Pendulo Doble[1]

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El pndulo doble catico

Julio Pozo y Jonathan Makuc Departamento de Ciencias Bsicas Facultad de Ciencias de la Ingeniera Universidad Diego Portales Casilla 298-V, Santiago e-mail: julio.pozo@udp.cl

Resumen En este trabajo se estudia el caso de un pndulo doble, como un ejemplo simple de un sistema fsico que puede exhibir un comportamiento catico. Se utiliza el formalismo de Lagrange para obtener las ecuaciones diferenciales de movimientos asociadas a los ngulos 1 y 2 respectivamente, se determinan estas ecuaciones diferenciales que resultan ser ordinarias de segundo orden no lineales y acopladas, las que se resuelven numricamente utilizando Maple. Se desarrolla un cdigo en Maple que permite representar el movimiento del sistema mediante una animacin en el espacio real, con lo cual se logra analizar y describir directamente el comportamiento del sistema en trminos de los parmetros relevantes que son las masas y las longitudes de los pndulos. Para cada caso investigado se presentan los grficos que dan cuenta de cmo se comportan los ngulos 1 y 2 en funcin del tiempo. Las figuras que se presentan y que corresponden a las animaciones durante un tiempo de 40 segundos, muestran las trayectorias reales seguidas por cada uno de los pndulos, observndose que stos ltimos pueden realizan tanto movimientos rotatorios como oscilatorios, dando cuenta de esta forma de la complejidad del movimiento. Tambin en estas figuras se observa el evidente cambio que se produce en el comportamiento del sistema al cambiar los valores de las masas y de las longitudes.

1. Introduccin: Un pndulo doble consiste en sistema formado por un pndulo que est atado a otro pndulo, tal como se muestra en la figura. Este es un ejemplo simple de un sistema fsico que puede exhibir un comportamiento catico.

r Consideremos un pndulo doble inmerso en un campo gravitatorio g , en el cual las masas m1 y m2 estn atadas por alambres rgidos de masas despreciables y de longitudes l1 y l 2 respectivamente.

1

l1

m1

2

l2

m2

2. Modelo y teora Las posiciones de las masas estn dadas por: x1 = l1 sen 1 y1 = l1 cos 1 x 2 = l1 sen 1 + l 2 sen 2 y 2 = l1 cos 1 l 2 cos 2 La energa potencial del sistema es V = m1 gy1 + m2 gy 2 Sustituyendo y1 dada por (2) e y 2 dada por (4) en (5) se encuentra V = (m1 + m2 ) gl1 cos 1 m2 gl 2 cos 2 La energa cintica del sistema est dada por: T= 1 1 1 1 2 & &2 m1 x12 + m2 x 2 m112 + m2 2 2 2 2 2 (6) (5) (1) (2) (3) (4)

(7)

Derivando con respecto al tiempo las ecuaciones (1) y (3), luego reemplazando en (7) la energa cintica toma la forma T= 1 1 2 & & & & & m1l12 12 + m2 [l12 12 + l 2 22 + 2l1 l 2 1 2 cos( 1 2 )] 2 2 (8)

El Lagrangiano L = T V est dado por L= 1 1 2 & & & & & m1l12 12 + m2 [l12 12 + l 2 22 + 2l1 l 2 1 2 cos( 1 2 ) 2 2 + (m1 + m2 ) gl1 cos 1 + m2 gl 2 cos 2

(9)

La ecuacin diferencial de movimiento de Lagrange para 1 d L L =0 & dt 1 1 tiene la forma: & & & (m1 + m2 )l1&1 + m2 l 2&2 cos( 1 2 ) + m2 l 2 22 sen( 1 2 ) + (m1 + m2 ) g sen 1 = 0 Y la ecuacin diferencial de movimiento para 2 d L & dt 2 Queda expresada como: & & & m2 l 2&2 + m2 l1&1 cos( 1 2 ) m2 l1 12 sen( 1 2 ) + m2 g sen 2 = 0 De esta forma se encuentra un par de ecuaciones de movimiento (10) y (11), cuyas soluciones que son las que describen el comportamiento completo del sistema. 3. Resultados y conclusiones Las ecuaciones diferenciales ordinarias de segundo orden acopladas (10) y (11) pueden ser resueltas numricamente para 1 y 2 con alguna eleccin adecuada para los parmetros de las condiciones iniciales. (11) L = 0 2

