Trigonometria Esferica

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TRIGONOMETRÍA ESFÉRICA

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TRIGONOMETRÍA

ESFÉRICA

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TRIGONOMETRÍAESFÉRICA

José Gustavo Rodríguez M.

11-0245

Luis Enrique Garcia-Dubus

M.11-0244

Sustentantes:

Kenny Fer Otaño 11-024Gustavo Estrella

11-024

Héctor Luis Rodríguez Fiallo

11-024

María Pelegrin 11-

024

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Análogamente sucede cuando consideramos la superficie de la Tierra como una esfera. Aunque este planteamiento se utiliza sobre todo en Navegación y en proyecciones topográficas e hidrográficas y Geodésicas sólo será válido como una primera aproximación.De este modo, la geometría de la esfera y más concretamente, la Trigonometría Esférica, es una herramienta fundamental en el estudio de disciplinas pertenecientes a las Ciencias de la Tierra y del Espacio, así como sus aplicaciones entre otras

La Trigonometría Esférica trata del establecimiento de las propiedades y relaciones que satisfacen los elementos de triángulos definidos en la superficie de una esfera mediante arcos de círculos máximos, así como de la resolución de los mismos. Los triángulos así definidos se denominantriángulos esféricos y son las figuras geométricas básicas de la Trigonometría Esférica. En esta parte se desarrollan los conceptos de la Trigonometría Esférica, las expresiones que ligan los elementos de los triángulos esféricos y las técnicas concernientes a la resolución de este tipo de triángulos.

Trigonometría Esférica Reseña

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ReseñaEl concepto de triángulo esférico se introduce a partir de la definición del triedro, en tanto quegeométricamente se obtendrá como la intersección de un triedro con la superficie de una esfera cuyo centro coincide con el vértice del triedro. Esta definición de triángulo esférico nos conducirá a establecer una correspondencia biunívoca entre los elementos de un triedro y los del triánguloesférico definido a partir de él, surgiendo de este modo la necesidad de efectuar un estudio previo sobre los triedros y sus propiedades.

La Objetivos específicos perseguidos en esta parte del textoCon el presente trabajo, y guiándonos por el manejo del lenguaje matemático, la resolución de problemas y la conceptualización nos proponemos alcanzar los siguientes objetivos específicos: Enunciar e identificar los elementos más importantes de la geometría de la esfera, definir el triángulo esférico, utilizar dicha geometría para introducir un ejemplo de geometría no euclídeo, e ilustrar las principales diferencias entre las trigonometrías plana y esférica.Relacionar los elementos de los triedros con los elementos de los triángulos esféricos, y obtener las propiedades y los criterios de igualdad de los triángulos esféricos a partir de esta relación..

Trigonometría Esférica

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ReseñaObtener las principales relaciones existentes entre los elementos de un triángulo esférico: 1a, 2a y 3a fórmulas de Bessel, fórmula de las cuatro partes, fórmulas análogas a las de Bessel para triángulos polares, fórmulas de Cagnoli y Borda y analogías de Gauss Delambre y Neper. Resolver triángulos esféricos rectángulos, Rectilatero y oblicuángulos, cualesquiera que sean los elementos conocidos, mediante diversas estrategias generales. Operar con los principales métodos de resolución de triángulos esféricos: expresiones generales, pentágono de Neper y perpendículo.

Contrastar, interpretar y validar los resultados obtenidos en la resolución de triángulos esféricos. Ilustrar algunas aplicaciones de la Trigonometría Esférica. Modelizar y resolver problemas de la Navegación, aplicando las estrategias de resolución de triángulos esféricos.De esta manera se favorecerá la abstracción y comprensión del concepto de triángulo esférico y el desarrollo de estrategias para la resolución de cualquier triángulo esférico.

Trigonometría Esférica

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• La trigonometría esférica es la parte de la geometría esférica que estudia los polígonos que se forman sobre la superficie de la esfera, en especial, los triángulos.

