F 08 Trigonometria

7/25/2019 F 08 Trigonometria

1/13

Matemticas 4 B de ESO. Captulo 7: Trigonometra Autoras: Fernanda Ramos Rodrguez y Milagros Latasa Assowww.apuntesmareaverde.org.es Revisora: Nieves ZuastiLibrosMareaVerde.tk Ilustraciones: Banco de Imgenes de INTEF, Milagros Latasa y Fernanda Ramos

77

Captulo 7: TRIGONOMETRA. Matemticas 4B de ESO1. SISTEMAS DE MEDIDA DE NGULOS1.1. Sistema sexagesimalRecordars que en el sistema sexagesimal de medida de ngulos, la unidad es el grado sexagesimalque se define como latrescientos sesenteava parte de un ngulo completo. Tiene dos divisores que son el minutoque es la sesenteava parte de ungrado y el segundo que es la sesenteava parte de un minuto. Recuerda la notacin que se emplea en este sistema:

1o= 1 grado sexagesimal; 1 = 1 minuto sexagesimal; 1 = 1 segundo sexagesimal.

Como consecuencia de la definicin:1 ngulo completo = 360o; 1 o= 60; 1 = 60.

1.2. Sistema internacionalEn el sistema internacional, la unidad de medida de ngulos es el radin.El radines un ngulo tal que cualquier arco que se le asocie mide exactamente lo mismoque el radio utilizado para trazarlo.Se denota por rad.A un ngulo completo le corresponde un arco de longitud 2R, a un radin un arco delongitud R, entonces:

N de radianes de un ngulo completo=

22

R

Rrad

Y la relacin con el sistema sexagesimal la obtenemos a partir del ngulo completo:1 ngulo completo = 360o= 2rad 1 ngulo llano = 180o= radPor esta relacin se obtiene que 1 rad57, 216o57o12 58 .Actividades propuestas1. Expresa en radianes las siguientes medidas: 45o, 150o, 210o, 315o.

2. Expresa en grados sexagesimales:3

2,

5

y8

3radianes.

3. Dos ngulos de un tringulo miden respectivamente 40 oy3

radianes. Calcula en radianes lo que mide el tercer ngulo.

4. Un ngulo de un tringulo issceles mide6

5radianes. Calcula en radianes la medida de los otros dos.

5.

Dibuja un tringulo rectngulo issceles y expresa en radianes la medida de cada uno de sus ngulos.

2. RAZONES TRIGONOMTRICAS DE UN NGULO AGUDO2.1. Razones trigonomtricas directas de un ngulo agudoEmpecemos por considerar un ngulo agudo cualquiera, utilizaremos una letra griega (alfa) para denotarlo. Es siempre

posible construir un tringulo rectngulo de modo que sea uno de sus ngulos. Sea

ABC uno de estos tringulos ysituemos en el vrtice B, el ngulo.Se definen las razones trigonomtricas directas del ngulo: seno, coseno y tangente como:

a

b

hipotenusa

opuestocatetoBsensendeseno

achipotenusaadyacentecatetoBcoscosdeenocos

cb

adyacentecatetoopuestocateto

Btantandetangente

Tambin se utilizan las expresiones tg y tagcomo smbolos de la tangente de.Esta definicin no depende del tringulo elegido. Vamos a demostrarlo. Para ello consideremos

otro tringulo rectngulo

CBA conen el vrtice B.

Segn el segundo criterio de semejanza de tringulos

ABC y

CBA son semejantes porquetienen dos ngulos iguales 90oy. Por lo tanto los lados de ambos son proporcionales:

A menudo se nombran losngulos de un tringulo con la

misma letra mayscula que elvrtice correspondiente.


2/13


78

midesequeentringulodelnteindependieestangentela

midesequeentringulodelnteindependieescosenoel

midesequeentringulodelnteindependieessenoel

c

b

c

b

c

c

b

ba

c

a

c

c

c

a

aa

b

a

b

b

b

a

a

c

c

b

b

a

a

Actividades resueltas

Calcula las razones trigonomtricas de los ngulos agudos de un tringulo rectngulo

ABC cuyos catetos miden b = 30cm y c = 40 cm.

Calculamos en primer lugar el valor de la hipotenusa 222 cba 302+ 402= 900 + 1600 = 2500 502500a cm.

605

3

50

30,Bsen

; 80

5

4

50

40,Bcos

; 750

4

3

40

30,Btg

.

805

4

50

40,Csen

; 60

5

3

50

30,Ccos

;

3

4

30

40

Ctg .

