Ejercicios trigonometria 2

7/23/2019 Ejercicios trigonometria 2

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P

(1,0)

X

P

(1,0)

x

FUNCIONES TRIGONOMETRICAS

Consideremos la ecuación a2 + b2 =1(circulo de radio 1) a tal circulo lollamaremos circulo trigonométrico, a y b son ariables! Con ayuda de estec"rculo se de#nen las $unciones circulares cuyo dominio se encuentra en los

n%meros reales!&ea x un n%mero real arbitrario y c el circulo unitario con ecuación a2 + b2 =1a) &i X'0 comience en (1,0) y rocédase en el sentido contrario a las

manecillas del relo* alrededor de la circun$erencia C asta ue se ayacubierto una longitud de arco de x unidades! &ea P = (a,b) el unto #nal delarco!

b) &i = 0- P = (a,b) = (1,0)

c) &i X. 0- comience en (1,0) y rocédase en el sentido al moimiento de lasmanecillas del relo* alrededor de la circun$erencia C, asta ue se aya

cubierto una longitud del arco de x unidades

/n todos los casos se de#ne las $unciones circulares sen x = b- cosx = a- tanx= ba!

cscx = 1b- secx =1a- ctgx ab

ote ue au" estas $unciones no incluyen ning%n ngulo, contienen lascoordenadas de un unto terminal de arco de longitud x sobre un c"rculotrigonométrico! 3ora mostremos como se ueden relacionar estas $unciones



(1,0)4

con las $uncionestrigonométricas (cuyo dominio usa ngulos)! 5bsere lamedida en radian de un ngulo 4 subtendido or un arco de x unidades sobreun cirluco trigonométrico

4 = x

r radianes

Como r = 1 4 = x

1 = x radianes!

/l ngulo subtendido or un arco de x

unidades, tiene una medida de x radianes

6esumiendo3 las orciones de lano cartesianode#nidas or los semie*es se lesdenomina cuadrantes

3s"

F (Ɵ) &en 4 =

y

Cos 4 =

x

7an4 =

y

x

Ctg4 =

x

y

&ec 4 =

1

x

Csc 4 =

1

y

I + + + + + +II + 8 8 8 8 +III 8 8 + + 8 8IV 8 + 8 8 + 8



1.1. Ángulo en radianes: Consideremos una circun$erencia de radio 1! 9eaue la longitud del arco 3: es roorcional al ngulo central 4 (en grados)!Por lo tanto, en e; de medir un ngulo en grados, se uede emlear lalongitud del arco (medida en unidades) corresondiente al ngulo dado!

/sta medida de un ngulo se llama medida en radianes!Como la longitud total dela circun$erencia de radio 1 es 2< corresonde al

ngulo de >0?, entonces tenemos ue a x radianes corresonde ( x

π )!

1@0 grados!

3s"

Angulo en grados 0? 0? B? >0? D0? 120? 1? 10? 1@0?

Angulo en radianes 0

π

6

π

4

π

3

π

2

2 π

3

3 π

4

5 π

3 <

&e acostumbra omitir la alabra radianes as", 0? =π

6 - >0? = 2< - etc!

1.2. Funiones !rigono"#!rias de n$"eros reales es%eiales: son

considerados n%meros reales eseciales 4 = 0 ,π

2 , < ,3 π

2 ,π

6 ,

π

3 ,

π

4 !

Considerndoles en cualuier cuadrante!

&eg%n el gra#co a las comonentes en x las llamaremos cos4, y a lascomonentes en y las llamaremos sen4!

6esumiendo

4

cos

4

sen

40?

1 0

0 1

<81

0



081

Teore"a: /n los tringulos rectngulos

cuyos ngulos agudos midenπ

6 yπ

3

las iotenusas el doble de lo ue mide elcateto menor!

