Pendulo Torsion
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Prctica 7: Pndulo de Torsin
Jos Manuel Romero Gonzlez y Paloma Rodrguez Casales
May 7, 2014
Abstract
En esta prctica se pretende determinar el momento de inercia de un
pndulo de torsin, su constante de torsin y su mdulo de rigidez, para
ello se calcular primero el perodo de oscilacin del pndulo, acto seguido
se le agregar una pieza y se estudiar el nuevo periodo de oscilacin que se
incrementar, con esos datos se podr determinar el momento de Inercia I
del pndulo, relaccionandolo con su constante de torsin y posteriormente
con el mdulo de rigidez.
1 Introduccin
El momento de inercia (smbolo I) es una medida de la inercia rotacional de
un cuerpo. Cuando un cuerpo gira en torno a uno de los ejes principales de
inercia, la inercia rotacional puede ser representada como una magnitud escalar
llamada momento de inercia. Sin embargo, en el caso ms general posible la
inercia rotacional debe representarse por medio de un conjunto de momentos de
inercia y componentes que forman el llamado tensor de inercia. La descripcin
tensorial es necesaria para el anlisis de sistemas complejos, como por ejemplo
en movimientos giroscpicos.
El momento de inercia reeja la distribucin de masa de un cuerpo o de un
sistema de partculas en rotacin, respecto a un eje de giro. El momento de
inercia slo depende de la geometra del cuerpo y de la posicin del eje de giro;
pero no depende de las fuerzas que intervienen en el movimiento.
El momento de inercia desempea un papel anlogo al de la masa inercial en
el caso del movimiento rectilneo y uniforme. Es el valor escalar del momento
angular longitudinal de un slido rgido.
Denicin Dado un sistema de partculas y un eje arbitrario, el momento
de inercia del mismo se dene como la suma de los productos de las masas de
las partculas por el cuadrado de la distancia r de cada partcula a dicho eje.
Matemticamente se expresa como:
I =
mir2i
Para un cuerpo de masa continua (Medio continuo), se generaliza como:
I =mr2dm =
Vr2 dV
1
El subndice V de la integral indica que se integra sobre todo el volumen del
cuerpo. Se resuelve a travs de una integral triple.
Este concepto desempea en el movimiento de rotacin un papel anlogo al
de masa inercial en el caso del movimiento rectilneo y uniforme. La masa es la
resistencia que presenta un cuerpo a ser acelerado en traslacin y el Momento
de Inercia es la resistencia que presenta un cuerpo a ser acelerado en rotacin.
As, por ejemplo, la segunda ley de Newton: \scriptstyle{F = m a} tiene como
equivalente para la rotacin:
= I donde :es el momento aplicado al cuerpoI es el momento de inercia del cuerpo con
respecto al eje de rotacin y = d2dt2 es la aceleracin angular. Siempre y cuando
la distancia con respecto al sistema de referencia permanezca constante.
La energa cintica de un cuerpo en movimiento con velocidad v es
12mv
2,
mientras que la energa cintica de un cuerpo en rotacin con velocidad angular
es
12 I
2, donde I es el momento de inercia con respecto al eje de rotacin.
La conservacin de la cantidad de movimiento o momento lineal tiene por
equivalente la conservacin del momento angular
~L:
~L = I~El vector momento angular, en general, no tiene la misma direccinque el vector velocidad angular ~. Ambos vectores tienen la misma direccin si
el eje de giro es un eje principal de inercia. Cuando un eje es de simetra entonces
es eje principal de inercia y entonces un giro alrededor de ese eje conduce a un
momento angular dirigido tambin a lo largo de ese eje.
El mdulo de elasticidad transversal, tambin llamado mdulo de cizal-
ladura, es una constante elstica que caracteriza el cambio de forma que ex-
perimenta un material elstico (lineal e istropo) cuando se aplican esfuerzos
cortantes. Este mdulo recibe una gran variedad de nombres, entre los que cabe
destacar los siguientes: mdulo de rigidez transversal, mdulo de corte, mdulo
de cortadura, mdulo elstico tangencial, mdulo de elasticidad transversal, y
segunda constante de Lam.
Para un material elstico lineal e istropo, el mdulo de elasticidad transver-
sal es una constante con el mismo valor para todas las direcciones del espacio. En
materiales anistropos se pueden denir varios mdulos de elasticidad transver-
sal, y en los materiales elsticos no lineales dicho mdulo no es una constante
sino que es una funcin dependiente del grado de deformacin.
Denicin Experimentalmente el mdulo elstico transversal (o mdulo cor-
titilatante) puede medirse de varios modos, conceptualmente la forma ms sen-
cilla es considerar un cubo como el de la g. 1 y someterlo a una fuerza cortante,
para pequeas deformaciones se puede calcular la razn entre la tensin y la dis-
torsin angular:
G := m F/Ax/l = FlxAExperimental tambin puede medirse a partir de experimentos de torsin,
por lo que dicha constante no slo interviene en los procesos de cizalladura.