2.2. Relaciones fundamentalesSi conocemos una de las razones trigonomtricas del ngulo , es posible calcular las razones trigonomtricas restantes,gracias a las dos relaciones trigonomtricas fundamentales siguientes:

PRIMERA RELACIN FUNDAMENTAL: 122 cossen

que tambin vers escrita como 122 cossen dado que las potencias de las razones trigonomtricas suelen escribirsecon su exponente sobre la ultima letra de su notacin y a continuacin el nombre del nguloLa demostracin es sencilla. Volvamos al tringulo inicial del prrafo anterior:Por el teorema de Pitgoras 222 cba Dividamos a ambos miembros entre a2:

222

2

2

22

2

2

2

2

2

11

cossena

c

a

b

accos

a

bsen

a

c

a

b

a

a

SEGUNDA RELACIN FUNDAMENTAL:

cos

sentan

En el mismo tringulo anterior:

tanc

b

ac

ab

a

c:

a

b

cos

sen.


Sabiendo que es un ngulo agudo, calcula las restantes razones trigonomtricas de en los casos siguientes:

a)51sen b) 3tan

a) 122 cossen 125

1 2 cos 5

62

25

24

25

24

25

112 coscos ;

12

6

610

5

5

62

5

1

:cos

sentan .

b)

10

10

10

1

10

12

121012233

122

3

122

coscos

coscoscoscossen

cossen

cos

sentan

cossen

y10

103sen .

2.3. Otras razones trigonomtricas. Otras relaciones


3/13


79

Otras razones trigonomtricas de un nguloson la cosecante, la secante y la cotangente de y sus notaciones son cosec, sec , cotan.

sencosec

1;

cossec

1;

tancotan

1.

Con su definicin, aparecen nuevas identidades trigonomtricas, entre las que destacan:a) 1 cosec.sen ; 1 sec.cos ; 1 cotan.tan .

b)

22

1 tansec c) 22 1 cotancosec

La primera de ellas es evidente por definicin. La segunda y la tercera tienen una demostracin muy parecida por lo queencontrars solo una de las dos y la otra como actividad propuestaDemostracin b):

A partir de 122 cossen , dividimos a ambos miembros entre 2cos :

22

2

2

2 1

coscos

cos

cos

sen 22 1 sectan .

Actividades propuestas

6. Sabiendo que3

1cos , calcula las razones trigonomtricas secante, cosecante y cotangente de .

7. Si cotan= 2, calcula las cinco razones trigonomtricas del ngulo .8. Demuestra que 22 1 cotancosec 2.4. Razones trigonomtricas de 30o, 45oy 60o.RAZONES TRIGONOMTRICAS DE 30oy 60 oConsideramos un tringulo equiltero de lado L Trazamos la altura correspondiente al ladosobre el que se apoya. Con ello queda dividido en dos tringulos rectngulos iguales cuyosngulos miden 90o, 30oy 60o. Adems la hipotenusa mide L y uno de sus catetos L/2. Por elteorema de Pitgoras podemos obtener el que nos falta:

2

3

4

3

42

222

22 LLLL

LLh

Calculamos las razones trigonomtricas de 30oy 60oen el tringulo

ABH :

2

3

2

3

2

360

L

LL:

L

L

hsen o

2

1

2230

L

LL:

Lsen o

2

1

2260

L

LL:

Lcos o

2

3

2

3:

2

330cos

L

LL

L

L

ho

32

32

2

322

260

L

LL:

L

L

hL:htag o

3

3

3

1

32

2

2

3

2230

L

LL:

Lh:

Ltag o

RAZONES TRIGONOMTRICAS DE 45o

Ahora vamos a trabajar con un tringulo rectngulo issceles. Pongamos que los dos catetos tienenuna longitud L. Utilizamos de nuevo el teorema de Pitgoras y obtenemos el valor de la hipotenusa xen funcin de L:

22 222 LLLLx Ahora podemos calcular ya las razones trigonomtricas de 45o

2

2

2

1

245 :

L

L

x

Lsen o ;

2

2

2

1

245 :

L

L

x

Lcos o ; 145

L

Ltag o

Seno Coseno Tangente30o 1/2 3 /2 3 /345o 2 /2 2 /2 1

60o 3 /2 1/2 3


4/13


80

2.5. Resolucin de tringulos rectngulos.Resolver un tringuloes calcular las amplitudes de los tres ngulos y las longitudes de los tres lados.En el caso de que el tringulo sea rectngulo podemos considerar tres casos dependiendo de las hiptesis o datos iniciales.En cada uno de ellos existen varias formas de obtener la solucin. Vamos a describir una en cada caso:

Primer caso:Se conocen un nguloB y la hipotenusa a:

ComoA = 90o

C = 90o

B

Ahora a partir de las razones trigonomtricas de B o C , obtenemos los lados que nos faltan. Tambincabe utilizar el teorema de Pitgoras cuando conozcamos uno de los dos catetos.

a

bBsen

Bsenab ;a

cBcos

Bcosac

Segundo caso:Se conocen un nguloB y un cateto b:

ComoA = 90o

C = 90o

B

Tambin en este caso las razones trigonomtricas deB o

C sirven para obtener al menos uno de los lados y puede utilizarse

el teorema de Pitgoras cuando hallemos el valor de un lado ms. Una forma de resolucin es:

c

bBtg

Btg

bc ; a

bBsen

Bsen

ba

Tercer caso:Se conocen dos lados:En este caso utilizaremos en primer lugar el teorema de Pitgoras para calcular el tercer lado, tanto si el que falta es un catetocomo si es la hipotenusa. Siguiendo con el tringulo de la figura:

222 cba

Para obtener el primero de los ngulos agudos, calcularemos en primer lugar una de sus razones trigonomtricas, por ejemplo

a

bBsen

y para conocer el valor del ngulo, despejamos escribiendo:

a

bsenarcB

, que significa ngulo cuyo seno es B y que se obtiene con la calculadora activando el comando sin-1lo que

conseguiremos con la secuenciaa

b.

Anlogamente, si partimos dea

cBcos

o bienc

bBtg

el ngulo Besa

ccosarcB

o

c

btanarcB

queobtendremosconlassecuenciasa

cobien

c

b.

Actividades resueltas Resolver el tringulo ABC con ngulo recto en A en los dos casos siguientes:

a) oB 42

y la hipotenusa a = 12 m.

b) Los catetos miden 12 dm y 5 dm.

a) Clculo de los ngulos: oA 90

; oB 42

; oooC 484290

Clculo de los lados:12

42b

sen o osenb 4212 8,03 m;12

42c

cos o ocosc 4212 8,92 m.

b) Clculo de la hipotenusa: 222 cba = 122+ 52= 144 + 25 = 169 13169 a dm

Clculo de los ngulos: oA 90

;

5

12tanarcB 67o22 48 ;

oC 90 67o22 48 = 22o37 12 .

2.6. Aplicaciones de la resolucin de tringulos rectngulos al clculo de distanciasResolucin de tringulos rectngulosLa resolucin de tringulos rectngulos puede aplicarse directamente en algunos casos al clculo de distancias.



5/13


81

Calcular la altura de un rbol sabiendo que determina una sombra de 3,5 metros cuando los rayosde sol formanun ngulo de 30ocon el suelo.La razn trigonomtrica de 30oque relaciona el lado conocido y el que nos piden es la tangente:

5330

,

htan o

3

3533053 .,tan,h o 2,02 m.

Tcnica de la doble observacinSe utiliza para calcular alturas de objetos a los que resulta difcil llegar como por ejemplo, edificios, montaas, objetos en elextremo opuesto de una calle, etc.Precisamos de un instrumento para medir ngulos. Habitualmente se utiliza el llamado teodolito. La tcnica consiste en tomarla medida del ngulo que forma una visual dirigida al punto ms alto del objeto a medir con la horizontal, desde dos puntosdistintos y situados a una distancia conocida para nosotros.Aparecen entonces dos tringulos rectngulos con un lado comn que es la altura a medir. Es posible plantear un sistema deecuaciones en cuyo planteamiento es clave la definicin de las razones trigonomtricas de un ngulo agudo. Veamos algunosejemplos:Actividades resueltas Dos personas, separadas 30 metros ven un helicptero. La persona

situada en A dirige una visual a la base del mismo que forma con elsuelo un ngulo de30. Tambin la persona situada en B dirige su vista

al mismo punto obteniendo un ngulo de 60. A qu altura vuela elhelicptero?

Sea h esta altura. Las visuales y el suelo determinan dos tringulos

rectngulos AHC y

BHC en los que:

AC + CB = 30 CB = 30 ACy si hacemos AC = x

x

htan 30 xtanxh

3

330

x

htan

3060 xtanxh 3036030

m,x 5222

45

4

90 . Sustituyendo, llegamos a la solucin m.xh 13

2

315

2

45

3

3

3

3

En un viaje de alumnos de 4 de E.S.O. a Londres, algunos delos viajeros hicieron prcticas de trigonometra. (Ya sabes,siempre hay un teodolito a mano).Al conocer que las torres de la Abada de Westminster tienen 30metros de altura, decidieron aprovechar sus conocimientos paracalcular la altura de la conocida torre Big Ben. Desde un puntointermedio entre ambos edificios se divisa el punto ms alto de laAbada con ngulo de 60,y el Big Ben con un ngulo de 45. Sila distancia entre las bases de las torres de los dos edificios esde 50 metros, cul fue el resultado de sus clculos?, a qudistancia se encontraba de cada edificio? (Nota: Los datos son totalmenteficticios)

En el tringulo izquierdo determinado por la Abada:x

tan30

60

mtan

xo

3103

330

3

30

60

30

En el tringulo que determina el Big Ben:

3105045

htan otan.h 4531050 m,mh 73231050

3. RAZONES TRIGONOMTRICAS DE UN NGULO CUALQUIERA3.1. Circunferencia trigonomtrica. Cuadrantes

Se llama circunferencia trigonomtricao goniomtricaa una circunferencia de radio unidad centrada en el origen decoordenadas.

xx 3033

3x= 330 .x 4x= 90

h

30m

60o

45o

x 50 x


6/13


82

Es posible representar cualquier ngulo en la circunferencia trigonomtrica. Para ello siempre se toma un lado fijo que es lasemirrecta definida por la parte positiva del eje de abscisas; el segundo lado es la semirrecta variable que corresponda segnsu medida. El sentido de un ngulo se mide de OX+a la semirrecta variable que determina su amplitud. Se entiende que paraun ngulo negativo coincide con el de las agujas de un reloj analgico y para un ngulo positivo, el contrario.La circunferencia trigonomtrica divide al plano en cuatro regiones que se denominan cuadrantes.