5: =√ (OA)2−( AB)2

= √ 1−(1 /2)2

= √ 1−1/4 = √ 3/4 =

√ 3

2

3: = √ (OA)2−(OB)2

= √ 1−(1 /2)2 =√ 3

2

3s"

&i 4 =π

6 senπ

6 =1

2

Cosπ

6 =√ 3

2

&i 4 =π

3 senπ

3 =√ 3

2



Cosπ

3 =1

2

3ora Para 4 =π

4 Consideremos el tringulo rectngulo 35:!

Como cuando 4 =π

4 tenemos ue x = y, y

como se debe satis$acer ue x2 + y2 = 1! /ntonces

2x2 = 1 x2 =1

2

X =1

√ 2 =1√ 2

√ 2√ 2 =√ 2

2 = y

3s"

&i 4 =π

4 senπ

4 =√ 2

2

cosπ

4 =√ 2

2

1.&. Redui'n de (ngulos al %ri"er uadran!e: teniendo en cuenta uelas l"neas trigonométricas nos ermiten allar el signo de una $uncióntrigonométrica ridamente, ueremos acer notar ue es su#cienteconocer las $unciones trigonométricas de los ngulos comrendidos entre 0

yπ

4 , ara determinar las de todos los dems ngulos, es decir, dado un

ngulo 4 se uede siemre encontrar otro ngulo E, 0 F E Fπ

4 tal ue

sen4, cos4, y tan4 se ueden exresar en $unción de senE, cosE, y tanE-se llama ngulo re$erencial de 4!

9amos a traba*ar ara cada cuadrante y con los ngulos eseciales

/n el GG cuadrante0?GG = D0? + >0? = 10?B?GG = D0? + B? = 1?>0?GG = D0? + 0? = 120?

5bsere ue au" en el GG cuadrante en sen4 es ositio y el coseno esnegatio!



3s" sen10? = sen0? =1

2

Cos10? = 8cos0? =√ 3

2

COM)*ETE *A TA+*A:

&en1?

Cos1?

&en120?

Cos120?

/n el GGG cuadrante0?GGG = 1@0? + 0? = 210?B?GGG = 1@0? + B? = 22?>0?GGG = 1@0? + >0? = 2B0?

3u" en el GG cuadrante en sen4 es negatio yel coseno es negatio!

3s" sen2B0? = 8sen>0? = 8√ 3

2

Cos2B0? = 8cos>0? = 81

2

COM)*ETE *A TA+*A:

&en210?

Cos210?

&en22?

Cos22?

/n el G9 cuadrante



0?G9 = 2H0? + 0? = 0? = 80?B?G9 = 2H0? + B? = 1? = 8B?>0?G9 = 2H0? + >0? = 00? = 8>0

3u" en el GG cuadrante en sen4 es negatio y elcoseno es ositio!

3s" sen0? = 8sen0? = 81

2

Cos0? = cos0? =√ 3

2

COM)*ETE *A TA+*A:

&en1?

Cos1?

&en00?

Cos00?

E,EM)*O: Iallar en $unción del ngulo re$erencial, las $uncionestrigonométricas de 20?

/l lado #nal del ngulo de 20? $orma conel semie*e negatio de y un ngulo de 20?ue colocado en osición desde el semie*eositio de las x, ser el ngulo re$erencial!

&en20? = 853J = 853 = 8cos20?

Cos 20? = 8PJ3J = 8 3P = 8sen20? 7an20? =

sen250°

cos250 ° =

−cos 20°

−sen20° = ctg20?



Ctg20? =cos250 °

sen250° =

−sen20°

−cos 20° = tan20?

&ec20? =1

cos250° =

1

−sen20° = 8csc20?

Csc20? =1

sen250 ° =

1

−cos20° = 8sec20?

1.-. )ro%iedades %eri'dias %ara las uniones !rigono"#!rias:

Kebido a ue un circulo de radio 1 tiene una circun$erencia de longitud 2<,ara un alor de x dado, obsere ue se regresar al unto terminal de x sise suma a x un m%ltilo entero de 2<! Por lo tanto, ara cualuier n%meroreal x y ara cualuier L entero se tiene

sen (x + 2L<) = senx - L M N!cos (x + 2L<) = cosx - L M N!tan (x + 2L<) = tanx - L M N!

las $unciones con este tio de comortamiento reetitio, se denominan$unciones eriódicas!

1./. Gra0as de las uniones !rigono"#!rias:1) y = senx -x M 6!

2) y=

cosx- x M 6!



) y = tanx- x M6!

=senx

cosx cosx O0 - x O π

2

B) y = ctgx- x M 6!

