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UUNNIIDDAADD 55:: TTRRIIGGOONNOOMMEETTRRÍÍAA

El termino Trigonometría procede del griego y significa medida de triángulos. Por lo tanto se considera la

trigonometría como la rama de la matemática que estudia los elementos de los triángulos. Sin embargo la trigonometría posee otras importantes aplicaciones que no se refieren únicamente a los triángulos.

5.1 CONCEPTOS BASICOS

5.1.1 Rayo

Sea L una recta. Sean A y B dos puntos en L tal como se aprecia en la figura:

Sea 00 , yxA . El conjunto :, 0xxLyxAB recibe el nombre de rayo y el punto A recibe el

nombre de origen o punto inicial del rayo.

5.1.2 Circulo

Se denomina círculo con centro en O y radio 0r , al conjunto de puntos en el plano cuya distancia a O es r ,

tal como se aprecia en la figura:

5.1.3 Angulo plano

Se denomina ángulo plano a la unión de dos rayos con un mismo origen. Los rayos que forman un ángulo se llaman

lados del ángulo y el origen de los rayos recibe el nombre de vértice del ángulo.

Según la figura los rayos OA y OB determinan un ángulo simbolizado AOB

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5.1.4 Angulo central

Al ángulo AOB se denomina ángulo central de un círculo si su vértice es el centro del círculo, tal como se

aprecia en la figura:

5.1.5 Arco subtendido

Consideremos un circulo C con centro en O y radio r , sea AOB un ángulo central de C , tal que A y B

están sobre C . Se llama arco subtendido por el ángulo AOB al conjunto de puntos de C que están entre A y

B , tal como se aprecia en la figura:

Es recomendable designar a uno de los lados de un ángulo como el lado inicial del ángulo y al otro como lado final. Los ángulos que tienen su vértice en el origen del plano cartesiano y el rayo positivo del eje X como lado inicial, se dice que están en posición normal, como por ejemplo:

subtendidoarco

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Página 84

5.1.6 Rotación positiva y rotación negativa

Un ángulo puede construirse por dos rayos con un origen común, uno de ellos fijo (lado inicial) y el otro rayo móvil (lado final) que rota alrededor de su origen. Si la rotación se ha realizado en el sentido contrario a las manecillas del reloj, se dice que el ángulo tiene sentido positivo, en caso contrario, se dice que el ángulo tiene sentido negativo, tal como se aprecia en la figura:

Ángulo ABC con sentido positivo. Ángulo ABC con sentido negativo.

5.2 MEDIDA DE ÁNGULOS

Para medir ángulos existen dos sistemas de medición, cuyas unidades son el grado y el radian.

5.2.1 Medida de ángulos en grados

Se dice que la medida del ángulo central AOB de un círculo (con sentido positivo) es un grado ( 1 ) si subtiende

un ángulo cuya medida es 3601

de la circunferencia. Para indicar que el ángulo AOB mide un ángulo se usa la

notación 1 AOBm .

5.2.2 Medida de ángulos en radianes

Se dice que la medida del ángulo central AOB del círculo de radio 1 con centro en el origen, en radianes es

igual a la longitud del arco AB .

Consideremos el ángulo central AOB del círculo

de radio 1 con centro en el origen y cuya medida es 45 AOBm , tal como se muestra la figura.

Tenemos que:

ABarcodellongitudAOBm 45 81

1281

4

radianes

Ejemplo No. 76

AO

B

1

1

1

1

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Si un ángulo ha sido construido por rotación positiva, entonces se le asigna una medida positiva y si ha sido construido por rotación negativa, entonces se le asigna una medida negativa.

5.2.3 Conversión de grados a radianes y viceversa

La medida R en radianes de un ángulo que mide G grados es: 180

GR

La medida G en grados de un ángulo que mide R radianes es:

RG

180

1. Exprese en radianes los siguientes ángulos medidos en grados:

a. 220 c. 325

b. 36 d. 210

2. Exprese en grados los siguientes ángulos medidos en radianes:

a. 25 c.