PRIMER CUADRANTE SEGUNDO CUADRANTE TERCER CUADRANTE CUARTO CUADRANTE

3.2. Razones trigonomtricas de un ngulo cualquieraLa semirrecta variable que define un ngulo en la circunferencia trigonomtrica es clave para la definicin de un ngulocualquiera. Dicha semirrecta corta a la circunferencia en un punto P y,x a partir del que se define:

y

y

R

y

sen 1 ;

x

x

R

x

cos 1 ;

x

y

tag .Se conserva la definicin para ngulos agudos que son ngulos del primer cuadrante y seampla a ngulos de cualquier signo y amplitud.Adems, esta definicin permite tener una representacin geomtrica del seno y el cosenode un ngulo que coincide con los segmentos y, x, ordenada y abscisa del punto P. Lasrectas tangentes a la circunferencia goniomtrica en los puntos 01, y 10,

proporcionan tambin representaciones geomtricas de la tangente y cotangente que sonlos segmentos determinados por estas tangentes geomtricas, el eje OXy la semirrectacorrespondiente a cada ngulo:

Debes pensar que los ngulos de estos cuadrantes no siempre son positivos ni tienen un valor absoluto menor que 360o.Observa que, si su valor absoluto es mayor que 360o, equivale al nmero de vueltas que te indique el cociente entero de ladivisin deentre 360oms el resto de la divisin.El signo de un ngulo depende solo de la forma de recorrerlo (medido desde la parte positiva del eje OX hacia la semirrectaque lo define).3.3. Reducc in al pr imer cuadranteLos ngulos de los cuadrantes segundo, tercero o cuarto pueden relacionarse con ngulos agudos que podemos situar

en el primer cuadrante y que tienen razones trigonomtricas con los mismos valores absolutos que los ngulosiniciales.Estas relaciones permiten obtener las razones trigonomtricas de cualquier ngulo en funcin de uno del primer cuadrante. En cada caso calcularemos la amplitud de la zona sombreada.

En los casos en los que deseemos obtener qu ngulos corresponden a una razn trigonomtrica dada, resulta especialmenteimportante ya que, aunque hagamos uso de la calculadora, sta nos devolver un nico valor y, sin embargo, existen infinitos

ngulos solucin de este problema. Gracias a lo que describiremos en este epgrafe, podremos encontrarlos sin dificultad.Para hacer ms cmoda la explicacin consideraremos que a partir de P se miden las razones trigonomtricas del ngulo y

P

x

R=


7/13


83

a partir de P las del nguloANGULOS DEL SEGUNDO CUADRANTEConstruimos los tringulos rectngulos OPAyOPAiguales de forma que la hipotenusa sea enambos casos el radio de la circunferencia goniomtrica y adems = ngulo AOP= nguloAOP

senPAAPsen ; cosOAAOcos

Y dividiendo miembro a miembro, obtenemos

tancos

sen

cos

sen

tan ANGULOS DEL TERCER CUADRANTETambin en este caso los tringulos rectngulos OPAy OPAson iguales. Su hipotenusa es elradio de la circunferencia goniomtrica y sus catetos los segmentos determinados por lascoordenadas de los puntos Py P. La construccin se realiza adems de modo que = nguloAOP= ngulo AOP

senPAAPsen ; cosOAAOcos

Y dividiendo miembro a miembro, obtenemos

tan

cos

sen

cos

sentan

ANGULOS DEL CUARTO CUADRANTEPor ltimo construimos los tringulos rectngulos OPAy OPAiguales de modo anlogo a lo descritoen los dos casos anteriores, observando que, en este caso A=A.

senAPAPsen ; cosAOcos en ambos casos.

Y dividiendo miembro a miembro, obtenemos:

tan

cos

sen

cos

sentan

Actividades propuestas9. Sita en el cuadrante que corresponda y expresa en funcin de un ngulo agudo, el seno, coseno y tangente de los

siguientes ngulos:

ngulo cuadrante seno coseno tangente

165o

230o

315o

3625o

10. Utiliza la calculadora y lo aprendido en este epgrafe para encontrar todos los ngulos positivos menores que 360ocuyoseno es de 0,4.

