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  • DISEÑO, CONSTRUCCION Y CONTROL DE UN PENDULO INVERTIDO

    ROTACIONAL UTILIZANDO TECNICAS LINEALES Y NO LINEALES

    CARLOS ANDRES OSORIO ZÚÑIGA

    UNIVERSIDAD NACIONAL DE COLOMBIA

    FACULTAD DE INGENIERIA

    MAESTRIA EN INGENIERIA

    AUTOMATIZACION INDUSTRIAL

    BOGOTA, D.C.

    2009

  • DISEÑO, CONSTRUCCION Y CONTROL DE UN PENDULO INVERTIDO

    ROTACIONAL UTILIZANDO TECNICAS LINEALES Y NO LINEALES

    CARLOS ANDRES OSORIO ZÚÑIGA

    Tesis para optar al título de

    Magíster en automatización industrial

    Director

    LEONARDO BERMEO CLAVIJO

    Ingeniero electrónico MSc.

    Codirector

    HERNANDO DIAZ MORALES

    Ingeniero Electricista Phd

    UNIVERSIDAD NACIONAL DE COLOMBIA

    FACULTAD DE INGENIERIA

    MAESTRIA EN INGENIERIA

    AUTOMATIZACION INDUSTRIAL

    BOGOTA, D.C.

    2009

  • Nota de aceptación:

    Trabajo aprobado por el comité de

    evaluación en cumplimiento de los

    requisitos exigidos por la Universidad

    Nacional de Colombia para optar al título

    de Magíster en Automatización Industrial

    _________________________________

    Jurado

    _________________________________

    Jurado

    _________________________________

    Jurado

    BOGOTA D.C. Diciembre 2009

  • Dedicado a:

    Toda mi familia y en especial a mis padres: Guillermo Osorio Ortiz y Esperanza

    Zúñiga Sáenz.

  • CONTENIDO

    pág.

    INTRODUCCIÓN 1

    1. EL PÉNDULO DE FURUTA 4

    1.1 MODELO MATEMATICO 5

    1.1.1 Cinemática 5

    1.1.2 Expresiones de energía 6

    1.1.3 Ecuaciones de movimiento 8

    1.1.4 Representación en espacio de estado 10

    1.2 PUNTOS DE EQUILIBRIO 11

    1.3 LINEALIZACION 11

    1.4 MODELOS DE FRICCION 13

    1.4.1 Modelos de fricción clásicos 14

    1.4.1.1 Modelo de fricción de Coulomb con fricción estática 14

  • 1.4.1.2 Modelo de fricción de Karnopp 16

    1.4.2 Modelo de fricción dinámico de LuGre 16

    2. VALIDACION EXPERIMENTAL DEL MODELO MATEMATICO 19

    2.1 OBTENCIÓN DE LOS VALORES DE LOS PARÁMETROS 19

    2.2 COMPARACIÓN ENTRE EL MODELO MATEMÁTICO Y EL PÉNDULO

    EXPERIMENTAL 20

    3. CONTROL HIBRIDO PARA EL PÉNDULO DE FURUTA 22

    3.1 SWING UP 22

    3.1.1 Control de energía 24

    3.2 REGULADOR LINEAL CUADRATICO (LQR) 28

    3.3 CONTROLADOR PI VECTORIAL 34

    3.3.1 Controlador PI Vectorial con anti wind-up 39

    4. COMPENSACION DE FRICCION 42

    4.1 COMPENSACIÓN DE FRICCIÓN BASADA EN EL MODELO DE FRICCIÓN

    DE COULOMB 43

  • 4.2 COMPENSACIÓN DE FRICCIÓN BASADA EN EL MODELO DE FRICCIÓN

    DE KARNOPP 44

    4.3 COMPENSACIÓN DE FRICCIÓN BASADA EN EL MODELO DE FRICCIÓN

    DE LUGRE 45

    4.3.1 Observadores de fricción de LuGre 48

    4.3.1.1 Observador de lazo abierto 48

    4.3.1.2 Observador con realimentación 48

    5. CONTROL POR MODOS DESLIZANTES JERARQUICO 55

    5.1 REPASO DE CONTROL POR MODOS DESLIZANTES 56

    5.2 DISEÑO DEL CONTROLADOR POR MODOS DESLIZANTES

    JERÁRQUICO 59

    5.2.1 Análisis de estabilidad y deslizamiento de todas las superficies

    deslizantes 63

    5.2.2 Controlador libre de singularidad 66

    5.2.3 Resultados experimentales 67

    6. TRABAJO FUTURO 69

  • 7. CONCLUSIONES 70

    A Componentes utilizados para el sistema 72

    BIBLIOGRAFIA 76

  • LISTA DE TABLAS

    pág.