=cosx

senx senx O0 - x O

<-0

) y = secx- x M6! 8 {± π

2 }

=1

cosx



>) y = cscx- x M6! 8

{±0; π }

=1

senx

E,EM)*OS:

1. Para un alor de 4, en el unto P (4) se encuentra en el segmento ueune los untos (0,0) y (8,B)! Keterm"nese las $unciones trigonométricasde 4

d ((0,0), (8,B)) = √ (0+3)2+(0−4)2 =

senQ =4

5 cosQ =−3

5

tanQ =4

3 ctgQ =−3

4

secQ =5

−3 csc =5

4



2. KeterminecosQ y tanQ si senQ =−5

13 y tanQ'0 como tanQ =senx

cosx y

como senQ es negatio, cosQ tiene ue ser también negatio, ara uetanQ'0! 7ambién tiene ue satis$acer ue sen2Q + cos2Q 0 1

/ntonces (−5

13 )2 + cos2Q = 1- 18 (25

169 ) = cos2Q

169−25

169 =144

169 cosQ = √ 144

169 =

12

13

3u" cosQ = −12

13 y tanQ =

−15

13

−12

13

=5

12

&. RCules son las seis $unciones de5 π

2 S

Como5 π

2 =(5)(180)

2 = B0? = >0? +D0? = 2< +π

2

sen

5 π

2 = sen

π

2 = 1

cos 5 π

2 = cos π

2 = 0

tan 5π

2=

1

0 /s in#nita (as"ntota ertical)

ctg 5 π

2=

0

1=0

sec

5π

2 =

1

0 /s in#nita (as"ntota ertical)

csc 5 π

2=

0

1=0

-. Cules son las seis $unciones de 10?SComo 10? = >0? + 10? entonces



&en10?= sen0? =1

2

Cos 10? = 8cos0? = 8√ 3

2

7an10? =

1

2

−√ 3

2

=1

−√ 3 = 8√ 3

3

Ctg10? =

−√ 3

2

1

2

= 8 √ 3

&ec10? =

1

−√ 3

2

= 82

√ 3 = 8 2√ 33

Csc10? =

1

1

2 = 2

1.. *ongi!ud deuna uerda : C39amos a obtener en $unción de Q, una exresión ara la longitud de unacuerda (dela circun$erencia unitaria) cuyo arco tenga una longitud TQT

d(P3) = C= √ (cosθ−1)2+(senθ−0)2

= √ cos2θ−2cosθ+1+sen2θ

= √ 1+ (sen2θ+cos

2θ )−2cosθ

=√ 1+1−2cosθ

= √ 2−2cosθ



3s" or e*emlo la longitud de la cuerda de una circun$erencia unitaria donde la

longitud del arco corresondiente esπ

2 es

√2−2cos ( π

2) = √ 2−2(0) = √ 2

Para π corresonde la cuerda al dimetro o sea 1 + 1= 2 = √ 2−2cos (π )

= √ 2−2(−1) = √ 2+2 = √ 4

3ora anali;aremos la longitud de una cuerda de la circun$erencia unitaria ero

tomando dos untos cualuiera de la circun$erencia o sea ue nonecesariamente amos a artir del unto (1,0)

&ea P(E)=(cosE, senE) U P(V) = (cosV, senV)

C=d (P(E), P(V))

C= √ (cos∝−cosβ)2(sen∝−senβ)2

C= √ cos2∝−2cos∝cosβ+cos2 β+sen

2∝−2sen∝ senβ+sen

2 β

C= √ (cos2∝+sen2∝ )+(cos2 β+sen

2 β )−2(cos∝cosβ+sen∝ senβ)

C=

cosα cosβ+senα senβ

1+1−2¿√ ¿



C= √ 2−2cos (α − β)

(3u" 4 = α − β )! Como esta corresonde a la longitud de una cuerda donde

la longitud del arco corresondiente esα − β

, tenemos!

cos α ! Cos β + sen α senβ=cos (α − β ) , teniendo en cuenta la de#nición

1.

1.4. I5ENTI5A5ES TRIGONOMETRICAS.

6ecuerde ue dos $unciones $ y g son iguales, si ara todo x, $(x) = g(x)!