• La resolución de triángulos esféricos tiene especial relevancia en astronomía náutica y navegación para determinar la posición de un buque en altamar mediante la observación de los astros.

Trigonometría Esférica

Para estudiar estas figuras (concretamente triángulos) inmersas en un espacio de tres dimensiones se hace necesario ampliar también el concepto de ángulo plano. De la misma forma que el ángulo plano se define como el comprendido entre dos semirrectas, el ángulo en tres dimensiones se define como el comprendido entre dos semiplanos y recibe el nombre de ángulo diedro.

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¿Qué es una esfera?

Una esfera es un semicírculo que gira sobre su diámetro y que describe en el espacio un cuerpo geométrico llamado esfera.

En geometría, una esfera es un cuerpo o volumen limitado por una superficie curva cerrada cuyos puntos equidistan de otro interior llamado centro de la esfera.

Si consideramos una semi- circunferencia que gira sobre su diámetro, la superficie curva que se genera es la superficie esférica.

Esfera proviene del término griego σφαῖρα, sphaîra, que significa pelota (para jugar). Coloquialmente hablando, se emplean palabras como bola, globo (globo terrestre), etc., para describir un volumen esférico.

Una esfera es la región del espacio que se encuentra en el interior de una superficie esférica

LA ESFERA

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Una esfera también es…

… es un cuerpo limitado por una

superficie curva cerrada cuyos

puntos equidistan de otro interior

llamado centro.

… como sólido de revolución, se

genera haciendo girar una

superficie semicircular alrededor de

su diámetro.

… coloquialmente se emplean

palabras como bola,  globo (globo

terrestre), etc., para describir un

volumen esférico.

Una esfera es la región del espacio que se encuentra en el interior de una superficie esférica

LA ESFERA

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Elementos de la esfera:

Los Elementos de la Esfera son los siguientes:

Centro: el centro de la esfera es el centro del circulo.

Radio: cualquier segmento que une el centro con cualquier punto de la superficie se denomina radio.

Diámetro: cualquier cuerda que pasa por el centro.

Cuerda: segmento que une dos puntos de la superficie esférica.

Polos: son los puntos de intersección del eje de giro con la superficie esférica.

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Elementos de la esfera:

Los Elementos de la Esfera son los siguientes:

Centro: Punto interior que equidista de cualquier punto de la superficie de la esfera.

Radio: Distancia del centro a un punto de la superficie de la esfera.

Diámetro: cualquier cuerda que pasa por el centro.

Cuerda: Segmento que une dos puntos de la superficie esférica.

Polos: Son los puntos del eje de giro que quedan sobre la superficie esférica.

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Supongamos que partimos de una esfera de radio uno. Si cortamos dicha esfera con un plano que pase por el centro de la esfera obtendremos lo que se llama un círculo máximo. En el caso en que el plano la corte sin pasar por el centro de la esfera, lo que obtendremos es un círculo menor. De hecho, los círculos máximos son circunferencias dibujadas sobre la esfera cuyo centro coincide con el centro de la esfera. Los meridianos (Circunferencias obtenidas al cortar la superficie esférica con planos que contienen el eje de revolución), y paralelos (Circunferencias obtenidas al cortar la superficie esférica con planos perpendiculares al eje de revolución), que podemos ver en una en una bola del mundo y mediante los que se representan la longitud y latitud de un lugar, son un buen ejemplo de estos dos tipos de circunferencias

Círculos máximos, polos y hemisferios

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Esfera es un cuerpo geométrico limitado por una superficie curva cerrada cuyos puntos equidistan de otro interior llamado centro de la

esfera.

El Elipsoide se define de dos maneras: • Por la longitud de los radios mayor (ecuatorial) y

menor (polar) • Por la longitud del radio mayor y el nivel de aplastamiento

(relación entre el radio ecuatorial y radio polar).

Esfera y Elipsoide

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Los MERIDIANOS, Son círculos mayores trazados sobre la esfera terrestre que pasan todos por el ecuador de polo a polo.

