PNDULO FSICO Y TEOREMA DE STEINER Pgina 1 LABORATORIO DE FSICAFACULTAD DE INGENIERIA ELCTRICA Y ELECTRNICA (FIEE) PNDULO FSICO Y TEOREMA DE STEINER OBJETIVOS: -Determinar experimentalmente los periodos de oscilacin de un pndulo fsico y a partir de estos calcular los momentos de inercia. -Compararlos momentos deinercia experimentales y los momentos de inercia hallados tericamente, con un previo anlisis de las variables que determinan el ensayo. -Analizar el comportamiento del pndulo simple mediante variaciones de longitud entre su C.G y su eje de giro. -Relacin entre un pndulo fsico y un pndulo simple. MATERIALES: -Barra metlica con agujeros. -Cronometro. -Regla milimetrada. -Soporte de madera con cuchilla. PROCEDIMIENTO: 1.Sujetar sobre la mesa el soporte, y sobre l, suspender la barra de la siguiente manera, con el fin de hallar el centro de gravedad de labarra. MESA BARRA SOPORTE CENTRO DE GRAVEDAD PNDULO FSICO Y TEOREMA DE STEINER Pgina 2 LABORATORIO DE FSICAFACULTAD DE INGENIERIA ELCTRICA Y ELECTRNICA (FIEE) 2.Suspenderlabarraverticalmenteporcadaunodesushuecosenlacuchillay procedemosahacerlaoscilarseparandosuposicindeequilibrionomsde 15.tomamosnotalostiemposcada20oscilacionesylostresltimosagujerosadyacentesalC.Gslo10oscilaciones;tomamosnotatambinladistanciadelC.Ga cada agujero del que hacemos oscilar la barra. FUNDAMENTO TEORICO: PENDULO FISICO. El pndulo fsico es un sistema con un slo grado de libertad; el correspondiente a la rotacin alrededordelejefijoZZ(Figura1).Laposicindelpndulofsicoquedadeterminada,en cualquier instante, por el ngulo que forma el plano determinado por el eje de rotacin (ZZ) y el centro de gravedad (G) del pndulo con el plano vertical que pasa por el eje de rotacin. Llamaremosaladistanciadelcentrodegravedad(G)delpnduloalejederotacinZZ. Cuandoelpnduloestdesviadodesuposicindeequilibrio(estable)unngulo ,actan sobre l dos fuerzas (y) cuyo momento resultante con respecto al eje ZZ es un vector dirigido a lo largo del eje de rotacin ZZ, en el sentido negativo del mismo. (1) Si esel momento de inercia del pndulo respecto al eje de suspensin ZZ y llamamosa la aceleracinangulardelmismo,elteoremadelmomentoangularnospermiteescribirla ecuacin diferencial del movimiento de rotacin del pndulo: (2) Que podemos escribir en la forma A Centro de giro Centro de gravedad L Centro de gravedad L Centro de giro PNDULO FSICO Y TEOREMA DE STEINER Pgina 3 LABORATORIO DE FSICAFACULTAD DE INGENIERIA ELCTRICA Y ELECTRNICA (FIEE) (3) Queesunaecuacindiferencialdesegundoorden,delmismotipoquelaqueencontramos para el pndulo simple. En el caso de que la amplitud angular de las oscilaciones sea pequea, podemos poner sen y la ecuacin [3] adopta la forma (4) Que corresponde a un movimiento armnico simple. El periodo de las oscilaciones es (5) Sinembargonoesposiblecalcularexperimentalmenteelmomentodeinerciadelabarra alrededordeunejequepaseporelcentrodegravedad;paraellousaremosunmtodo indirecto El cual es conocido como el TEOREMA DE STEINER que se expresa por la siguiente igualdad: 2ML I IG + = . PNDULO FSICO Y TEOREMA DE STEINER Pgina 4 LABORATORIO DE FSICAFACULTAD DE INGENIERIA ELCTRICA Y ELECTRNICA (FIEE) DEMOSTRACION DEL TEOREMA DE STEINER: Tomemosunelementodemasadm situadoenlas coordenadas(x,y).Siahoraescogemosunsistemade coordenadasconorigenenelcentrodemasasdel objeto,lasnuevascoordenadasdelelementodemasa sern (x', y) CalculamoselmomentodeinerciarespectodelejeZ que es paralelo al eje que pasa por el centro de masas:

Como el segundo sistema de referencia tiene como origen el centro de masas: La primera integral es el momento de inercia respecto del eje que pasa por el CM. La ltima integral es la masa del slido, y magnitud que multiplica a esta integral es la distancia al cuadrado entre los dos ejes. Por tanto: PNDULO FSICO Y TEOREMA DE STEINER Pgina 5 LABORATORIO DE FSICAFACULTAD DE INGENIERIA ELCTRICA Y ELECTRNICA (FIEE) CARACTERSTICAS DEL OBJETO A ANALIZAR: La siguiente figura muestra la barra usada para el experimento: Los clculos y anlisis que a continuacin se harn, se basaran considerando a la barra con los agujeros que esta presenta, cuyo nmero es de 21. La barra es homognea y tienelas siguientes dimensiones y medidas. Numero de agujeros: 21 A = 0.7cm B = 3.7cm C = 115cm M = 2300g R = 0.75cm Z = 5cm Volumen:V1=Volumen de la barra con agujeros: A r C B A V221 . .1t = Reemplazando los datos: V1= (0.7)(3.7)(115)-21(3.14)(0.752)(0.7) V1=343.54cm3 DENSIDAD (o ) 331459 . 8886 . 2712300cmgrcmgrVM= = = o C AB PNDULO FSICO Y TEOREMA DE STEINER Pgina 6 LABORATORIO DE FSICAFACULTAD DE INGENIERIA ELCTRICA Y ELECTRNICA (FIEE) -M= Masa de la barracon agujeros -m= Masa de un cilindro solido, cuyo volumen es igual al volumende un agujero de la barra y cuya densidad es la misma que la de la barra. -M+21m = Masa de una barra solida sin agujeros. -Z= Distancia entre los centros de dos agujeros consecutivos. -L= Distancia entre el C.G de la barra y el eje de giro O. CALCULO DEL MOMENTO DE INERCIA El momento de inercia de la barra mostradarespecto al eje que pasa por O ser(0I ) igual al Momento de inercia de la barra solida ( sin agujeros 1I ) respecto al eje que pasa por Omenos elMomento de inercia delconjuntode cilindros slidos (agujeros de la barra 2I )respecto al eje que pasa por O. Entonces la ecuacin ser: 2 1 0I I I = .. (I) Hallando 1I : Usando el momento de inercia de un paraleleppedo y el teorema de Steiner, tenemos: 2 2 21) 21 ( ) (1221L m M C Bm MI + + ++= (II) Donde L es igual a la distancia entre el centro de gravedad C.G y el eje de giro o Ahora hallamos 2I . Seael siguiente grafico la representacin detodos los cilindros slidos, faltantes en la barra con huecos. Centro de gravedaddel conjunto de cilindrosC.G El cilindro a se encuentra de color rojo para diferenciarlo por coincidir con el C.G PNDULO FSICO Y TEOREMA DE STEINER Pgina 7 LABORATORIO DE FSICAFACULTAD DE INGENIERIA ELCTRICA Y ELECTRNICA (FIEE) Datos: m= Masa de cada cilindro cilindrov m = og m 45 . 10 7 . 0 ) 75 . 0 ( 14 . 3 459 . 82= =R = Radio=0.75 Z = Distancia entre los centros de dos cilindros consecutivos. Z= 5cm El momento de inercia del conjunto de cilindros slidos respecto al centro de gravedad delconjunto,serigualalasumadelosmomentosdecadaunodeloscilindros respecto del centro de gravedad del conjunto de cilindros. Las siguientes ecuaciones representan los momentos de inercia respecto del centro de gravedad C.G (utilizando momento de inercia de un cilindro y el teorema de Steiner). 