SISTEMA DE ECUACIONES NO LINEALES
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Ecuaciones No Lineales
Donde
Problema Mínimos Cuadrados Problema de Optimización Sistema No Lineal
0)x(f 0)x(f 0)x(f
0)x(f mn RR:f
nm nm nm
Ejemplos
0)xsin(4x)x(f 2 025.0xx)x(f
025.0xx)x(f2212
2211
Existencia y Unicidad:
criterios locales útiles para analizar existencia
• Teorema del valor medio• Teorema de la función inversa• Teoría del punto fijo y mapeo
contractivo• Grado topológico
Existencia y Unicidad: criterios
• Teorema del valor medio: para problemas uni-dimensionales.
“Si f es continua en un intervalo cerrado [a b] y f(a) c f(b), existirá un x* en [a b] tal que f(x*)=c, entonces si signf(a) es opuesto a f(b) y c=0, x* será una raíz en [a b]”.
Condición equivalente: (x-z)f(x)0 para x=a,b y a<z<b dadas: f(a) 0 y f(b) 0
Existencia y Unicidad: criterios
• Teorema del valor medio: para problemas n-dimensionales.
Sensolucióntiene0)x(fentonces
Sdebordeslosenxy
Sztodopara0)x(f)zx(
RSencontinuaRR:fparaT
nnn
Existencia y Unicidad: criterios
• Teorema de la función inversa
*)(
)(
*
:
xfdecerca
ysolucióntieneyxfy
invertibleesfentonces
xensingularnoesJSi
blediferenciaycontinuaRRfpara
f
nn
Existencia y Unicidad: criterios• Teoría del punto fijo y del mapeo
contractivo
Sz,x
zx)z(g)x(g
/10si
RSenacontractivesRR:gUna nnn
x)x(g
/xpuntocualquieresgdefijopuntoUn
fderaizunaaecorrespondgdefijopuntoel
)x(gx)x(fquetalesgSi
Senfijopuntounicountienegentonces
S)S(gySenacontractivesgSi
Raíces Múltiples
Si es singular raíces múltiples*)x(J f
localunicidadsingularnoes*)x(JSi f
0~*)x(fy
0*)x(f.......*)x(''f*)x('f*)x(fm
1m
Si dada una función f:
entonces se dice que x* es una raíz de multiplicidad m
Raíces Múltiples
33
Sensibilidad y Condicionamiento
*)x('f
1NCa
*)x('f
1NCa
*)x('f
1NCa
*)x(JNC 1fdimn,a
múltiplesraícespara,NC
gularsinJpara,NC
Sensibilidad y Condicionamiento
*)x('f
1NCa
*)x('f
1NCa
Problema bien condicionado
Problema mal condicionado
Velocidad de Convergencia
C*xx
*xxLim
e
eLim
rk
1k
krk
1k
k
cúbica3r
cuadrática2r
erlinealsup1r
lineal1Cy1r
cuadrática,....,10,10,10,10
erlinealsup,....,10,10,10,10
)10C(lineal,....,10,10,10,10
)10C(lineal,....,10,10,10,10
16842
8532
28642
15432
Criterios de Stop
k
k1k
x
xx
)x(f k )x(f k
)x(f k
Cambio relativo en iteraciones sucesivas
Residual en la iteración k
Métodos para el problema unidimensional
• Bisección • Punto Fijo• Newton• Secante• Interpolación inversa• Interpolación fraccional lineal• Híbridos
Métodos para el problema unidimensional
• Bisección
end
end
mb
else
ma
then))m(f(sign))a(f(signif
2/)ab(am
)tol)ab((while
tol
ablogn 2it
Métodos para el problema unidimensional• Punto Fijo
)x(gx
0)x(gx)x(f
)x(gx k1k
Convergencia: lineal
Criterio de convergencia:
Prueba: utilizando el teorema del valor medio
1*)x('g
*)xx)(('g*)x(g)x(g*xxe kkk1k1k
kk1k e)('ge *)x,x(enodesconocidvalorunSiendo kk
0k
k1k eC......eCe
Métodos para el problema unidimensional• Newton
h)x('f)x(f)hx(f
)x('f
)x(fxx
k
xk1k
)x('f
)x(fx)x(g
k
xkk
0*))x('f(
*)x(''f*)x(f
*))x('f(
*)x(''f*)x(f*))x('f(1*)x('g
22
2
...e*)x(''g2
1e*)x('g*)x(g)x(ge 2
kkk1k
Por Taylor
Ecuación de iteración
Velocidad de convergencia
Métodos para el problema unidimensional• Secante
)xx(
)x(f)x(f)x('f
1kk
1kkk
618.1r:iaconvergencdevelocidad
)x('f
)x(fxx
k
xk1k
Métodos para el problema unidimensional• Interpolación
inversa
c
a
a
b
c
b
f
fw;
f
fv;
f
fu
)1v)(1u)(1w(q
)ab)(u1()bc)(wu(w(vp
q
pb'b
a'c
b'a
Métodos para el problema unidimensional• Interpolación fraccional lineal
wvx
ux)x(
c
b
a
w
v
u
fcf1
fbf1
faf1
cc
bb
aa
bacabc
cca
f)ff)(cb(f)ff)(ca(
f)ff)(cb)(ca(h
Métodos para el problema n-dimensional
• Punto Fijo• Newton• Actualización de la secante• Newton amortiguado• Métodos de la región de
confianza
Métodos para el problema n-dimensional• Punto Fijo
nn RR:g
)x(gx )x(gx k1k
1*))x(J( g A)A(
Métodos para el problema n-dimensional
• Newton0s)x(J)x(f)sx(f
)x(fs)x(J
fJsJJ 11
fJx)x(g 1k1kk xxs
)n(O)x(fs)x(J 3 funcevalnJ 2
Métodos para el problema n-dimensional• Broyden
)x(fs)x(B
k1kk xxs )x(fsB kkk
kTk
Tkkkk1k
k1kss
s)sB)x(f)x(f(BB
Métodos para el problema n-dimensional
• Newton amortiguado (Convergencia Global, Robustez)
kkk1k sxx
2kkk sxf Monitorear o minimizar con
respecto a
No es a prueba de fallas (no existe o converge a un mínimo local, donde f no es cero)
Software para ecuaciones no lineales
Fuente Unidimensional Multidimensional
BrentFMMHSLIMSLDennis&SchnabelKMNMATLABMINPACKNAGNAPACKNRNUMALSLATECTOMS
zerozeroinnb01/nb02zbren
fzerofzero
c05adfrootzbrentzeroinfzerozero1
ns11neqbf neqnjnedriversnsqefsolvehybrd1 hybrj1c05nbf c05pbfquasibroydn newtquanewbndsnsq/sosbrentmtensolve
Software para raíces de polinomios
Fuente Raíces reales Raíces complejas
HSLIMSLMATLABNAGNAPACKNRNUMERALGOSLATECTOMS
pa17zporc/zplrcrootsc02agf
zrhqr
rpzero/rpqr79rpoly
pa16zpoccrootsc02affczeroshortspolzeros(na10)cpzero/cpqr79cpoly
UNIVERSIDAD NACIONAL DE LOJA EN EL APORTE A LA EDUCACION ING. EN
SISTEMAS
• INTEGRANTES:
– SILVIA MICHAY– JESSICA IMAICELA– DORIS JIMENEZ– JUAN PABLO SANCHEZ