Estos se trazan a partir de un MERIDIANO ORIGEN, o de REFERENCIA, dividiendo la tierra en dos hemisferios; Oriental y Occidental. Por convenciones internacionales el meridiano que pasa por el Observatorio de GREENWICH (Inglaterra), es el MERIDIANO ORIGEN para la Cartografía de muchos países en varios continentes.

La LONGITUD, Es la distancia angular que hay desde un punto sobre la superficie terrestre y el MERIDIANO DE GREENWICH. Se mide en dirección ESTE (E) u OESTE (W) , de meridiano desde 0- hasta 180 grados sexagesimales para un total de 360 grados.

SISTEMA DE COORDENADAS GEOGRAFICAS.DIMENCIONES APROXIMADAS DE LA ESFERA

TERRESTRE.

LAS DISTANCIAS ENTRE MERIDIANOS NO ES

CONSTANTE

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La red de COORDENADAS GEOGRAFICAS, esta formada por el conjunto de PARALELOS y MERIDIANOS constituyendo una de las bases mas importante de la Cartografía, que facilita la LOCALIZACION de un PUNTO sobre la superficie terrestre y la representación de la misma zona.

Todos los puntos situados en igual Paralelo tienen igual Latitud. De la misma manera, todos los Puntos situados sobre un mismo Meridiano tienen igual Longitud.

DIMENSIONES DE LA ESFERA TERRESTRE, según algunos autores, varios han sido los intentos de querer dar con exactitud estas dimensiones. Hayford dio las siguientes;

o 40,182,840 Km. Longitud de la circunferencia Ecuatorial.o 40,035,640 Km. Longitud de un circulo Meridiano.o 6,378, 380 Km. Radio del Centro de la Tierra al Ecuador.o 6,359, 900 Km. Radio del Centro de la Tierra a un Poloo 510,100,000 Km2. Superficie de la Tierra.

SISTEMA DE COORDENADAS GEOGRÁFICAS

DIMENSIONES APROXIMADAS DE LA ESFERA TERRESTRE.

LAS DISTANCIAS ENTRE PARALELOS ES CONSTANTE

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Consideremos ahora que tenemos una esfera y un círculo máximo cualquiera perteneciente a ella. Si trazamos una recta perpendicular al plano que define el círculo máximo y que pase por el centro de la esfera, obtendremos dos puntos en la esfera que se denominan polos. En el globo terrestre, los polos correspondientes al círculo máximo que define el Ecuador son los polos geográficos que denominamos Polo Norte y Polo Sur.

Círculos máximos, polos y hemisferios

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Cualquier círculo máximo divide a la esfera en dos semiesferas llamadas hemisferios. Siguiendo con el ejemplo del globo terrestre, el Ecuador es un círculo máximo que divide a la esfera en dos semiesferas a las que se denominan hemisferio Austral y hemisferio Boreal.

Círculos máximos, polos y hemisferios

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Todo punto de la esfera está localizado de manera inequívoca por los dos ángulos θ y φ. Con el valor de un ángulo sobre el plano horizontal (plano del ecuador) y otro vertical (desde un polo), se puede localizar cualquier punto de la esfera.En geometría, normalmente, se expresan estos ángulos en radianes (pues permite calcular longitudes de arcos de circunferencia), mientras que en geografía se usan los grados sexagesimales o centesimales

COORDENADAS SOBRE LA ESFERA

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ÁREA DE LA ESFERA: Es igual cuatro pi por su radio al cuadrado.

A = 4*π * r²

VOLUMEN DE LA ESFERA:Producto de cuatro pi por el radio al cubo dividido entre tres.

El volumen de una esfera es 2/3 del volumen del cilindro circunscrito en ella. Su base es un círculo  del mismo diámetro que la esfera y su altura tiene la misma medida que el diámetr0

V= 4/3 π * r³ RADIO DE LA ESFERA: Conociendo la distancia de un plano que corta la esfera y el radio de la sección, aplicando el teorema

de Pitágoras en el triángulo sombreado.

