TRIGONOMETRIA 10º UNIDADES 1 - 2indd.indd 1 25/10/2012...

TRIGONOMETRIA 10º UNIDADES 1 - 2indd.indd 1 25/10/2012 02:43:36 a.m.

Trigonometría Grado 10º Trigonometría Grado 10º

MÓDULO DEMÓDULO DEMÓDULO DEMÓDULO DEMÓDULO DE

TRIGONOMETRÍATRIGONOMETRÍATRIGONOMETRÍATRIGONOMETRÍATRIGONOMETRÍA

GRADO 10°GRADO 10°GRADO 10°GRADO 10°GRADO 10°

AutorAutorAutorAutorAutorTr igonometr íaTr igonometr íaTr igonometr íaTr igonometr íaTr igonometr ía

Hernando Acevedo RíosLicenciado en Educación Matemáticas - Física

Asesoría y coordinaciónAsesoría y coordinaciónAsesoría y coordinaciónAsesoría y coordinaciónAsesoría y coordinación

Mg. Rubiel Trujillo AriasLicenciado José Raúl Ospina O.



Comité de Cafe teros de Caldas , con e l importante concurso de la

Trigonometría Grado 10º

CONTENIDOCONTENIDOCONTENIDOCONTENIDOCONTENIDO

TR IGONOMETR ÍATR IGONOMETR ÍATR IGONOMETR ÍATR IGONOMETR ÍATR IGONOMETR ÍA

Pág.

UNIDAD 1 FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS ........................................ 1

Guía 1 ¿Estoy preparado para aprender trigonometría? ...................... 3

Guía 2 ¿Qué aplicaciones tienen los ángulos y lasrelaciones trigonométricas? ......................................................... 21

Guía 3 ¿Qué hay de trigonometría en un círculo? .................................. 37

Guía 4 ¿Cómo se relacionan las funciones trigonométricas? ............... 53

Guía 5 ¿Las funciones trigonométricas se pueden graficar? ................ 69

Guía 6 Las trigonométricas también tienen su forma inversa. ............ 87

UNIDAD 2 ¿QUÉ IMPORTANCIA TIENEN LAS IDENTIDADESY ECUACIONES TRIGONOMÉTRICASPARA LOS ESTUDIANTES? .......................................................................... 101

Guía 1 ¿Es posible que dos cosas diferentessean idénticas? ................................................................................. 103

Guía 2 Las Identidades: Una herramienta en los procesosmatemáticos ..................................................................................... 119

Guía 3 Sea creativo para resolver EcuacionesTrigonométricas .............................................................................. 139


Trigonometría Grado 10º 1Trigonometría Grado 10º

FUNCIONES TRIGONOMÉTRICFUNCIONES TRIGONOMÉTRICFUNCIONES TRIGONOMÉTRICFUNCIONES TRIGONOMÉTRICFUNCIONES TRIGONOMÉTRICASASASASAS

LOGROSLOGROSLOGROSLOGROSLOGROSActualiza presaberes de Matemáticas, Álgebra y Geometría.Identifica las relaciones trigonométricas de cualquier ángulo agudo en untriángulo rectángulo.Reconoce el círculo trigonométrico e identifica funciones de ángulos notables,cuadrantes, signos y variaciones.Representa gráficamente las funciones trigonométricas.Reconoce las funciones trigonométricas inversas, construye sus gráficas y deducesus propiedades principales.Participa activa y responsablemente dentro de un equipo de trabajo (TRABAJOEN EQUIPO).Usa adecuadamente la información para enfrentar soluciones (GESTIÓN DELA INFORMACIÓN).Evalúa y compara sus procesos con otros similares, para innovar y mejorar(REFERENCIACIÓN COMPETITIVA).Toma decisiones en forma acertada y oportuna (TOMA DE DECISIONES).Reconoce y aplica las tecnologías apropiadas para desarrollar diferentesactividades (MANEJO TECNOLÓGICO).Desarrolla las habilidades comunicativas de manera integral(COMUNICACIÓN).


2 Trigonometría Grado 10º 3Trigonometría Grado 10º

Indicadores de logrosIndicadores de logrosIndicadores de logrosIndicadores de logrosIndicadores de logrosRealiza operaciones básicas con enteros e identifica sus propiedades.Suma, resta, multiplica y divide números racionales.Aplica los conceptos básicos de Matemáticas para plantear y resolverproblemas.Identifica las propiedades de las figuras geométricas básicas.Concierta con el equipo los objetivos y métodos de trabajo (TRABAJO ENEQUIPO).Propone y aplica alternativas para potenciar el trabajo en su grupo decompañeros.Evalúa los logros obtenidos.Propone estrategias para mejorar el trabajo en equipo.Comparte la información y experiencia con los demás.Se adapta a cualquier tipo de equipo.Coopera con los otros para lograr los resultados del equipo, sin la mediaciónde compromisos particulares o personales.Asigna y asume los diferentes roles y compromisos del equipo.

¿ESTO¿ESTO¿ESTO¿ESTO¿ESTOY PREPY PREPY PREPY PREPY PREPARADO PARADO PARADO PARADO PARADO PARAARAARAARAARAAPRENDER TRIGONOMETRÍA?APRENDER TRIGONOMETRÍA?APRENDER TRIGONOMETRÍA?APRENDER TRIGONOMETRÍA?APRENDER TRIGONOMETRÍA?


4 Trigonometría Grado 10º

¿Estoy preparado para aprender¿Estoy preparado para aprender¿Estoy preparado para aprender¿Estoy preparado para aprender¿Estoy preparado para aprenderTTTTTrigonometría?rigonometría?rigonometría?rigonometría?rigonometría?

Para responder esta pregunta debo hacer un análisis de mis presaberes y quémejor que hacer un repaso de algunos temas básicos: operaciones con enteros,racionales, irracionales, conceptos básicos de Álgebra y Geometría.

