Galileo y El Pendulo

Laboratorio de Mecnica y Ondas A. Cros, A. Cantarero y C. Ferrer Modificado por E. Ros, J.A. Font y J.A. Muoz

Prctica 4. Galileo y el pndulo 20

Galileo y el Pndulo Galileo era profesor de filosofa natural en la universidad de Pisa. Observaba con gran inters la naturaleza y los fenmenos fsicos que le rodeaban, e intentaba buscarles una explicacin. En aquella poca (1564-1642), la iglesia marcaba gran parte de la vida social y Galileo, como uno ms de su tiempo, asista asiduamente a los oficios religiosos que se celebraban en la catedral de Pisa. Para iluminar la catedral durante los oficios nocturnos se utilizaban grandes lmparas de velas que pendan mediante cadenas del techo abovedado de la catedral. Las lmparas colgaban todas a la misma distancia del techo, para iluminar mejor el Cristo y las figuras de los Santos. Galileo haba asistido ya muchas veces a los oficios religiosos, y, aunque haba admirado en varias ocasiones el hermoso trabajo de orfebrera de las lmparas, no fue hasta una tarde tormentosa de invierno cuando repar en que las lmparas se movan de una forma muy peculiar. Ya haba observado este tipo de movimiento en muchas ocasiones anteriores: en los botes del aguador, cuando llevaba el agua a su casa, en las cortinas de su habitacin, cuando haca corriente, o en los adornos que colgaban del techo de algunas viviendas lujosas. Pero hasta esa noche no haba tenido tiempo de pararse a meditar sobre el fenmeno. Ese da en especial, el fuerte viento de la tormenta haca oscilar vigorosamente las lmparas. Las que se encontraban cerca de la puerta describan grandes arcos, mientras que las lmparas prximas al altar se movan slo un poco. -Claro- pens. Cerca de la puerta, donde la tormenta arrecia, el viento es ms fuerte-. Pero haba algo que le turbaba. Le pareca que, en su vaivn, todas las lmparas tardaban el mismo tiempo en realizar una oscilacin! -No es posible- pens. Si el arco que describen es mayor, el tiempo que tardan en recorrerlo, deber tambin ser mayor. Galileo estaba decidido a comprobar si su observacin era cierta, pero tena un pequeo problema. El reloj de sol que haba en la plaza del ayuntamiento no era muy preciso, y no le vala para cronometrar el tiempo que tardaban las lmparas en oscilar (adems era de noche, claro). Ni siquiera tengo aqu un reloj de arena o de agua.



Pero un buen cientfico como Galileo no se deja frenar por semejantes contratiempos en su afn por explicar los fenmenos. -Utilizar las pulsaciones de mi corazn como reloj. Se fij en la lmpara ms cercana e intent contar cuntas pulsaciones tardaba en describir una oscilacin completa (ida y vuelta). 7 pulsaciones. Volvi a intentarlo de nuevo, por si se haba equivocado. 8 pulsaciones, 6 pulsaciones. Caramba, cada vez me sale una cosa! Eso es que mi reloj no es lo suficientemente bueno. Voy a contar diez oscilaciones, y despus dividir el nmero de pulsaciones entre 10 para obtener el valor medio de todas. Galileo se pas todo el oficio contando y contando. No era una tarea fcil contar pulsaciones y oscilaciones al mismo tiempo, pero al acabar la misa ya haba llegado a una conclusin clara:-No s cmo podr ser esto, pero est claro que todas tardan lo mismo en oscilar, igual les da desplazarse mucho que poco. Con esta idea en la mente, lleg a su casa y prepar una serie de experimentos para investigar el movimiento que llam pendular (es decir, de cosas que cuelgan o penden de un hilo). Aplicando las enseanzas de Aristteles, pens que si colgaba un cuerpo ms pesado, las oscilaciones seran ms rpidas. -Me construir dos pndulos iguales, pero uno con una bola de oro y otro con una bola de madera. Increble, los dos tardan el mismo tiempo en oscilar! Si resulta que Aristteles estaba equivocado! Si consiguiera dominar este fenmeno, podra construirme un reloj mejor que el que tengo ahora. Probar con cuerdas de distinta longitud. Efectivamente, con este ltimo experimento Galileo obtuvo la clave para dominar el tiempo. Pero todava le esperaba otra sorpresa. -Veamos, est claro que cuando utilizo un hilo largo, el pndulo tarda mucho en ir y venir, y cuando lo voy acortando la oscilacin cada vez se hace ms rpida. Pero si fabrico un pndulo el doble de largo que otro, no tarda el doble en oscilar, sino slo una vez y media ms (Galileo no tena calculadora), y tengo que hacerlo cuatro veces ms largo para que tarde el doble. Los experimentos de Galileo y las conclusiones a las que lleg tras ellos (el denominado isocronismo) constituyen la base de los relojes de pndulo, que el propio Galileo proyect (arriba, dibujo de un discpulo suyo) y que sustituiran a los relojes de sol y de arena en los aos venideros. Galileo actu siguiendo lo que ahora entendemos como mtodo cientfico, es decir, combinando la experimentacin con la matemtica para realizar predicciones cuantitativas que se tradujeran en avances tecnolgicos.