R²= d²+ r² R=√ d²+ r²

ÁREA Y VOLUMEN DE UNA ESFERA

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La intersección de un plano y una esfera siempre es una circunferencia. La esfera es el único volumen que tiene esta propiedad. Lógicamente, si el plano es tangente, el área de contacto queda reducido a un punto (puede considerarse el caso límite de la intersección).Si el plano pasa por el centro de la esfera, el radio del círculo es el mismo que el de la esfera, r. En este caso, la circunferencia puede llamarse ecuador o círculo máximo.Si la distancia d, entre el plano y el centro, es inferior al radio r de la esfera, aplicando el Teorema de Pitágoras, el radio de la sección es:

r´=√ r²- d²

Sección de una esfera por un plano

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VOLUMEN DE LA ESFERA: .

El volumen de una esfera es 2/3 del volumen del cilindro circunscrito en ella. Su base es un círculo  del mismo diámetro que la esfera y su altura tiene la mismamedida que el diámetr0

V= 2/3 (πr². 2r)

Donde V es el Volumen de la esfera y r el radio

Esta relación de volúmenes se adjudica a Arquímedes.Es posible calcular el volumen de una esfera con un margen de error aproximado al 0.04% sin utilizar el valor de Pí (π).

V= 22/21 (2r)²

CARACTERÍSTICAS DE LA ESFERA

Page 21: Trigonometria Esferica

Calcular el área del círculo resultante de cortar una esfera de 35 cm de radio mediante un plano cuya distancia al centro de la esfera es de 21 cm.

R²= d²+r² R=√ d²+r² 35cm²= 21cm²+ r² A= π . 28² = 2,461.76 cm²

Un cubo de 20 cm de arista está lleno de agua. ¿Cabría esta agua en una esfera de 20 cm de radio?

Vc= 28³ = 8,000 cm³ VE= V= 4/3*π*20³ = 33,510.32 cm³

Ejercicios de esferas

Page 22: Trigonometria Esferica

Calcular el área y el volumen de una esfera inscrita en un cilindro de 2 m de altura.

A= 4 . π . 1² = 12. 57cm²

V= 4/3*π*1³ = 4.19 m³

Ejercicios de esferas

Page 23: Trigonometria Esferica

En Trigonometría Plana los ángulos se miden en grados sexagesimales y los lados en centímetros, metros o en cualquier otra unidad de longitud que hayamos acordado. En Trigonometría Esférica las cosas son algo diferentes, ya que los lados de un triángulo esférico se pueden medir en unidades de arco.

El lado de un triángulo esférico se ha definido como una porción de círculo máximo, es lógico que su medida, el segmento curvo AB, también venga dada en grados sexagesimales

Para medir los ángulos lo que hacemos es medir los diedros que los definen. Los planos AOB y AOC forman un diedro que al cortar la esfera definen los lados b y c del triángulo esférico. Es natural, pues que la medida del ángulo A venga dada por la medida de dicho ángulo.

MEDIDAS DE ÁNGULOS

Y LADOS

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Se llama ángulo esférico entre dos ciclos al ángulo formado por las semitangentes a las circunferencias en uno de sus puntos de contacto.También se puede definir como el ángulo diedro que forman los planos que determinan los ciclos.

MEDIDAS DE ÁNGULOS

Y LADOS Se define la distancia esférica entre dos puntos como la longitud del menor arco del ciclo que los contiene. Una de las aplicaciones del concepto anterior es el calculo de la distancia entre dos lugares geográficos de la Tierra si consideramos que es una esfera.El arco de una circunferencia máxima en una esfera y el segmento de una recta en el plano son conceptos análogos y por tanto, la Geometría Esférica puede desarrollarse de la misma forma en que se ha desarrollado la Geometría Plana.