¿QUÉ SABEMOS SOBRE¿QUÉ SABEMOS SOBRE¿QUÉ SABEMOS SOBRE¿QUÉ SABEMOS SOBRE¿QUÉ SABEMOS SOBRENÚMEROS ENTEROS?NÚMEROS ENTEROS?NÚMEROS ENTEROS?NÚMEROS ENTEROS?NÚMEROS ENTEROS?

En esta primera guía se desarrollará la competencia TRABAJO EN EQUIPO osea la capacidad para aportar e interactuar en el logro de objetivos que seasumen colectivamente y se manifiesta con la participación activa y responsablede cada uno de los integrantes del subgrupo.

Antes de iniciar el trabajo, debemos nombrar un coordinador de mesa con lassiguientes funciones:

a) Moderar el uso de la palabra.b) Mantener activa la participación de todos.c) Dirigir el trabajo, leyendo y ejecutando las instrucciones.d) Resumir las conclusiones.

Los otros alumnos participan activamente y más adelante cualquier estudiantepodrá hacer las veces de coordinador de mesa.El coordinador leerá las siguientes instrucciones:

1. Resuelva en el cuaderno los siguientes ejercicios.

a. 7 + (- 15) b. - 9 + 5 c. - 11 + (- 6)

d. - 12 + 23 e. (- 7)(6) f. (- 9)(- 8)

g. (4)(- 17) h. 36 ÷ (- 9) i. (- 60) ÷ 12

j. (- 104) ÷ (- 13) k. - 24 l. (- 3)2

m. 4 81 n. 36+64 ñ. 33 + 2( 3)3

2. Compare las respuestas con todos los compañeros del subgrupo.

5Trigonometría Grado 10º


a. b. c.

d. e. f.

g. h. i.

ES CONVENIENTE HACER UNES CONVENIENTE HACER UNES CONVENIENTE HACER UNES CONVENIENTE HACER UNES CONVENIENTE HACER UNRESUMEN DE NÚMEROS ENTEROSRESUMEN DE NÚMEROS ENTEROSRESUMEN DE NÚMEROS ENTEROSRESUMEN DE NÚMEROS ENTEROSRESUMEN DE NÚMEROS ENTEROS

Y RACIONALESY RACIONALESY RACIONALESY RACIONALESY RACIONALES

Como uno de los propósitos del equipo es de procurar que todos sus miembros,logren un repaso concienzudo, cada miembro se comprometerá según suscapacidades, a orientar, explicar y ayudar a los compañeros con algunasdificultades.

Leo y analizo, con mis compañeros de subgrupo, el siguiente contenido y loconsigno en el cuaderno.

Conjunto de los Números Enteros Está compuesto por el cero, los naturales ylos enteros negativos.

Z = {..., - 4, - 3, - 2, - 1, 0, 1, 2, 3, 4,...} = N U {0} U Z -

Números enterosNúmeros enterosNúmeros enterosNúmeros enterosNúmeros enterosSumaSumaSumaSumaSuma

Para sumar dos enteros positivos, sumo los valores absolutos y el resultadoes un entero positivo. Ejemplo: 7 + 5 = 12

Si los dos números enteros son negativos sumo los valores absolutos y elresultado es un entero negativo. Ejemplo: - 5 + (- 10) = - 15

Si los dos números enteros tienen diferente signo, resto los valores absolutos yel resultado lleva el signo del número de mayor valor absoluto.Ejemplo: - 21 + 8 = -13

2 53 9+ = 4 2

5 3- =

7 144 20

- x =

1 73 4

2 x 1 =

6 38 12 + =

( )29

- x - =( )610

( )15

- 3 x - =( )108

815

x - =( )512

2 144 1610 ÷ =



¿Estoy preparado para aprender¿Estoy preparado para aprender¿Estoy preparado para aprender¿Estoy preparado para aprender¿Estoy preparado para aprenderTTTTTrigonometría?rigonometría?rigonometría?rigonometría?rigonometría?

Para responder esta pregunta debo hacer un análisis de mis presaberes y quémejor que hacer un repaso de algunos temas básicos: operaciones con enteros,racionales, irracionales, conceptos básicos de Álgebra y Geometría.

¿QUÉ SABEMOS SOBRE¿QUÉ SABEMOS SOBRE¿QUÉ SABEMOS SOBRE¿QUÉ SABEMOS SOBRE¿QUÉ SABEMOS SOBRENÚMEROS ENTEROS?NÚMEROS ENTEROS?NÚMEROS ENTEROS?NÚMEROS ENTEROS?NÚMEROS ENTEROS?

En esta primera guía se desarrollará la competencia TRABAJO EN EQUIPO osea la capacidad para aportar e interactuar en el logro de objetivos que seasumen colectivamente y se manifiesta con la participación activa y responsablede cada uno de los integrantes del subgrupo.

Antes de iniciar el trabajo, debemos nombrar un coordinador de mesa con lassiguientes funciones:

a) Moderar el uso de la palabra.b) Mantener activa la participación de todos.c) Dirigir el trabajo, leyendo y ejecutando las instrucciones.d) Resumir las conclusiones.

Los otros alumnos participan activamente y más adelante cualquier estudiantepodrá hacer las veces de coordinador de mesa.El coordinador leerá las siguientes instrucciones:


a. 7 + (- 15) b. - 9 + 5 c. - 11 + (- 6)

d. - 12 + 23 e. (- 7)(6) f. (- 9)(- 8)

g. (4)(- 17) h. 36 ÷ (- 9) i. (- 60) ÷ 12

j. (- 104) ÷ (- 13) k. - 24 l. (- 3)2

m. 4 81 n. 36+64 ñ. 33 + 2( 3)3

2. Compare las respuestas con todos los compañeros del subgrupo.



a. b. c.

d. e. f.

g. h. i.

ES CONVENIENTE HACER UNES CONVENIENTE HACER UNES CONVENIENTE HACER UNES CONVENIENTE HACER UNES CONVENIENTE HACER UNRESUMEN DE NÚMEROS ENTEROSRESUMEN DE NÚMEROS ENTEROSRESUMEN DE NÚMEROS ENTEROSRESUMEN DE NÚMEROS ENTEROSRESUMEN DE NÚMEROS ENTEROS

Y RACIONALESY RACIONALESY RACIONALESY RACIONALESY RACIONALES

Como uno de los propósitos del equipo es de procurar que todos sus miembros,logren un repaso concienzudo, cada miembro se comprometerá según suscapacidades, a orientar, explicar y ayudar a los compañeros con algunasdificultades.

