Péndulo Invertido AnalógicoLaboratorio de Sistemas de Control, Facultad de Ingeniería. Escuela

de Ingeniería Eléctrica

Universidad Rafael Urdaneta. Maracaibo Venezuela

Extracto

El péndulo invertido se basa en un

control de estabilización lineal que puede

ser utilizado para mantener estable

elementos que por fuerza externa o propio

desequilibrio de su peso, cambie de

posición constantemente. Estos controles

son el principio de estabilizadores

automáticos de vuelo y del giroscopio pero

en su versión más simple.

1. Introducción

El objetivo de la siguiente práctica fue el estudio del control PID

analógico por medio de la utilización de amplificadores operacionales

para lograr el equilibrio o estabilización de una masa de movimiento

lineal. Se podrá observar el uso de cada uno de los amplificadores y

cada etapa. Como también las dificultades que presento el proyecto y

soluciones ante cada problema. Problemas como el peso de la masa,

a su vez el sistema de alimentación del motor y elementos del circuito.

El logro del punto medio por medio del ajuste de los controles de los

amplificadores operacionales y complicaciones al momento del diseño.

2.- Objetivos

Diseñar un elemento estabilizador de una masa con movimiento

lineal por medio de la utilización de amplificadores

operacionales. Realizando etapas comparadoras de control

proporcional integrativo y derivativo. En este caso utilizando el

ajuste con un arreglo para un amplificador integrativo.

3.- Aspectos de Funcionamiento:

El circuito basa su control de estabilización en un control PID

analógico. Para esto fueron necesarias además de las etapas

comparadores, una etapa intregativa y otra de potencia con arreglo

para amplificación a un puente T.

Primera etapa: Amplificador Operacional Diferencial.

Este circuito presenta como característica notable la amplificación de la diferencia entre las dos tensiones de entrada. Presenta el inconveniente de que la impedancia de entrada del amplificador disminuye sensiblemente y además las dos resistencias R1 y las dos R2 deben ser exactamente iguales.

Puesto que sabemos que las tensiones de las patillas inversora y no inversora deben ser iguales, podemos afirmar que tanto las resistencias R1 y R2 superiores como las R1 y R2 inferiores se encuentran en serie. Puesto que sabemos que las tensiones de las patillas inversora y no inversora deben ser iguales, podemos afirmar que tanto las resistencias R1 y R2 superiores como las R1 y R2 inferiores se encuentran en serie. Planteando las ecuaciones:

De estas dos igualdades (donde Va es la tensión de entrada tanto en la patilla no inversora como en la inversora) podemos obtener la tensión de salida en función de los valores R1, R2 y las tensiones de entrada Para ello despejamos lo valores Va de ambas expresiones obteniendo:

Igualando ambas expresiones resulta trivial obtener la expresión final de la tensión de salida:

Como se puede ver esta configuración amplifica o atenúa la diferencia existente en las dos entradas V2 y V1.

Segunda Etapa: Amplificador operacional

El comparador, está constituido por un amplificador operacional en lazo abierto y suele usarse para comparar una tensión variable con otra tensión fija que se utiliza como referencia.

En este circuito, la salida (Vo), solo puede tomar dos valores de tensión distintos, que son precisamente los valores de tensión con que estemos alimentando el amplificador operacional (+Vcc, -Vcc).

Para entender el funcionamiento, estudiemos el siguiente circuito

En este circuito, estamos alimentando el amplificador operacional (A.O.) con dos tensiones +Vcc = 15V y -Vcc = -15 V. Conectamos la patilla V+ del A.O. a tierra para que sirva como tensión de referencia, en este caso 0 V. A la entrada V- del A.O. hemos conectado una fuente de tensión (Vi) variable en el tiempo, en este caso es una tensión sinusoidal. Hay que hacer notar que la tensión de referencia no tiene por qué estar en la entrada V+, también puede conectarse a la patilla V-, en este caso, conectaríamos la tensión que queremos

comparar con respecto a la tensión de referencia, a la entrada V+ del A.O.A la salida (Vo) del A.O. puede haber únicamente dos niveles de tensión que son en nuestro caso 15 _o -15 V (considerando el A.O. como ideal, si fuese real las tensiones de salida serán algo menores).

