Trigonometria

TRIGONOMETRÍA / TRIGONOMETRY

Ing. E. Sergio Vázquez Castaño

Objetivo General: Proporcionar a los estudiantes de la carrera, los conocimientos matemáticos básicos y fundamentales necesarios para comprender, analizar y aplicar los conceptos, métodos y procedimientos de las materias consecuentes, que le permitan analizar y resolver problemas relacionados con la Trigonometría Plana y esférica.

Temario

1. TRIGONOMETRÍA PLANA.

1.1 Funciones trigonométricas.

1.1.1 Ángulos.

1.1.2 Triángulos rectángulos.

1.1.3 Funciones trigonométricas.

1.1.4 Identidades.

1.1.5 Funciones trigonométricas de cualquier ángulo.

1.1.6 Variación y gráficas de las funciones trigonométricas.

1.2 Trigonometría analítica.

1.2.1 Ecuaciones trigonométricas.

1.2.2 Suma y diferencia de dos ángulos.

1.2.3 Múltiplos de un ángulo.

1.2.4 Producto y factorización.

1.2.5 Funciones trigonométricas inversas.

1.3 Aplicaciones.

1.3.1 Ley de los senos.

1.3.2 Ley de los cosenos.

1.3.3 Forma trigonométrica para números complejos.

1.3.4 Teorema de Moivre y raíces N-ésimas de números complejos.

1.3.5 Vectores.

2. TRIGONOMETRÍA ESFERICA.

2.1 Geometría del espacio.

2.2 Triángulos esféricos rectángulos.

2.3 Resolución de triángulos esféricos rectángulos.

2.4 Triángulos esféricos oblicuángulos.

2.5 Resoluciones normales de triángulos esféricos oblicuángulos.

2.6 Resoluciones alternas de triángulos esféricos oblicuángulos.



3. GEOMETRÍA ANALÍTICA.

3.1 Rectas.

3.2 Propiedades de las rectas.

3.3 Circunferencia.

3.4 Secciones cónicas.

3.4.1 Parábola.

3.4.2 Elipse.

3.4.2 Hipérbola.

Bibliografía

Tipo Título Autor Editorial Año

1 Texto Álgebra y

Trigonometría con

Geometría Analítica

Earl W. Swokowski Grupo Editorial

Iberoamérica 1988

2 Consulta Trigonometría

Moderna

Kaj L. Nielsen CECSA 1973

3 Consulta Trigonometría Plana y

Esférica

Frank Ayres Jr. Mc Graw Hill 1980



1. TRIGONOMETRÍA PLANA / PLANE TRIGONOMETRY.

La trigonometría fue inventada hace más de 2000 años por los griegos, quienes necesitaban

métodos preciosos para medir ángulos y lados de triángulos. De hacho, la palabra trigonometría

se deriva de las palabras griegas trigonon (triángulo) y metria (medición). La trigonometría es

la rama de las matemáticas que estudia las relaciones entre los lados y los ángulos de los

triángulos.

El estudio de la trigonometría pasó después a Grecia, en donde se destaca el matemático y

astrónomo Griego Hiparco, por haber sido uno de los principales desarrolladores de la

Trigonometría.

Desde Grecia, la trigonometría pasó a la India y Arabia donde era utilizada en la Astronomía. Y

desde Arabia se difundió por Europa, donde finalmente se separó de la Astronomía para

convertirse en una rama independiente que forma parte de las matemáticas.

1.1 Funciones trigonométricas.

1.1.1 Ángulos.

En trigonometría, con frecuencia se interpretan los ángulos como rotaciones de líneas.

Si introducimos un sistema de coordenadas rectangulares, entonces la posición estándar de un

ángulo se obtiene al colocar el vértice en el origen y hacer que el lado inicial coincida con el eje

x positivo. Si el lado inicial se hace girar en dirección contraria al giro de las manecillas de un

reloj hasta la posición terminal, el ángulo se considera positivo. Si el lado inicial gira en

dirección de las manecillas, el ángulo es negativo.



Clasificación de los ángulos



Ángulos complementarios y suplementarios

Two positive angle α and β are complementary (complements of aech other) if their sum is π/2.

Two positive angles are supplementary (supplements of each other) if their sum is π.

Ángulos coterminales /Coterminals angles

Se dice que dos ángulos en posición estándar son coterminales si tienen el mismo lado inicial y

el mismo lado terminal, pero diferentes giros.