Cuando dos $unciones trigonométricas son iguales, seg%n la de#nición anterior,

es costumbre llamar la igualdad una identidad trigonométrica!

Ke la identidad $undamental sen2 α + cos2 α =1 y de la longitud de una

cuerda donde la longitud del arco corresondiente es α − β cos (α − β ) =

cosα cosβ+sen α . senβ ! salen o se deducen el resto de identidades ue ay en

trigonometr"a

3dems tenga en cuenta ue la $unción seno es imar (sen (8x)=8senx) y uela $unción coseno es ar (cos(8x) = cos (x))

3l deducir las identidades ablaremossolamente de seno, coseno y tangente, yaue las otras tres corresonden a susinersas!

Iablaremos ara!1! 6esta de ngulos2! &uma de ngulos

! Angulos doblesB! Angulos medios

! Como exresar sumas y restas en$unción de roductos

1! sen2α +cos2α =1



2! cos (α − β )=cosα. cosβ+senα.senβ

! Kiidimos 1!) or sen2α :1+cot

2α =csc

2α

B! Kiidimos 1!) or cos2α : tan

2α +1=sec

2α

! 6eemlace β or (− β) en 2!)

cos ( α −(− β ) )=cosα .cos (− β )+senα. sen(− β)

cos (α + β )=cosα . cosβ−senα.senβ

>! Iacemos α =π

2 en (2

cos( π

2− β )=cos

π

2cosβ+sen

π

2.senβ

cos( π 2− β )=senβ

H! &i acemos β=π

2 – β en >!)

cos( π

2−( π

2− β ))=sen ( π

2− β )

cosβ=sen

(π

2− β

)Con las identidades >!) y H!) os damos cuenta ue las $unciones seno ycoseno son comlementarias!

@! Iacemos

7.

6.

¿ ¿¿ ¿

cosβ

senβ=

cos (π

2− β )

sen(π

2− β )

→ctgβ=tan ( π

2− β)

D! Iacemos

6.

7.

¿ ¿¿ ¿ :

senβ

cosβ=

cos ( π 2− β )

sen(π

2− β )

→tanβ=ctg(π

2− β)

10!/n > acemos β=α + β :

cos −senβ

0 1



sen (α + β )=cos ( π

2−(α + β ))=cos (( π

2−α )− β)

sen (α + β )=cos( π

2−α ) .cosβ+sen( π

2−α ).senβ

sen (α + β )=senα.cosβ+cosα . senβ

11!/n 10!) acemos β=− β

sen ( α +(− β ) )=senα.cos (− β )+cosα.sen (− β)

sen (α − β )=senα . cosβ−cosα . senβ

12! tan (α + β )= sen (α + β )cos (α + β )

= senα .cosβ+cosα . senβ

cosα .cosβ−senα. senβ

Wultilicando y diidiendo la %ltima exresión or c osα. cosβ

tan (α + β )= tanα +tanβ

1−tanα .tanβ

1!Ke manera similar a 12!), obtenemos

tan (α − β )= tanα −tanβ

1+tanα .tanβ

1B!Para ngulos dobles

−senβcos



sen (2α ) ycos (2α ) sen (2α ) Positio

Positios

cos (2α ) egatio

sen (2α ) y cos (2α ) sen (2α ) Positio

egatios cos (2α ) egatio



Como e*ercicio usted uede anali;ar lo ue ocurre en el GGG y en el G9 cuadrante! 7enga en cuenta ue se anali;a en cada cuadrante antes y desués de B?!

as $unciones trigonométricas seno y coseno de ngulos dobles, admiten

ambos signos as"