Leo y analizo, con mis compañeros de subgrupo, el siguiente contenido y loconsigno en el cuaderno.

Conjunto de los Números Enteros Está compuesto por el cero, los naturales ylos enteros negativos.

Z = {..., - 4, - 3, - 2, - 1, 0, 1, 2, 3, 4,...} = N U {0} U Z -

Números enterosNúmeros enterosNúmeros enterosNúmeros enterosNúmeros enterosSumaSumaSumaSumaSuma

Para sumar dos enteros positivos, sumo los valores absolutos y el resultadoes un entero positivo. Ejemplo: 7 + 5 = 12

Si los dos números enteros son negativos sumo los valores absolutos y elresultado es un entero negativo. Ejemplo: - 5 + (- 10) = - 15

Si los dos números enteros tienen diferente signo, resto los valores absolutos yel resultado lleva el signo del número de mayor valor absoluto.Ejemplo: - 21 + 8 = -13

2 53 9+ = 4 2

5 3- =

7 144 20

- x =

1 7 3 4

2 x 1 =

6 38 12 + =

( )29

- x - =( )610

( )15

- 3 x - =( )108

815

x - =( )512

2 144 1610 ÷ =



RestaRestaRestaRestaResta

Para restar dos números enteros sumo el minuendo con el opuesto delsustraendo. Ejemplo: 14 - 30 = 14 + (- 30) = - 16 ; - 20 - (- 7) = - 20 + 7 = - 13

Multipl icaciónMultipl icaciónMultipl icaciónMultipl icaciónMultipl icación

Para multiplicar dos números enteros tengo en cuenta la ley de los signos:+ x+ = +; - x - = +; - x + = -; + x - = -. El producto de dos números es positivo si losdos factores tienen igual signo y es negativo si los dos factores tienen signodiferente.Ejemplo: 7 x 6 = 42; (- 8) x (- 9) = 72; 6 x (- 8) = - 48; - 4 x 12 = - 48

Divis iónDivis iónDivis iónDivis iónDivis ión

Para dividir enteros aplico la misma ley de los signos que en la multiplicación.El cociente de dos números enteros positivo o de dos números enterosnegativos es siempre positivo. Ejemplo: 40 ÷ 8 = 5; (- 63) ÷ (- 9) = 7

El cociente de dos números enteros de signo diferente es siempre negativo.Ejemplo: (- 52) ÷ 4 = - 13; 36 ÷ (- 12) = - 3

PPPPPotenciaciónotenciaciónotenciaciónotenciaciónotenciación

Es el producto de factores iguales: an = a . a . a. a . a.... a (n veces)Ejemplo: 53 = 5 x 5 x 5 = 125; (- 3)4 = (- 3) x (- 3) x (- 3) x (- 3) = 81

- 25 = - (2 x 2 x 2 x 2 x 2) = - 32

RadicaciónRadicaciónRadicaciónRadicaciónRadicación

Es una operación inversa a la potenciación que permite hallar la baseconociendo el exponente y la potencia.

Ejemplo: 4 81 = +3 porque 34 = 81 y (-3) 4 = 81

La raíz par de un número positivo tiene dos signos (+) y (-).La raíz par de un número negativo no se puede hallar.La raíz impar de un número negativo es negativa.

Ejemplos: 16 = + 4; - 4 = no se puede; 3 - 8 = - 2; 3 27 = 3


EJERCICIO. Tome un juego de «PIÉNSALO» y resuelva el siguiente ejercicio:

1 -3 + 6 = 2 - 7 - (- 8) = 3 9 + (- 5)+ 3 = 4 5 + ( - 3) = 5 - 6 - 4 = 6 - 3 + (- 8) =- 7 + 8 - 6 + (- 4) =

7 6 - 18 = 8 4 + (- 9) 9 12 - 6 = 10 - 3 + (- 2) +1= 11 5 + 8 - 4 = 12 - 7 + 10 - 11 =6 + ( - 18) = 12 + (- 6) = 5 +8 + (- 4) =

A B C D E F

- 10 9 - 11 1 - 12 - 4

G H I J K L

6 7 - 5 - 8 3 2

Continúo con el análisis del contenido y lo consigno en el cuaderno.

Conjunto de los números racionalesConjunto de los números racionalesConjunto de los números racionalesConjunto de los números racionalesConjunto de los números racionalesEs el conjunto de los números de la forma , donde p y q son enteros y q esdiferente de cero.

Q = p,q ∈ Z^q ≠ O

Suma - RestaSuma - RestaSuma - RestaSuma - RestaSuma - Resta

Para sumar o restar fracciones con el mismo denominador, sumo o resto losnumeradores y coloco el mismo denominador. Luego simplifico la fracción.

a c a + c b b b

Ejemplo: 3 6 3 - 6 3 7 7 7 7

pq

- = = -

+ =

pq

{ }



RestaRestaRestaRestaResta

Para restar dos números enteros sumo el minuendo con el opuesto delsustraendo. Ejemplo: 14 - 30 = 14 + (- 30) = - 16 ; - 20 - (- 7) = - 20 + 7 = - 13


Para multiplicar dos números enteros tengo en cuenta la ley de los signos:+ x+ = +; - x - = +; - x + = -; + x - = -. El producto de dos números es positivo si losdos factores tienen igual signo y es negativo si los dos factores tienen signodiferente.Ejemplo: 7 x 6 = 42; (- 8) x (- 9) = 72; 6 x (- 8) = - 48; - 4 x 12 = - 48


Para dividir enteros aplico la misma ley de los signos que en la multiplicación.El cociente de dos números enteros positivo o de dos números enterosnegativos es siempre positivo. Ejemplo: 40 ÷ 8 = 5; (- 63) ÷ (- 9) = 7

El cociente de dos números enteros de signo diferente es siempre negativo.Ejemplo: (- 52) ÷ 4 = - 13; 36 ÷ (- 12) = - 3

PPPPPotenciaciónotenciaciónotenciaciónotenciaciónotenciación

Es el producto de factores iguales: an = a . a . a. a . a.... a (n veces)Ejemplo: 53 = 5 x 5 x 5 = 125; (- 3)4 = (- 3) x (- 3) x (- 3) x (- 3) = 81

- 25 = - (2 x 2 x 2 x 2 x 2) = - 32

RadicaciónRadicaciónRadicaciónRadicaciónRadicación

Es una operación inversa a la potenciación que permite hallar la baseconociendo el exponente y la potencia.

