SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES Y NO LINEALES

PRESENTADO POR:MARIA DEL ROSARIO ABELLO MARTINEZCD. 1.118.854.878

PRESENTADO A:RAMN BERTEL PALENCIA

MTODOS NUMRICOS

UNIVERSIDAD DE LA GUAJIRAFACULTAD DE INGENIERAPROGRAMA DE INGENIERA CIVIL2015

SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES

INTRODUCCINSe denomina ecuacin lineal a aquella que tiene la forma de un polinomio de primer grado, es decir, las incgnitas no est elevadas a potencias, ni multiplicadas entre s, ni en el denominador.

Por ejemplo, 3x + 2y + 6z = 6 es una ecuacin lineal con tres incgnitas.Como es bien sabido, las ecuaciones lineales con 2 incgnitas representan una recta en el plano. Si la ecuacin lineal tiene 3 incgnitas, su representacin grafica es un plano en el espacio.Un ejemplo de ambas representaciones puede observarse en la gura:

Representacin grafica de la recta x + 2y = 3 en el plano y del plano x + y + z = 1 en el espacio

El objetivo del tema es el estudio de los sistemas de ecuaciones lineales, es decir, un conjunto de varias ecuaciones lineales. Diremos que dos ecuaciones son equivalentes si tienen las mismas soluciones, o geomtricamente representan la misma recta o plano.

Sistemas de ecuaciones linealesUn sistema de ecuaciones lineales es un conjunto de ecuaciones lineales de la forma:

En este caso tenemos m ecuaciones y n incgnitas.Los nmeros reales aij se denominan coeficientes y los xi se denominan incgnitas (o nmeros a determinar) y bj se denominan trminos independientes.En el caso de que las incgnitas sean 2 se suelen designar simplemente por x e y en vez de x1 y x2, y en el caso de tres, x, y, z en lugar de x1, x2 y x3 pero esto es indiferente a la hora de resolver el sistema.

Resolver el sistema consiste en calcular las incgnitas para que se cumplan TODAS las ecuaciones del sistema simultneamenteDiremos que dos sistemas son equivalentes cuando tienen las mismas soluciones.

EXPRESIN MATRICIAL DE UN SISTEMA

Cualquier sistema de ecuaciones lineales se puede expresar en forma matricial del modo:

La matriz a= se llama matriz coeficiente la matriz x=

Se llama matriz de incgnitas y la matriz b= se llama matriz de termino independientes.La matriz formada por Ay B CONJUNTAMENTE, ES DECIR;

(A B) = Se llama matriz ampliada del sistema y se representara por (A|B) o bien por A

TIPOS DE SISTEMAS

En general, buscaremos las soluciones de los sistemas en los nmeros reales R. Dependiendo del posible nmero de tales soluciones reales que tenga un sistema, estos d pueden clasificar en:

SISTEMA COMPATIBLE DETERMINADO

Unsistema compatible determinadotieneunasolasolucin.

x = 2, y = 3

Grficamente la solucin es el punto de corte de las dos rectas.

SISTEMA COMPATIBLE INDETERMINADO

Unsistema compatible indeterminadotieneinfinitas soluciones.

Grficamente obtenemos dos rectas coincidentes. Cualquier punto de la recta es solucin.

SISTEMA INCOMPATIBLE

Unsistema incompatiblenotienesolucin.

Grficamente obtenemos dos rectas paralelas.

SISTEMAS DE ECUACIONES NO LINEALES

Se pretende que al final de la exposicin el estudiante pueda reconocer los sistemas de ecuaciones no lineales y pueda resolverlos por medio de adaptaciones a los mtodos Newton-Raphson e Iteracin de Punto Fijo

La solucin de este sistema consta de valores xi que simultneamente hacen que todas las ecuaciones sean iguales a cero

ITERACIN DE PUNTO FIJO

Con el mtodo iteracin de punto fijo determine las races de la ecuacin

Observe que un par correcto de races es x = 2 y y = 3. Inicie el clculo con el valor inicial x = 1.5 y y = 3.5

Un sistema de ecuaciones es no lineal, cuando al menos una de sus ecuaciones no es de primer grado.

La resolucin de estos sistemas se suele hacer por el mtodo de sustitucin, para ello seguiremos los siguientes pasos:

1. Se despeja una incgnita en una de las ecuaciones, preferentemente en la de primer grado.

y = 7 x

2. Se sustituye el valor de la incgnita despejada en la otra ecuacin.

x2 + (7 x)2 = 25

3. Se resuelve la ecuacin resultante.

x2 + 49 14x + x2 = 25

2x2 14x + 24 = 0

x2 7x + 12 = 0

4. Cada uno de los valores obtenidos se sustituye en la otra ecuacin, se obtienen as los valores correspondientes de la otra incgnita.

x = 3 y = 7 3 y = 4

x = 4 y = 7 4 y = 3

CONCLUSIN

Una seria desventaja de la iteracin es que la convergencia depende de la manera en que se formula la ecuacin El mtodo Newton Raphson para dos ecuaciones se puede generalizar para resolver n ecuaciones simultneas.