22222) 10 () 3 () 2 () (2z m I Iz m I Iz m I Iz m I IrmIa ka da ca ba+ =+ =+ =+ == Sea G CI.=momentodeinerciadelconjuntodecilindrosrespectosucentrode gravedad. Entonces G CI.serlasumatoriadetodoslosmomentosdeinerciadetodoslos cilindros respecto C.G: 2 2.2.2 2 2 2.2 2 2..770221770 21) 10 2 1 ( 2 21) ) 10 ( ) 2 ( ) ( 10 ( 2:) ( 2mz rmImz I Imz I Iz m z m z m I I IoperandoI I I I I IG Ca G Ca G Ca a G Ck d c b a G C+ =+ =+ + + + =+ + + + + =+ + + + + = Se tendrn que duplicar, pues solo representan los cilindros slidos ubicados al lado derecho del centro de gravedad y para tener en cuenta los del lado izquierdo (por ser simtrica la barra) solo tendremos que multiplicar por dos. PNDULO FSICO Y TEOREMA DE STEINER Pgina 8 LABORATORIO DE FSICAFACULTAD DE INGENIERIA ELCTRICA Y ELECTRNICA (FIEE) Por lo tanto: 2 2.770221 mz rmIG C+ = AhoramedianteelteoremadeSteinerhallamoselmomentodeinerciadelconjunto de cilindros respecto de un centro de giro o( 2I ) paralela al C.G. 2 2 2221 770221 I mL mz rm+ + =.(III) Reemplazando(II) y (III) en (I) tenemos: 2 1 0I I I =0I =2 2 2) 21 ( ) (1221L m M C Bm M+ + ++-(2 2 221 770221 mL mz rm+ + ) Por lo tanto 0I representa el momento de inercia de la barra con agujeros respecto un eje que pasa por O. 1.Llene la tabla 1 con las siguientes caractersticas: TABLA N1 Numero de huecos L(cm)t1 (s)t2 (s)t3 (s) Numero de oscilaciones Periodo T (promedio) 1 5133.2833.5233.53201.67 24633.0232.7232.89201.64 34130.531.4532.14201.58 43631.8531.3131.73201.58 53131.6731.2930.09201.56 62631.930.3831.84201.57 72133.1232.9933.08201.65 81617.4217.5017.36101.74 91119.919.7619.53101.97 10625.8726.1825.81102.59 PNDULO FSICO Y TEOREMA DE STEINER Pgina 9 LABORATORIO DE FSICAFACULTAD DE INGENIERIA ELCTRICA Y ELECTRNICA (FIEE) 2. a)Grafique T vs. L, (T en el eje vertical y L en el eje horizontal). b)Encuentre el valor de L para que el perodo sea mnimo. CALCULO DEL PERIODO MINIMO A partir de la ecuacin MgLIT02t =Con 0I =2 2 2) 21 ( ) (1221L m M C Bm M+ + ++-(2 2 221 770221 mL mz rm+ + ) Encontramos un valor L para el cual el periodo sea mnimo. Reemplazando las ecuaciones tenemos: MgLmL mz rmL m M C Bm MT) 21 770221 ( ) 21 ( ) (122122 2 2 2 2 2+ + + + ++= tPara que el periodo sea mnimo aplicamos el criterio de la primera derivada: y = 10.985x2 - 7.6686x + 2.8218 R = 0.8878 00.511.522.530 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6PERIODO (T) LONGITUD (L) PERIODO v.s LONGITUD PNDULO FSICO Y TEOREMA DE STEINER Pgina 10 LABORATORIO DE FSICAFACULTAD DE INGENIERIA ELCTRICA Y ELECTRNICA (FIEE) Derivando: 3 2 2 2 2 2 22 2 2 2 2 2) ( ) 21 770221 ( ) 21 ( ) (1221)) 21 770221 ( ) 21 ( ) (1221( ) 42 ) 21 ( 2 ( 2MgL mL mz rmL m M C Bm MmL mz rmL m M C Bm MMg MgL mL L m MLT+ + + + ++((