Ejemplo: 4 81 = +3 porque 34 = 81 y (-3) 4 = 81

La raíz par de un número positivo tiene dos signos (+) y (-).La raíz par de un número negativo no se puede hallar.La raíz impar de un número negativo es negativa.

Ejemplos: 16 = + 4; - 4 = no se puede; 3 - 8 = - 2; 3 27 = 3


EJERCICIO. Tome un juego de «PIÉNSALO» y resuelva el siguiente ejercicio:

1 -3 + 6 = 2 - 7 - (- 8) = 3 9 + (- 5)+ 3 = 4 5 + ( - 3) = 5 - 6 - 4 = 6 - 3 + (- 8) =- 7 + 8 - 6 + (- 4) =

7 6 - 18 = 8 4 + (- 9) 9 12 - 6 = 10 - 3 + (- 2) +1= 11 5 + 8 - 4 = 12 - 7 + 10 - 11 = 6 + ( - 18) = 12 + (- 6) = 5 +8 + (- 4) =

A B C D E F

- 10 9 - 11 1 - 12 - 4

G H I J K L

6 7 - 5 - 8 3 2

Continúo con el análisis del contenido y lo consigno en el cuaderno.

Conjunto de los números racionalesConjunto de los números racionalesConjunto de los números racionalesConjunto de los números racionalesConjunto de los números racionalesEs el conjunto de los números de la forma , donde p y q son enteros y q esdiferente de cero.

Q = p,q ∈ Z^q ≠ O

Suma - RestaSuma - RestaSuma - RestaSuma - RestaSuma - Resta

Para sumar o restar fracciones con el mismo denominador, sumo o resto losnumeradores y coloco el mismo denominador. Luego simplifico la fracción.

a c a + cb b b

Ejemplo: 3 6 3 - 6 3 7 7 7 7

pq

- = = -

+ =

pq

{ }




Para dividir fracciones multiplico la primera fracción por el recíproco de lasegunda. Luego simplifico el resultado.

a c a d ad b d b c bc

Ejemplo: 6 4 6 15 90 5 1 9 15 9 4 36 2 2

COMPRUEBO LO APRENDIDOCOMPRUEBO LO APRENDIDOCOMPRUEBO LO APRENDIDOCOMPRUEBO LO APRENDIDOCOMPRUEBO LO APRENDIDO

Con mis compañeros de subgrupo, utilizo el «JUEGO DE LOS DÍGITOS», pararesolver los siguientes ejercicios, usando los números del 2 al 9, sin repetir,para llenar los espacios en blanco, de tal manera que cada operación seacorrecta . No olvido compartir mi experiencia con mis compañeros de trabajo.

a) 1 1 1 1 1 4 2 8

2 1 1 5 1 9 7 7

b) 5 1 1 9 9 6 4 8

1 5 1 6 3 12 12 12

= x =÷

- - = - x - = = = 2( )÷( ) ( ) ( )

+ = + =

+ = + =

- = - =

- = - =


Para sumar fracciones con diferente denominador, hallo el MCM de losdenominadores, amplifico cada fracción para que queden con ese comúndenominador (MCM) y los sumo o resto como en el caso anterior.

Ejemplo: 5 3 M.C.M (6,8) = 24 6 8

5 3 -20 + 9 11 6 8 24 24

También puedo aplicar la fórmula a c ad + bc y simplificar lafracción resultante. b d bd

Ejemplos: 5 3 (- 5) (8) + (6) (3) - 40 + 18 22 11 6 8 (6)(8) 48 48 24

4 5 (4)(6) - (9)(5) 24 - 45 24 + ( - 45) -21 -7 79 6 (9)(6) 54 54 54 18 18


Para multiplicar fracciones, multiplico los numeradores para obtener elnumerador del producto y multiplico los denominadores para obtener eldenominador del producto. Luego simplifico el resultado.

a c ac b d bd

Ejemplo: 4 3 12 3 5 8 40 10

- + = = -

- +

+ =

- = = = = = = -

x =

x - = - = -( )

- + = = = - = -




Para dividir fracciones multiplico la primera fracción por el recíproco de lasegunda. Luego simplifico el resultado.

a c a d ad b d b c bc

Ejemplo: 6 4 6 15 90 5 1 9 15 9 4 36 2 2

COMPRUEBO LO APRENDIDOCOMPRUEBO LO APRENDIDOCOMPRUEBO LO APRENDIDOCOMPRUEBO LO APRENDIDOCOMPRUEBO LO APRENDIDO

Con mis compañeros de subgrupo, utilizo el «JUEGO DE LOS DÍGITOS», pararesolver los siguientes ejercicios, usando los números del 2 al 9, sin repetir,para llenar los espacios en blanco, de tal manera que cada operación seacorrecta . No olvido compartir mi experiencia con mis compañeros de trabajo.

a) 1 1 1 1 1 4 2 8

2 1 1 5 1 9 7 7

b) 5 1 1 9 9 6 4 8

1 5 1 6 3 12 12 12

= x =÷

- - = - x - = = = 2( )÷( ) ( ) ( )

+ = + =

+ = + =

- = - =

- = - =


Para sumar fracciones con diferente denominador, hallo el MCM de losdenominadores, amplifico cada fracción para que queden con ese comúndenominador (MCM) y los sumo o resto como en el caso anterior.