11. dem todos los ngulos negativos menores en valor absoluto que 360ocuya tangente vale 2.12. dem todos los ngulos comprendidos entre 360oy 720ocuyo coseno vale 0,5.ANGULOS DETERMINADOS POR LOS SEMIEJES.

Los ngulos noo 3600 ; noo 36090 ; noo 360180 ; noo 360270 estn determinados por semiejes de coordenadas y susrazones trigonomtricas se miden a partir de puntos de los ejes. Estos puntos son, respectivamente 0,11P , 1,02P ,

0,13 P y 1,04 P con lo que se obtiene con facilidad:

nsen oo 3600 0;

ncos oo 3600 1;

03600 ntan oo .

nsen oo 36090 1; ncos oo 36090 0; ntan oo 36090 no existe

A

P

O

P

A


8/13


84

nsen oo 360180 0; ncos oo 360180 1; 0360180 ntan oo nsen oo 360270 1; ncos oo 360270 0; ntan oo 360270 no existe

4. RESOLUCIN DE TRINGULOS CUALESQUIERALas definiciones de seno, coseno y tangente que hemos aplicado en tringulos rectngulos no se pueden aplicar en tringulosno rectngulos. Para resolver tringulos no rectngulos se aplican dos teoremas muy importantes en trigonometra: el teoremade los senos y teorema de los cosenos.

4.1. Teorema de los senosEl teorema de los senosafirma que en todo tringulo se cumple que los lados son proporcionales a los senos de los ngulosopuestos. Es decir,

Csen

c

Bsen

b

Asen

a

Consideremos el tringulo ABCy tracemos dos alturas cualesquiera hy hque dividen al tringulo no rectngulo en dostringulos rectngulos.

B B

a c a

c h h

A b C A b C

Aplicando la definicin de seno a los tringulos en los que intervieneh:c

hAsen h=c Asen ;

a

hCsen h=c Csen

Por tanto: Asenc = Csena Csen

c

Asen

a

Aplicando la definicin de seno a los tringulos en los que intervieneh:

c

'hBsen Bsenc'h ;

b

'hCsen Csenb'h

Por tanto: Bsenc = Csenb Csen

c

Bsen

b

Entonces, se deduce que:Csen

c

Bsen

b

Asen

a

Notas

Si el tringulo es obtusngulo, un razonamiento anlogo nos lleva a las mismas frmulas.Podemos resolver fcilmente tringulos utilizando el teorema de los senos si conocemos:

a) dos ngulos (es decir, tres ngulos) y un ladob)

dos lados y el ngulo opuesto a uno de ellos.Actividades resueltas

Resolver el siguiente tringulo B = 30, a = 4 cm y b = 5 cm.:Conocemos dos lados y el ngulo opuesto a uno de ellos, b.

Bsen

b

Asen

a

senAsen 30

54 .')/(Asen 40

5

214

Por tanto: A =arcsen0,4 = 23,58o. El ngulo C = 180o (2358o+ 30o) 126,42o.

Para calcular el lado cvolvemos a aplicar el teorema de los senos:Csen

c

Bsen

b

'sen

c

sen 4212630

5

Entonces: 1830

421265,

sen

,senc

cm.

4.2. Teorema de los cosenos

El teorema de los cosenosafirma que en un tringulo

ABC cualquiera se cumple que:


9/13


85

a2=b2+c2 2bccosA b2=a2+c2 2accos B c2=a2+b2 2abcos C El prximo ao estudiars la demostracin de este teorema. De momento solo veremos algunas de sus aplicaciones.Notas

Si te fijas, el teorema de los cosenos es una generalizacin del teorema de Pitgoras. Es decir, cuando el tringuloes rectngulo, el teorema de los cosenos y el teorema de Pitgoras es lo mismo.

Podemos utilizar el teorema de los cosenos si en un tringulo conocemos:a)

los tres lados,

b)

dos lados y el ngulo opuesto a uno de ellosc) dos lados y el ngulo que forman.

Actividades resueltas Resolver el siguiente tringulo del que conocemos B = 108, c = 700 m y a =

1200 m:

Bcosaccab 2222 luego 108120070027001200 22 cosb = 1564,97 m.

Con a, b y c conocidos, calculamos el ngulo C: Ccosabbac 2222

9097156412002

9715641200700

2

222222,

'

,

ba

bacCcos

C = 25,18o.

El ngulo C

tambin se podra calcular utilizando el teorema de los senos.Para calcular A : A = 180o (108o+ 25,18o) = 4682o.Actividades propuestas13.Calcula la longitud del lado ade un tringulo, sabiendo que C= 25, b= 7 cm y c= 4 cm.14.Calcula los ngulos del tringulo de lados: a = 6, b= 8 y c= 5.4.3. Resolucin de tringulos cualesquieraLas herramientas bsicas para resolver tringulos cualesquiera son los teoremas de los senos y los cosenos vistosanteriormente. El prximo curso se ampliar brevemente la resolucin de estos tringulos, estudiando casos en los que noexistir solucin o casos en los que haya dos soluciones.Tambin se plantearn problemas de clculo de distancias entre puntos inaccesibles.