103

b. 32 d. 5

5.3 FUNCIONES TRIGONOMETRICAS SENO Y COSENO

Sea yxP , un punto sobre el círculo trigonométrico y sea la medida del ángulo formado por la parte positiva

del eje X y el rayo OP , tal como se muestra en la figura:

Actividad No. 23

150180

65

65

radianes

radianes 180

135135

43

Ejemplo No. 77

1

1

1

1

yxP ,

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Página 86

Se definen las funciones trigonométricas seno y coseno de la siguiente manera:

:seno RR

y

Es decir: senoy

:coseno RR

x

Es decir: cosenox

Asumiremos la siguiente simbología senosen y cosenocos , según lo anterior:

cosx

seny

5.3.1 Propiedades de las funciones seno y coseno

5.3.1.1 Imagen

Como el punto yxP , pertenece al círculo trigonométrico, se tiene que las coordenadas x y y de P

satisfacen las siguientes desigualdades:

11

11

x

y

Es decir:

1cos1

11

sen

Por lo tanto la imagen o rango de las funciones seno y coseno es 1 ,1I

5.3.1.2 Signo de las funciones seno y coseno

sen cos

20

2

23 2

23

5.3.1.3 Valores de las funciones seno y coseno para ángulos cuadrantales

sen cos

0 0 0

2 1 0

0 1

23 1 0

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Página 87

5.3.1.4 Periodicidad de las funciones seno y coseno

1. Sea yxP , un punto en el círculo trigonométrico. Sea a medida del ángulo, cuyo lado inicial es el lado

positivo del eje X y cuyo lado final es el rayo OP . Si se hace rotar el rayo OP una vuelta completa o n

vueltas completas, entonces el rayo OP en su posición final corta al círculo trigonométrico en el mismo punto

yxP , , por lo cual los valores de las funciones seno y coseno se repiten. Por lo tanto:

sensen 2

coscos 2

En general:

sennsen 2

cosncos 2

Por tal motivo se dice que las funciones seno y coseno son funciones periódicas y su periodo es 2 .

2. Sea yxP , un punto del círculo trigonométrico y sea 2

0 la medida del ángulo formado por la parte

positiva del eje X y el rayo OP , entonces:

sensen sensen sensen

coscos coscos coscos

3. Sea yxP , un punto del círculo trigonométrico y sea la medida del ángulo formado por la parte positiva

del eje X y el rayo OP , entonces las coordenadas de P satisfacen la igualdad 122 yx . Como

cosx y seny , entonces:

122 sencos

5.3.2 Las funciones seno y coseno como razones trigonométricas

1. Un ángulo , cuya medida es 2

0 , recibe el nombre de ángulo agudo. 2. Un ángulo , cuya medida es

2, recibe el nombre de ángulo obtuso.

3. La suma de las mediadas de los ángulos interiores de un triángulo es .

4. Un triángulo en el cual uno de sus ángulos internos es un ángulo recto recibe el nombre de triangulo rectángulo y se representa:

A

B C

2 ABCm

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5. Sea L una recta y sean A y B puntos sobre L , se denomina segmento de extremos A y B al conjunto de

todos los puntos de L que están entre A y B incluyéndolos. Tal segmento se denota AB y se representa:

6. Sea el triángulo ABC tal que 2

ABCm , entonces: AB y BC reciben el nombre de catetos del triángulo ABC .

AC recibe el nombre de hipotenusa del triángulo ABC .

7. Si el triángulo ABC es un triángulo rectángulo y es la medida de uno de sus ángulos interiores agudos,

tal como se muestra en la figura, entonces:

c

a

hipotenusa

opuestocateto

hipotenusaladelongitud

ánguloalopuestocatetodellongitudsen

c

b

hipotenusa

adyacentecateto

hipotenusaladelongitud

ánguloaladyacentecatetodellongitudcos

Considere el triángulo rectángulo de la figura

Determine sen y cos

Solución:

Según el teorema de Pitágoras 52591634 2222 bac . Luego:

c

a

hipotenusa

opuestocatetosen

5

4 y

c

b

hipotenusa

adyacentecatetocos

5

3

A

B C

a

b

c

Ejemplo No. 78

A

B C

4a

3b

c

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5.3.3 Valores de las funciones seno y coseno para ángulos cuya medida es 30 , 45 y 60

De particular importancia son los valores de las funciones seno y coseno para ángulos cuya medida sean 30 ,

45 y 60 , dado que estas funciones para un ángulo agudo pueden expresarse como razones entre las medidas

de los lados de un triángulo rectángulo, tal como se aprecia en la figura:

Por lo tanto:

sen cos

630

21

2

3

445

2

1 2

1

360

2

3 21

5.3.4 Representación gráfica de las funciones trigonométricas seno y coseno

5.3.4.1 Representación gráfica de la función seno

Para construir la gráfica de la función seno, tengamos en cuenta que 1 ,1: Rseno y la siguiente tabla de

valores:

x 0 6

3

2

32

65

67

34

23

35

611 2

senxy 0 21

2

3 1 2

3 21 0 2

1 2

3 1 2

3 21 0

La gráfica de la función seno en el intervalo 2 ,0 es:

Dado que la función seno es una función periódica de periodo 2 , la gráfica de la función seno en el intervalo

2 ,0 se repite cada 2 , obteniéndose:

1

12

1

2

3

45

45

30

60

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Página 90

5.3.4.2 Representación gráfica de la función coseno

Para construir la gráfica de la función coseno, tengamos en cuenta que 1 ,1: Rcoseno y la siguiente tabla

de valores:

x 0 6

3

2

32

65

67

34

23

35

611 2

cosxy 1 2

3 21 0 2

1 2

3 1 2

3 21 0 2

1 2

3 1

La gráfica de la función coseno en el intervalo 2 ,0 es:

Dado que la función coseno es una función periódica de periodo 2 , la gráfica de la función coseno en el intervalo

2 ,0 se repite cada 2 , obteniéndose:

1. Dados los siguientes ángulos, represéntelos en un círculo trigonométrico y determine sen y cos .

Actividad No. 24

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Página 91

a. 23 c.

35

b. 3 d. 6

11

3. Considere el triangulo ABC tal que 2

ABCm , con 4AB , 6AC y BACm . Determine

sen y cos .

4. Considere las siguientes figura:

Determine:

a. d.

b. 45sen y 45cos e. sen y cos

c. 60sen y 60cos

5. Represente gráficamente la función 3 senf

5.4 FUNCIONES TRIGONOMETRICAS TANGENTE, COTANGENTE, SECANTE Y COSECANTE

Recordemos que:

0ksen para todo Zk

02

kcos para todo Zk

Sean ZkkRA ,:2

y ZkkRB ,:

1. Se define la función trigonométrica tangente de la siguiente manera:

:tangente RAR

cos

sen

Es decir:

cos

sentangente

Asumiremos la siguiente simbología tangentetan . Por lo tanto:

cos

sentan

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Página 92

2. Se define la función trigonométrica cotangente de la siguiente manera:

:cotangente RBR

sen

cos

Es decir:

sen

coscotangente

Asumiremos la siguiente simbología cotangentecot . Por lo tanto:

sen

coscot

3. Se define la función trigonométrica secante de la siguiente manera:

:secante RAR

cos

1

Es decir:

cos

secante1

Asumiremos la siguiente simbología secantesec . Por lo tanto:

cossec

1

4. Se define la función trigonométrica cosecante de la siguiente manera:

:cosecante RBR

sen

1

Es decir:

sen

cosecante1

Asumiremos la siguiente simbología cosecantecsc . Por lo tanto:

sencsc

1

Determine:

a. 3tan c. sec

b. 4cot d.

32csc

Solución:

Ejemplo No. 79

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5.4.1 Periodicidad de las funciones tangente y cotangente

Sean R y Zk , entonces:

tanktan , con 0cos

cotkcot , con 0sen

Es decir las funciones trigonométricas tangente y cotangente son periódicas con periodo

5.4.2 Periodicidad de las funciones secante y cosecante

Sean R y Zk , entonces:

secksec 2 , con 0cos

csckcsc 2 , con 0sen

Es decir las funciones trigonométricas secante y cosecante son periódicas con periodo 2

5.4.3 Signo de las funciones tangente, cotangente, secante y cosecante

tan cot sec csc

20

2

23 2

23

5.4.4 Las funciones tangente, cotangente, secante y cosecante como razones trigonométricas

Consideremos el triángulo ABC tal que 2 ABCm y sea la medida de uno de sus ángulos interiores

agudos, tal como se muestra en la figura:

a.

321

2

3

3

3

3

cos

sentan

b.

1

2

2

2

2

4

4

4

sen

coscot

c.

11

11

cossec

d. 3

211

2

3323

2

sen

csc

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Página 94

De esta manera:

ánguloaladyacentecatetodellongitud

ánguloalopuestocatetodellongitud

cos

sentan

hipotenusaladelongitud

ánguloaladyacentecatetodellongitud

hipotenusaladelongitud

ánguloalopuestocatetodellongitud

b

a

adyacentecateto

opuestocateto

ánguloalopuestocatetodellongitud

ánguloaladyacentecatetodellongitud

sen

coscot

hipotenusaladelongitud

ánguloalopuestocatetodellongitud

hipotenusaladelongitud

ánguloaladyacentecatetodellongitud

a

b

opuestocateto

adyacentecateto

11

ánguloaladyacentecatetodellongitud

hipotenusaladelongitud

cossec

hipotenusaladelongitud

ánguloaladyacentecatetodellongitud

b

c

adyacentecateto

hipotenusa

11

ánguloalopuestocatetodellongitud

hipotenusaladelongitud

sencsc

hipotenusaladelongitud

ánguloalopuestocatetodellongitud

a

c

opuestocateto

hipotenusa

Si 75cos y

20 , determine sen , tan , cot , sec y csc .