Ejemplo: 5 3 M.C.M (6,8) = 246 8

5 3 -20 + 9 11 6 8 24 24

También puedo aplicar la fórmula a c ad + bc y simplificar lafracción resultante. b d bd

Ejemplos: 5 3 (- 5) (8) + (6) (3) - 40 + 18 22 11 6 8 (6)(8) 48 48 24

4 5 (4)(6) - (9)(5) 24 - 45 24 + ( - 45) -21 -7 7 9 6 (9)(6) 54 54 54 18 18


Para multiplicar fracciones, multiplico los numeradores para obtener elnumerador del producto y multiplico los denominadores para obtener eldenominador del producto. Luego simplifico el resultado.

a c ac b d bd

Ejemplo: 4 3 12 3 5 8 40 10

- + = = -

- +

+ =

- = = = = = = -

x =

x - = - = -( )

- + = = = - = -



Propiedades de la PPropiedades de la PPropiedades de la PPropiedades de la PPropiedades de la Potenciación y Radicaciónotenciación y Radicaciónotenciación y Radicaciónotenciación y Radicaciónotenciación y Radicación

Si a,b ∈ R y n,m ∈ Z+, entonces:

a. am . an = am+n h. a -n b n

b ab. am i. n a = b ↔ bn = a

an

c. (am)n=amn j. n ab = n a . n b

d. a n an k. n a n ab bn b n b

e. (ab)n = anbn l. m n a = mn a

f. a0 = 1; a ≠ 0 m. 1 ag. a-n = ; a ≠ 0 a a

EJEMPLOS. Efectuar las potencias y radicales.

a) 22 . 23 = 25 = 2x2x2x2x2 = 32

b) = 58-5 = 53 = 5x5x5 =125

c) (32)-1 = 3-2 = =

d) = 36-6 = 30 = 1

e) 9 x 25 = 9 . 25 = 3x5 = 15

f) 3 2 64 = 6 64 = 6 26 = 2

g) 3 8 3 8 3 23 2 1

64 3 64 3 43 4 2

( ) ( )

= b ≠ 0

=

=

= am-n

= ; b ≠ 0

1an

58

55

132

19

36

36

= = = =

( )


c) 1 7 2 5 4 1 1 3

1 1 12 1 3 6 1 2

d) 4 1 6 1 3 3 1 6

5 1 7 2 1 2 8 9

Continúo, en equipo, con el repaso, lo consigno en el cuaderno y realizo losejercicios.

Conjunto de los números realesConjunto de los números realesConjunto de los números realesConjunto de los números realesConjunto de los números reales

Esta compuesto por el conjunto de los números racionales y el conjunto de losirracionales o sea de los números de infinitas cifras no periódicas.

Propiedades

R es un conjunto denso y continuo (Completa la recta)

En R son siempre posibles las operaciones de adición, sustracción,multiplicación, división, potenciación y radicación.

No es posible dividir por cero, 00 y la radicación de índice par y radicandonegativo.

X = x =

X = x =

= =

= =

÷

÷

÷

÷



Propiedades de la PPropiedades de la PPropiedades de la PPropiedades de la PPropiedades de la Potenciación y Radicaciónotenciación y Radicaciónotenciación y Radicaciónotenciación y Radicaciónotenciación y Radicación

Si a,b ∈ R y n,m ∈ Z+, entonces:

a. am . an = am+n h. a -n b n

b ab. am i. n a = b ↔ bn = a

an

c. (am)n=amn j. n ab = n a . n b

d. a n an k. n a n a b bn b n b

e. (ab)n = anbn l. m n a = mn a

f. a0 = 1; a ≠ 0 m. 1 ag. a-n = ; a ≠ 0 a a

EJEMPLOS. Efectuar las potencias y radicales.

a) 22 . 23 = 25 = 2x2x2x2x2 = 32

b) = 58-5 = 53 = 5x5x5 =125

c) (32)-1 = 3-2 = =

d) = 36-6 = 30 = 1

e) 9 x 25 = 9 . 25 = 3x5 = 15

f) 3 2 64 = 6 64 = 6 26 = 2

g) 3 8 3 8 3 23 2 1 64 3 64 3 43 4 2

( ) ( )

= b ≠ 0

=

=

= am-n

= ; b ≠ 0

1an

58

55

132

19

36

36

= = = =

( )


c) 1 7 2 5 4 1 1 3

1 1 12 1 3 6 1 2

d) 4 1 6 1 3 3 1 6

5 1 7 2 1 2 8 9

Continúo, en equipo, con el repaso, lo consigno en el cuaderno y realizo losejercicios.

Conjunto de los números realesConjunto de los números realesConjunto de los números realesConjunto de los números realesConjunto de los números reales

Esta compuesto por el conjunto de los números racionales y el conjunto de losirracionales o sea de los números de infinitas cifras no periódicas.

Propiedades

R es un conjunto denso y continuo (Completa la recta)

En R son siempre posibles las operaciones de adición, sustracción,multiplicación, división, potenciación y radicación.

No es posible dividir por cero, 00 y la radicación de índice par y radicandonegativo.

X = x =

X = x =

= =

= =

÷

÷

÷

÷



Analizo los siguientes ejemplos. Planteo y resuelvo en mi cuaderno tresejercicios similares y los presento al profesor.

a) 1 1 5 5 5 5 5 5 25 5

b) 4 4 2 4 2 4 2 2 2 3 2 3 2 2 3 4 3 x 2 3

c) 7 7 ( 7 + 2) 7 7 + 14 7 7 +14 7 7 + 14 7-2 ( 7 - 2) ( 7 + 2) ( 7) 2 - 22 7 - 4 3

Compruebo lo aprendidoCompruebo lo aprendidoCompruebo lo aprendidoCompruebo lo aprendidoCompruebo lo aprendido

Como uno de los propósitos de trabajar en equipo es evaluar los logros obtenidospara mejorar, planteamos diez preguntas para ser resueltas por otro subgrupo.Nuestro subgrupo también debe responder las diez preguntas que nos planteeotro subgrupo. Socializamos las respuestas con el profesor.