1! sen (2α )=sen (α +α )=senα .cosα +cosα . senα

sen (2α )=2 senα . cosα

1>! cos (2α )=cos (α +α )=cosα .cosα −senα . senα

cos (2α )=cos2

α −sen2

α

a) /n 1!) reemlace sen2α or 1−cos

2α

cos (2α )=cos2 α −(1−cos2 α )=2cos2α −1

b) /n 1!) reemlace cos2α or 1−sen

2α

cos (2α )=(1−sen2α )−sen

2α =1−2sen

2α

1H! tan (2α )=tan (α +α )= tanα +tanα

1−tanα.tanα =

2 tanα

1−tan2α

3ora ara ngulos medios note ue no interesa en ue cuadrante se traba*e,

la $unción sen(α 2 ) admite %nicamente el signo

ositio, mientras ue la $unción cos( α

2 )admite ambos signos



1@!/n (1Y) si acemos 2α =θ o α =θ/2 tenemos

cosθ=2cos2 (θ/2 )−1 , dese*amos

2

θ /¿cos ¿

2

θ/¿¿2

θ/¿=±√ cosθ+12

cos2¿

1D!/n (1b) si acemos 2α =θ o α =θ/2 tenemos

cosθ=1−2 sen2 (θ /2 ) , dese*amos

2

θ/¿sen ¿

2

θ/¿¿2

θ/¿=+√1−cosθ

2

sen2¿



20!

2

2

θ /¿¿2

θ /¿

¿¿cos ¿sen¿

θ/¿=¿¿

tan ¿

, multilicando y diidiendo or

2

θ/¿2sen¿

tenemos

2

2

2

θ /¿¿¿¿2

2

θ /¿¿¿¿2

θ /¿¿2

θ/¿ .cos (θ/2)¿¿

2 sen¿θ /¿.2 sen¿θ /¿.2 sen¿

sen¿θ /¿=¿

¿tan¿

2

θ/¿=1−cosθ

senθtan ¿

, or (1b) or (1B)

1Da!) /n (1D) multilico y diido or el con*ugado del numerador

1+cosθ -



2

θ/¿=1−cosθ

senθ¿

tan ¿

θ

(¿¿ 2)= 1−cos

2

senθ (1+cosθ)=

sen2θ

senθ (1+cosθ)=

senθ

1+cosθ

tan¿

(21), (22), (2), (2B) resultan de sumar y restar las siguientes identidadessen (α + β )=senα .cosβ+cosα . senβ

sen (α − β )=senα .cosβ−cosα . senβ

&umando sen (α + β )+sen (α − β )=2 senα.cosβ

1

2 [sen (α + β )+sen (α − β ) ]=senα. cosβ . (20)

6estando sen (α + β )−sen (α − β )=2cosα . senβ

1

2 [sen (α + β )−sen (α − β ) ]=cosα .senβ. (21)

cos (α − β )=cosα.cosβ+senα.senβ

cos (α + β )=cosα . cosβ−senα . senβ

&umando cos (α − β )+cos (α + β )=2cosα.cosβ (22)

1

2 [cos (α − β )+cos (α + β ) ]=cosα.cosβ

6estando cos (α − β )−cos (α + β )=2 senα.senβ (2)

1

2 [cos (α − β )−cos ( α + β ) ]=senα.senβ



/stas ultimas cuatro identidades consisten en exresar las $unciones seno ycoseno de ngulos sencillos en $unción de la tangente del ngulo medio! /stassalen de (1D) y (1Da)!

2!) &i

2

θ/¿=1−cosθse nθ

tan ¿ y

2

θ/¿¿tan ¿

senθ=tan (θ/2 ) .(1+cosθ) , reemle;ando tenemos

2

2

θ /¿ .(1+cosθ)¿

tan ¿

θ/¿=1−cosθ

¿tan ¿

y

2

θ /¿

[ tan (¿ ] ]2

. (1+cosθ )=1−cosθ

2

θ/¿¿

tan2¿

2

θ /¿¿2

θ/¿ .cosθ

tan2¿

2

2

θ/¿−1−tan

2¿θ/¿−1=cosθ ¿

tan2

¿

, multilicar or 81



2

θ /¿¿2

θ /¿1+ tan

2¿1−tan

2¿

2

θ /¿¿2

θ /¿¿

1+ tan2¿

1−tan2¿

¿

2>!)