Si Galileo hubiera tenido un cronmetro lo suficientemente preciso, siguiendo el mtodo cientfico se hubiera dado cuenta de que el pndulo no es un sistema iscrono, sino que su perodo vara, aunque muy poco, al cambiar la amplitud inicial. Fue Christian Huygens, alrededor de 1650, el que analiz esta propiedad. Suponemos que en el laboratorio de primero ya te has familiarizado con las caractersticas ms bsicas del pndulo simple. En este laboratorio irs un paso ms all y estudiars la dependencia de su perodo con la amplitud. Objetivos: resolver el problema general de un pndulo para un ngulo cualquiera. Hallar el valor de la aceleracin de la gravedad y el factor de calidad de un pndulo. Hallar la equivalencia entre un pndulo fsico y un pndulo simple. Determinar experimentalmente el momento de inercia de un pndulo fsico, analizando su movimiento para distintos valores de g. Material utilizado: Pndulo simple compuesto por hilo inextensible y un cilindro de aluminio de 68.36 g. Cronmetro de precisin. Pndulo fsico de ngulo variable. Porta ngulos. Dos pesas.

1. Introduccin 1.1 Expresin general del perodo de un pndulo. La ecuacin diferencial del movimiento del pndulo simple de longitud l es:

(1)

donde .

Cuando la amplitud del movimiento es pequea el seno del ngulo puede aproximarse por el valor del ngulo en radianes, , y la ecuacin diferencial (1) adquiere la forma:

, (2)

que es la ecuacin diferencial de un movimiento armnico simple. El perodo viene dado en este caso por:

(3)

La solucin exacta de la ecuacin diferencial (1) nos lleva a una integral elptica de primera clase. La expresin para el perodo es entonces:

(4)

donde siendo 0 el ngulo inicial. Si 0 no es muy grande, podemos

desarrollar en serie la raz de la integral:



(5)

Llevando este desarrollo en serie a la integral (4) obtenemos:

(6)

con lo cual, si el ngulo inicial no es muy grande, podemos aproximar el perodo por:

(7)

1.2. El factor de calidad Q El factor de calidad de un sistema oscilante nos indica la bondad del sistema oscilante, es decir, si el sistema est muy amortiguado (en este caso sera un mal sistema oscilante, dejara de oscilar muy rpidamente) o es dbilmente amortiguado (el sistema sera un buen sistema resonante y estara oscilando mucho tiempo antes de detenerse). El factor de calidad Q se define como:

En principio, todos los sistemas oscilantes tienen un factor de calidad finito, lo que indica que pierden energa (en general por rozamiento con el aire, friccin en el punto de apoyo, etc.). El factor de calidad para un sistema dbilmente amortiguado adquiere la expresin sencilla: (8) donde es el tiempo de relajacin (tiempo caracterstico del sistema en el que la amplitud de oscilacin disminuye en un factor e). Veamos cmo puede obtenerse si aproximamos el movimiento del pndulo por el de un un oscilador dbilmente amortiguado, es decir, despreciando la dependencia del perodo con el ngulo inicial. La elongacin cambiar con el tiempo segn la expresin:

(12) donde A0cos0 representa la elongacin inicial del pndulo. Su velocidad la hallaramos derivando respecto al tiempo esta ecuacin. Si suponemos que la amortiguacin es dbil (>>T), podremos despreciar trminos del orden de T/, en cuyo caso la velocidad ser:

. (13) En la prctica se medir el factor de calidad a partir del estudio de la variacin de la velocidad con el tiempo [Ecuacin (13)].