Amigos, ahora hablemos de álgebraAmigos, ahora hablemos de álgebraAmigos, ahora hablemos de álgebraAmigos, ahora hablemos de álgebraAmigos, ahora hablemos de álgebra

Una expresión algebraica es una combinación de símbolos representativos denúmeros reales, mediante las operaciones suma, diferencia, producto ycociente.

Tomo del CRA una caja de «EL ÁLGEBRA ES UN JUEGO» y resuelvo lossiguientes ejercicios, basados en la explicación del profesor. Los consigno enmi cuaderno.

1. Sumara) (5x2 - 4x + 2) + (-3x2 + 10x - 6)b) (- 9x2 + 7) + (5x2 - 8)c) (7 - 2x + 4x2) + (- 10 - 3x - 8x2)d) (8x2 - 4x - 3) + (x2 + 10x + 12)e) (6 + 6x - 6x2) + (7x2 - 4x - 11)

2. Restara) (2x2 - 3x - 5) - ( 4x2 + 6x +9)b) (- 3 + 7x + 8x2) - ( 4 - 3x + 10x2)c) (7x2 + 4) - ( - 3x + 2) - ( 4x2 + 5x - 3)d) (12x - 4x2 - 10) - ( 4 - 6x + 8x2)e) (2x2 - 3x2 + 5x2) - (- 2x - 6x + 14x) - (-9 + 8 - 3)

= X = =

= . = = =

= . = = =


=

Tomo del CRA un juego de «PIÉNSALO» y resuelvo el siguiente ejercicio.

1 2 3 4 5 6

32 .3 23 .24 45 105 62 x 63 (52)-1

42 108 65

7 8 9 10 11 12

( 23 . 2-1 )0 2 2 81 x 25 3 -36 200 3 3 -512

9 3 59

A B C D E F

1 27 64 + 45 1 1281000 25

G H I J K L

9 1 1 10 2 4 - 2125 9 9

Continúo con el repaso de números irracionales y lo consigno en el cuaderno.

Números irracionalesNúmeros irracionalesNúmeros irracionalesNúmeros irracionalesNúmeros irracionales

Es el conjunto de números con infinitas cifras decimales no periódicas.

Ejemplo: 1.4142...; 3 = 1.732... ; π = 3.141592...; 5.12739...; 1 1 2 1.4142

RacionalizaciónRacionalizaciónRacionalizaciónRacionalizaciónRacionalización

Racionalizar es quitar los radicales del denominador.

( )



Tomo del CRA el material «EL ÁLGEBRA ES UN JUEGO» y resuelvo lossiguientes ejercicios:

1. Efectúo los productos:a) (x + 3)2 =b) (x - 4)2 =c) (x + 2)3 =d) (x - 2)3 =e) (x - 5)(x + 5) =f) (x + 3)(x - 4) =g) (2x + 1)(x - 3) =h) (3x - 1)(4x - 2) =

2. Resuelvo las siguientes ecuaciones o sistemas de ecuaciones:a) 8x - 12 = 20b) 3x + 7 = 22c) 4x + 9 = - 7d) x - y = 6; 2x + y = 3e) 3x - y = 21; 2x + y = 4f) x2 + 11x + 24 = 0g) x2 - 2x - 15 = 0

Recordemos los conceptos básicos de geometríaRecordemos los conceptos básicos de geometríaRecordemos los conceptos básicos de geometríaRecordemos los conceptos básicos de geometríaRecordemos los conceptos básicos de geometría

Antes de iniciar el análisis de los conceptos básicos de Geometría, definamosentre todos las estrategias de trabajo para sacar el mayor provecho a esterepaso. Una buena idea es hacer una gráfica de los conceptos dados o darejemplos diferentes a los que aparecen en las definiciones.

* Si dos segmentos o dos ángulos son congruentes, entonces tienen igualmedida.

* Dos ángulos son suplementarios si la suma de sus medidas es 1800 ycomplementarios si la suma es 900.

* En un triángulo isósceles la bisectriz a la base es mediana y altura y losángulos de la base son congruentes.

* De acuerdo con la figura, si R1 // R2, podemos decir:


Analizo con mis compañeros de equipo el siguiente contenido y lo consigno enmi cuaderno.

Productos NotablesProductos NotablesProductos NotablesProductos NotablesProductos Notables

Si x, y ∈ R, entonces se cumple(x ± y)2 = x2 ± 2xy + y2

(x ± y)3 = x3 ± 3x2y + 3xy2 ± y3

(x ± y)(x2 m xy + y2) = x3 ± y3.(x + y)(x - y) = x2 - y2

(x + a)(x + b) = x2 + (a + b)x + ab(ax + b)(cx + d) = acx2 + (ad + bc)x + bd

Propiedades de las EcuacionesPropiedades de las EcuacionesPropiedades de las EcuacionesPropiedades de las EcuacionesPropiedades de las Ecuaciones

Si a = b entonces a + c = b + cSi a = b entonces a - c = b -cSi a = b entonces ac = bcSi a = b entonces a b

c cEcuación LinealEcuación LinealEcuación LinealEcuación LinealEcuación Lineal

La ecuación lineal se define mediante el conjunto: L = { (x, y)∈ R | y = mx +b; m y b constantes}, el cual representa una recta en el plano cartesiano.

Resolver el sistema de ecuaciones:

a1x + b1y + c1 = 0a2x + b2y + c2 = 0

es encontrar el punto de intersección de las rectas que representan, si ellas noson paralelas. Si son paralelas el sistema es incompatible.

Ecuación CuadráticaEcuación CuadráticaEcuación CuadráticaEcuación CuadráticaEcuación Cuadrática

La expresión ax2 + bx + c = 0 con a ≠ 0, se llama ecuación general de segundogrado en la incógnita x o ecuación cuadrática.