O

Distancia esférica A B

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Un triángulo esférico es una porción de superficie esférica limitada por tres circunferencias máximas. Ahora bien, tres rectas sobre una superficie esférica determinan 8 triángulos esféricos. Si unimos el centro de la esfera con los vértices del triángulo, obtenemos un triedro que se corresponde unívocamente con el triángulo esférico.Además esta correspondencia conserva los ángulos de la manera que se detalla en la figura adjunta. Por lo tanto, estudiar ángulos de triángulos esféricos, equivale a estudiar los ángulos del triedro correspondiente

TRIÁNGULOS ESFÉRICOS

Los lados de un triangulo esférico, si bien son arcos de ciclo, se considerarían como medidas angulares. En caso de querer conocerla medida de longitud del arco bastaría multiplicar por el radio de la esfera.

Page 26: Trigonometria Esferica

Si tres puntos de la superficie esférica son unidos por arcos de círculo máximo menores a 180º, la figura obtenida se denomina triángulo esférico. Los lados del polígono así formado se expresan por conveniencia como ángulos cuyo vértice es el centro de la esfera y no por su longitud. Este arco medido en radianes y multiplicado por el radio de la esfera es la longitud del arco. En un triángulo esférico los ángulos cumplen que: 180° < α+β + Ƴ < 540°.

α: ángulo formado entre los arcos AC y AB

β: ángulo formado entre los arcos AB y BC

Ƴ: ángulo formado entre los arcos AC y BC

Es posible, por tanto, definir también triangulo esféricocomo la intersección de una esfera con las tres caras de un ángulo triedro con vértice en el centro de la esfera.

TRIÁNGULOS ESFÉRICOS

Page 27: Trigonometria Esferica

A cada una de las propiedades de un triangulo esférico le corresponde una propiedad análoga de su ángulo triedro asociado, como veremos a continuación;

1. Cualquier triangulo esférico es menor que una semicircunferencia a ˂180°

2. Cada lado del triangulo esférico, es menor que la suma de los otros dos lados y mayor

que el modulo de su diferencia. / A – B / ˂ c ˂ a + b

3. La suma de los lados de un triangulo esférico es menor que cuatro rectos.

A + B + C ˂ 360°

(Estas propiedades se derivan de las correspondientes

propiedades referentes a los ángulos de las

caras de un ángulo triedro).

PROPIEDADES DE LOS TRIÁNGULOS ESFÉRICOS

Page 28: Trigonometria Esferica

4. En un triangulo esférico, a mayor lado se opone mayor ángulo y

recíprocamente. a > b A > B

5. En un triangulo esférico, a lados iguales se oponen ángulos iguales y

recíprocamente. a = b A = B

6. La Suma de los ángulos de un triangulo esférico , es mayor que dos rectos y

menor que seis rectos. 180°˂ A + B + C ˂ 540°

Una demostración de esta propiedad se realizara en problemas posteriores, ya que

requiere el uso de triangulo polar, que estudiaremos mas adelante.

La expresión A + B + C - 180° se llama exceso esférico y lo representamos por Ɛ

PROPIEDADES DE LOS TRIÁNGULOS ESFÉRICOS

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Teniendo en cuenta las propiedades de los triángulos esféricos , estos pueden tener mas de un lado y un ángulo recto. Según esto se clasifican en:

Un Triangulo esférico se llama Isósceles si tiene dos lados iguales. Un Triangulo esférico se llama Equilátero si tiene tres lados iguales.Un Triangulo esférico se llama Rectángulo si tiene un ángulo recto.Un Triangulo esférico se llama Rectilatero si tiene un lado recto.Un Triangulo esférico se llama Birrectángulo si tiene dos ángulos rectosUn Triangulo esférico se llama Birrectilatero si tiene dos lados rectos

Clasificación de los TRIÁNGULOS ESFÉRICOS

Page 30: Trigonometria Esferica

Fórmula del coseno.Cos CB= Cos AC . Cos AB + Sen AC . Sen AB . Cos ᾁ

Fórmula del seno.Sen CB = Sen AC = Sen AB

Sen ᾁ Sen β Sen ƳLos senos de los lados son proporcionales a los senos de los ángulos opuesto

Fórmula de la cotangente. La fórmula de la cotangente también se denomina fórmula de los elementos consecutivos. Ver en la figura los siguientes elementos consecutivos:

ángulo α ; lado AB; ángulo β ; lado BC.