RESUMEN

EjemplosRadin Es un ngulo tal que cualquier arco que se le asocie mide

exactamente lo mismo que el radio utilizado para trazarlo.Se denota por rad.N de radianes de un ngulo completo = 2rad

90oson/2 rad

Razonestrigonomtricas de unngulo agudo

a

b

hipotenusa

opuestocatetosen

a

c

hipotenusa

adyacentecatetocos

c

b

adyacentecateto

opuestocatetotan

53Csen ,

54Ccos

43Ctg

Relacionesfundamentales

122 cossen

cos

sentan

14

3

4

1

2

3

2

1

303022

22

oo cossen

Otras razonestrigonomtricas

sen

cosec1

cos

sec1

tan

cotan1

cosec90o=1

sec 90oNo existecotan 45o=1

Razones seno coseno tangente


10/13


86

trigonomtricas de30o,45oy 60o

30o 1/2 3 /2 3 /3

45o 2 /2 2 /2 1

60o 3 /2 1/2 3

Reduccin al primercuadrante

Las razones trigonomtricas de cualquier ngulo pueden expresarse en funcin de las de un ngulo agudo

.oo sensen 45135

oo sensen 20200 oo coscos 6060

Resolucin detringulos

Resolver un tringulo es calcular las medidas de sus ngulosy sus lados.

Teorema de los senosEn un tringulo

ABC cualquiera:

Csen

cBsen

bAsen

a

EJERCICIOS Y PROBLEMAS1. Expresa las siguientes medidas de ngulos en radianes:

a) 30o b)60o c)100o d)330o2.

Cunto mide en grados sexagesimales un ngulo de 1 rad? Aproxima el resultado con grados, minutos y segundos.

3. Halla la medida en grados de los siguientes ngulos expresados en radianes: a) ; b)3

; c)

6

5; d) 2.

4. Usando la calculadora halla el seno, el coseno y la tangente de : a) 28o b) 62.Encuentras alguna relacin entre las razones trigonomtricas de ambos ngulos?

5.

Halla el seno y el coseno de los ngulos ByCdel dibujo. Qu relacin encuentras?6.

En un tringulo rectngulo ABCcon ngulo recto en A, si tan B= 1,2 y b= 3 cm, cuntomide c?

7.

Trabajando con ngulos agudos, es cierto que a mayor ngulo le corresponde mayorseno? Y para el coseno?

8. Usando la calculadora halla el seno, el coseno y la tangente de 9oy 81o. Encuentras alguna relacin entre las razonestrigonomtricas de ambos ngulos?

9. Si aes un ngulo agudo y cos a= 0,1, cunto valen las otras dos razones trigonomtricas?10.

Comprobar las relaciones trigonomtricas fundamentales con 30o, 45oy 60osin utilizar decimales ni calculadora.11. Si aes un ngulo agudo y tan a= 0,4, cunto valen las otras dos razones trigonomtricas?12. Completa en tu cuaderno el siguiente cuadro sabiendo quees un ngulo agudo.

0,71/3

213.

Es rectngulo un tringulo cuyos lados miden 12, 13 y 5 cm? En caso afirmativo determina el seno, coseno y tangentede los dos ngulos agudos.

14. Los catetos de un tringulo rectngulo miden 5 y 12 cm. Calcula las razones trigonomtricas de sus ngulos agudos.Qu amplitud tienen?

15. Sies un ngulo agudo tal que sen= 1/3, calcula:i) Las restantes razones trigonomtricas de. ii) Las razones trigonomtricas de 180ii) Las razones trigonomtricas de 180 +. iv) Las razones trigonomtricas de 360

16. Sin utilizar calculadora, calcula el valor de xen los siguientes tringulos rectngulos:


11/13


87

17.

Beatriz sujeta una cometa con una cuerda de 42 m. A qu altura se encuentra sta en el momento en que el cable tensoforma un ngulo de 52 17' con el suelo?

18. Calcula el seno, coseno y tangente del ngulo Aen el siguiente dibujo:19.

Si aes un ngulo del segundo cuadrante y cos a= 0,05, cunto valen lasotras dos razones trigonomtricas?

20.

Si aes un ngulo obtuso y sen a= 0,4, cunto valen las otras dos razonestrigonomtricas?

21. Dibuja en tu cuaderno la tabla siguiente y sita en el cuadrante quecorresponda y expresa en funcin de un ngulo agudo, el seno, coseno ytangente de los siguientes ngulos:

ngulo cuadrante seno coseno tangente secante cosecante cotangente

225

150

60

3645

22. Calcula la anchura del ro representado en la figura del margen:

23.

