TEMA 10: SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES · tema 10: sistemas de ecuaciones lineales 1. sistemas de...

Matemáticas 2º Bachillerato Álgebra Lineal

1

TEMA 10: SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES 1. SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES

2. FORMAS DE DAR UN SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES

3. MÉTODO DE GAUSS PARA RESOLVER Y DISCUTIR UN S.E.L.

4. REGLA DE CRAMER

5. TEOREMA DE ROUCHÉ-FRÖBENIUS-CAPELLI-KRONECKER

6. SISTEMAS HOMOGÉNEOS

7. ELIMINACIÓN DE PARÁMETROS

1. SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES Una ecuación lineal es una expresión matemática del tipo:

bxa........xaxa nn 2211

Donde Rai , que se llaman coeficientes, Rx i son las incógnitas y que Rb se

llama término independiente. Un sistema de ecuaciones lineales, S.E.L., es un conjunto finito de ecuaciones lineales con las mismas incógnitas.

mnmnmm

nn

nn

nn

bxa........xaxa

bxa........xaxa

bxa........xaxa

bxa........xaxa

2211

33232131

22222121

11212111

Consideraciones: Una solución “S” de una ecuación lineal es un conjunto de números reales:

Rss,........,s,sS in 21

tal que al sustituir las incógnitas por dichos números, se verifican todas y cada una de las ecuaciones del sistema.

Dos S.E.L. son equivalentes cuando tienen el mismo conjunto solución. Resolver un S.E.L. es hallar su conjunto solución. Los métodos de resolución de S.E.L. se basan en que, a partir del S.E.L. dado,

llegar a otro equivalente que sea de más fácil resolución. “Discutir” un S.E.L. consiste en, sin necesidad de resolverlo, decir si tiene

solución (Compatible), si es además única (Compatible Determinado), si tiene infinitas soluciones (Compatible Indeterminado) o bien no tiene solución (Incompatible).

Clasificación de los sistemas de ecuaciones:

nulos.son ntesindependie términos los todos :Homogéneo Lineal Sistema

nulos.son ntesindependie términos los todos no:oHeterogéne Lineal Sistema

En cuanto a la solución se dividen en:


2

solución tiene nole;Incompatib Sistema

.soluciones infinitas :doIndetemina

única. solución :oDeterminadsolución) (tiene Compatible Sistema

2. FORMAS DE DAR UN SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES

Forma normal

mnmnmm

nn

nn

nn

bxa........xaxa

bxa........xaxa

bxa........xaxa

bxa........xaxa

2211

33232131

22222121

11212111

Forma matricial BXA

b

b

b

x

x

x

aaa

aaa

aaa

mnmnmm

n

n

2

1

2

1

21

22221

11211

Forma vectorial

m

n

mn

n

n

mm b

b

b

x

a

a

a

.......x

a

a

a

x

a

a

a

2

1

2

1

2

2

22

12

1

1

21

11

Ejemplo: Dado el siguiente sistema de ecuaciones, expresarlo de las distintas formas:

2

4

1

1

1

3

3

2

1

0

1

3

: vectorialForma

2

4

1

130

121

313

:matricial Forma

23

42

133

321

3

2

1

32

321

321

xxx

x

x

x

xx

xxx

xxx

*

2

4

1

130

121

313

|

*

A

A

BA

liadaMatriz AmpAientes los coeficMatriz de A


3

3. MÉTODO DE GAUSS PARA DISCUTIR Y RESOLVER UN SEL Criterios de equivalencia

1. Si en un S.E.L. se permutan dos ecuaciones, el sistema resultante es equivalente al primero.

2. Si una ecuación de un S.E.L. se multiplica por un número real distinto de cero, el sistema resultante es equivalente al primero.

3. Si a una ecuación de un S.E.L. se le suma otra, previamente multiplicada por un número real distinto de cero, el sistema resultante es equivalente al primero.