Cuando la tensión sinusoidal Vi toma valores positivos, el A.O. se satura a negativo, esto significa que como la tensión es mayor en la entrada V- que en la entrada V+, el A.O. entrega a su salida una tensión negativa de -15 V.

Cuando la tensión sinusoidal Vi toma valores negativos, el A.O. se satura a positivo, esto es, al estar su patilla V+ a mayor potencial que la patilla V-, el A.O. entrega a su salida una tensión positiva de 15 V.

Al comparador, es bastante difícil mantener la tensión de salida entre los dos estados ya que a la entrada siempre hay una diferencia de señal de mV.

Disparador de schmit (comparador con realimentación)

Un Schmitt trigger cambia su estado de salida cuando la tensión en su entrada sobrepasa un determinado nivel; la salida no vuelve a cambiar cuando la entrada baja de ese voltaje, sino que el nivel de tensión para el cambio es otro distinto, más bajo que el primero. A este efecto se conoce como ciclo de histéresis. Ésta es la principal diferencia con un comparador normal, que es un simple amplificador operacional sin realimentación, y que su salida depende únicamente de la entrada mayor.

El trigger Schmitt usa la histéresis para prevenir el ruido que podría solaparse a la señal original y que causaría falsos cambios de estado si los niveles de referencia y entrada son parecidos.

Para su implementación se suele utilizar un amplificador operacional realimentado positivamente. Los niveles de referencia pueden ser controlados ajustando las resistencias R1 y R2:

Por ejemplo, si el trigger inicialmente está activado, la salida estará en estado alto a una tensión Vout = +Vs, y las dos resistencias formarán un divisor de tensión entre la salida y la entrada. La tensión entre las dos resistencias (entrada +) será V+, que es comparada con la tensión en la entrada −, que supondremos 0V (en este caso, al no haber realimentación negativa en el operacional, la tensión entre las dos entradas no tiene porque ser igual). Para producir una transición a la salida, V+ debe descender y llegar, al menos, a 0V. En este caso la tensión de entrada es:

Llegado este punto la tensión a la salida cambia a Vout=−Vs. Por un razonamiento equivalente podemos llegar a la condición para pasar de −Vs a +Vs:

Con esto se hace que el circuito cree una banda centrada en cero, con niveles de disparo ±(R1/R2)VS. La señal de entrada debe salir de esa banda para conseguir cambiar la tensión de salida.

Si R1 es cero o R2 es infinito (un circuito abierto), la banda tendrá una anchura de cero y el circuito funcionará como un comparador normal.

Tercera Etapa: Amplificador Integrador

Un circuito integrador realiza un proceso de suma llamado integración. La tensión de salida del circuito integrador es proporcional al área bajo la curva de entrada (onda de entrada), para cualquier instante.

Integrador con un amplificador operacional

En el siguiente gráfico se puede ver una señal de entrada (línea recta) de 3 voltios que se mantiene continuo con el pasar del tiempo.

Onda de entrada

En el siguiente gráfico se muestra que el área bajo la curva en un momento cualquiera es igual al valor de la entrada multiplicado por el tiempo. Vsal = Vent x t

Onda de salida

Por ejemplo:

Al terminar el primer segundo, el área bajo la curva es Vent x t = 3 x 1 = 3 al terminar el siguiente segundo, el área bajo la curva es Vent x t = 3 x 2 =6al terminar el tercer segundo, el área bajo la curva es Vent x t = 3 x 3 = 9al terminar el cuarto segundo, el área bajo la curva es Vent x t = 3 x 4 = 12

Dando los valores de R = 1 MΩ y C = 1 uF al primer gráfico, el valor de la tensión de salida es: Vsal = - (1 / RC) x Vent x t.

La ganancia de este amplificador en este caso es: -1 / (1 x 106 x 1 x 10-6) = -1, y el signo negativo se debe a que el amplificador operacional está configurado como amplificador inversor

Así:al terminar el primer segundo, Vsal = - Vent x t = - 3 x 1 = - 3al terminar el siguiente segundo, Vsal = - Vent x t = - 3 x 2 = - 6

al terminar el tercer segundo, Vsal = Vent x t = - 3 x 3 = - 9al terminar el cuarto segundo, Vsal =Vent x t = - 3 x 4 = - 12

Esta tensión de salida no crece indefinidamente (en sentido negativo). Hay un momento, como se puede ver el último gráfico en que ésta línea se mantiene a un valor constante. Esto sucede cuando el amplificador llega a su tensión de saturación.