Cos β . Cos AB = Sen β . Cot α - Sen AB Cot CB.

Cosenos de los elementos medios, es igual a: seno del ángulo medio por la cotangente del otro ángulo, menos seno del lado medio por la cotangente del otro lado.

TRIÁNGULOS ESFÉRICOS Fórmulas fundamentales

Page 31: Trigonometria Esferica

Sustituyendo los valores de las funciones trigonométricas del ángulo recto en las fórmulas obtenidas en el capítulo anterior se obtendrán las correspondientes expresiones que permiten resolver los triángulos esféricos rectángulos. Sin perdida de generalidad supondremos A1 = 90°. En todo triángulo esférico rectángulo se verifican las siguientesrelaciones:

i) cos l1 = cos l2 cos l3ii) sen l2 = sen l1 senA2iii) tan l2 = tan l1 cosA3

iv) tan l2 = sen l3 tanA2(v) cos l1 = cotA2 cotA3(vi) cosA2 = senA3 cos l2

Como en todo triángulo esférico rectángulo existe siempre un elemento conocido a priori, el ángulo recto, será suficiente que conozcamos dos de los cinco elementos restantes para que el triángulo quede determinado por completo.

Resolución de

triángulos esféricos

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En un triángulo esférico, la suma de la medida de los lados es siempre menor que 2 π r.Los ángulos interiores suman más de 180º.

Demostración: Lo primero que haremos será construir el triedro suplementario: Para ello necesitamos los tres radios de la esfera perpendiculares a los tres planos del triedro de nuestro triángulo esférico.

ÁNGULOS DEL TRIÁNGULO ESFÉRICO

A

B

C

A’

B’

c

A

B

A’

c’

CC’

540180

3360

2

3360

2

360

2

360

2

CBA

rCBAr

r

rrCrBrA

r

Page 33: Trigonometria Esferica

Se denomina exceso esférico, de un triangulo esférico ABC y se denota por E, al valor del ángulo en que la suma de los tres ángulos del triangulo esférico excede a 180º, es decir,

E = A + B + C - 180º o E'= A + B + C - πsegún si los ángulos vienen expresados en grados o en radianes respectivamente.

Área:Sea ABC un triangulo esférico sobre una esfera de radio R; se calcula su área con la formula:

S = π R²E 180º o S = R.E'

Area de triángulos esféricos

Page 34: Trigonometria Esferica

ÁREA DEL TRIÁNGULO ESFÉRICO

2

2

2

4360

'

4360

'

4360

'

rC

ABCABC

rB

CABABC

rA

BCAABC

2

180180

rCBA

ABC

2

180180

r

ABCCBA

Page 35: Trigonometria Esferica

Permiten resolver triángulos esféricos, tanto rectángulos como oblicuángulos, es decir, a partir de tres elementos conocidos se trata de encontrar los otros tres.Teorema. (de los senos). Los senos de los lados de un triangulo esférico son proporcionales a los senos de sus ángulos opuestos. sen a = sen b = sen c senA senB senC

Demostración:Tracemos el plano perpendicular al radio OA que pasa por C y el planoperpendicular al radio OB que pasa por C; la intersección de estos dosplanos con el ángulo triedro asociado al triangulo esférico ABC la formanlos triángulos planos CED y CDF, tal y como se aprecia en la figura Como:

FÓRMULA DE BESSEL

Page 36: Trigonometria Esferica

El radio de la esfera es R = 1, es claro por construcción que: sen b = CE, cos b = OE, sen a = CF y cos a = OF; por otra parte,CD = senA ¢ CE y CD = senB ¢ CF; así pues senB sen a = senA sen b de donde;sen a = sen b senA senB La otra razón, es decir, sen c senC es igual, y para ello se razona análogamente.

C

a

O F B

b

D c H x

E

A

Figura: Teorema de los senos.