    Tabla 1. Valores de los parámetros del sistema 19

  • LISTA DE FIGURAS

    pág.

    Figura 1. El péndulo de Furuta 4

    Figura 2. Vista general del péndulo de Furuta desarrollado 5

    Figura 3. Fricción de Coulomb 14

    Figura 4. Fricción de Coulomb con fricción estática 15

    Figura 5. Esquema del modelo de fricción de Karnopp 16

    Figura 6. La interfaz de fricción entre dos superficies es imaginada como un

    contacto entre cerdas. Por simplicidad las cerdas inferiores se muestran rígidas.

    17

    Figura 7. Deflexión promedio de la cerda z. 18

    Figura 8. Comparación de respuestas entre el sistema experimental (línea azul) y

    el sistema de simulación (línea roja) para la condición inicial . .

    0 00 0365deg, 0.6283 / , 0.3516deg, 0 /rad s rad s       . 20

    Figura 9. Diagrama de cuerpo libre del péndulo 22

    Figura 10. Retrato de fase del sistema con control de energía 25

  • Figura 11. Comportamiento patológico del sistema con la ley de control (51) con

    k=22 y 15.00 E . 28

    Figura 12. Esquema de control por realimentación del estado. 30

    Figura 13. Respuesta del sistema exp. con control híbrido (swing up + LQR) para

    la condición inicial . .

    0 00 0179.8deg, 0 / , 0deg, 0 /rad s rad s        . 32

    Figura 14. Respuesta del sistema experimental con control híbrido (swing up +

    LQR) ante perturbaciones. 33

    Figura 15. Esquema de control PI vectorial digital. 35

    Figura 16. Respuesta del sistema experimental con control híbrido (swing up + PI

    Vectorial) ante diferentes valores de referencia para la posición del brazo. 37

    Figura 17. Respuesta del sistema con control híbrido (Swing up + PI Vectorial)

    ante una perturbación en t =103 s. 38

    Figura 18. Integrador condicionado para evitar el wind up 39

    Figura 19. Resp. del sistema con control híbrido (swing up + PI Vectorial) con

    antiwind up ante cuatro perturbaciones en t = 80 s, t = 92 s, t = 98 s y t=106s. 40

    Figura 20. Control PI Vectorial con comp. de fricción basada en modelo. 42

  • Figura 21. Efecto de la fricción sobre el sistema de control PI Vectorial 43

    Figura 22. Respuesta del sistema en la posición invertida con compensación de

    fricción de Coulomb 44

    Figura 23. Esquema del modelo de fricción de Karnoop 44

    Figura 24. Respuesta del sistema en la posición invertida con compensación de

    fricción de Karnopp 45

    Figura 25. Compensación de fricción basada en observador de LuGre y

    realimentación lineal del estado 49

    Figura 26. Compensación de fricción basada en observador de LuGre y

    realimentación lineal del estado como una interconexión de un sistema SPR y un

    sistema disipativo 50

    Figura 27. Diagrama de Nyquist de G 51

    Figura 28. Respuesta del sistema en la posición invertida con control LQR y con

    compensación de fricción de LuGre basada en observador de lazo abierto. 52

    Figura 29. Respuesta del sistema en la posición invertida con control LQR y

    compensación de fricción de LuGre basada en observador de lazo cerrado 52

    Figura 30. Respuesta del sistema en la posición invertida con control PI Vectorial

    y compensación de fricción de LuGre basada en observador de lazo abierto 53

  • Figura 31. Deterioro en el desempeño del sistema en la posición invertida

    ocasionada por sobre compensación de fricción 54

    Figura 32. Estructura de las superficies deslizantes jerárquicas 61

    Figura 33. Respuesta del sist. de control por modos deslizantes jerárquico 67

  • RESUMEN

    Este trabajo presenta el desarrollo y control de un péndulo invertido rotacional

    (péndulo de Furuta). Un ejemplo de este tipo de sistemas son las aeronaves,

    vehículos espaciales, vehículos submarinos, barcos, satélites y robots construidos

    por barras y uniones articuladas pasivas y activas. Algunas veces, la subactuación

    puede ser causada por fallas en los actuadores. El desarrollo de estos

    mecanismos que pueden realizar tareas complejas con un número reducido de

    actuadores es un asunto de gran interés, puesto que implica reducción de peso y

    de