Carrito Con Pendulo

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Universidad Nacional Autnoma de Mxico Facultad de Ingeniera Anlisis de Sistemas y Seales Alumnas: Garca Luciano Laura Rojas Arteaga Karina Grupo: 04 Profesora: M.I. Elizabeth Fonseca Chvez. Fecha de entrega: 30-Abril-2008. Trabajo 3: Funciones de transferencia en Matlab Trabajo 3: Funciones de Transferencia en Matlab. Xi(t) F(t) 1.-Teniendo el modelo de la siguiente manera encontrar su funcin de transferencia: Una partcula de masa m unido a un resorte horizontal de constante K, cuando el cuerpo es empujado con una fuerza F. Encontrar su funcin de transferencia. Sabemos que K =0.3 y m=3 [Kg.] Y B=0.1 X0(t) xk B Para poder determinarla se necesitan unas ecuaciones de leyes de elementos que son: Fk=Kxk.(1) Xk=Xi (t)-X0(t)(2) Vemos que: Fk=K(Xi (t))- K(X0 (t))....(3) Ley elemento de respuesta resorte Friccin: FB=B d(X0(t))dt..(4) Fm=m d2(X0(t))dt2(5) Leyes de conjunto: Fucrzos=0 X=0 F(t)= Fk.(6) Fk= Fm+ FB.(7) De (6) F(t)= K[(Xi (t))- (X0 (t))]..(8) entonces (9) se convierte en entrada y f(t) en variable implcita K[(Xi (t))- (X0 (t))] = m d2(X0(t))dt2 + B d(X0(t))dt..(9) Agrupando y ordenando m d2(X0(t))dt2 + B d(X0(t))dt + KX0(t)=KXi(t) Normalizando (esto es dividir todo entre m) d2(X0(t))dt2 + Bm d(X0(t))dt + KmX0(t)= KmXi(t) y Transformando la ecuacin en Laplace S2 X0(t) S X0(t) - X0(t)+ Bm[S X0(s) - X0(u)]+ KmX0(S)= KmXi(S) Agrupando: Is2 + Bm|S] + Km ] X0(S) = KmXi(S) + I Bm + s] X0(u) mKX0(s) Despe Una venton Dadoa b= ejando la funvez teniendonces tenemos o el sistema da) Respuesta b) Respuesta TrabajoXi(s) + ncin de tran la funcin d que H(s) es: donde se hala Impulso a escaln H(s) = o 3: Funciones nsferencia: e transferenc l su funcin H(s) = = de TransferenX0(0) cia sustituimo de transfere = ncia en Matlabos los valoresencia encontr = b. s K, m y B quar: e son constan ntes cdConvePara siguie ) Respuesta d) Respuestaertir mediant comenzar a ente: Trabajoa ruido a en frecuencte Matlab la transformar o 3: Funciones cia funcin de t hacemos la de Transferentransferenciafuncin de trncia en Matlaba en: ransferencia b. en trminos dde t haciendo lo Trabajo 3: Funciones de Transferencia en Matlab. Partiendo de esto hacemos Z-F L-F Trabajo 3: Funciones de Transferencia en Matlab. F-L L-Z F-Z Pasar de T a S Trabajo 3: Funciones de Transferencia en Matlab. Pasar de T a Z Pasar de T a F Trabajo 3: Funciones de Transferencia en Matlab. 2.-El carrito con un pndulo invertido, se muestra bajo, es empujado con una fuerza impulsiva, F. Determinemos las ecuaciones dinmicas de movimiento del sistema, y linealizar cerca del ngulo del pndulo, . Encontrar un controlador para satisfacer todos los requerimientos de diseo dados arriba. Teniendo estos datos: Haciendo el anlisis de fuerzas y realizando los sistemas de ecuaciones. D.C.L. Sumando las fuerzas en el diagrama de cuerpo libre del carro en la direccin horizontal, se obtiene la siguiente ecuacin del movimiento: Hx + bx + N = F N = mx +ml0

cos0 - ml0

2scn0 (H +m)x + bx + ml0

cos0 -ml0

2scn0 = F Pscn0 +Ncos0 - mgscn0 = ml0

+mx cos0 Sumando los momentos sobre el centroide del pndulo para obtener la siguiente ecuacin: -Plscn0 - Nlcos0 = I0