Si a un integrador se le mantiene la entrada a un nivel de corriente continua constante, por un largo periodo de tiempo, este llegará a saturación.

Observando las siguientes figuras se puede ver que si la onda de entrad es cuadrada, el área acumulada y la forma de onda de la salida serán.

Entre t0 y T1: En el gráfico superior se ve que mientras la tensión de entrada (Vent) se mantiene constante positiva el área acumulada aumenta y la tensión de salida (Vsal) tiene pendiente negativa debido a la inversión (la señal de entrada ingresa por el terminal inversor del amplificador operacional).

En t1: La forma de onda de la entrada cambia su polaridad bruscamente a un valor negativo, el área acumulada va disminuyendo y la forma de onda de la salida tiene pendiente positiva.

En t2: La entrada cambia a un valor positivo bruscamente y el ciclo se vuelve a repetir.

En el gráfico anterior el tiempo en que la señal de entrada permanece constante, ya sea positiva o negativa, no es suficiente para que el integrador de se sature en su salida

Si la entrada es una onda cuadrada, el integrador se puede utilizar como generador de onda triangular

Señal de entrada sinusoidal

Si la tensión de entrada es sinusoidal, las diferentes formas de onda se ven en el siguiente gráfico

En este caso el área acumulada inicia con un valor negativo debido a la parte de la señal de entrada (Vent) que existe entre -90 y 0°. De 0° a 90° el área acumulada es positiva. Esta área se resta del área negativa previa hasta cancelarse cuando se llega a los 90°. Después el área acumulada vuelve a crecer hasta llegar a los 180°. Después de los 180° la entrada empieza a disminuir y esto causa que también empiece a disminuir el área acumulada.

La forma de onda de la salida es invertida a la del área acumulada debido a que la entrada de la señal se hace en la entrada inversora

Matemáticamente:

- Área acumulada = -Vp cos ωt - Salida invertida = Vsal = Vp cos ωt

Con la tensión pico de salida = Vp = (1 / RC) Vent

La tensión de salida será: Vsal = (1 / RC) Vent cos ωt

Para ello definimos un integrador ideal que vienen dado de la siguiente manera:

Integrador ideal

Integra e invierte la señal (Vin y Vout son funciones dependientes del tiempo)

Vinicial es la tensión de salida en el origen de tiempos (t = 0)

Este circuito también se usa como filtro

Etapa final: Amplificador Operacional de potencia.

En esta se utiliza el amplificador operación para lograr el movimiento del motor con la salida estabilizada de las etapas anteriores. A su vez en el circuito utilizado se diseño con una retroalimentación de manera que el movimiento del motor variara de manera proporcional a la entrada que en este caso sería el péndulo.

MOTOR

El motor que se utilizo en el proyecto es un pequeño motor DC

de impresora que trabajo a 12v el cual se encuentra regido por las

siguientes ecuaciones:

Por medio de estas ecuaciones es posible relacionar el voltaje de

entrada del motor que es , el cual proviene del amplificador, con el

torque y velocidad producidos por este. A través de estos valores de

torque y velocidad se puede determinar una posición para el sistema

de engranajes, el cual se encuentra conformado por un engranaje

situado en el rotor del motor y una esfera, la cual lleva en su superficie

las foto-resistencias.

Donde los valores típicos y unidades de cada una de estas

variables son los siguientes:

: 0.0036 mho.

: 2.7 A. (Corriente de Campo). Unidad Amperios.

Ra: 2.98 Ω. (Resistencia del Motor). Unidad Ohm.

La: 0.0631H. (Inductancia del Motor). Unidad Henrios.

IA: Corriente del Motor .Unidad Amperios.

: Tensión en la entrada del Motor. Unidad Voltios.

: Tensión interna del Motor. Unidad Voltios.

Vx: Tensión en la impedancia (Ra + jLa) del Motor. Unidad

Voltios.

TM: Torque producido por el motor. Unidad Newton metro.

: Velocidad del Motor. Unidad revoluciones por minuto.

Péndulo invertido

Este proyecto en principio es el funcionamiento en el cual fue basada

la práctica. Sin embargo se realizaron cambios para el equilibrio del

péndulo y también para el control de la estabilización.