Averigua la altura de la torre de una iglesia si a una distancia de 80 m, ymedido con un teodolito de altura 1,60 m, el ngulo de elevacin delpararrayos que est en lo alto de la torre es de 23o.

24. Halla el rea de un hexgono regular de lado 10 cm.25. Calcula la profundidad de un pozo de 1,5 m dedimetro sabiendo el ngulo indicado en la figura del margen:26.

Cul es la altura de una montaa cuya cima, si nos situamos a una distancia de 3000 m delpie de su vertical y medimos con un teodolito de altura 1,50 m, presenta un ngulo de inclinacin de

.49 27. Cul es el ngulo de inclinacin de los rayos solares en el momento en que un bloque depisos de 25 m de altura proyecta una sombra de 10 m de longitud?

28.

Halla la altura y el rea de un tringulo issceles cuya base mide 20 cm y cuyo ngulo

desigual vale 26.29. Halla el rea de un dodecgono regular de lado 16 cm.30.

Obtener la longitud de una escalera apoyada en una pared de 4,33 m de altura que formaun ngulo de 60 o con respecto al suelo31. El hilo de una cometa totalmente extendida mide 150m, y forma un ngulo con el suelo de 40 mientras lo sujeto a1,5 m del suelo. A qu altura del suelo est la cometa?32. Para medir la altura de un campanario a cuya base nopodemos acceder, tendemos una cuerda de 30 m de largo desde lo alto de la torre hastatensarla en el suelo, formando con ste un ngulo de 60. Cul es la altura del campanario?33.

Obtener el ngulo que forma un poste de 7.5 m de alto con un cable tirante que va,desde la punta del primero hasta el piso, y que tiene un largo de 13.75 m.

x4 cm

45o 30o

3 3 cm60o

x

xo

8 cm 4 cm


12/13


88

34. Dos amigos observan desde su casa un globo que est situado en la vertical de la lnea que une sus casas. La distanciaentre sus casas es de 3 km. Los ngulos de elevacin medidos porlos amigos son de 45oy 60o. Halla la altura del globo y la distancia deellos al globo.

35. Un bilogo se encuentra en el puerto de Somiedo haciendo unseguimiento de los osos pardos. Cuenta con la ayuda de un cmaray un piloto que vuelan en un helicptero, mantenindose a una altura

constante de 40 3 m. En el momento que describe la figura, elcmara ve desde el helicptero al oso con un ngulo de depresin(ngulo que forma su visual con la horizontal marcado en el dibujo)de 60. El bilogo dirige una visual al helicptero que forma con elsuelo un ngulo de 45. Calcular la distancia d entre el bilogo y eloso.

36.

Desde cierto lugar del suelo se ve el punto ms alto de una torre, formando la visualun ngulo de 30 con la horizontal. Si nos acercamos 50 m a la torre, ese ngulo se hace de60. Calcula la altura de la torre.37.

Con un teodolito de 1 metro dealtura, dos personas pretenden medir laaltura del Coliseo de Roma. Una de ellas

se acerca al anfiteatro, separndose 40 m.de la otra. Esta ltima obtiene que el ngulo de elevacin del punto

ms alto es de 30. La otra no divisa el Coliseocompleto por lo que mide el ngulo de elevacinal punto que marca la base del tercer piso , obteniendo 60 como resultado. Calcular la altura delColiseo y la distancia de los dos observadores a la base del mismo.38. Resuelve el tringulo: a = 6; B = 45; A = 75.39. Los padres de Pedro tienen una parcela en el campo de forma triangular cuyos ladosmiden 20, 22 y 30 m. Pedro quiere calcular los ngulos. Cules son esos ngulos?

40. Estando situado a 100 m de un rbol, veo su copa bajo un ngulo de 30. Mi amigo ve el mismo rbol bajo un ngulo de60. A qu distancia est mi amigo del rbol?

41. Las conocidas torres Kiode Madrid son dos torres gemelas queestn en el Paseo de la Castellana, junto a la Plaza de Castilla. Secaracterizan por su inclinacin y representan una puerta haciaEuropa.a. Con los datos que aparecen en la figura, determina su altura.b.

Desde dos oficinas situadas en torres distintas se hanextendido dos cables hasta un mismo punto que miden 155 y150 metros y que forman un ngulo de 75 en su punto deencuentro. Qu distancia en lnea recta hay entre ambas?

42. Tres pueblos estn unidos por carreteras: AB= 10 km, BC= 12km y el ngulo formado por AByBC es de 120. Cunto distan AyC.

43. Van a construir un tnel del punto Aal punto B. Se toma como referencia una antena de telefona (C) visible desde ambos

puntos. Se mide entonces la distancia AC= 250 m. Sabiendo que el ngulo en Aes de 53 y el ngulo Bes de 45 calculacul ser la longitud del tnel.44. Calcular el lado de un pentgono regular inscrito en una circunferencia

de radio 6 m.45.