2

2

2

θ /¿¿2

θ /¿¿

1−tan2¿

1+¿θ /¿ .¿

θ/¿ . (1+cosθ )=tan ¿senθ=tan ¿

2

2

2

θ /¿¿¿¿θ

¿2

¿¿θ/¿+1−tan

2¿1+ tan

2¿¿

θ/¿ .¿senθ=tan ¿



2

θ /¿¿2

θ /¿¿

1+tan2

¿2tan ¿senθ=¿

/*emlos

1! 7rans$ormar en sumas cos30°× cos60 °

Comocos30 °×cos60°=

1

2

[cos (30 °+60 ° )+cos (30°−60° )]

cos30°× cos60°=1

2[cos 90°+cos (−30°) ]

√ 3

2× 1

2=

1

2[0+cos30 ° ]=1

2 [0+ √ 3

2 ]=√ 3

4

2! 6edu;ca senθ a una exresión ue contenga solo $unciones de Q

eleadas a la rimera otencia!

sen4θ=(sen

2θ)2=[ 1−cos (2θ)

2 ]2

=1−2cos (2θ )+cos2(2θ)

4

Pero cos2 (2θ )=

cos (4 θ )+12 or identidades (1a)

3s" sen4θ=

1−2cos (2θ )+ cos ( 4θ )+1

2

4

sen4θ=

2−4cos (2θ )+cos (4θ )+18

sen4θ=

3−4 cos (2θ )+cos (4θ )8



! Calcular las $unciones trigonométricas ara 4 π /3 !

3

2π /¿4 π /3=2¿

, a

artir de las identidades del alor doble ara

2π /

3

=2

(180

° ) /3

=120

°=60

°

3

2

2

−1 /¿¿

√ 3/¿¿4 π /¿=sen (2.60° )=2sen60°.cos60°=2¿

sen¿

34 π /¿=cos (2.60 ° )=cos

2 (60° )−sen2(60°)

cos ¿

3

2

−1/¿¿√ 3¿2

¿¿

¿¿¿

4 π /¿=¿cos ¿

3

3

4 π /¿¿3

4 π /¿¿

¿=−√ 3/2−1/2

cos ¿sen¿

4 π /¿=¿tan ¿



3

¿4 π /¿¿¿

cot ¿

3

¿4 π /¿¿¿

sec ¿

3

¿4 π /¿¿¿

csc ¿

B! Calcule las $unciones trigonométricas ara π /12 - note ue

6

π /¿π /12=1/2¿

!

! /xrese 5senα +12cos∞ en la $orma ksen (∞+θ) donde Q esta entre

−π /2 y π /2 !

5 sen∞+12cos∞=ksen (∞+0 )

sen ∞

¿k ¿ !!cos0+cr!sen0)

k =√ 52+(12)2=√ 25+144=√ 169=13

mult!lcamos y "#"mos !or 13 y o$tenemos :

∞

5

13.sen∞+

12

13.cos¿=13 sen (∞+0)

13¿



"on"ecos0=15

13

y sen 0=12

13

>) Kemuestre ue tg(0−tg (0−3π

4 )=0

0+π 4¿−tg ¿

(e*ercicio)Ztilice identidades (12) y (1)!

H) Kemuestre uesen (∞+B )cos∞.cosB

=tg ∞+tgB ( %&ercco)

Ztilice identidad (10)!

@) Kemuestre ue

tg( '

2)+(tg (

'

2)

tg( x2 )−ctg( '

2)

=−sec ( x ) .( %&ercco)

ote tg(x2)=

sen( '

2)

cos( '

2 ) y ctg( x2 )=

cos ( '

2)

sen( '

2)

U utilice identidadn (1) y (1)!

D) /*ercicio resuela √ 3cos∞−1. sen∞=0

1.6. Euaiones !rigono"e!rias:

Zna ecuacion trigonometrica rd una roosicion condicional en X, en la cual#guran $unciones trigonometricas de la ariable X!



/*ercicio1 sen−1

' =1

2. ' ∈ [0 ;2π ]

x=sen

(

1

2

)=

π

6

; 5 π

6

Zna solucion general, teniendo en cuenta la eriodicidad de la $unciontendremos

x=π

6+2 )π ; ) ϵ*

/*emlo 2! Cos81x= 0

x= cos(0) = π +2π

en general coo coseno tiene tambien eriodo 2π tenemos x=2 )π ; ) ϵ*

e*emlo ! sen(75°− x

2 )=1

como sen (−∝ )=−sen∝ entonces

−sen( x2−75°)=1 ó sen( x2−75°)=1

x

2−75°=sen 81(1) +>0? L - L M N

x

2−75°=90°+360° )

x

2=75°+90°+360° ) ; ) ,*

x

2=165°+360° ) ; ) ,*

2=2 (165 °+ ) .360 ° )=330 °+ ) .720° ; ) , *

6esuela

/*emlo B! 7an ( π

4+ x)=2+√ 3



Ztilice identidad (12)