2
2 Fundamento Terico
La ecuacin fundamental de la dinamica de la rotacin establece que el mo-
mento externo M que actua sobre un cuerpo que gira al rededor de un eje jo
es proporcional a la aceleracin angular que le produce, denominandose dicha
constante momento de incercia I del cuerpo respecto a dicho eje.
M = I
El momento de incercia se puede calcular como la suma de los productos de
todos los elementos de masa dm del cuerpo por el cuadrado de su distancia r al
eje de giro.
I =
r2dm
Hacia 1779, Coulomb abordaba el estudio del pndulo de torsin con ocasin
de estar buscando la mejor tcnica para la brjula marina. En esencia, el pn-
dulo de torsin esta formado por un hilo inextensible, anclado a un extremo,
mientras que en el otro extremo, cuelga de el un cuerpo fsico con un momento
de incercia determinado. Si se aplica un momento al pendulo de torsin, el
alambre se retuerce y reaciona elsticamente con un momento recuperador en
sentido contrario al aplicado, denomidado momento de torsin. Para gulos de
torsin de pequea amplitud, el valor del momento M es proporcional al ngulo
; de modo que se cumple:
M = D
Dnde D es la constante de torsin, que est relacionada con el mdulo de
rigidez por:
D =r4G
2lSupongamos una barra de longitud l y radio r dispuesta verticalmente, con
su extremo superior jo:
El extremo inferior est sujeto a un dispositivo que se puede girar libremente.
Dndole un leve giro al cuerpo fsico, el momento exterior aplicado, M = D,es neutralizado por un momento elstico. Es decir, en el alambre, se desarrollan
fuerzas elsticas que tienden a devolver el alambre y al cuerpo P a la posicin
de partida. Pero, debido a la velocidad angular que lleva, se rebasa la posicin
de equilibrio y el sistema ejecuta oscilaciones en torno a dicha posicin, con
torsiones alternativas en uno y otro sentido. Se dice que el sistema constituye
un pndulo de torsin. Como se trata de un movimiento de rotacin, como ya
hemos mencionado antes, el momento de las fuerzas ser igual al producto del
momento de inercia I del sistema mvil por la aceleracin angular:
D = I d2
dt2
3
De la ecuacin del periodo, podemos obtener la relacin entre I/D, pero no
ambas por separado. Para resolver este problema, se aade al sistema un cuerpo
de momento de inercia conocidoI0 respecto al eje de rotacin. Haciendo oscilarel sistema tendramos un nuevo periodo dado por:
T0 = 2
I + I0D
El momento de inercia I0del cilindro se puede determinar con mucha pre-cisin a partir de las dimensiones geomtricas y la masa del cuerpo aadido al
sistema, si su forma geomtrica es sencilla.
Eliminando D de T y T0 , obtenemos:
I=I0T 2
T 20 T 2(2)
y eliminando I entre las mismas ecuaciones:
D = 42I0
T20 T2(3)
Una vez obtenido el valor de D, el de G se calcula a partir de la ecuacin anterior.
3 Procedimiento Experimental y Conclusin
El pndulo de torsin de esta prctica est formado por un alambre de unos 100
cm de longitud, sujeto por su parte superior, y cuyo extremo inferior va unido
a un disco metlico.
1. Gire la masa del pndulo entorno al eje vertical y dejelo en libertad. El
disco comenzar a oscilar en un plano horizontal.
2. Determine con el cronmetro la duracin de 50 oscilaciones completas,
repitiendo la operacin tres veces y realizando los clculos de dispersin
pertinentes para decidir el nmero de medidas necesarias.
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Primero, medimos la duracin de 50 oscilaciones completas. La dispersin
de las medidas obtenidas es menor del 2%:
n tiempo periodo
50 3736 ' 187,360, 0150 3' 7 44 ' 187,440, 0150 3' 7 28 ' 187,280, 01La media es 187,360, 01 s y el periodo T=3,74720, 0001 s y la dispersinde errores es menor al 2%. (Clculo de Dispersin de Errores (Dispersin
1))
3. Aada la pieza adicional y mida de nuevo el periodo T0en la misma formaque antes
n tiempo periodo
50 4' 22 22 ' 262,220, 0150 4' 21 94 ' 261,940, 0150 4' 22 25 ' 262,250, 01La media es 262,1370, 01 s y el periodo T0es 5,242740, 0001 s y sudispersin es menor del 2%. (Clculo de Dispersin de Errores (Dispersin
1))
4. Determine la masa de esta pieza y todas sus dimensiones geomtricas.
Midiendo con unbalanza obtenemos una masa de 5000,01 g
El radio R de la circunferencia exterior 0, 03050, 001 mEl radio menor r de la pieza 0,00650, 001 m
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