Se obtiene la segunda ecuacin dinmica: (I +ml2) - 0

+mglscn0 = -mlx cos0 M masa del carro 0.5 kg m masa del pndulo 0.5 kg b friccin del carro 0.1 N/m/seg l longitud al centro de masa del pndulo 0.3 m I inercia del pndulo 0.006 kg*m^2 F fuerza aplicada al carro x coordenadas de posicin del carro ngulo del pndulo respecto de la vertical Trabajo 3: Funciones de Transferencia en Matlab. La linealizacin las dos ecuaciones de movimiento sern: (I +ml2)e -mgle = mlx (H + m)x +bx - mle = u(u representa la entrada) Para obtener analticamente la funcin de transferencia de las ecuaciones del sistema linealizado , debemos tomar primero la transformada de Laplace de las ecuaciones del sistema. Las transformadas de Laplace son: (I +ml2)e(s)s2 - mlge(s) = mIX(s)s2 (H +m)s2 - bX(s)s -mI(s)s2 = u(s) X(s) = |(I + ml2)ml - gs2| e(s) (H +m) |(I +ml2)ml -gs| e(s)s2 +b |(I + ml2)ml + gs| e(s)s -mle(s)s2 = u(s) Re-ordenando, la funcin de transferencia es: e(s)u(s) = mlo s2s4 + b(I +ml2)o s3 -(H + m)mglo s2 -bmglo s Donde o = |(H + m)(I +ml2) - (ml)2] La funcin de transferencia de este sistema es: e(s)u(s) = ml((H + m)(I + ml2) -(ml)2)s2s3 + b(I +ml2)(H +m)(I +ml2) -(ml)2s2 - (H +m)mgl(H +m)(I + ml2) -(ml)2s - bmgl(H +m)(I +ml2) -(ml)2 Sustituyen do los valores constantes obtenemos la funcin de transferencia completa: e(s)u(s)= u.S (u.S )((u.S +u.S )(u.uu6 +u.S (u.S)2) -(u.S (u.S)2)s2s3 + u.1(u.uu6 +u.S (u.S)2)(u.S +u.S )(u.uu6 +u.S (u.S)2) -(u.S( u.S)2s2 - (u.S +u.S )u.S (9.81)(u.S)(u.S +u.S )(u.uu6 +u.S (u.S)2) -(u.S (u.S)2s - (u.1)u.S (9.81)(u.S)(u.S +u.S )(u.uu6 +u.S (u.S)2) -(u.S (u.S)2 q(x)U(x) = mlo s2s3 +b(I + ml2)o s2 - (H + m)mglo s - bmglo Realiz Dadoe f) zando las opo el sistema de) Respuesta ) Respuesta Trabajoperaciones nedonde se hala Impulso a escaln o 3: Funciones ecesarias obl su funcin de Transferen tenemos que de transferencia en Matlabe la Funcin dencia encontrb. de Transferenar: ncia es la siguiente: ghConvePara siguie g) Respuesta h) Respuestaertir mediant comenzar a ente: Trabajoa ruido a en frecuencte Matlab la transformar o 3: Funciones cia funcin de t hacemos la de Transferentransferenciafuncin de trncia en Matlaba en: ransferencia b. en trminos dde t haciendo lo Trabajo 3: Funciones de Transferencia en Matlab. Z-F L-F F-L Trabajo 3: Funciones de Transferencia en Matlab. L-Z F-Z Pasar de T a S Trabajo 3: Funciones de Transferencia en Matlab. Pasar de T a Z Pasar de T a F Trabajo 3: Funciones de Transferencia en Matlab. 3.- Despreciando la inercia de las ruedas, y si se asume que la friccin (la cual es proporcional a la velocidad del auto) es tal que se opone al movimiento del auto, entonces el problema se reduce al sistema simple de masa y resorte. Usando la ley de Newton, las ecuaciones de modelado para este sistema son: u: fuerza (1) m= 100[kg] u = 50[N] b=20 Transformada de Laplace de las ecuaciones del modelo (1). Para condiciones iniciales nulas. Como nuestra salida es la velocidad, sustituyamos V(s) en trminos de Y(s) La funcin de transferencia del sistema es: Como m y b son constantes sustituimos para tener la funcin de transferencia: u vamY(x)U(x) = 1ms + b Y(x)U(x) = 11uus +2u Dadoi) j)ko el sistema d) Respuesta ) Respuesta ) Respuesta Trabajodonde se hala Impulso a escaln a ruido o 3: Funciones l su funcin de Transferen de transferencia en Matlabencia encontrb. ar: l)Conve