La fórmula general para la solución de la ecuación es:

- b + b2 - 4ac 2a

= , c ≠ 0

x =



Tomo del CRA el material «EL ÁLGEBRA ES UN JUEGO» y resuelvo lossiguientes ejercicios:

1. Efectúo los productos:a) (x + 3)2 =b) (x - 4)2 =c) (x + 2)3 =d) (x - 2)3 =e) (x - 5)(x + 5) =f) (x + 3)(x - 4) =g) (2x + 1)(x - 3) =h) (3x - 1)(4x - 2) =

2. Resuelvo las siguientes ecuaciones o sistemas de ecuaciones:a) 8x - 12 = 20b) 3x + 7 = 22c) 4x + 9 = - 7d) x - y = 6; 2x + y = 3e) 3x - y = 21; 2x + y = 4f) x2 + 11x + 24 = 0g) x2 - 2x - 15 = 0

Recordemos los conceptos básicos de geometríaRecordemos los conceptos básicos de geometríaRecordemos los conceptos básicos de geometríaRecordemos los conceptos básicos de geometríaRecordemos los conceptos básicos de geometría

Antes de iniciar el análisis de los conceptos básicos de Geometría, definamosentre todos las estrategias de trabajo para sacar el mayor provecho a esterepaso. Una buena idea es hacer una gráfica de los conceptos dados o darejemplos diferentes a los que aparecen en las definiciones.

* Si dos segmentos o dos ángulos son congruentes, entonces tienen igualmedida.

* Dos ángulos son suplementarios si la suma de sus medidas es 1800 ycomplementarios si la suma es 900.

* En un triángulo isósceles la bisectriz a la base es mediana y altura y losángulos de la base son congruentes.

* De acuerdo con la figura, si R1 // R2, podemos decir:


Analizo con mis compañeros de equipo el siguiente contenido y lo consigno enmi cuaderno.

Productos NotablesProductos NotablesProductos NotablesProductos NotablesProductos Notables

Si x, y ∈ R, entonces se cumple(x ± y)2 = x2 ± 2xy + y2

(x ± y)3 = x3 ± 3x2y + 3xy2 ± y3

(x ± y)(x2 m xy + y2) = x3 ± y3.(x + y)(x - y) = x2 - y2

(x + a)(x + b) = x2 + (a + b)x + ab(ax + b)(cx + d) = acx2 + (ad + bc)x + bd

Propiedades de las EcuacionesPropiedades de las EcuacionesPropiedades de las EcuacionesPropiedades de las EcuacionesPropiedades de las Ecuaciones

Si a = b entonces a + c = b + cSi a = b entonces a - c = b -cSi a = b entonces ac = bcSi a = b entonces a b c cEcuación LinealEcuación LinealEcuación LinealEcuación LinealEcuación Lineal

La ecuación lineal se define mediante el conjunto: L = { (x, y)∈ R | y = mx +b; m y b constantes}, el cual representa una recta en el plano cartesiano.

Resolver el sistema de ecuaciones:

a1x + b1y + c1 = 0a2x + b2y + c2 = 0

es encontrar el punto de intersección de las rectas que representan, si ellas noson paralelas. Si son paralelas el sistema es incompatible.

Ecuación CuadráticaEcuación CuadráticaEcuación CuadráticaEcuación CuadráticaEcuación Cuadrática

La expresión ax2 + bx + c = 0 con a ≠ 0, se llama ecuación general de segundogrado en la incógnita x o ecuación cuadrática.

La fórmula general para la solución de la ecuación es:

- b + b2 - 4ac 2a

= , c ≠ 0

x =



c) Triángulo b . hA = b = Base

2 h = Altura

d) Paralelogramo

A = b . h b = Baseh= Altura

e) Trapeciob1 + b2

A = . h b1 = Base mayor 2 b2 = Base menor

h = Altura

f) Rombo d1 x d2A = d1 = Diagonal mayor 2 d2 = Diagonal menor

g) Polígono Regularp . a

A= p = perímetro 2 a = apotema

h) Círculo

r A = πr2 r = radio

Ejercic ioEjerc ic ioEjerc ic ioEjerc ic ioEjerc ic io

* Tome las medidas a cada figura y halle el área en centímetros cuadrados.* Asocie cada figura con un ejemplo de la vida real.

aL

d1

d2

b1

b2

b

h

h

ha C

b


12

a) Los ángulos alternos internos son congruentes. Ejemplo: <λ = <ψb) Los ángulos alternos externos son congruentes. Ejemplo: <δ = <φc) Los ángulos correspondientes son congruentes. Ejemplo: <β = <φd) El ángulo exterior de un triángulo es igual a la suma de las medidas de los

ángulos interiores no adyacentes. Ejemplo: ∝ = p + λe) La suma de las medidas de los ángulos interiores de un triángulo es 1800 :

β + p + λ = 1800

f) Los ángulos consecutivos interiores son suplementarios: ∝ + θ =1800

* En un triángulo ABC rectángulo en A.

a) Si D es el punto medio de BC, entoncesAD = CD = BD

b) Si m B= 300 , entonces AC = BC(Teorema 300 - 600 - 900 )

c) (BC)2 = (AB)2 + (AC)2. El cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma delos cuadrados de los catetos (Teorema de Pitágoras)

Comparto con mis compañeros de subgrupo la información sobre áreas yresuelvo los ejercicios propuestos.

* Área de algunas regiones planas.

a)Rectángulo A=bh b=Baseh=Altura

b)Cuadrado A=LxL=L2 L=Lado

φR1θ ψ

p

γ∝ β λ ω R2

δ

300

B

D

C

A



c) Triángulo b . hA = b = Base

2 h = Altura

d) Paralelogramo

A = b . h b = Baseh= Altura

e) Trapeciob1 + b2

A = . h b1 = Base mayor 2 b2 = Base menor

h = Altura

f) Rombo d1 x d2A = d1 = Diagonal mayor 2 d2 = Diagonal menor

g) Polígono Regularp . a

A = p = perímetro 2 a = apotema

h) Círculo

r A = πr2 r = radio

Ejercic ioEjerc ic ioEjerc ic ioEjerc ic ioEjerc ic io

* Tome las medidas a cada figura y halle el área en centímetros cuadrados.* Asocie cada figura con un ejemplo de la vida real.