Método de Gauss Consiste en, aplicando criterios de equivalencia de SEL, transformar el sistema dado en un sistema escalonado, triangularizado o en cascada. Al finalizar el proceso de triangularización podemos llegar a uno de los siguientes casos, por ejemplo, para un sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas nos podemos encontrar con que:

1. Haya tantas ecuaciones válidas (independientes) como incógnitas. Paso a paso vamos obteniendo un valor numérico para cada incógnita. Es por tanto, un sistema COMPATIBLE DETERMINADO, esto es, tiene una única terna solución:

Rsssssszyx 321321 ,,,,,,

2. Haya menos ecuaciones válidas

(independientes) que incógnitas. Las incógnitas que están de más se pasan al segundo miembro, con lo que el valor de las demás se dará en función de ellas. El sistema es COMPATIBLE INDETERMINADO, esto es,

habría infinitas ternas z,y,x solución del sistema. La

solución general vendrá dada con tantos parámetros como incógnitas hayamos despejado al segundo miembro.

3. Una de las ecuaciones no se puede cumplir nunca (hay

una contradicción del tipo 0=nº). El sistema es INCOMPATIBLE, esto es, NO tiene solución, no hay

ninguna terna z,y,x que verifique todas las

ecuaciones.

Coeficientes incógnitas

Términos independientes

0

0 0

x y z

Ti

0

0 0 0

x y z

Ti

0

0 0 0 0

x y z

Ti

0

0 0

x y z

Ti


4

Ejercicios: Resuelve estos sistemas de ecuaciones mediante el método de Gauss.

1,2,0,,

01121

201202

122

2

0

1

200

210

111

2

0

1

430

210

111

0

3

1

212

123

111

022

323

1

23

13

12 323

zyxsoluciónTerna

odeterminadcompatibleSistema

xxzyx

yyzy

zz

zyx

zyx

zyx

EEEEEE

Ídem con el sistema:

2 1 3 2

3 12

3 4 2 1 5 5 5 5

2 3 2 2 3 2 1º " " 3 2 2

5 5 3 4 2 1 2 4 3 1

1 1 5 5 1 1 5 5 1

1 3 2 2 0 2 7 3

2 4 3 1 0 2 7 9

E E E EE E

x y z x y z z y x

x y z cambio el orden x y z ponemos la z z y x

x y z x y z z y x

1 5 5

0 2 7 3

0 0 0 6

0 6

,

IMPOSIBLE

Sistema Incompatible no hay terna solución

Ídem con el sistema:

0

2

3

000

110

021

10

2

3

550

110

021

4

4

3

512

132

021

452

432

32

23

13

12 522 EE

EEEE

zyx

zyx

yx

R

RzyxRzyxSSoluciones

zllamamos

zzzyxyx

hemoszyzy

parámetro al demos le valores

como tantassistema, delsolución ternasinfinitas

,2,12,,,,,:

soluciónternasinfinitashayado,indetermincompatibleSistema

123423223232

z""defuncióneny"" ejemplo,pordespejado,22

00

3

Ejercicios: Resuelve estos sistemas de ecuaciones mediante el método de Gauss.

733

132

422

11104

85

1073

1175

4352

32

zyx

zyx

zyx

zyx

zyx

zyx

zyx

zyx

zyx


5

4. REGLA DE CRAMER Un S.E.L. es de Cramer cuando tiene el mismo número de ecuaciones que de

incógnitas y además, la matriz de los coeficientes es regular, esto es 0A .

Al ser 0A existe la inversa 1A y el sistema puede resolverse matricialmente:

BAXBAXAABXAI

111

Todo sistema de Cramer es compatible determinado. Resolución por Cramer: supongamos que tenemos un sistema de 3 ecuaciones lineales con 3 incógnitas:

0

cba

cba

cba

Acon

d

d

d

cba

cba

cba

dzcybxa

dzcybxa

dczbyax

Puesto que el determinante de A, 0A podemos decir que el sistema es

Compatible Determinado y que su solución es:

A

Az

A

Ay

A

AxA

zyx 0

Siendo xA la matriz que resulta de sustituir la columna de los coeficientes de la x por

la columna de los términos independientes, análogamente yA y zA

Ejemplo: comprobar que el siguiente sistema es de Cramer y resolverlo:

5

17,

5

3,

5

13,,

5

17

10

321

322

425

5

3

10

231

132

345

5

13

10

223

123

324

:,

010125222123223112225

221

122

325

calculamos ,incógnitas de que ecuaciones de nº mismo

3

3

4

221

122

325

322

322

4325

zyxSolución

zyx

loresolvámosCramerdesistemaunesluego

A

zyx

zyx

zyx

Ejercicios: resolver los siguientes sistemas aplicando la regla de Cramer:

022

323

1

0

3335

123

1742

524

23

zyx

zyx

zyx

zyx

zyx

zyx

zyx

zyx

zyx


6

5. TEOREMA DE ROUCHÉ-FRÖBENIUS-CAPELLI-KRONECKER La condición necesaria y suficiente para que un S.E.L. sea compatible es que el rango de la matriz de los coeficientes y el rango de la matriz ampliada coincidan. Si a su vez, coincide con el número “n” de incógnitas, será compatible determinado; en caso contrario, compatible indeterminado. Si ambos rangos son distintos, el sistema es incompatible:

EL SISTEMA TIENE SOLUCIÓN ArgArg

Si ArgArg

erminado ible Indeterá Compat sistema sas) ele incógnitn (nº dh

do DeterminaCompatibletema será el sisnitas) º de incógn (n

EL SISTEMA NO TIENE SOLUCIÓN ArgArg

EJERCICIOS: 1. Discutir, según los valores del parámetro “a” el siguiente sistema de ecuaciones:

02

0

2

442244

2

121

121

42

22

22

2

42

2

4222

2

112

102

14

., Compatible Sistema

º 302,º1

20202211

111

101

12

:su calculando empezamos cuadrada esA matriz la Como

AMA3A3

3AMA3MA

2

2

4

111

101

12

|

:

2

2

42

4x3

4x33x3

*

aa

aa

a

a

y

a

a

a

a

a

a

a

a

x

CramerporresolverlopodemosoDeterminad

incógnitasnArgArgAaRa

DISCUSIÓN

aaAaa

a

A

tedeterminan

AypuesrgArgcuando

rgArga

BA

AmpliadaMatrizescoeficientlosdeMatrizlaPonemos

zyx

zx

azyx

A

A


7

0210

12 pues 2 rg(A) El

0

0

4

000

010

212

0

0

4

010

010

212

2

2

4

111

101

212

sistema elen 2a ,30A 2,a Para º2

0,0,2,,

02

0

2

4242

2

211

201

412

os sustituimArg

a"" de depende no soluciónla caso este enzyxSOLUCIÓN

aaaz

dondeterminampatible ISistema CoincógnitasnArgArgLuego

ArgPara

º32

2 tambiénes que vemosA

RzyxRzyxSSoluciones

y

,0,-2,,,,,

z

0y

-2x

0y

z-2x

0y

2zx

0y

42z2x

0y

42z2x

0y-

42zy2x

:SOLUCIÓN

3

2. Discutir y resolver, según los valores del parámetro “a” el siguiente sistema de

ecuaciones:

1,20120

12

100

010

111

2

11

11

111

2

12

12

112

11

11

11

:tedeterminansu calculando empezamos cuadrada esA matriz la Como

AMA3A3

3AMA3MA

1

11

11

11

|

:

1

2

2

4x3

4x33x3

*

2

2

aaaA

aa

a

aa

a

aa

aa

aa

a

a

a

a

A

AypuesrgArgcuando

rgArg

a

a

a

a

a

BA


aazyx

azayx

zyax

A

A


8

2

1

12

11

12

111

12

11

12

110

100

111

12

1

1

111

x

:Cramer de regla la aplicando

º3301,2,1

2

2

22

2

2

2

2

2

a

a

aa

aa

aa

aaa

aa

aa

aa

aa

a

aa

aa

aa

Solución

oDeterminadompatible Sistema CincógnitasnArgArgAaRa

DISCUSIÓN

2

1

12

1

12

001

101

11

12

1

11

11

y2

2

2

2

2

2

aaa

a

aa

a

aa

a

aa

aa

a

a

)1,2 suponiendo estamos pues r,simplifica (podemos

2

1

12

11

12

1

12

011

001

11

12

11

1

11

z

2

2

22

2

22

2

2

2

2

2

a

a

a

aa

aa

aa

a

aa

aa

a

a

aa

a

aa

a

2

1,

2

1,

2

1,,

2

a

a

aa

azyxSOLUCIÓN

2a para

024

400

530

112

pues ,3 A 0630

12 pues 2 rg(A) El

4

5

1

000

330

112

9

5

1

330

330

112

4

2

1

211

121

112

:2a 30 2aPara2º

compatibleSistema InArgArgLuego

Argpara

ssustituimoArgA

RzyxRzyxSSOLUCIONES

SistemanArgArg

Arg

1s asustituimoArgA

,,,--1,,,,,

z

y

--1x

z-y-1x1zyx

restantes21 - 3r-n las defunción en incógnita 1r Despejamos

adoIndetermin Compatible incógnitas de º31

1 1 rg(A)

0

0

1

000

000

111

1

1

1

111

111

111

30 1aPara3º

3


9

3. Discutir y resolver, según los valores del parámetro “m”, el S.E.L.:

:

22

42

31


zmyx

mzyx

zyxm

tedeterminan

AypuesrgArgcuando

rgArg

m

m

m

BA

A

A

su calculando empezamos cuadrada esA matriz la Como

AMA3A3

3AMA3MA

2

4

3

21

21

111

|4x3

4x33x3

*

mm

m

mmm

mm

mmm

mm

mmm

mmmm

mmm

m

m

mm

m

mmm

mm

mmm

mm

mmm

mmmm

mmm

m

m

mmmm

mm

mmm

mm

mmm

mmm

mmm

m

m

S

oDeterminadompatible Sistema C

incógnitasnArgArgAmRm

DISCUSIÓN

mmmmA

mmm

m

mmm

mmm

m

mmm

m

mm

m

mm

m

mm

mm

mm

m

m

m

m

A

23

43

23

43

23

43

23

44263444

23

21

421

311

z

23

29

23

29

23

29

23

22642388

23

221

41

131

y

3

3

23

23

23

36

23

3844212

23

22

24

113

x

:Cramer de regla la aplicando :OLUCIÓN

º302,3,0,º1

:

2,3,00230

23

20

113

11

113

1

13

11

113

110

110

111

3

21

21

111

3

23

23

113

21

21

111

22

22

22


10

mm

m

mm

m

mzyxSOLUCIÓN

23

43,

23

29,

3

3,,

0m para 2


0110

11 pues 2 rg(A) El

0

1

3

000

110

111

1

1

3

110

110

111

2

4

3

201

021

111

: 30A 0,m Para º2

dondeterminampatible ISistema CoArgArg

ArgPara

stema0 en el sios m sustituimArg

0180

1800

1150

312

pues 3 es que vemosA

01050

12 pues 2 rg(A) El

18

11

3

000

550

112

7

11

3

550

550

112

2

4

3

231

321

112

:sistema elen 3-m ssustituimo 30A ,3-m Para º3

,1,22,,,,,

1

22

1

22

1

31

1

3

1

3

0

1

3

000

110

111

:SOLUCIÓN

3

ArgPara

Arg

RzyxRzyxSSOLUCIONES

z

y

x

zy

zx

zy

zzx

zy

zyx

zy

zyx

-3 para mcompatibleSistema InArgArg

-3 para mcompatibleSistema InArgArg

Argparay

BA

stema2 en el sis msustituimoArg

090

600

950

313

pues 3 es A 01550

13 pues 2 rg(A) El

6

9

3

000

550

113

3

9

3

550

550

113

2

4

3

221

221

113

|

: 30A ,2m Para º4


11

4. Discutir y resolver, según los valores del parámetro “m”, el S.E.L.:

nte determina

AypuesrgArgcuando

rgArg

a

a

a

BA


azyx

zayx

zyax

A

A


AMA3A3

3AMA3MA

2

1

4

111

11

11

|

:

2

1

4

4x3

4x33x3

*

111

11

11

10

311

11

21

311

11

21

31

11

021

031

14

11

121

111

14

y

1

2

11

21

11

21

11

02

13

11

002

013

114

11

112

11

114

x

:Cramer de regla la aplicando :OLUCIÓN

incógnitasnº 3 301,1,º1

:

1,10110

111101

11

001

011

11

111

11

11

aa

aa

aa

aa

aa

aa

aa

aa

a

aa

aa

a

a

aa

a

a

a

a

aa

aa

aa

aa

aa

a

a

aa

a

a

aa

a

a

S

oDeterminadompatible Sistema CArgArgAaRa

DISCUSIÓN

aaaA

aaaaa

aaa

aaa

a

a

A

a

aa

aa

aaa

aa

aaa

aa

a

aa

aa

a

a

a

aa

a

a

a

aa

aa

a

a

aa

a

a

a

1

3

11

31

11

31

11

11

31

11

100

111

43

1

11

110

11

41

1

11

110

11

41

11

211

11

41

z

222

a

aa

a

azyxSOLUCIÓN

1

3,1,

1

2,,

2


12

RzyxRzyxSSOL

zzz

z

y

zzz

z

x

adoIndeterminmpatible Sistema Congnitasnº de incóArgArg

ArgPara

stema1 en el simos a sustituiArg

compatibleSistema InArgArg

ArgPara

stema:1 en el sios a sustituimArg

,2

5,

2

3,,,,,UCIONES

2

5

2-

25

2-

250

41

2

3

2-

2528

2-

225

14

2z-52y

z-4yx- Cramer por Hagásmolo 02

20

11

0

5

4

000

220

111

SOLUCIÓN

32


0220

11 pues 2 rg(A) El

0

5

4

000

220

111

5

5

4

220

220

111

1

1

4

111

111

111

: 30A 1,a Para º3

02

100

320

411

pues 3 es que vemosA

0220

11 pues 2 rg(A) El

1

3

4

000

020

111

3

1

4

111

111

111

30A 1,a Para º2

3


13

6. SISTEMAS HOMOGÉNEOS Un sistema de ecuaciones lineales se dice homogéneo cuando TODOS los términos independientes son nulos

0........

0........

0........

0........

2211

3232131

2222121

1212111

nmnmm

nn

nn

nn

xaxaxa

xaxaxa

xaxaxa

xaxaxa

A

A

mnmm

n

n

aaa

aaa

aaa

0

0

0

21

22221

11211

A la vista de lo anterior no hará falta poner más la columna de los términos independientes ya que es toda de ceros, además, aplicando el Teorema de Rouché, se tiene que:

ArgArg

Por tanto, los sistemas homogéneos son siempre compatibles, entonces si:

1. incógnitas de nº nArg , será Compatible Determinado, siendo la solución

la trivial: 0,.......,0,0,........,, 21 nxxx

2. incógnitas de nº nhArg , será Compatible Indeterminado.

Ejercicios:

1. Discutir y resolver, según los valores del parámetro “a” el siguiente sistema de ecuaciones homogéneo:

tedeterminan

a

A

escoeficientlosdeMatrizlaPonemos

zyxa

zyx

zyx


MA

12122

2132

4124

012122

02132

04124

3x3

0,0,0zy,x, triviallasolución o,Determinad Compatible Sistema

,º3010º1

100100

7610522410213

41210

121210

2130

4120

12122

2132

4124


DISCUSIÓN

aaA

aaa

aa

A


14

RzyxRzyxSSOLUCIONES

y

zx

y

zx

y

zyx

adoindeterminSistemaincógnitasnArgArg

incógnitasnArgAaPara

,0,,,,,,

00

0

0

03

º32

000

010

131

010

010

131

040

0190

131

111

2132

131

121212

2132

4124

:sistema elen 10a ssustituimo

adoIndetermin Compatible Sistema º 3010º2

3

2. Discutir y resolver, según los valores del parámetro “a” el siguiente sistema de

ecuaciones homogéneo:

42

62

22

62

2

62

2

3242

0820

825

58

082

58

1024

010

518

10324

418

11

23


MA

418

11

23

048

0

023

2

2

22

22

3x3

2

2

a

a

a

aaA

aa

a

aa

a

aa

a

a

a

A

tedeterminan

a

a

A


zyx

zyax

zyxa

2

000

610

2316

610

610

2316

418

114

2316

:sistema elen 4-a

º 304º2

0,0,0zy,x, triviallasolución o,Determinad Compatible Sistema

,º302,4º1

:

ArgArg

ssustituimo

do ndeterminampatible ISistema CoincógnitasnArgAaPara


DISCUSIÓN


15

RzyxRzyxSSOLUCIONES

y

zx

y

zx

y

zx

y

zx

y

zyx

y

zyx

ArgArg

stema:2 en el sis asustituimo

incógnitasnArgAaPara

RzyxRzyxSSOLUCIONES

zy

zx

zy

zx

zy

zx

zy

zx

zy

zzx

zy

zyx

zy

zyx

zy

zyx

,0,2

,,,,,

0

20

2

0

02

0

024

0

0234

05

0234

2

000

050

234

050

050

234

418

112

234

adoIndetermin Compatible Sistema º 302º3

,6,4

5,,,,,

6

4

5

6

54

6

2016

6

02016

6

021816

6

02316

6

02316

06

02316

3

3

3. Discutir y resolver, según los valores del parámetro “m” el siguiente sistema de

ecuaciones homogéneo:

52

73

22

73

2

73

2

4093

010301030

10332

5

100

32

35

110

32

32

edeterminatsu calculando empezamos cuadrada esA matriz la Como

MA

110

32

32

0

032

032

22

2

3x3

m

m

m

mmmmA

mmm

mmm

m

m

m

A

m

m

A


zy

mzyx

zymx


16

RSSOLUCIONESzy

zx

zy

zx

zy

zx

zy

zzx

zy

zyx

zy

zyx

ArgArg

istema:-5 en el ss msustituimo

do ndeterminampatible ISistema CoincógnitasnArgAmPara

eterminadompatible DSistema Co

incógnitasnArgArgAmRm

DISCUSIÓN

,,0

05503250325

0

0325

2

000

110

6410

000

19190

6410

110

19190

6410

110

251510

6410

110

532

325

º 305º2

0,0,0zy,x, triviallasolución ,

,º302,5º1

:

RSSOLUCIONES

zy

zx

zy

zx

zy

zx

zy

zzx

zy

zyx

zy

zyx

ArgArg

sistema:2 en els msustituimo

ado Indeterminompatible Sistema CincógnitasnArgAmPara

,,2

52

552

05203220322

0

0322

2

000

110

322

110

110

322

110

232

322

º 302º3

4. Discutir, según los valores del parámetro “k” el siguiente sistema de ecuaciones:


zy

zy

zkyx

zyx

23

33

132


17

4)A(3)(

MAMA

2

0

3

1

130

110

31

321

| 4x43x4

*

rgArg

kBA

A

A

tiblerá Incompasistema se

el por tantoArgyArgAkRk

DISCUSIÓN

kkA

kkk

k

kkkk

A

nte determina

,4 es MA como 404º1

:

4040

4251215

112

015

011

202

213

011

202

2

0

2

1

130

110

020

321

2

0

3

1

130

110

31

321

su calculando empezamos cuadrada es A matriz la Como

3x4

1,1,4,,

1

1

4

1

1

132

1

1

132

:SOLUCIÓN

. ,incógnitas de nº3

01

100

010

321

0

1

1

1

000

100

010

321

0

2

2

1

000

200

020

321

2

2

2

1

200

200

020

321

2

0

2

1

130

110

020

321

2

0

3

1

130

110

341

321

404º2

zyx

z

y

x

z

y

x

z

y

zyx

eterminadompatible DSistema CoArgArg

stema:4 en el sis ksustituimoArgAkPara


18

7. ELIMINACIÓN DE PARÁMETROS Al proceso inverso a la resolución e un SEL compatible indeterminado se le denomina eliminación de parámetros, es decir, dado el conjunto solución, hallar que SEL tiene dichas soluciones. Ejemplo: Dado el siguiente sistema de ecuaciones, resolverlo y luego realizar el proceso inverso.

