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  • Prctica 7: Pndulo de Torsin

    Jos Manuel Romero Gonzlez y Paloma Rodrguez Casales

    May 7, 2014

    Abstract

    En esta prctica se pretende determinar el momento de inercia de un

    pndulo de torsin, su constante de torsin y su mdulo de rigidez, para

    ello se calcular primero el perodo de oscilacin del pndulo, acto seguido

    se le agregar una pieza y se estudiar el nuevo periodo de oscilacin que se

    incrementar, con esos datos se podr determinar el momento de Inercia I

    del pndulo, relaccionandolo con su constante de torsin y posteriormente

    con el mdulo de rigidez.

    1 Introduccin

    El momento de inercia (smbolo I) es una medida de la inercia rotacional de

    un cuerpo. Cuando un cuerpo gira en torno a uno de los ejes principales de

    inercia, la inercia rotacional puede ser representada como una magnitud escalar

    llamada momento de inercia. Sin embargo, en el caso ms general posible la

    inercia rotacional debe representarse por medio de un conjunto de momentos de

    inercia y componentes que forman el llamado tensor de inercia. La descripcin

    tensorial es necesaria para el anlisis de sistemas complejos, como por ejemplo

    en movimientos giroscpicos.

    El momento de inercia reeja la distribucin de masa de un cuerpo o de un

    sistema de partculas en rotacin, respecto a un eje de giro. El momento de

    inercia slo depende de la geometra del cuerpo y de la posicin del eje de giro;

    pero no depende de las fuerzas que intervienen en el movimiento.

    El momento de inercia desempea un papel anlogo al de la masa inercial en

    el caso del movimiento rectilneo y uniforme. Es el valor escalar del momento

    angular longitudinal de un slido rgido.

    Denicin Dado un sistema de partculas y un eje arbitrario, el momento

    de inercia del mismo se dene como la suma de los productos de las masas de

    las partculas por el cuadrado de la distancia r de cada partcula a dicho eje.

    Matemticamente se expresa como:

    I =

    mir2i

    Para un cuerpo de masa continua (Medio continuo), se generaliza como:

    I =mr2dm =

    Vr2 dV

    1

  • El subndice V de la integral indica que se integra sobre todo el volumen del

    cuerpo. Se resuelve a travs de una integral triple.

    Este concepto desempea en el movimiento de rotacin un papel anlogo al

    de masa inercial en el caso del movimiento rectilneo y uniforme. La masa es la

    resistencia que presenta un cuerpo a ser acelerado en traslacin y el Momento

    de Inercia es la resistencia que presenta un cuerpo a ser acelerado en rotacin.

    As, por ejemplo, la segunda ley de Newton: \scriptstyle{F = m a} tiene como

    equivalente para la rotacin:

    = I donde :es el momento aplicado al cuerpoI es el momento de inercia del cuerpo con

    respecto al eje de rotacin y = d2dt2 es la aceleracin angular. Siempre y cuando

    la distancia con respecto al sistema de referencia permanezca constante.

    La energa cintica de un cuerpo en movimiento con velocidad v es

    12mv

    2,

    mientras que la energa cintica de un cuerpo en rotacin con velocidad angular

    es

    12 I

    2, donde I es el momento de inercia con respecto al eje de rotacin.

    La conservacin de la cantidad de movimiento o momento lineal tiene por

    equivalente la conservacin del momento angular

    ~L:

    ~L = I~El vector momento angular, en general, no tiene la misma direccinque el vector velocidad angular ~. Ambos vectores tienen la misma direccin si

    el eje de giro es un eje principal de inercia. Cuando un eje es de simetra entonces

    es eje principal de inercia y entonces un giro alrededor de ese eje conduce a un

    momento angular dirigido tambin a lo largo de ese eje.

    El mdulo de elasticidad transversal, tambin llamado mdulo de cizal-

    ladura, es una constante elstica que caracteriza el cambio de forma que ex-

    perimenta un material elstico (lineal e istropo) cuando se aplican esfuerzos

    cortantes. Este mdulo recibe una gran variedad de nombres, entre los que cabe

    destacar los siguientes: mdulo de rigidez transversal, mdulo de corte, mdulo

    de cortadura, mdulo elstico tangencial, mdulo de elasticidad transversal, y

    segunda constante de Lam.

    Para un material elstico lineal e istropo, el mdulo de elasticidad transver-

    sal es una constante con el mismo valor para todas las direcciones del espacio. En

    materiales anistropos se pueden denir varios mdulos de elasticidad transver-

    sal, y en los materiales elsticos no lineales dicho mdulo no es una constante

    sino que es una funcin dependiente del grado de deformacin.

    Denicin Experimentalmente el mdulo elstico transversal (o mdulo cor-

    titilatante) puede medirse de varios modos, conceptualmente la forma ms sen-

    cilla es considerar un cubo como el de la g. 1 y someterlo a una fuerza cortante,

    para pequeas deformaciones se puede calcular la razn entre la tensin y la dis-

    torsin angular:

    G := m F/Ax/l = FlxAExperimental tambin puede medirse a partir de experimentos de torsin,

    por lo que dicha constante no slo interviene en los procesos de cizalladura.