Algunas veces es necesario determinar una expresión que genere todos los ángulos coterminales

con un ángulo dado. Por ejemplo, se puede obtener cualquier ángulo coterminal con 60°

sumando un múltiplo entero apropiado de 360° a 60°. Sea que n represente cualquier entero;

entonces la expresión

60° + n ∙ 360°

Representa todos los ángulos coterminales. La tabla muestra algunas posibilidades.



Grados (sistema sexagesimal)

El ángulo formado al girar el lado inicial exactamente una vez en dirección contraria a las

manecillas del reloj hasta que coincide consigo mismo (1 vuelta), se dice que mide 360 grados,

abreviado 360°

Nota: Los babilonios fueron los primeros en subdividir la circunferencia del círculo en 360 partes, hay varias teorías

de por qué se eligió el numero 360. Una de ellas afirma que es aproximadamente el número de días en un año, y este

número tiene varios divisores, gracias a lo cual resulta conveniente trabajar con él. Otra rebuscada teoría versa sobre

la longitud de una milla babilónica.

Radianes /Radians

La medida en radianes de un ángulo se obtiene al asignar a un ángulo en sentido positivo cuya

longitud de arco es igual al radio de la circunferencia, el número 1 radián (rad); a las particiones

posibles de la vuelta, el número proporcional teniendo en cuenta que un ángulo central al dar una

vuelta completa, determina un arco de longitud 2πr.

Por lo anterior, la medida en radianes del ángulo de una vuelta es donde

obtenemos las equivalencias 2π rad ↔ 360° ↔ 1 vuelta o revolución.



Notación

El símbolo rad indica que una cantidad está expresada en radianes: 3π rad = 3π radianes.

De todas formas, cuando no se añade ningún símbolo a la medida de un ángulo es porque está

expresado en radianes.

Equivalencias o conversiones

Grados centesimales

La circunferencia se puede dividir en 400 partes iguales luego podemos establecer otra unidad de

medida llamada grados centesimales. Los grados centesimales corresponden a una unidad de

medida en base 10. Es decir un grado centesimal es igual a 10 décimos y un décimo es igual a 10

céntimos. En esta unidad de medida, que notamos con un super cero y una C.

La circunferencia mide 400°C grados centesimales.

Una semiciercunferencia mide 200°C grados centesimales.

Un ángulo recto mide 100°C

Un ángulo α es agudo si su medida en grados centesimales está entre 0 < α < 100°C.

Un ángulo β es obtuso si su medida en grados centesimales está entre 100°C < β < 200°C.

Dos ángulos α y β son complementarios si su suma mide α + β = 100°C.

Dos ángulos α y β son suplementarios si su suma es igual a α + β = 200°C.



Podemos establecer las siguientes relaciones:

1.1.2 Triángulos rectángulos./ Right triangle

Un triángulo en el que un ángulo es recto (90°) se llama triángulo rectángulo. Recuerde que el

lado opuesto al ángulo recto es llamado hipotenusa y los otros dos lados son los catetos del

triángulo. En la siguiente figura, se han marcado la hipotenusa como c, para indicar que su

longitud es c unidades y, de una manera parecida, se han marcado los catetos como a y b. Ya que

el triángulo es un triángulo rectángulo, el teorema de Pitágoras nos dice que

a2 + b

2 = c

2

1.1.3 Funciones trigonométricas.

Llamando a las longitudes de los lados del triángulo con los nombres hipotenusa (c), cateto

opuesto (b) y cateto adyacentes (a), como se indica en la siguiente figura, se puede expresar las

funciones trigonométricas de θ como las razones de los lados de un triángulo rectángulo:



En una situación en la cual dos observadores A y B estén situados de tal manera que B se

encuentre arriba del nivel de visión de A, a menudo nos referiremos al ángulo de elevación o al

ángulo de depresión, como se indica en la siguiente figura:

1.1.4 Identidades.

Una identidad es una igualdad que se verifica para todos los valores posibles de la variable.



Nota: Es costumbre escribir sen2

θ en lugar de (sen θ)2, cos

2 θ en lugar de (cos θ)

2, etcétera.

1.1.5 Funciones trigonométricas de cualquier ángulo.

Para ampliar las definiciones de las funciones trigonométricas de manera que incluyan ángulos

que no son agudos, se emplea un sistema de coordenadas rectangulares y se coloca el ángulo en

la posición estándar, de modo que su vértice esté en el origen y su lado inicial en el lado positivo

del eje x.



1.1.6 Variación y gráficas de las funciones trigonométricas.

Funciones seno y coseno



Amplitud / Amplitude

Periodo / Period

Traslación horizontal / Horizontal translation

Traslacion vertical / Vertical translation



Función tangente

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