(10)

Cabe destacar que las ecuaciones de movimiento, tambin pueden ser obtenidas mediante el formalismo de Hamilton a partir del clculo de los momentos generalizados p1 y p 2 encontrndose los mismos resultados

3.1 Programa computacional (Cdigo Maple) Para resolver las ecuaciones diferenciales acopladas, se desarrolla un programa en Maple, que es el que se presenta a continuacin, en donde se han realizado las siguientes denominaciones theta(t ) = 1 y phi (t ) = 2restart: with(plots): with(plottools): with(DEtools): Warning, the name changecoords has been redefined Warning, the name translate has been redefined ec1:=(m[1]+m[2])*l[1]*diff(theta(t),t$2)+m[2]*l[2]*diff(phi(t), t$2)*cos(theta(t)-phi(t))+m[2]*l[2]*diff(phi(t),t)^2*sin(theta(t)phi(t))+g*(m[1]+m[2])*sin(theta(t))=0;

2 2 +m l ec1 := ( m1 + m2 ) l1 2 ( t ) ( t ) cos( ( t ) ( t ) ) 2 2 2 t t + m2 l2 ( t ) sin( ( t ) ( t ) ) + g ( m1 + m2 ) sin( ( t ) ) = 0 t ec2:=m[2]*l[2]*diff(phi(t), t$2)+m[2]*l[1]*diff(theta(t), t$2)*cos(theta(t)-phi(t))-m[2]*l[1]*diff(theta(t),t)^2*sin(theta(t)phi(t))+m[2]*g*sin(phi(t))=0;2

2 2 +m l ec2 := m2 l2 2 ( t ) ( t ) cos( ( t ) ( t ) ) 2 1 2 t t m2 l1 ( t ) sin( ( t ) ( t ) ) + m2 g sin( ( t ) ) = 0 t Ejemplo 1 (theta = Pi/2, phi = Pi/2, m1=1, m2=3) Condiciones Iniciales > condiciones:={ theta(0)=Pi, phi(0)=Pi-0.1, D(theta)(0)=0,2

D(phi)(0)=0};

condiciones := { ( 0 ) = , ( 0 ) = .1, D( )( 0 ) = 0, D( )( 0 ) = 0 }Valores de los parmetros: masas, longitudes y de la constante para la gravedad > m:=[1,3]; l:=[1,1]; g:=9.8;

m := [ 1, 3 ] l := [ 1, 1 ] g := 9.8

> Digits:=14;

Digits := 14

> f:=dsolve({ec1, ec2} union condiciones, {theta(t), phi(t)}, type=numeric, output=listprocedure, method=lsode[backfull]): > th:=subs(f, theta(t));

th := proc (t) ... end proc> ph:=subs(f, phi(t));

ph := proc (t) ... end proc

dth:=subs(f, diff(theta(t),t));

dth := proc (t) ... end procdph:=subs(f, diff(phi(t),t));

dph := proc (t) ... end proc> i:='i': razon:=i/24: cuadros:=400: for i from 0 to cuadros do pendulo1:=disk([l[1]*sin(th(razon)), -l[1]*cos(th(razon))], 0.05*m[1]^(1/3), color=black); pendulo2:=disk([l[1]*sin(th(razon))+l[2]*sin(ph(razon)), l[1]*cos(th(razon))-l[2]*cos(ph(razon))], 0.05*m[2]^(1/3), color=blue); linea1:=line([0,0], [l[1]*sin(th(razon)), -l[1]*cos(th(razon))], color=red, thickness=2); linea2:=line([l[1]*sin(th(razon)), -l[1]*cos(th(razon))], [l[1]*sin(th(razon))+l[2]*sin(ph(razon)), -l[1]*cos(th(razon))l[2]*cos(ph(razon))], color=green, thickness=2); pto.i:=[l[1]*sin(th(razon))+l[2]*sin(ph(razon)), -l[1]*cos(th(razon))l[2]*cos(ph(razon))];

