Introduccion trigonometria

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  • Introduccin a la trigonometray a las funciones trigonomtricas

    Shirley BrombergRaquel Valds

  • Un poquito de historiaTrigonometra es una palabra de etimologa griega, aunque no es una palabra griega. Se compone de trigonon que significa tringulo y metria que significa medicin. Y se habla de ella como matemtica prctica.

  • La trigonometra resuelve el siguiente problema: conocidos algunas de las componentes de un tringulo, determinar las restantesLa geometra (terica) nos dice cundo ciertos datos determinan que salvo por posicin un tringulo de lados dados, la trigonometra (prctica) nos dice cmo calcular los restantes.

  • acbSi conocemos dos de los lados del tringulo, como el Teorema de Pitgoras afirma quea2 + b2 = c2,Comencemos con tringulos rectngulos.conocemos el tercer lado. Eso s, debemos saber si los lados que conocemos son catetos o la hipotenusa.

  • NOTEMOS que la hipotenusa pasa por los puntos de la retcula. Los tringulo de las esquinas tienen los mismos ngulos.Dividimos los catetos en r partes iguales, y formamos una retcula. Los catetos de los tringulos de las esquinas miden a/r, b/r y su hipotenusa ser, por el Teorema de Pitgoras igual a c/r. Resolucin de tringulos rectngulos.Pero no tenemos ninguna informacin acerca de los ngulos. A continuacin comenzaremos a abordar este problema.

  • Las observaciones anteriores permiten resolver el siguiente Cul ser la altura del rbol que proyecta una sombra de 4 m si se encuentra al lado de Alberto que mide 1.75 m y proyecta una sombra de 3.5 m ?Problema

  • Sigamos con el problema de encontrar los ngulos en tringulos rectngulos.Vamos a escoger tringulos normalizados, que representen a cada tringulo rectngulo.Tomaremos tringulos con hipotenusa unitaria.

  • a2 + b2 = c2cab

    a/cb/c(a/c)2 + (b/c)2 = 1pasamos a1de1Construccin de tringulos de hipotenusa unitaria

  • Relacionamos ngulos y longitudes con Tablas de CuerdasEn un comienzo, a cada ngulo se asoci la cuerda subtendida por l en una circunferencia de radio fijo.cuerda

  • Tablas de cuerdasRazonando con la figura allado se muestra que

  • Tablas de cuerdasPara conseguir nuevos valores seusa la identidady se obtienen tablas de cuerdas quevan de 5o en 5o.

  • Construccin de Tablas

    ngulocuerdasenocosenotangente60o11/2

    30o1/215o

    45o?1

  • La figura muestra las funciones trigonomtricas asociadas a un ngulo agudo ubicado en una circunferenciasecantecosecanteradiosenotangentecotangentecoseno

  • Funciones trigonomtricas: seno de un ngulo agudoabcb/ca/c1

  • Funciones trigonomtricas: coseno de un ngulo agudoabcb/ca/c1

  • Funciones trigonomtricas: tangente y cotangente de un ngulo agudoabcb/ca/c1

  • Funciones trigonomtricas: secante y cosecante de un ngulo agudoabcb/ca/c1

  • Todas las funciones trigonomtricas de un ngulo agudo pueden expresarse a partir de una de ellas, a modo de ejemplo tomemos sen=====

  • Identidades Trigonomtricas1cossenLa identidad fundamentales consecuencia delTeorema de Pitgoras

  • Identidades Trigonomtricas1Si es el ngulo complementariode , hay un tringulo rectnguloque los tiene como ngulos agudosy se tiene quecossen

  • Identidades Trigonomtricas1En una diapositiva anteriordemostramos que o bien, tomando

  • Funciones Trigonomtricasde ngulos arbitrariosPara calcular el seno (o el coseno) de un ngulo agudo , colocamos un tringulo rectngulo como en la figura. El seno (o coseno) del ngulo es la ordenada (o la abscisa) del punto de interseccin de la hipotenusa con el crculo. Pero no es necesario tener todo el rectngulo, bastacon tener la recta que une con el origen.

