º

inicio

5) Obtener el valor exacto de las razones trigonométricas de los ángulos de 30º 45º 60º

6) Elije la respuesta correcta

a) Simplificar: A = 5 cos 90° + 3 sen 90° – 5 cos 0° + 6 cos 360° A)1 B) 2 C) 3 D) 4 E) N.A.

b) Simplificar: Q =

B) 0 B) 2 C) 3 D) 8 E) N.A.

c) Reducir: E = L + ISiendo: L = 3 tan 180° – 3 cos 180° – sen 270°

I = 2 sen 90° + 4 ctg 270° – sec 180°C)4 B) 5 C) 6 D) 7 E) 8

d)Simplificar: R=(a + b)2 . cos 0° + a2 . sen 0° + b2 . cos 270°+ (a – b)2. sen270°D)a + b C) ab B) a – b D) a/b E) N.A.

e) Calcular: C = E – L Siendo: E=a2.sen290° + b2 .cos 0° – 2ab.sen 270° L = a2 .sen290° +2ab .cos 180° +b2 .cos3360°

A)2ab B) 4ab C) 3ab E) N.A. D) 6ab

180690cos29030cos5360cos4270180cos2903

sensensensen

6) Observa los ejemplos y verifica las siguientes Identidades

• Ejemplo1:

• Ejemplo 2:

• Ejercicios:• senα secα = tgα• senα cotgα = cosα• senα tgα+ cosα = secα• cosecα - senα = cotgα cosα• (senα+ cosα)2 + (senα - cosα)2 = 2• tgα + cotgα= secα cosecα• (1+ tg2α) cos2α = 1• (senα+cosecα)2 = sen2α + cotg2α+ 3• (1 + cotg2α) sen2α = 1

•

• •

ecseng coscos1

cot

costggcot

eccos

cos

11cos

senctgsen

tginicio

7) DADO EL VALOR DE UNA FUNCIÓN TRIGONOMÉTRICA, CALCULAR EL VALOR DE LAS DEMÁS:

Ejemplo• Calcula las demás funciones trigonométricas de

α, sabiendo que y que es del Ic• Si • Calculo del coseno

• • • Calculo de la tangente • tg• tg• tg

a) Ejercicios aplicando las elaciones

básicas

• y del IIIc

• y del IVc

• y del IIIc

• y del Iic

•

b) Demostrar que:

partiendo de la relación fundamental y

luego calcular el seno del ángulo sabiendo

que

inicio

.y 5

34 - cIVCsc

cIV con 12

5 tg

8) Aplica las relaciones establecidas para reducir al primer cuadrante

a) Calcular el valor de las funciones trigonométricas principales para los ángulos:

150° = (180° - 30°) 240° 2880° 225° 420°

3 p/ 4 5/6 p 135° = (180° - 45°) 315° = (360 ° - 45°)

b) Si V = sen 480° + cos 480° E = tg 585° . cot 585° Hallar el valor de: (V + E)2 A) (2 – ) / 2 C) / 2 B) (2 + ) / 2 D) – / 2 E) NRAc) Calcular: E =

A)1 B) –1 C) 2 D) –2 E) 1/2

d) Reducir: M =

B)(1 + cos ) B) tg (1 + sen ) C) sen2 (1 + cos )

D) sec (1 – cos ) E) (1 – cos )

e)Simplificar: E = sen(360° + ) + cos . cos (90° – )+ sen (90° – ) . sen (360° – )

A) –sen B) sen C) cos D) –cos E) NRA

)(csc)2(sen)(tg

p

pp

330cot.337cos.315csc.300cos

157cos.240tg.225sec.210sen

Ecuaciones trigonométricasinicio

9) Resolver las siguientes ecuaciones trigonométricas a) 2sen x – 1 = 0b) cos x + c) 3sen x = 4 d) -1+3(cos x + 2) = cos x + 6e) 2 Sen2 x + Cos x = 1f) 2 Sen x + Cosec x = 2g) 2 Cos2 x – 3 Sen2 x = 0 h) Sen x – 2 Sen x . Cos x = 0 i) 2 Sec x = Tag x + Ctg x

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