El punto ms alto de un repetidor de televisin, situado en la cima de unamontaa, se ve desde un punto del suelo Pbajo un ngulo de 67. Sinos acercamos a la montaa 30 m lo vemos bajo un ngulo de 70 ydesde ese mismo punto vemos la cima de la montaa bajo un ngulo de66. Calcular la altura del repetidor.

46. Desde lo alto de un globo se observa un pueblo Acon un ngulo de 50.Otro pueblo, B situado al lado y en lnea recta se observa desde unngulo de 60. El globo se encuentra a 6 km del pueblo Ay a 4 km de B.

Calcula la distancia entre AyB.47. Resuelve los tringulos: a) a= 20 m; B= 45; C= 65; b) c= 6 m, A=

60

45

90

d

36 m

15

150

m.

155

m.

75.

A B


13/13


89

105, B= 35; c) b= 40 m; c= 30 m, A = 60.48. Dado el tringulo de vrtices A, B, C, y sabiendo que A= 60, B = 45 y que b= 20 m. Resolverlo y calcular su rea.49.

Calcula la longitud de los lados de un paralelogramo cuyas diagonales son de 20 y 16 m. y las diagonales forman entre sun ngulo de 37.

50. Un tringulo issceles con base 30 m tiene dos ngulos iguales de 80. Cunto miden los otros dos lados?51.

Tres amigos se sitan en un campo de ftbol. Entre lvaro y Bartolo hay 25 m y entre Bartolo y Csar, 12 metros. Elngulo formado en la esquina de Csar es de 20. Calcula la distancia entre lvaro y Csar.

52.

Un hombre que est situado al oeste de una emisora de radio observa que su ngulo deelevacin es de 45o. Camina 50 m hacia el sur y observa que el ngulo de elevacin es ahora de 30o.Halla la altura de la antena.53.

Los brazos de un comps miden 12 cm y forman un ngulo de 60. Cul es el radio de lacircunferencia que puede trazarse con esa abertura?54. Escribe cuatro ngulos con el mismo seno que 135o.

55.

Encuentra dos ngulos que tengan la tangente opuesta a la de 340o.56.

Busca dos ngulos con el mismo seno que 36oy coseno opuesto.57. Qu ngulos negativos, comprendidos entre 360oy 0o tienen el mismo seno que 60o?58. En Pars y en lle de la Citse encuentran Ntre Damey la Sainte Chapellea una

distancia de 200 metros. Imaginemos que un observador situado en Ave By Cconun ngulo de 56 y que otro, situado en Bve Ay Ccon un ngulo de 117. Calcular

las distancias entre la Torre Eiffel(C) y Ntre Dame(B), asi como entre la Torre Eiffel(C) y la Sainte Chapelle(A).

AUTOEVALUACIN1. La expresin en radianes de 65oes:

a) 1,134 rad b) 1,134rad c) 2,268 rad d) 2,268rad2.

El valor de la hipotenusa en un tringulo rectngulo con un ngulo de 25oy conuno de los catetos de 3 cm es:

a) 3,3 cm b) 7,1 cm c) 6,4 cm d) 2,2 cm3.

Sies un ngulo agudo y sen = 0,8, la tangente dees:

a) 0,6 b)0,6 c)1,33 d) 1,334. Selecciona la opcin correcta:

a)tg A = 2/3 significa que sen A= 2 y cos A= 3.b) La secante de un ngulo siempre est comprendida entre 1 y 1c) En el segundo y cuarto cuadrantes la tangente y cotangente de un ngulo tienen signo negativod) El seno de un ngulo es siempre menor que su tangente.

5. Si el seno de un ngulo del segundo cuadrante es 4/5, entonces su tangente y secante son respectivamente:

a)

5

3y

3

5 b)

5

3y

3

5 c)

3

4y

4

3 d)

3

4y

4

3

6.

La altura de un edificio es de 50 m, la medida de su sombra cuando los rayos del sol tienen una inclinacin de 30ocon la horizontal es de

a) 25 m b) 100 m c) 350 m d)3

3100m

7.

El ngulo de -420o

es un ngulo que se sita ena) El primer cuadrante b) El segundo cuadrante c) El tercer cuadrante d) El cuarto cuadrante8.

Sies un ngulo agudo yes su suplementario, se cumple:a) sensen y coscos b) sensen y coscos c) sensen y coscos d) sensen y coscos

9. Para calcular la altura de una montaa se mide con un teodolito desde Ael ngulo que forma la visual a la cima conla horizontal, que es A= 30 o. Avanzando 200 m, se vuelve a medir y el ngulo resulta ser B= 35,2o. La altura de lamontaa es de:

a) 825 m b) 773 m c) 595 m d) 636 m10.

Si el radio de un pentgono regular es 8 cm, su rea midea) 305,86 cm2 b) 340,10 cm2 c) 275,97 cm2 d) 152,05 cm2

C

A

B

F 08 Trigonometria

Documents

Transcript of F 08 Trigonometria