Pendulo Invertido Rotacional

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Documento donde se muestra la implementacion de un Controlador LQR para la planta PIR de la universidad de lQuindio

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  • 1

    PLANTA PENDULO INVERTIDO ROTACIONAL

    ALEJANDRA BEJARANO

    ANDRES FELIPE HERRERA RAMIREZ

    CARLOS BERNAL

    TECNICAS DE CONTROL AVANZADAS

    FRANCISCO JAVIER IBARGEN

    UNIVERSIDAD DEL QUINDO

    FACULTAD DE INGENIERA

    PROGRAMA DE INGENIERA ELECTRNICA

    ARMENIA - QUINDO

    2012

  • 2

    CONTENIDO

    Pag.

    1. INTRODUCCIN 3 1.1 Objetivos 3

    1.2 Descripcin 3

    2. CONCEPTOS PARA EL MODELADO 4

    2.1 Representacin en Variables de Estado. 6 2.2 Linealizacion. 7

    3. METODOS E INSTRUMENTOS 7 3.1 Modelado. 7 3.2 Aparatos e Instrumentos Utilizados. 11 3.3 Rangos de Operacin. 12 3.4 Puesta en Marcha. 12 3.5 Sensores y Actuadores 13 4. RESULTADOS, PROCEDIMIENTOS Y DISCUSION 13 4.1 Estrategia de Control. 13 5. CONCLUSIONES 18

    6. REFERENCIAS 19

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    1. INTRODUCCIN

    Se implementara un controlador LQR en la planta Pndulo rotacional

    1.1 Objetivos

    Caracterizar la planta pndulo invertido rotacional para encontrar la dinmica aproximada del sistema.

    Utilizar el controlador LQR y verificar que le comportamiento de la planta es igual al arrojado en las simulaciones.

    1.2 Documentacin Tcnica[1] La planta Pndulo Invertido Rotacional consiste en una varilla pndulo montada en el extremo de un brazo horizontal controlado por un servomotor DC. Esta estructura principal, incluido el motor DC, tiene un soporte vertical sobre una base metlica donde se encuentra todo el sistema elctrico de la planta. Las seales medibles son el Angulo del pndulo y el ngulo del brazo horizontal, ambas obtenidas a partir de encoders incrementales. La planta cuenta con los conectores necesarios para hacer la adquisicin de datos y manejar el servomotor DC. En la planta se incluye una fuente de alimentacin auxiliar de 5V para el usuario final

    Fig. 1 Planta pndulo invertido rotacional

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    La estructura principal de la planta (Figura 2.) se construye en aluminio debido a su bajo costo, bajo peso, alta resistencia y fcil maquinado. Consta de las siguientes partes:

    Acople Motor DC-Brazo Horizontal Brazo Acople Brazo-Encoger Incremental Acople Encoger Incremental-Pndulo Varilla Pndulo Adems de las partes en aluminio, la estructura principal incluye Encoger Incremental TRD-S500-BD

    Servomotor DC Yaskawa Serie FB9M20E

    Fig. 2 Estructura Principal

    2. ALGUNOS CONCEPTOS A TENER EN CUENTA PARA EL MODELADO .[1]

    Los modelos matemticos se pueden derivar de consideraciones de energa sin necesidad de aplicar las leyes de movimiento de Newton; un mtodo ms verstil para derivar modelos matemticos es el debido a Lagrange. Para utilizar las ecuaciones EulerLagrange se deben calcular las energas del sistema a estudiar: la energa cintica y la energa potencial. Para derivar las ecuaciones de movimiento de Lagrange, es necesario definir Las coordenadas generalizadas y el Lagrangiano, para establecer el principio de Hamilton.

    Coordenadas generalizadas. Las coordenadas generalizadas de un sistema son un conjunto de coordenadas independientes que se necesitan para describir completamente

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    el movimiento de un sistema. La cantidad mnima de coordenadas independientes, para especificar las posiciones de todos los elementos, se denomina grados de libertad. El nmero de grados de libertadad se puede determinar en trminos de la cantidad de ecuaciones de movimiento y de restriccin: Grados de Libertad = (Numero ecuaciones de Movimiento) - (Numero ecuaciones de restriccin)

    Lagrangiano. El lagrangiano L de un sistema esta definido por

    L = T U

    Donde T es la energa cintica y U es la energa potencial del sistema.

    Principio de Hamilton. Establece que el movimiento de un punto del sistema en el espacio ndimensional de t = t1 a t = t2 es tal que la integral

    Es un extremo (mximo o mnimo) de la trayectoria del movimiento. La ecuacin (3.2) es una ecuacin fundamental en la Teora de Variaciones, donde J es un valor estacionario si se satisface la ecuacin

    (

    )

    Esta ecuacin diferencial es llamada la ecuacin de EulerLagrange; tambin se le conoce como ecuacin de movimiento de Lagrange para el sistema conservativo. Si el lagrangiano L es funcin de n coordenadas generalizadas, n velocidades generalizadas y el tiempo t, ecuaciones correspondientes de EulerLagrange Son

    (

    )

    Sistemas no Conservativos. Si un sistema se somete a una fuerza de entrada (Fuerza generalizada), entonces las ecuaciones de Lagrange son