FÓRMULA DE BESSEL

Page 37: Trigonometria Esferica

Teorema (del coseno): En un triangulo esférico el coseno de cualquierlado es igual a la suma del producto de los cosenos de los otros dos lados yel producto de los senos de los mismos por el coseno del ángulo opuesto, esdecir,

cos a = cos b cos c + sen b sen c cosAcos b = cos a cos c + sen a sen c cosBcos c = cos a cos b + sen a sen b cosCDemostración:Según se aprecia en la figura anterior

cos a = OF = ODcos(c - x) = OD cos c cos x + OD sen c sen x =

OE cos c + DE sen c = cos b cos c + CE cos A sen c = cos b cos c +sen b sen c cosALos otros dos casos son similares.

FÓRMULA DE BESSEL

Page 38: Trigonometria Esferica

Teorema. (Tercer grupo de formulas) Esta formado por las siguientes formulas:Cot a sen b = cos b cosC + senC cotAcot a sen c = cos c cosB + senB cotAcot b sen c = cos c cosA + senA cotBcot b sen a = cos a cosC + senC cotBcot c sen a = cos a cosB + senB cotCcot c sen b = cos b cosA + senA cotCDemostracion:Demostraremos solamente la primera ya que las demás son análogas. cos a = cos b cos c + sen b sen c cosA =

cos b(cos a cos b + sen a sen b cosC) + sen b (sen a/ cosA . senC) =

senA cos² b cosa+ cos b sen a sen b cosC + sen b sen a senC cotA cos a (1 - cos² b) = cos b sen a sen b cosC + sen b sen a senC cotA cos a sen² b = sen a sen b(cos b cosC + senC cotA) cot a sen b = cos b cosC + senC cotA

FÓRMULA DE BESSEL

Page 39: Trigonometria Esferica

Teorema. (del coseno para los vértices) Aplicando el teorema del coseno antes visto al triangulo polar y teniendo en cuenta las relaciones de sus ángulos resultan las siguientes formulas:

cosA = - cosB cosC + senB senC cos acosB = - senA senC + senA SenC cos bcosC = - cosA cosB + senA senB cos cDemostración: Cos a' = cos b' cos c' + sen b‘ sen c' cosA' cos(180° - A) = Cos (180° - B) cos(180° - C)+sen(180° - B) sen(180° - C) cos(180° - a) - cosA = cosB cosC + senB senC(-cos a) cosA = -cosB cosC + senB senC cos a

FÓRMULA DE BESSEL

Page 40: Trigonometria Esferica

TRIÁNGULO POLAR

Propiedades de los triángulos esféricosutilizando el ángulo triedro asociado al triángulo esférico.Cada uno de los lados de un triángulo esférico es menor

estrictamente que la suma de los otros dos.a < b + c b < a + c c < a + b

Es claro que la propiedad es cierta si los tres lados son iguales.

C’

A’

B’

C

A

B

X

A

C

O

B

Z

DY

Cada lado es estrictamente menor que la suma de los otros dos

La suma de los ángulos lados de un triángulo

esférico está comprendida siempre entre 180º y 540º, es

decir:180º < A + B + C < 540º

Todo triángulo esférico es el polar de su triángulo polar

Dados ABC y A’B’C’ triángulos polares entre sí, A = 180º - a’ A’ = 180º - a B = 180º - b’ B’ = 180º - b C = 180º - c’ C’ = 180º - c

Cada ángulo de uno de los triángulos es igual al suplementario del correspondientelado opuesto del otro triángulo.

Page 41: Trigonometria Esferica

Dado un triangulo ABC de lados a,b,c, se denomina triangulo polar aquel cuyos lados aᴘ, bᴘ, cᴘ, son suplementarios de los vértices A, B, C, del triangulo dado y los vértices Aᴘ, Bᴘ, y de Cᴘ, son suplementarios de los lados a,b,c, es decir;

Aᴘ= 180º - a, Bᴘ= 180º - b, Cᴘ= 180º - c

aᴘ = 180º - A, bᴘ = 180º - B, cᴘ = 180º - C

TRIÁNGULOS ESFÉRICOS POLARES