    2

  • 2 Fundamento Terico

    La ecuacin fundamental de la dinamica de la rotacin establece que el mo-

    mento externo M que actua sobre un cuerpo que gira al rededor de un eje jo

    es proporcional a la aceleracin angular que le produce, denominandose dicha

    constante momento de incercia I del cuerpo respecto a dicho eje.

    M = I

    El momento de incercia se puede calcular como la suma de los productos de

    todos los elementos de masa dm del cuerpo por el cuadrado de su distancia r al

    eje de giro.

    I =

    r2dm

    Hacia 1779, Coulomb abordaba el estudio del pndulo de torsin con ocasin

    de estar buscando la mejor tcnica para la brjula marina. En esencia, el pn-

    dulo de torsin esta formado por un hilo inextensible, anclado a un extremo,

    mientras que en el otro extremo, cuelga de el un cuerpo fsico con un momento

    de incercia determinado. Si se aplica un momento al pendulo de torsin, el

    alambre se retuerce y reaciona elsticamente con un momento recuperador en

    sentido contrario al aplicado, denomidado momento de torsin. Para gulos de

    torsin de pequea amplitud, el valor del momento M es proporcional al ngulo

    ; de modo que se cumple:

    M = D

    Dnde D es la constante de torsin, que est relacionada con el mdulo de

    rigidez por:

    D =r4G

    2lSupongamos una barra de longitud l y radio r dispuesta verticalmente, con

    su extremo superior jo:

    El extremo inferior est sujeto a un dispositivo que se puede girar libremente.

    Dndole un leve giro al cuerpo fsico, el momento exterior aplicado, M = D,es neutralizado por un momento elstico. Es decir, en el alambre, se desarrollan

    fuerzas elsticas que tienden a devolver el alambre y al cuerpo P a la posicin

    de partida. Pero, debido a la velocidad angular que lleva, se rebasa la posicin

    de equilibrio y el sistema ejecuta oscilaciones en torno a dicha posicin, con

    torsiones alternativas en uno y otro sentido. Se dice que el sistema constituye

    un pndulo de torsin. Como se trata de un movimiento de rotacin, como ya

    hemos mencionado antes, el momento de las fuerzas ser igual al producto del

    momento de inercia I del sistema mvil por la aceleracin angular:

    D = I d2

    dt2

    3

  • De la ecuacin del periodo, podemos obtener la relacin entre I/D, pero no

    ambas por separado. Para resolver este problema, se aade al sistema un cuerpo

    de momento de inercia conocidoI0 respecto al eje de rotacin. Haciendo oscilarel sistema tendramos un nuevo periodo dado por:

    T0 = 2

    I + I0D

    El momento de inercia I0del cilindro se puede determinar con mucha pre-cisin a partir de las dimensiones geomtricas y la masa del cuerpo aadido al

    sistema, si su forma geomtrica es sencilla.

    Eliminando D de T y T0 , obtenemos:

    I=I0T 2

    T 20 T 2(2)

    y eliminando I entre las mismas ecuaciones:

    D = 42I0

    T20 T2(3)

    Una vez obtenido el valor de D, el de G se calcula a partir de la ecuacin anterior.

    3 Procedimiento Experimental y Conclusin

    El pndulo de torsin de esta prctica est formado por un alambre de unos 100

    cm de longitud, sujeto por su parte superior, y cuyo extremo inferior va unido

    a un disco metlico.

    1. Gire la masa del pndulo entorno al eje vertical y dejelo en libertad. El

    disco comenzar a oscilar en un plano horizontal.

    2. Determine con el cronmetro la duracin de 50 oscilaciones completas,

    repitiendo la operacin tres veces y realizando los clculos de dispersin

    pertinentes para decidir el nmero de medidas necesarias.

    4

  • Primero, medimos la duracin de 50 oscilaciones completas. La dispersin

    de las medidas obtenidas es menor del 2%:

    n tiempo periodo

    50 3736 ' 187,360, 0150 3' 7 44 ' 187,440, 0150 3' 7 28 ' 187,280, 01La media es 187,360, 01 s y el periodo T=3,74720, 0001 s y la dispersinde errores es menor al 2%. (Clculo de Dispersin de Errores (Dispersin

    1))

    3. Aada la pieza adicional y mida de nuevo el periodo T0en la misma formaque antes

    n tiempo periodo

    50 4' 22 22 ' 262,220, 0150 4' 21 94 ' 261,940, 0150 4' 22 25 ' 262,250, 01La media es 262,1370, 01 s y el periodo T0es 5,242740, 0001 s y sudispersin es menor del 2%. (Clculo de Dispersin de Errores (Dispersin

    1))

    4. Determine la masa de esta pieza y todas sus dimensiones geomtricas.

    Midiendo con unbalanza obtenemos una masa de 5000,01 g

    El radio R de la circunferencia exterior 0, 03050, 001 mEl radio menor r de la pieza 0,00650, 001 m

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