4321

4

4321

4343

2432

4343

1431

4321

4321

21

4321

4321

,,2

3

2

3,

22/,,,

:

2

3

2

3

2

33332- :ecuaciones las Restamos

2222 :ecuaciones las Sumamos

:reducción método elpor sistema el Resolvemos 22

:2º al resto el pasamosy miembroprimer elen y dejamos

20211

1-1 como :A matriz la de Rango

1111

22-1-1

0

022

xxxxRxxxxS

Solucíón

xxxxxxxx

xxxxxxxx

xxxx

xxxx

xxEntonces

Arg

Aienteslos coeficMatriz de xxxx

xxxx

Realizamos ahora el proceso inverso: dado el conjunto solución, obtener un SEL que lo genera

nulos ser todos dehan 3orden de menores Los 2

102321

012321r

:será matriz una de rango de definición lasegún Y

1,0,2

3,

2

10,1,

2

3,

2

1,,,

:de linealn combinació comoexpresar podemos lo ,,, vector

2

3

2

3

22

4321

4321

4321

4

3

2

1

xxxx

xxxx

xxxxEl

x

x

x

x

06640

203

0230

1023

0123

02240

201

0210

1021

0121

342

432432

2

341

431431

1

xxx

xxxxxx

M

xxx

xxxxxx

M


19

partida. de SEL del ecuaciones las te,precisamen son, Que

0

022

03333 :obtiene se ecuaciones dos las Sumando

04422 :obtiene se ecuaciones dos las Restando

:

0332

02

0664

0224

4321

4321

4321

4321

342

341

342

341

xxxx

xxxx

xxxx

xxxx

nteo equivaletema en unmos el sistransformaSi

xxx

xxx

xxx

xxx

Ejercicio: Eliminar los parámetros

0103

0532

0137

01030

121

011

31

05320

021

111

11

01370

321

211

21

:nulosser dehan 3orden de menores siguientes los Por tanto,

2

10321

01211

3121

rg Luego

1,0,3,2,10,1,2,1,13,1,2,,1

:que Tenemos

3

1

322

2

1

3

1

322

2

1

521

421

321

521

521

3

421

421

2

321

321

1

54321

54321

5

4

3

2

1

5

4

3

2

1

xxx

xxx

xxx

xxx

xxx

M

xxx

xxx

M

xxx

xxx

M

xxxxx

baxxxxx

bx

ax

bax

bax

bax

bro rimer miementes al p independis términosPasamos lo

bx

ax

bax

bax

bax


:nulosser dehan 3orden de menores siguientes los Por tanto,2

1211

1312rg Luego

1,2,1,11,3,1,2,,,:que Tenemos 23

2

tzyx

batzyx

bat

baz

bay

bax


20

032

037

0320

111

112

0370

211

312

2

1

tyx

zyx

tyx

tyx

M

zyx

zyx

M


09161391613

311

231

221

2

211

131

321

5

231

121

321

231

123

322

1

:fila 1ª lapor ndodesarrolla 0

2311

1231

3221

251

M

:nulosser dehan 4orden de menores siguientes los Por tanto,

3

12311

21231

13221

1251

rg Luego

1,2,3,1,12,1,2,3,11,3,2,2,11,2,5,,1

:que Tenemos

21

232

3225

32

1

21

232

3225

32

1

43214321

4321

4321

1

54321

54321

5

4

3

2

1

5

4

3

2

1

xxxxxxxx

xxxx

xxxx

xxxxx

cbaxxxxx

cbax

cbax

cbax

cbax

cbax

un miembrodientes aos indepenLos términ

cbax

cbax

cbax

cbax

cbax

0911717

091613

0911717911717

311

231

221

1

111

231

121

5

131

221

121

131

223

122

1

:fila 1ª lapor ndodesarrolla 0

1311

2231

1221

151

M

5321

4321

53215321

5321

5321

2

xxxx

xxxx

xxxxxxxx

xxxx

xxxx

TEMA 10: SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES · tema 10: sistemas de ecuaciones lineales 1. sistemas de...

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