El carrito con un péndulo invertido, se muestra abajo, es "empujado" con una fuerza impulsiva, F. Determinemos las ecuaciones dinámicas de movimiento del sistema, y linealicemos cerca del ángulo del péndulo, theta = Pi (en otras palabras, asumamos que péndulo no se aparta más que unos pocos grados de la vertical, elegida en un ángulo de Pi). Encontremos un controlador para satisfacer todos los requerimientos de diseño dados arriba.

Para este ejemplo, asumamos que

M masa del carro 0.5 kgm masa del péndulo 0.5 kgb fricción del carro 0.1 N/m/segl longitud al centro de masa del péndulo 0.3 mI inercia del péndulo 0.006 kg*m^2F fuerza aplicada al carro

x coordenadas de posición del carrotheta ángulo del péndulo respecto de la vertical

Para las secciones de PID, root locus, y respuesta en frecuencia de este problema sólo estamos interesados en el control de la posición del péndulo. Esto es porque las técnicas usadas en estos tutoriales solo pueden aplicarse a sistema una-entrada-una-salida (SISO). Por lo tanto, ninguno de los criterios de diseño lidian con la posición del carro. En estas secciones asumimos que el sistema comienza en el equilibrio, y experimenta una fuerza impulsiva de 1N. El péndulo debe volver a su posición vertical dentro de los 5 segundos, y nunca moverse más que 0.05 radianes fuera de la vertical.

Los requerimientos de diseño para este sistema son:

Tiempo de establecimiento menor que 5 segundos. Ángulo del Péndulo nunca mayor que 0.05 radianes de la

vertical.

Sin embargo, con el método de espacio de estado seremos más capaces de manejar un sistema multi-salida. Por lo tanto, para esta sección del ejemplo del Péndulo Invertido intentaremos controlar tanto el ángulo del péndulo cuanto la posición del carro. Para hacer más desafiante el diseño hemos de aplicar una entrada escalón al carrito. El carrito debe lograr estar en su posición deseada dentro de los 5 segundos y tener un tiempo de subida menor que 0.5 segundos. Además limitaremos el sobrepico del péndulo a 20 grados (0.35 radianes), y también deberá establecerse antes de los 5 segundos.

Los requerimientos de diseño para el ejemplo en espacio de estado del Péndulo Invertido son:

Tiempo de establecimiento de x y theta menor que 5 segundos. Tiempo de Subida para x menor que 0.5 segundos. Sobrepico de theta menor que 20 grados (0.35 radianes).

- Análisis de las fuerzas y sistema de ecuaciones

Abajo figuran los dos diagramas de cuerpo libre del sistema.

Sumando las fuerzas en el diagrama de cuerpo libre del carro en la dirección horizontal, se obtiene la siguiente ecuación del movimiento:

Note que también puede sumar las fuerzas en la dirección vertical, pero no se ganará ninguna información útil.

Sumando las fuerzas en el diagrama de cuerpo libre del péndulo en la dirección horizontal, puede obtener an ecuación para N:

Si sustituye esta ecuación en la primera ecuación, se obtiene la primera ecuación del movimiento de este sistema:

(1)

Para obtener la segunda ecuación de movimiento, sume las fuerzas perpendiculares al péndulo. Si resuelve el sistema a lo largo de este eje se ahorrará un montón de álgebra. Debería obtener la siguiente ecuación:

Para librarse de los términos P y N en la ecuación anterior, sume los momentos sobre el centroide del péndulo para obtener la siguiente ecuación:

Combinando estas dos últimas ecuaciones, se obtiene la segunda ecuación dinámica:

(2)

Como Matlab solo puede trabajar con funciones lineales, este conjunto de ecuaciones debería ser linealizado alrededor de theta = Pi. Asuma que theta = Pi + ø(ø representa un pequeño ángulo en la dirección vertical). Por lo tanto, cos(theta) = -1, sin(theta) = -ø, y (d(theta)/dt)^2 =0. Luego de la linealización las dos ecuaciones de movimiento serán :

(Donde u representa la entrada)

1. Función de Transferencia

Para obtener analíticamente la función de transferencia de las ecuaciones del sistema linealizado , debemos tomar primero la transformada de Laplace de las ecuaciones del sistema. Las transformadas de Laplace son:

NOTE: Cuando se halla la función de transferencia se considera condiciones iniciales nulas.