2. Desarrollo Experimental. Primera parte 2.1. Dependencia del perodo con la amplitud Estudiar en primer lugar el funcionamiento del cronmetro de precisin. Utilizarlo primero para medir el perodo del pndulo (modo Simple Pend. 2) con el mximo nmero de decimales posible y una nica memoria. Para la medida del factor de calidad se utilizar el modo Gate y 16 memorias. Realizar medidas del perodo comenzando desde ngulos grandes (pues se trata de analizar el perodo para aplitud grande) (desde 30) y disminuyendo progresivamente de dos en dos grados hasta llegar a 14. Realizar las medidas tanto para ngulos positivos como negativos. Tomar tres medidas de cada ngulo con el fin de calcular el porcentaje de dispersin y el error asociado a las medidas. Para corregir el

error de cero, tomar como valor del perodo el promedio , donde T+ se

corresponde con un ngulo inicial 0 y T- con - 0. Medir la longitud l del pndulo con la cinta mtrica y el pie de rey (desde el punto de apoyo hasta su centro de gravedad). Representar grficamente el perodo en funcin de sen2(0/2) y deducir, mediante un ajuste por mnimos cuadrados, el valor de la aceleracin de la gravedad [Ecuacin (7)], tanto mediante la pendiente como mediante la ordenada en el origen. Comparar ambos valores entre s y con el que aparece en una tabla de un Manual de Fsica y comentar la causa de las posibles desviaciones respecto del valor de la tabla. Cmo vara el perodo del pndulo si se dobla su longitud? y si se dobla su masa? Si un reloj de pndulo de la tierra se llevara a la luna, adelantara o atrasara? 2.2 Determinacin de Q Para determinar el factor de calidad Q del pndulo estudiaremos la variacin de su velocidad con el tiempo en un punto determinado de la trayectoria cercano al punto de elongacin mnima (velocidad mxima). Fijar una amplitud inicial (por ejemplo 20). Seleccionar el modo GATE del cronmetro 6 cifras decimales y 16 memorias. Soltar el pndulo desde los 20 y esperar a que el cronmetro termine las 16 medidas. Cada una de estas medidas marca el tiempo que ha tardado el pndulo en atravesar la fotoclula. Una vez medido el dimetro del cilindro, estos datos nos permitirn determinar la velocidad del cronmetro en el punto ms bajo de su trayectoria. Si soltamos el pndulo desde 20, el tiempo transcurrido desde el inicio del movimiento hasta que cruce la primera vez el detector ser t0. Como podemos elegir el origen de tiempos cuando queramos, tomaremos t0=0. A esta medida de tiempo (0 segundos) le corresponde el primer valor de la velocidad (v0). Al cabo de medio perodo, el tiempo transcurrido desde el inicio del movimiento ser t = T/2, y su velocidad instantnea v1. Despus de n perodos, t = nT/2 y la velocidad instantnea correspondiente ser vn. De esta forma obtenemos una tabla de tiempo frente a velocidad. Por otra parte, en cada una de nuestras medidas el valor absoluto de la funcin seno de la Ecuacin (13) toma un valor constante:



por lo que no cambia de una medida a otra. La ecuacin para el mdulo de la velocidad toma entonces la forma:

(14)

Hallando el logaritmo neperiano de los dos miembros de esta ecuacin y representando ln v en funcin de t podremos determinar mediante un ajuste por mnimos cuadrados, lo que nos permitir calcular Q mediante la Ecuacin (8). Como valor de , tomar el correspondiente a 20. NOTA: no confundir el tiempo medido, que nos da la velocidad de paso del pndulo, con el tiempo transcurrido, t, obtenido a partir del perodo (t=nT/2), y que aparece en el exponente de la ecuacin (14). Cunto vale ? Qu significado fsico tiene este valor? Este pndulo ser un buen o un mal sistema oscilante? Qu factores contribuyen en mayor medida a la prdida de energa del sistema? En la deduccin de la ecuacin (13) se han despreciado trminos del orden T/ . Cul sera la nueva fase si no se desprecian dichos trminos? Pndulo fsico con g variable Con el pndulo en el espacio! En la primera parte de la prctica hemos visto que el perodo de oscilacin de un pndulo depende del valor de la gravedad. Cmo podemos cambiar el valor de g para estudiar esta dependencia? Sube con nosotros al cohete y vamos a la luna! Claro que en la luna slo obtendramos un valor experimental del perodo en funcin de g. Para obtener un nmero razonable de puntos que complete una tabla experimental tendremos que recorrernos todos los planetas del sistema solar, y an as slo obtendramos nueve datos! Aqu hay un ejemplo de los 11 cuerpos del sistema solar con densidad mayor que 3 g/cm3. Sabras calcular el valor de g en la superficie de estos cuerpos? (http://seds.lpl.arizona.edu/nineplanets/nineplanets/datamax.html#largest) Radio Masa Name (km) (kg) Dens --------- ------- ------- ---- Earth 6378 5.97e24 5.52 Mercury 2439 3.30e23 5.42 Venus 6052 4.87e24 5.26 Adrastea 10 1.91e16 4.5 Mars 3398 6.42e23 3.94 Io 1815 8.93e22 3.53



Moon 1738 7.35e22 3.34 Elara 38 7.77e17 3.3 Sinope 18 7.77e16 3.1 Lysithea 18 7.77e16 3.1 Europa 1569 4.80e22 3.01 Por suerte, se nos ha ocurrido una solucin menos aventurera. Para cambiar el valor de g utilizaremos un pndulo fsico en el que podemos variar la inclinacin del plano de oscilacin respecto a la vertical.