+ + + + ++ +=cct Si0 min =ccLTimo TDespejando L tenemosMmz rmC Bm ML) 770221 ( ) (12212 2 2 2+ ++= .() Analizandolaanteriorrelacin:Lesigualalarazcuadradadelarelacinentreel momento de inercia, del objeto en anlisis respecto su centro de gravedad, y su masa. Reemplazando datos en (): cm Lteorico48 . 33230092 . 2578093= =

Hallamos: T En MgLmL mz rmL m M C Bm MT) 21 770221 ( ) 21 ( ) (122122 2 2 2 2 2+ + + + ++= t Reemplazando datos: s Tteorico787 . 1 081 . 0 2 = = t PNDULO FSICO Y TEOREMA DE STEINER Pgina 11 LABORATORIO DE FSICAFACULTAD DE INGENIERIA ELCTRICA Y ELECTRNICA (FIEE) c)Compare el valor de L obtenido en b) con el que obtiene de la grfica en (a). COMPARACION DE LOS VALORES TEORICO Y EXPERIMENTAL DE L PARA T MINIMO Un acercamiento de la imagen nos permite visualizar de mejor manera el periodo mnimo.

d)Hallamos el periodo mnimo experimental mediante proporcionalidad. Por lo tanto:Experimentalmente.Tericamente T mnimo =1.56s T mnimo = 1.787 L=31 cmL=33.48 cm e)De su grfico, Puede deducir dos puntos de oscilacin con el mismo perodo? PUNTOS DE OSCILACION CON EL MISMO PERIODO: ConlagraficadeTvsL,podemosaproximarusandoExcelunaparboladeecuacin

Luego igualamos esta expresin a un periodo T desconocido, al igualar las ecuaciones y aplicar el criterio del determinante igual a cero, para ecuaciones con soluciones iguales:

(

) ( )() Al resolver la ecuacin, obtenemos el valor de De donde los puntos se encuentran en:

. Periodo mnimo experimental PNDULO FSICO Y TEOREMA DE STEINER Pgina 12 LABORATORIO DE FSICAFACULTAD DE INGENIERIA ELCTRICA Y ELECTRNICA (FIEE) 3.Con el valor de T conocido experimentales, encuentre el valor de I1 y llene la tabla 2 con las siguientes caractersticas. 4.HagaelgraficoI1vsL2,y ajsteloporelmtododemnimoscuadradoscuandolos puntos obtenidos estn muy dispersos. y = 2261.39x +2190409.935 01,000,0002,000,0003,000,0004,000,0005,000,0006,000,0007,000,0008,000,0009,000,0000 500 1000 1500 2000 2500 3000MOMENTO INERCIA LONGITUD AL CUADRADOI vs L Numero de hueco Eje de oscilacin l (Periodo)2 T2 (s2) Momento de inercia (gr.cm2) l 2(cm2) 1512.78898128951.18532601 2462.68967070936.88302116 3412.49645849644.36501681 4362.49645136273.10101296 5312.43364311638.3230961 6262.46493662723.0850676 7212.72253267522.7200441 8163.02762768534.3230256 9113.88092439813.6650121 1066.70812300318.849036 PNDULO FSICO Y TEOREMA DE STEINER Pgina 13 LABORATORIO DE FSICAFACULTAD DE INGENIERIA ELCTRICA Y ELECTRNICA (FIEE) FRMULA DE MINIMOS CUADRADOS(I VSL2) Reemplazando valoresFUNCION RESULTANTE:

5.Del grafico anterior y por comparacin con la ecuacin anterior, determine

y . Entonces: ()