Solución:

A

B C

a

b

c

Ejemplo No. 80

a

5

7

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Página 95

1. Determine:

a. 6tan c.

32sec

b. 3πcot d.

4csc

2. Si 32sen y

20 , determine:

a. cos d. sec

b. tan e. csc

c. cot

3. Determine el valor de A , si 332

4

2 cossensenA

4. Determine el valor de A , si 35

2233 cossencosA

5.5 IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS

Una identidad trigonométrica es una igualdad entre expresiones que contienen funciones trigonométricas y es válida

para todos los valores del ángulo en los que están definidas las funciones.

Sean R y R , entonces: sensencoscoscos

Sean R y R , entonces: sensencoscoscos

Sean R y R , entonces: cossencossensen

Sea R , entonces:

sencos

sencos

coscos

coscos

sencos

sencos

23

23

2

2

Actividad No. 25

Sea a la medida del cateto opuesto al ángulo , por lo tanto según el teorema de Pitágoras:

222 75 a 49252 a 25492 a 242 a 242 a 62a

De esta manera:

7

62sen

5

62tan

62

5cot

57sec

62

7csc

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Página 96

Sea R , entonces:

cossen

cossen

sensen

sensen

cosen

cossen

23

23

2

2

Sean R y R , entonces:

tantan

tantantan

tantan

tantantan

1

1

Sea R , entonces:

2

22

1

22

2

22

tan

tantan

sencoscos

cossensen

Sea R , entonces:

cos

costan

coscos

cossen

1

1

2

1

2

1

2

2

2

Determine:

a. 15tan b. 120cos

Solución:

a.

3

13

3

13

3

1

3

1

11

1

30451

3045304515

tantan

tantantantan

13

13

b. 606060606060120 sensencoscoscoscos 43

41

2

2

32

21

21

Ejemplo No. 81

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Página 97

Pruebe las siguientes identidades:

a.

sen

cot

coscotsen2

d. 122 tansencos

b.

221

1

1

1sec

sensen

e.

cos

sencotcsc

1

c. 2

2

21cos

cos

f. 22csccottan

Preguntas de selección múltiple con única respuesta: Las preguntas de este tipo constan de un enunciado y de

cuatro posibilidades de respuesta, entre las cuales se debe escoger la correcta.

1. 3sen

es igual a:

A. 21 C. 3

B. 3 D. 2

3

2. 135

es igual a:

A. 43 C. 3

B. 34 D. 4

3. 29

es igual a:

A. 300 C. 700

B. 150 D. 810

4. Si 43tan , entonces:

A. 45sen C. 5

4sen

B. 53sen D. 3

5sen

5. Según el triángulo de la figura:

A. 7

4tan C. 7

3tan

B. 43tan D. 3

4tan

Actividad No. 26

Autoevaluación No. 4

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Página 98

6. 45sen es igual a:

A. 45tan C. 45cos

B. 1 D. 0

7. Si es un ángulo agudo tal que 53sen , entonces:

A. 45cos C. 5

1cos

B. 41cos D. 5

4cos

8. Si es un ángulo agudo tal que 53sen , entonces:

A. 1tan C. 34tan

B. 43tan D. 1tan

9. Un topógrafo está a 115 pies de la base del monumento a Washinton. El topógrafo mide el ángulo de

elevación a lo alto del monumento y obtiene 3.78 . ¿La altura del monumento a Washinton es?

A. pies 555 C. pies 566

B. pies 655 D. pies 005

10. Sea 4,3 un punto en el lado terminal de , entonces:

A. 34tan C. 3

4tan

B. 43tan D. 4

3tan

11. Si 45tan y 0cos , entonces:

A. 4

14sec C. 41

4sec

B. 2

14sec D. 41

2sec

12. Sea un ángulo en el segundo cuadrante, tal que 31sen , entonces:

A. 3

22cos C. 31cos

B. 22cos D. 21cos

13. Sea un ángulo en el segundo cuadrante, tal que 31sen , entonces:

A. 3

22cos C. 31cos

B. 22cos D. 21cos

14. Un reglamento de seguridad expresa que el máximo ángulo de elevación para una escalera de rescate

es 72 . La escalera más larga de un departamento de bomberos es 110 pies. ¿La altura máxima

segura de un rescate es?

A. pies 6.104 C. pies 6.100

B. pies 6.10 D. pies 4.10