3. Introduccin. El pndulo fsico El pndulo fsico utilizado en esta parte de la prctica consiste en una varilla larga con una pesa mvil. La varilla puede girar alrededor de un eje que est sujeto de forma que se pueda variar su orientacin, cambiando el plano de oscilacin del pndulo. El perodo de oscilacin del sistema puede determinarse utilizando una fotoclula unida a un cronmetro de precisin. Para obtener la ecuacin de movimiento del pndulo podemos comenzar escribiendo el momento M de las fuerzas aplicadas en funcin del momento de inercia del pndulo, I, y de su aceleracin angular:

donde es el ngulo de giro de la varilla. Una de las fuerzas aplicadas al sistema ser la fuerza de la gravedad, que podemos suponer aplicada al centro de gravedad del pndulo y cuyo momento respecto al centro de giro, cuando ste se encuentra vertical, puede expresarse como:

(15) donde m es la masa total del pndulo y h la distancia desde el punto de suspensin hasta el centro de gravedad. Adems de la gravedad, sobre el pndulo actan las fuerzas de rozamiento, que en esta parte de la prctica vamos a despreciar. La ecuacin del movimiento del pndulo fsico ser entonces:

(16)

Si consideramos oscilaciones de pequea amplitud, podremos hacer la aproximacin para ngulos pequeos . Obtenemos la ecuacin de movimiento de un pndulo simple, con frecuencia propia:

(17)

La ecuacin diferencial ser:

.



En esta prctica, el sistema de montaje del pndulo permite variar el ngulo que el plano de oscilacin forma con la vertical. Este ngulo se mide con el porta-ngulos. Si es distinto de cero, la fuerza que hace oscilar el sistema corresponde a la componente de la gravedad a lo largo del pndulo:

(18) La modificacin introducida en la ecuacin de movimiento por un cambio en el ngulo

puede interpretarse mediante la introduccin de un valor efectivo de la aceleracin de la gravedad g:

(19) Con esta definicin y teniendo en cuenta la expresin (17) tenemos finalmente para la frecuencia propia del sistema:

(20) De esta forma podemos estudiar el movimiento del pndulo para distintos valores de gef.

4. Desarrollo experimental. Segunda parte

1. Medir en la balanza la masa de la pesa. Dado que la varilla es hueca y su peso es mucho menor que el de la pesa, lo despreciaremos en el anlisis de la prctica. 2. Situar la pesa cerca del extremo inferior de la varilla y medir su posicin respecto al eje de oscilacin. El centro de gravedad del sistema coincidir aproximadamente con el centro de la pesa (h). 4. Poner la varilla vertical ( = 0). 5. Conectar el cronmetro de precisin de forma que pueda medir el perodo del pndulo. Para ello, apretar la tecla roja una vez (TIME) y presionar despus varias veces la tecla azul hasta que en la pantalla aparezca la opcin PEND. A continuacin, presionar START. Habr que volver a presionar START cada vez que realicemos una medida. Situar la fotoclula de forma que el pndulo la interrumpa en su movimiento. 6. Desplazar el pndulo ligeramente de su posicin de equilibrio (nunca ms de 15) para medir el perodo. 7. Repetir la medida del perodo, para distintos ngulos, abarcando desde = 0 hasta

= 60, tomando medidas cada 5. Calcular en cada caso el valor de gef. Con los datos obtenidos hacer una grfica que permita determinar, a partir de la ecuacin (20), el momento de inercia I del sistema mediante un ajuste por mnimos cuadrados. Calcula tericamente el valor del momento de inercia a partir de la masa de la pesa y su posicin (despreciando la masa de la varilla). Compara los dos valores obtenidos de I y discute el resultado.

Bibliografa

J. B. Marion, Dinmica clsica de partculas y sistemas, Ed. Reverte, 1975. C. Kittel, N. D. Knight, M. A. Ruderman, Mecnica. Berkeley Physics Course, Vol. I, Ed. Revert, 1973.

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