if i > 0 then estela2.i:=line(pto.(i-1), pto.i, color=orange); p.i:=pointplot([l[1]*sin(th(razon)), -l[1]*cos(th(razon))], color=gray); puntos:=display(estela2.(1..i), p.(1..i)); t.i:=display(pendulo1, pendulo2, linea1, linea2, puntos); else t.i:=display(pendulo1, pendulo2, linea1, linea2); fi: od: display(t.(0..cuadros), insequence=true, view=[1.1*(l[1]+l[2])..1.1*(l[1]+l[2]), -1.1*(l[1]+l[2])..1.1*(l[1]+l[2])]); >

Figura que realiza la animacin y que muestra las condiciones iniciales consideradas

> with(plottools): with(DEtools): > DEplot({ec1, ec2}, [theta(t), phi(t)], t=0..40, [[theta(0)=Pi/2, D(theta)(0)=0,phi(0)=0,D(phi)(0)=0]], stepsize=0.1); > DEplot({ec1, ec2}, [phi(t), theta(t)], t=0..40, [[theta(0)=Pi/2, D(theta)(0)=0,phi(0)=0,D(phi)(0)=0]], stepsize=0.1);

3.3 Resultados de las animaciones La figura 1 muestra el movimiento real de los pndulos despus de 40 segundos, cuando las longitudes son iguales y la masa del primer pndulo es menor que la del segundo

figura1:

l 1 = l 2 m1 = m2 / 3

Dependencia de los ngulos con el tiempo correspondiente a la figura 1 1 (t ) 2 (t )

La figura 2 muestra el movimiento real (trayectorias) de los pndulos despus de 40 segundos, para los valores de los parmetros que se indican

figura 2:

l1 = l 2 / 2 ; m2 = 3m1

Las siguientes figuras muestran la dependencia temporal de los ngulos en el tiempo de la figura 2

1 (t )

2 (t )

La figura 3 muestra el movimiento real (trayectorias) de los pndulos despus de 40 segundos, para los valores de los parmetros que se indican

figura 3 :

l1 = 2l 2 ; m2 = 3m1

Las siguientes figuras muestran la dependencia temporal de los ngulos en el tiempo de la figura 3

1 (t )

2 (t )

La figura 4 muestra el movimiento real (trayectorias) de los pndulos despus de 40 segundos, para los valores de los parmetros que se indican

figura 4:

l1 = l 2 ; m1 = 2m2

Las siguientes figuras muestran la dependencia temporal de los ngulos en el tiempo de la figura 4

1 (t )

2 (t )

La figura 5 muestra el movimiento real (trayectorias) de los pndulos despus de 40 segundos, para los valores de los parmetros que se indican

figura 5:

l1 = l 2 ; m1 = m2

Las siguientes figuras muestran la dependencia temporal de los ngulos en el tiempo de la figura 5

1 (t )

2 (t )

La figura 6 ilustra el movimiento real (trayectorias) de los pndulos despus de 40 segundos, para los valores de los parmetros que se indican

figura 6:

l1 = l 2 / 2 ; m1 = 3m2

Las siguientes figuras muestran la dependencia temporal de los ngulos en el tiempo de la figura 6

3.4 Conclusiones finales Finalmente cabe destacar que el archivo que permite obtener las figuras anteriores y realizar las animaciones correspondientes, aparece en el sitio: www.apuntesudp.com Bibliografa 1. Landau y Lifshitz, Mecnica 2. J. Pozo, Apuntes de Mecnica Racional (U.D.P.)3. R. Deveney, Chaotic Dynamical Systems