6ecuerde tan ( π

4 )=sen( π

4 )cos( π

4 )=√ 22

√

2

2

=1

6ecuerde ue la eriodicidad de la $uncion tan es < ara dar solucionesgenerales (as" como en seno y coseno suma 2L <- L M N en tangente suma L<- L M N)

/*ercicio ! 6esuela senBx [ cosBx = \

6ecuerde senBx = (sen2x)2 y cosBx= (cos2x)2

/*ercicio >! 6esuela tanx + tan(2x)=0

6ecuerde tan(2x) =2 tanx

1−tan2 x y llega a resoler una ecuiacion cuadratica

/*ercicio H! 6esoler

tanQ! &ec2Q + sec2Q [ BtanQ [ B = 0

/*ercicio@! 6esoler de dos maneras di$erentes el e*ercicio BsenQ +cosQ = 2

i. /scribiendo BsenQ +cosQ en cualui]era de las $ormas L sen(∝+θ¿ ; L cos ( ∝+θ¿

L sen( ∝−θ ¿ ; L

cos ( ∝−θ¿

ii. 7raba*ando con las identidades (2B) y (2)

/*ercicio D! &olucionar la ecuacion sen(x)! cos (x) 8 sen(@x)! cos (>x) = 0Ztili;ando las identidades 20, 21, 22y 2!

1.7. Soluion de !riangulosa trigonometria es de gran alicación en la ractica, debido a ue resueletriangulos $acilmente, es decir, dados ciertos elementos de un triangulo nos$acilita la busueda de lso restantes elementos!1!D!1! 3rea de un triangulo!



sea 3:C un triangulo cualuiera, entonces el

area de ese triangulo es igual al1

2( AB ) .((-)

1.18. GRAFICAS 5E y= Asen (B' +( ) 9 y= Acos(B' +( )

y=senx=sen ( x+2π ) +2π eriodo ara y=senx y ara y=sen ( x+2π )

ote ue y= A senx se obtiene de multilicar cada alor de la ordenada de

esta or 3! la gra#ca de y=senx cru;ara el e*e en el mismo unto donde lo

ace y=senx , debido a ue 3 aeces es cero, ero la desiacion maxima

dela gra#ca de y=senx , del e*e x cambiara debido a ue senx tiene eriodo

2<, A senx ( x+2π )= Asenx or lo tanto, 3senx tambien tiene eriodo 2<!

a constante T3T, es la maxima desiacion de la gra#ca A senx del e*e x, se

denomina 3WPG7ZK de y= A senx ! Por lo tanto , y=1

2senx tiene amlitud

de T12T =12 y y=−2senx tiene una amlitud de T82T =2 analogamente

y=senx tiene una amlitud de 1

5bsere el gra#co y comare



/l signo negatio de y= 82 senx gira la gra#ca de y= 2 senx alrededor del e*e x,es decir , la gra#ca de de y= 82 senx es la misma gra#ca de de y= 2 senxre^e*ada or el e*e x!

aga el e;eriio &3.



3ora amos a nali;ar el gra#co de y= A senBx ! Primero eamos el e$ecto de

:al comarar y=senx y y=senBx ! :'0!

3mbas $unciones tienen la misma amlitud 1, ero resecto a su eriodo

1! y=senx tiene eriodo 2π

2! y=senBx se anali;a as" ara allar su eriodo!

&i ( x )= y=senBx , se busca el menor enterio ositio tal ue ( x+t )= ( x ) !

Para este #n, se e ueBx= ( x)

( x+t )=se$ B ( x+t )=sen ( Bx+Bt )=sen ¿ !

&i :t = 2< o 8 / =2 π

B or lo 7anto el eriodo de y=senBx es2 π

B

3s" or e*emlo el eriodo de y=sen2 x es 7=2 π

2=π (la mitad del

ériodo de y=senx )- or lo tanto, el e$ecto de : es comrimir o alargar la

cura basica del seno, es decir : cambia el eriodo de y = senx



E,ERCICIOS 5E TRIGONOMETRIA.