  • Funciones Trigonomtricasde ngulos arbitrariosDEFINIMOS para un ngulo , medido a partir de la recta contra las manecillas del reloj:lla abscisa de la ordenada de l

  • Funciones Trigonomtricasde ngulos arbitrariosLa tangente de un ngulo , medido a partir de la recta contra las manecillas del reloj, es la longitud (orientada) sealadall

  • Funciones Trigonomtricasde ngulos arbitrarioslCmo obtuvimos la ltima hilera de la tabla?IIIIIIVI

    IIIIIIIVsen a++--cos a+--+tan a+-+-

  • Medida absoluta de ngulos:RADIANES1 El crculo unitario tambin nos permite usar longitudes para medir ngulos, aprovechando que el ngulo es proporcional al arco que subtiende. Un ngulo de un radin es el ngulo que subtiende un arco de longitud uno.

  • Medida absoluta de ngulos:RADIANESComo la circunferencia unitaria mide 2, un cuarto de circunferencia mide /2 y como un ngulo recto sub-tiende un cuarto de circunferencia, el ngulo recto mide /2 radianes.

  • Medida absoluta de ngulos:RADIANES/290oComoEntonces si Rad es la medida de un ngulo en radianes y Grad la medida en grados,

  • Medida absoluta de ngulos:RADIANES

    ngulo en radianesngulo en grados 1 1 /3 45 120

  • Actividad IConstruir un tringulo cuyos lados sean de longitud 3, 4 y 5 . Comparar los distintos tringulos que se obtienen.Nota: cada quien es libre de escoger la escala

  • Actividad ICon la escala proporcionada, medir la razn entre pares de lados del tringulo diseado

    Medir en centmetros los lados del tringulo diseado y obtenga la razn entre los pares de lados

  • Actividad IIPara cada uno de los tringulos rectngulos proporcionados, midan las siguientes razones, segn el ngulo marcado con el crculo rojo:

    Cateto opuesto e hipotenusa Cateto adyacente e hipotenusa Cateto opuesto y cateto adyacente

  • Actividad II

  • Problema En una circunferencia de centro O y radio 5 esttrazada una cuerda que mide 3.5 cunto mideel ngulo central asociado?En la misma circunferencia, halle la longitud de la cuerda subtendida por un ngulo de 72o.O5

  • Problema Una cuerda de 100m de largo se estira un metro msy se sostiene del centro (ver la figura). A qu alturase encuentra el punto C?D una medida aproximadadel ngulo .100m101mC

  • Preguntaabc cules son los valores mximo y mnimo de la funcin coseno ?alguno de los catetos puede sermayor que la hipotenusa? cules son los valores mximo y mnimo de la funcin seno ? cules son los valores mximo y mnimo de la funcin tangente ?

  • ProblemaCon apoyo del crculo unitario, construyala grfica de la funcin sen(0,1)(-1,0)(-1,-1)(0,1)

  • Problema Trace los tringulos rectngulos definidos por las siguientes ternas de puntos:(0,0), (8,0), (8,6)(0,0), (-4,0), (-4,3)(0,0), (-3,0), (-3,-4)(0,0), (8,-6), (8,0)

    En cada uno de los tringulos trazados, ubique el ngulo formado entre la hipotenusa y el eje de las abscisas.

    Calcule el seno, coseno y tangente de tal ngulo.

  • Problema

    IIIIIIIVsen(a)++--cos(a)+--+tan(a)+-+-

    *Recuperar la nocin de razn y proporcin.*****Actividad grupal: construccin de tringulos con diferentes escalas.Cuntos tringulos se podrn construir?Comparar tringulos con diferentes escalas son iguales?, son semejantes?*Continuacin de la actividad grupal:Proporcionarles hasta este momento una regla en centmetrosProvocar la discusin qu fue lo que pas?La escala es distinta, sin embargo, la razn entre pares de lados se mantiene*Actividad grupal.Repartir a cada grupo conjuntos de tringulos rectngulos con diferentes ngulos.Usar la regla en cmsLas razones medidas estn en funcin de los ngulos.*****Actividad grupal.Construir las grficas de la funcin seno y cosenoY con ellas deducir la grfica de la tangente*Actividad grupal. Ubicar en los ejes cartesianos diferentes tringulos y calcular las funciones trigonomtricas bsicas.Signos de las funciones trigonomtricas en los diferentes cuadrantes*Solucin del problema anterior