Como estamos mirando al ángulo Phi como la salida de interés, resuelva la primera ecuación para X(s),

Y entonces sustitúyala en la segunda ecuación:

Re-ordenando, la función de transferencia es:

Donde,

De la función de transferencia de arriba puede verse que hay un polo y un cero en el origen. Estos puede ser cancelados y la función de transferencia será:

2. Espacio de Estado

Luego de un poco de álgebra, las linealizadas ecuaciones del sistema pueden también representarse en la forma espacio de estado:

La matriz C es de 2 por 4, porque la posición del carro y la posición del péndulo son parte de la salida. Para el problema de diseño en espacio de estado estaremos controlando un sistema de salida múltiple por lo que observaremos la posición del carro en el primer renglón de salida y la del péndulo en el segundo renglón.

4.- Diseño utilizado

Para este proyecto el diseño utilizado fue el siguiente:

En el cual cada etapa explicada anteriormente, realizaba la estabilización del circuito. Se utilizo 3 potenciómetros que variarían tanto el punto de equilibrio de la varilla (masa de movimiento lineal) como la velocidad y control del amplificador integrador.

5.- Principales problema

Los principales problemas para el este proyecto fueron:

- Alimentación la cual debía poseer una alimentación positiva y negativa para que cada amplificador pudiera comparar sus entradas y poder otorgar la correcta salida. En este caso se utilizaron de 12 y -12 voltios.

- Los transistores del puente H debían soportar las corrientes de arranque del motor cada vez que el péndulo buscaba el equilibrio. En ocasiones se saturaron 2 y también un arreglo con diodos para evitar los picos hacia el motor también se saturaron por mala polarización

- El punto de equilibro fue difícil de conseguir variando cada uno de los potenciómetros ya que cada etapa controla un aspecto del motor. el primer reóstato que se encuentra en la etapa del amplificador diferencial controla el punto de 0 error del pendulo. El que se encuentra en la segunda etapa comparadora controla la velocidad y ayuda a la estabilizacion de este. Por ultimo la tercera etapa intregadora controla el equilibrio y variacion del pendulo, esta etapa equilibra el movimiento erratico del pendulo y mantiene un control relativamente estable.

Conclusión

En conclusión este proyecto se estudio el control PID por medio de amplificadores operacionales. Llamándolo así PID ANALOGICO, por sus variaciones por medio de resistencia variables. En este se presentaron problemas tanto al momento del diseño como el sistema de alimentación y control del cual dependía el motor.

Se pudo apreciar que un control PID (Proporcional Integral Derivativo) es un mecanismo de control por realimentación que calcula la

desviación o error entre un valor medido y el valor que se quiere obtener, para aplicar una acción correctora que ajuste el proceso. El algoritmo de cálculo del control PID se da en tres parámetros distintos: el proporcional, el integral, y el derivativo. El valor Proporcional determina la reacción del error actual. El Integral genera una corrección proporcional a la integral del error, esto nos asegura que aplicando un esfuerzo de control suficiente, el error de seguimiento se reduce a cero. El Derivativo determina la reacción del tiempo en el que el error se produce. Nótese que el uso del PID para control no garantiza control óptimo del sistema o la estabilidad del mismo. Algunas aplicaciones pueden solo requerir de uno o dos modos de los que provee este sistema de control. Un controlador PID puede ser llamado también PI, PD, P o I en la ausencia de las acciones de control respectivas. Los controladores PI son particularmente comunes, ya que la acción derivativa es muy sensible al ruido, y la ausencia del proceso integral puede evitar que se alcance al valor deseado debido a la acción de control.

Para este se utilizo el control integrativo. El cual pudimos en práctica observar que lograba mejorar la estabilidad del péndulo o señal de salida de las 4 etapas. También se debe tener en cuenta que el control de péndulo por medio de amplificadores operacionales y un control analógico presente un desnivel creado por el ruido que cada etapa produce que gracias al arreglo de realimentación es mínimo, mas sin embargo este es mejorado si el control se realiza con micro controladores o PID digital. El cual genera un ruido mucho menos y el control para su equilibrio puede ser mucho más preciso.