aL

d1

d2

b1

b2

b

h

h

ha C

b


12

a) Los ángulos alternos internos son congruentes. Ejemplo: <λ = <ψb) Los ángulos alternos externos son congruentes. Ejemplo: <δ = <φc) Los ángulos correspondientes son congruentes. Ejemplo: <β = <φd) El ángulo exterior de un triángulo es igual a la suma de las medidas de los

ángulos interiores no adyacentes. Ejemplo: ∝ = p + λe) La suma de las medidas de los ángulos interiores de un triángulo es 1800 :

β + p + λ = 1800

f) Los ángulos consecutivos interiores son suplementarios: ∝ + θ =1800

* En un triángulo ABC rectángulo en A.

a) Si D es el punto medio de BC, entoncesAD = CD = BD

b) Si m B= 300 , entonces AC = BC(Teorema 300 - 600 - 900 )

c) (BC)2 = (AB)2 + (AC)2. El cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma delos cuadrados de los catetos (Teorema de Pitágoras)

Comparto con mis compañeros de subgrupo la información sobre áreas yresuelvo los ejercicios propuestos.

* Área de algunas regiones planas.

a)Rectángulo A=bh b=Baseh=Altura

b)Cuadrado A=LxL=L2 L=Lado

φR1θ ψ

p

γ∝ β λ ω R2

δ

300

B

D

C

A



6. Un trabajador debe depositar una carretilla de abono al pie de cada uno de10 árboles que están alineados a 6 metros de distancia el uno del otro. Si elabono se encuentra 10 metros antes del primer árbol, al concluir el trabajoy regresar la carretilla al lugar del abono, ¿Cuántos metros ha recorrido eltrabajador?

Resueltos los problemas planteados, intercambiamos a varios miembros delsubgrupo, con otros subgrupos para socializar nuestras experiencias y tenerasí la oportunidad de trabajar con equipos diferentes.

COMPLEMENTCOMPLEMENTCOMPLEMENTCOMPLEMENTCOMPLEMENTAAAAACIÓN O AMPLIACIÓN O AMPLIACIÓN O AMPLIACIÓN O AMPLIACIÓN O AMPLIACIÓNCIÓNCIÓNCIÓNCIÓN

* Tome las fichas de dígitos y realice los ejercicios indicados por el profesor.

* Visite la sala virtual, utilice el CD «EL ÁLGEBRA ES UN JUEGO» y sigalas instrucciones dadas por el profesor.

* Si tiene los medios, visite la página de DESCARTES y consulte los temasque necesita reforzar.


Concluido el repaso, identificamos las dificultades principales en algunosmiembros del equipo, proponemos con la ayuda del líder, un plan demejoramiento, para corregir las deficiencias detectadas.

APLICAPLICAPLICAPLICAPLICAAAAACIONESCIONESCIONESCIONESCIONES

Con mis compañeros de subgrupo,analizamos y resolvemos lassiguientes situaciones de la vidadiaria. Escribimos en elcuaderno el procedimientopara llegar a la respuesta. Elcoordinador de mesa dirigirá la actividad.

1. Don Antonio cumple 71 años el mismo día que su hijo Óscar cumple 34años. ¿Dentro de cuantos años don Antonio tendrá el doble de la edad deÓscar?

2. Se desea sembrar árboles de naranja en un terreno que mide 3 Ha. Si paracada naranjo se necesita un área de 16 m2. ¿Cuántos árboles de naranjo sepueden sembrar?

3. Si tres terneros se alimentan durante 20 días con el pasto que contiene uncorral cuadrado de 50 m de lado. ¿Cuántos días se pueden alimentar 5terneros de igual edad, en otro corral cuadrado de iguales condiciones ycuyo lado mide el triple del lado del corral inicial?

4. Una pelota se deja caer desde una altura de 8 m. Si cada vez rebota la mitadde la altura anterior desde la cual ha caído la vez anterior, ¿Cuántoscentímetros de altura alcanzará después del 5º rebote?

5. En la mitad del terreno de una finca se siembra pasto, en la tercera parte delo que queda se siembra café y en las tres quintas partes del resto se siembramaíz. ¿Qué parte de la finca queda sin sembrar?



¿QUÉ APLIC¿QUÉ APLIC¿QUÉ APLIC¿QUÉ APLIC¿QUÉ APLICAAAAACIONES TIENEN LCIONES TIENEN LCIONES TIENEN LCIONES TIENEN LCIONES TIENEN LOS ÁNGULOS ÁNGULOS ÁNGULOS ÁNGULOS ÁNGULOSOSOSOSOSY LY LY LY LY LAS RELAS RELAS RELAS RELAS RELAAAAACIONES TRIGONOMÉTRICCIONES TRIGONOMÉTRICCIONES TRIGONOMÉTRICCIONES TRIGONOMÉTRICCIONES TRIGONOMÉTRICAS?AS?AS?AS?AS?

Indicadores de logrosIndicadores de logrosIndicadores de logrosIndicadores de logrosIndicadores de logros

Clasif ica ángulos según su medida y los dibuja con ayuda deltransportador.Identifica los ángulos complementarios, suplementarios, positivos ynegativos, ángulos en posición regular y expresa un ángulo enrevoluciones, grados sexagesimales y radianes.Identifica las relaciones trigonométricas de cualquier ángulo agudo enun triángulo rectángulo.Identifica la información requerida para ampliar sus conocimientos deuna situación o problema (GESTIÓN DE LA INFORMACIÓN).Ubica las distintas fuentes de información disponibles.Recoge organizadamente la información.Analiza la información recolectada.Utiliza la información recolectada para tomar decisiones y emprenderacciones.Reconoce la información resultante de la experiencia de otros.Organiza y archiva la información recolectada.


ESTUDIO Y ADESTUDIO Y ADESTUDIO Y ADESTUDIO Y ADESTUDIO Y ADAPTAPTAPTAPTAPTAAAAACIÓN DE LCIÓN DE LCIÓN DE LCIÓN DE LCIÓN DE LA GUÍAA GUÍAA GUÍAA GUÍAA GUÍA


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