1! Calcule las $unciones triginometricas ara

a)7 π

2 b)4 π

3 5737 π

2=

π

4+

π

3; 4 π

3=2 .

2

π 3 <

2! Para XM [0 ;2π ] - resuela

a) &en81x = \

b) &en81x = 8 √ 3 2

c) cos81x = 0

d) cos81x = 8\e) sen(H?8x2) = 1$) senBx 8 cosBx = \

g)! _ra#ue y = 3cosx

a) y = cosxb) y = cosx

c) y = \ cosxd) y = 2cosx



e) ote ue y = 3cosx tiene tambien un eriodo 2< y una amlitudde T3T$)

B! tenga en cuenta este resumen y gra#ue lo ue se le ide!g) Para y = 3sen:x ó y = 3cos:x- : ' 0

) 3mlitud = T3T eriodo = 7 = 2<: si 0. : . 1, la cura de y =senx o de y = cosx se alarga!i) &i :'1 la cura de y = senx o de y = cosx se comrime

*)`) _ra$iue a! y = Bcos(2x)- 0F x F 2<l) b! y = 8cos(x2)

! _ra#ue

a! y = 2sen( x + π /4¿ 82< F x F 2<

b! y = sen (<x [ <), note ue au" 3 =1- : = <- c = <- 7 =2 π

π =2

cambio de $ase( B =π

π =1 (una unindad acia la dereca)

m)n)

o) ya estamos en osibilidad de considerar las gra#cas de las

ecuaciones de la $orma) y = 3sen(:x + C) y y = 3cos(:x + C)) ue son simlemente las gra#cas de las ecuaciones y = 3sen:x y

y=3cos:x transladadas acia la i;uierda o acia la dereca, ya uer) y = 3 sen(:x + C) = 3sen : (x + C:) ys) y = 3 cos(:x + C) = 3 cos: (x + C:)(G)



t) las gra#cas de estas ecuaciones son las mismas ue las gra#cascorresondientes a las ecuaciones (G) transladadas acia la i;uierdaen C: unidades, si C es ositio, o transladadas acia la dereca en TC:T unidades si C: es negatio!

u)

) E;e"%lo: gra#car y comarar]) y = senx - y = sen(x + <2) - y = sen( x 8 <2)x)y);)

aa)ab) 6esumiendoac)ad) Para y = 3sen (:x + C) o U = 3cos (:x + C) con : ' 0- amlitud

=T3T eriodo = 2<: cambio de $ase TC:T unidades acia dereca siC:. 0 - y C: unidades acia la i;uierda si C:'0

ae)a$) /*emlo estable;ca la amlitud, eriodo y cambio de $ase ara y=

Bcos(2x [ <), gra$iue sobre el interalo 8< F x F <!

ag) K y= Bcos (2x [ <) = B cos (x 8π

2 )

a) : C 3

ai) 3 = B

a*) / =2 π

$ =

2π

2=π Cambio de $ase C: =

π

2 unidades!

1) _ra$iue y = Bcos(2x), 0FxF<2) 7raslade la gr$ica <2 unidades acia la dereca y comlete el interalo

edido



a`)

al) E;eriios.

>! &i cosQ =−5

2 - y cotQ.0- alle el alor de las otras cinco $unciones

trigonométricas! 3nalice el mismo roblema si cotQ'0 gra$iue Qam)

H! Considere el trianguloan) Ialle en $unción de x cscx, tanx, cosx!

ao)a)a)ar)as)at)au)

@! Para un alor de Q el unto P(0) se

encuentra en el segmento ue une los untos (0,0) y (8 √ 3 , )!

Ketermine las seis $unciones de QD! 6esuela el e*ercicio con el enunciado anterior (@) ero con los untos

(0,0) (,8,)

10!/xrese sen ∝ + √ 3 cos ∝ en la $orma Lsen( ∝ +0) y resuela

sen ∝ + √ 3 cos ∝ = 0

11!Ketermine cosQ t tanQ si sen Q = 8 1 y tanQ'



a)

Ejercicios trigonometria 2

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