) Respuestaertir mediant Z F Trabajoa en frecuencte Matlab lao 3: Funciones cia funcin de tde Transferentransferenciancia en Matlaba en: b. Trabajo 3: Funciones de Transferencia en Matlab. L-F F-L L-Z Trabajo 3: Funciones de Transferencia en Matlab. F-Z Pasar de T a S Pasar de T a Z Pasar de T a F Trabajo 3: Funciones de Transferencia en Matlab. Cdigo en Matlab Ejercicio 1 (Respuestas Impulso, Escaln, Frecuencia y Ruido) num = [1]; den1 =[1 0.0333 0.1]; k=0.1 den = den1; roots(den); roots(num); [ceros,polos,gan] = tf2zp (num,den); [num,den] = zp2tf (ceros,polos,gan); t = [0:.3:4]'; y = step(num,den,t); plot (t,y); figure(1) title ('RESPUESTA A UN ESCALON UNITARIO'); xlabel ( 'tiempo (seg)'); grid; figure(2) impulse ( num,den,t); title ('RESPUESTA A UN IMPULSO'); xlabel ( 'tiempo (seg)'); grid; figure(3) noise = rand(size(t)); y = lsim ( num,den,noise,t); plot (t,y,t,noise); title ('RESPUESTA A UN RUIDO ALEATORIO'); xlabel ('tiempo(seg)'); grid; f=15; w=2*pi*f; factor=16; fs=factor*f; t=0:1/fs:2*(1/f); frec=0:(factor*f)/length(t):factor*f-1; y=sin(w*t); yw=fft(y); figure(5); subplot(2,1,1);plot(t,y); subplot(2,1,2);plot(frec,abs(yw)); Trabajo 3: Funciones de Transferencia en Matlab. Ejercicio 2 (Respuestas Impulso, Escaln, Frecuencia y Ruido) num = [2.5 0 0]; den1 =[1 0.1 -2.88 -2.88]; den = den1; roots(den); roots(num); [ceros,polos,gan] = tf2zp (num,den); [num,den] = zp2tf (ceros,polos,gan); t = [0:.3:4]'; y = step(num,den,t); plot (t,y); figure(1) title ('RESPUESTA A UN ESCALON UNITARIO'); xlabel ( 'tiempo (seg)'); grid; figure(2) impulse ( num,den,t); title ('RESPUESTA A UN IMPULSO'); xlabel ( 'tiempo (seg)'); grid; figure(3) noise = rand(size(t)); y = lsim ( num,den,noise,t); plot (t,y,t,noise); title ('RESPUESTA A UN RUIDO ALEATORIO'); xlabel ('tiempo(seg)'); grid; f=15; w=2*pi*f; factor=16; fs=factor*f; t=0:1/fs:2*(1/f); frec=0:(factor*f)/length(t):factor*f-1; y=sin(w*t); yw=fft(y); figure(5); subplot(2,1,1);plot(t,y); Trabajo 3: Funciones de Transferencia en Matlab. Ejercicio 3 (Respuestas Impulso, Escaln, Frecuencia y Ruido) num = [1]; den1 =[100 20]; den = den1; roots(den); roots(num); [ceros,polos,gan] = tf2zp (num,den); [num,den] = zp2tf (ceros,polos,gan); t = [0:.3:4]'; y = step(num,den,t); plot (t,y); figure(1) titl