6.Compare el valor de

obtenido en el paso 5 con el valor de la formula analtica para una barra de longitud L y ancho b:

(

)Qu error experimental obtuvo? Qu puede decir acerca de la masa? Para la barra, al aplicar la formula:

(

)con b=3.7cm y L= 115cm, obtenemos un valor de

Hallamos el error experimental mediante:

Operando:(

)*100% = 13.675%Para el caso de la masa M, obtenemos el error experimental mediante: 0 1( ) FX a a x = +0 1120 11 1 1niin n ni i i ii i iY a n a xY X a X a X== = == += + PNDULO FSICO Y TEOREMA DE STEINER Pgina 14 LABORATORIO DE FSICAFACULTAD DE INGENIERIA ELCTRICA Y ELECTRNICA (FIEE) (

)*100% = 1.678% 7.Halle la longitud del pndulo simple equivalente: Para nuestro clculo evaluaremos al hueco N5:

Lo cual equivale a un pndulo simple de longitud 0.793m, con periodo terico igual a 1.787s. 8.Demuestre en forma analtica las siguientes relaciones: MgLIT02t =(Teorema de Steiner) Las demostraciones se encuentran en el fundamento terico del presente trabajo. 9.Haga una lista de sus conclusiones y comentarios: COMENTARIOS: -Al realizar la grfica en el papel milimetrado y observar el comportamiento del perodo conforme vara la distancia al eje de giro, observamos que segn la frmula analtica para hallar el perodo de un cuerpo rgido, si la distancia al eje de giro tiende a cero (cerca al centro de masa), el perodo tiende a infinito, lo cual es cierto ya que el objeto no se movera al encontrarse en equilibrio, por ende nunca oscilar (periodo infinito). -Los resultados presentados en este ensayo fueron elaborados con el mayor cuidado posiblepues se intentoreducir la mayor cantidad de variaciones en el laboratorio, como puedenser : -Tener distintos ngulos inciales de oscilacin, para evitar ello se uso un transportador,de modo que se puede tener un mayor control sobre los ngulos inciales antes de iniciar la oscilacin. en nuestra experiencia se trato de tener,para todas nuestras pruebas, un Angulo aproximado de 15. -Considerar a la barra tal y como se est usando en el laboratorio, en nuestro caso la barra contaba con 21 agujeros. Esto nos permiti tener valores tericos muy cercanos a los experimentales. -Existen ciertas variables que difcilmente se pueden controlar, como por ejemplo la friccin entre el eje de rotacin y la barra, resistencia del aire, temperatura, malas mediciones, aparatos deficientes, etc. -El error en el clculo de la longitud es 0.5mm. PNDULO FSICO Y TEOREMA DE STEINER Pgina 15 LABORATORIO DE FSICAFACULTAD DE INGENIERIA ELCTRICA Y ELECTRNICA (FIEE) -El error en el clculo de la masa es de 0.0005Kg -El error en el clculo del periodo es 0.005s. -A pesar de todo, los errores que se cometieron fueron leves y los resultados fueron muy prximos a los idealizados. CONCLUSIONES: -Esteensayo nosmuestra el comportamiento del pndulo fsico cada vez quevaria la distancia del C.G al eje de giro. Podemos versegn las graficas que mientras el centro de giro se acerque al C.G el periodo tiende a aumentar, sin embargo tambin mientras ladistanciasuperaciertoperiodomnimoelperiodoaumentaramientrastambinla longitud de c.g a eje de giro aumente. -La facilidad de poder hallar momentos de inercia usando la teora del pndulo fsico es de gran importancia puesya no es necesario tener en cuenta la geometra exacta del objeto. -Un pndulo fsico puede ser equivalente a un pndulo simple con una cierta longitud y un cierto periodo experimental. -No se puede determinar el perodo en el centro de masa de un objeto, porque en l se produceelequilibrio,porlomencionadoanteriormentesuperodoesindefinido (tiende al infinito).