    (

    )

  • 6

    Funcin de Disipacin de Rayleigh. En los sistemas reales siempre existe disipacin de energa, por lo tanto, Rayleigh desarrolla una funcin derivada de la fuerza de amortiguacin (amortiguadores viscosos)

    2.1 REPRESENTACION EN ESPACIOS DE ESTADOS. [1]

    La representacin en el espacio de estados es la forma de describir un conjunto de ecuaciones diferenciales en variables llamadas estados, cuya solucin se considera como una trayectoria en el espacio. Mediante esta representacin se obtiene una descripcin completa (interna) del sistema, con las posibles inestabilidades, que suelen estar implcitas en la descripcin de la funcin de transferencia. El conjunto de ecuaciones de la forma

    = Ax + Bu y = Cx + Du

    Un sistema de ecuaciones diferenciales lineales de orden n (estados independientes) de la forma

    y(n) + a1y(n-1) + : : : + a y+ any = u (1)

    Es determinado por el comportamiento de y(0), y(0), . . . , y(n-1)(0) y u(t) para t 0, donde y(t), y(t), . . . , y t) se puede tomar como un juego de n Variables de estado [Ogata 1993]. Si se define

    x1 = y x2 = y

    ...

    xn =

    Por lo tanto (1) se puede escribir como:

    x 1 = x2 x 2 = x3

    ... x n-1 = xn

    x n = -anx1 - : : : - a1xn + u en el caso no lineal.

    = f (x; u) (2)

  • 7

    es el vector de funciones que forman las ecuaciones.

    2.2 Linealizacin. [1]

    La mayora de los sistemas fsicos son no lineales y variantes en el tiempo, los cuales pueden ser aproximados por ecuaciones lineales bajo ciertas condiciones. La linealizacion se realiza alrededor de un punto o trayectoria de operacin, llamado punto de equilibrio. Por lo tanto, la solucin de equilibrio es x0 y u0, de modo que (2) se convierte en

    = f (x0; u0)

    Si la entrada y el estado inicial son ligeramente perturbados, la solucin tambin Ser perturbada ligeramente. Si se supone que (2) es diferenciable, se puede usar la serie de

    Taylor alrededor de las perturbaciones

    y quedarnos solo con los trminos de primer orden que resulten. As, la variacin lineal resultante de la ecuacin de estado son las llamadas Matrices Jacobianas. En general, ellas son funciones de t. Los jacobianos para hallar A y B son:

    3. MTODOS E INSTRUMENTOS 3.1 MODELADO La planta Pndulo Invertido Rotacional es un sistema que posee dos

    coordenadas generalizadas, y

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    Figura 3. Sistema de coordenadas Pndulo

    Para hallar el modelo matemtico de la planta pndulo invertido rotacional se procede en el siguiente orden: Energa Cintica y Potencial: Se encuentran las energas cinticas debidas a cada parte del sistema y la energa potencial debida al pndulo. Lagrangiano: Se calcula el lagrangiano del sistema haciendo L = T U Disipacin de Rayleigh: Se halla la funcin de disipacin debida a la friccin o fuerza de amortiguacin que afecta al sistema. Ecuaciones EulerLagrange: Se calculan las ecuaciones para cada coordenada generalizada. Modelo Motor DC: Se resuelve la ecuacin diferencial del circuito elctrico del motor DC para hallar el torque F, que es la fuerza generalizada del sistema. Solucin Ecuaciones: Se soluciona el sistema de ecuaciones de movimiento de Lagrange para las variables Las ecuaciones de movimiento se transforman para obtener La Ecuacin de Estado y esto se realiza manteniendo el siguiente orden. Representacin en Variables de Estado: Se realiza la transformacin de las ecuaciones de movimiento de Lagrange en Variables de Estado x1, x2, x3 y x4. Puntos de Equilibrio: Se encuentran los puntos de equilibrio para las variables de estado x1, x2, x3, x4 al solucionar las ecuaciones de movimiento de lagrange con Linealizacin. Se calculan las matrices Jacobianas, se evalan alrededor de los puntos de equilibrio, dando como resultado las matrices A y B de la ecuacin de estado.

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    Los jacobianos para hallar A y B son:

    Luego de obtener las energas potenciales y cinticas debidas al brazo y al pndulo, de haber hallado la funcin de disipacin de Raleigh, el lagrangiano el modelado del motor de DC entonces se pasa a la representacin en variables de estado. Se definen las variables de estado x1, x2, x3 y x4 como

    Las ecuaciones en forma de estado son:

    Donde se han introducido las variables

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    Puntos de Equilibrio Aplicar la ecuacin de estado tal que = f (x; 0) = 0

    Despejando se tiene que: sin(x3) = 0 Por lo tanto, resolviendo para x3 se obtienen los puntos de equilibrio

    Linealizacin: Aplicando las Ecuaciones.

    Se evalan alrededor de los puntos de equilibrio x0

  • 11

    Por lo tanto,

    Evaluando las constantes introducidas anteriormente.

    La representacin del pndulo rotacional invertido en espacios de estados.

    3.2 Aparatos e Instrumentos Utilizados:

    Planta Pndulo invertido Rotacional: utilizada para el proceso de