Mtodos Numricos Aplicados a la Ingeniera

Mtodos Numricos Aplicados a la Ingeniera

MTODOS NUMRICOS

CONTENIDOI. SOLUCIN DE SISTEMAS DE ECUACIONES ALGEBRAICAS LINEALES1.1. Algunas Reflexiones sobre Mtodos numricos 1.2. Introduccin 1.3. Existencia y Unicidad

1.4. Mtodos directos de solucin: Gauss - Jordn, descomposicin LU, Cholesky.

1.5. Mtodos Iterativos.

1.6. Convergencia

1.7. Mtodo del descenso ms rpido y del Mtodo de gradiente conjugado

II.PROBLEMAS DE VALORES Y VECTORES CARACTERSTICOS

2.1. Aspectos bsicos.

2.2. Teorema de Schur y Gershgorin

2.3. Problemas propios de una matriz.

2.4. Factorizaciones Ortogonales y problemas de mnimos cuadrados

2.5. Mtodo de QR de Francis para problemas de valores propios

2.6. Mtodo mixtos evaluacin de la determinante Iteracin en un subespacioI. SOLUCIN DE SISTEMAS DE ECUACIONES ALGEBRAICAS LINEALES 1.1. Algunas Reflexiones Sobre Mtodos Numricos El anlisis numrico y su diversidad de mtodos en realidad es la dialtica del anlisis matemtico cualitativo y cuantitativo. El anlisis matemtico nos afirma que bajo ciertas condiciones algo existe y que es nico etc. Sin embargo el otro complementa calculando aproximadamente el valor de aquello que existe. En resumen podemos decir que el anlisis numrico es una reflexin sobre el anlisis matemtico es decir sobre el lgebra lineal, ecuaciones diferenciales, etc. Desde el punto de vista numrico teniendo como sinergia una serie de mtodos o algoritmos cuyo estudio y uso en diferentes reas de ingeniera es de importancia.

Como se observa los mtodos numricos son tcnicas para formular problemas y solucionarlo usando operaciones lgicas aritmticas contando como herramienta determinante la computadora y los lenguajes de alto nivel (fortran, Basic, Pascal, entre otros).

En un inicio podemos decir que las personas interesadas con esta rea del conocimiento solo contaban con:

1. determinaban la solucin usando mtodos exactos o analticos, pero en realidad estas soluciones solo es para un nmero limitado de problemas en consecuencia las soluciones analticas tienen valores prcticos limitados por que la gran mayora de los problemas implican formas y procesos complejos.

2. Cuando se requera analizar el comportamiento de sistemas se usaban soluciones grficas cuyos resultados no son muy precisos adems que sus representaciones son muy tediosos sin el uso de computadoras, estas tcnicas graficas son limitadas a problemas que pueden describirse usando tres dimensiones o menos.

3. Para implementar mtodos numricos se usaban calculadoras y reglas de clculo, estos instrumentos presentan una diversidad de dificultades como consecuencia de su lentitud al realizar los clculos, adems que sus resultados no son muy consistentes por que surgen equivocaciones al realizar su proceso de clculo.

Pero en la actualidad los mtodos numricos contando con una herramienta como la computadora ofrecen alternativas para el clculo de problemas complejo que en oportunidades el anlisis matematic tendra mucha dificultad. Sin embargo debemos resaltar que el anlisis numrico es de gran importancia tanto para solucionar problemas como para dar mayor comprensin.

Podemos decir que despus de la aparecan de la computadora los mtodos numricos a explosionado, estn inicialmente directamente relacionado con el tiempo de maquina en consecuencia limitado por el costo de procesamiento de las grandes computadoras (mainframes) lo que induce que aun algunos continen usando mtodos analticos en sus trabajos, pero en la actualidad con el avance de la tecnologa como la aparicin de las computadoras personales a bajo costo permiten cumplir con capacidades complejas.

Entre otras razones del uso de los mtodos numricos podemos citar:

1. Su capacidad para solucionar sistemas de ecuaciones lineales de grande porte, el manejo de no linealidades y la solucin de geometras complejas retos muy usuales en la sociedad ingenieril del presente siglo, que se tornan dificultosos o imposibles de ser manipulados por el anlisis matemtico.

2. Los mtodos numricos permite reforzar la comprensin matemtica por ser experimental yo dira permite la creatividad principalmente en temas oscuros ocasionando un aumento de la capacidad de comprensin y entendimiento de las matemticas.

3. Los mtodos numricos dan la oportunidad de construir sus propios programas para resolver los problemas sin tener que comprar software costosos y de una complejidad para su comprensin y aplicacin.

4. Los MN es un medio para aprender usar las computadoras, como para estructurar programas y demostrar las limitaciones de las computadoras. Finalmente podemos afirmar que los mtodos numricos permiten reconocer y controlar los errores de aproximacin.

En resumen los mtodos numricos nos permitirn:

1. Solucionar sistemas de ecuaciones algebraicas lineales

; Entonces es solucin nica

Forma grfica.

2. Determinar races de ecuaciones: resolver f(x) para x.

3. Determinar un valor de x para que optimice una funcin

4. Aproximar curvas

5. Integracin: Determinar el rea debajo la curva ,

6. Solucin numrica para ecuaciones diferenciales ordinarias

Dada.

Determinar como funcin de t

7. Solucin numrica de ecuaciones diferenciales parciales En este item debemos destacar que estos modelos son apropiados para caracterizar modelos en ingeniera como: distribucin de temperatura en estado estacionario en una placa, la temperatura en una barra. Dado ,

Determinar u como funcin de x, y. 1.2. INTRODUCCIN

1.2.1. Sistemas de ecuaciones

Comentarios: en este tem aplicaremos la teora de matrices y determinantes para determinar la solucin de un sistema de ecuaciones lineales. Identificaremos las condiciones para que un sistema tenga solucin y extenderemos estos criterios a determinar la solucin de m ecuaciones con n incgnitas.

Definicin: Llamaremos sistema de ecuaciones lineales al conjunto de ecuaciones con dos o ms incgnitas (variables) de tal manera que se verifiquen simultneamente para ciertos criterios asignados a sus incgnitas.Ejemplo:1. ; es un sistema de dos ecuaciones y 2 incgnitas que se verifican simultneamente para .

2. ; es un sistema de 3 ecuaciones y 3 incgnitas que se verifican simultneamente para

3. En general podemos considerar: ; un sistema de 2 ecuaciones y 2 incgnitas que se verifican simultneamente para un nmero real determinado de .

4. En general se pueden considerar m ecuaciones y n incgnitas.

1.2.2. SOLUCIN DE UN SISTEMA DE ECUACIONES

Si existe la solucin de un sistema de ecuaciones esto depende del nmero de incgnitas o variables; esto es:

a) Si el sistema tiene dos ecuaciones, la solucin si existe tendr dos incgnitas; es decir y se llamar par ordenado.

b) Si el sistema tiene 3 ecuaciones la solucin tendr tres incgnitas; es decir y se llamar triada o terna.

c) Si el sistema tiene n ecuaciones la solucin tendr n incgnitas; es decir y se llamar n-ada.

Definicin: Llamaremos conjunto solucin al conjunto de valores formado por todas las soluciones del sistema.

Ejemplos:

1. ; entonces es solucin nica

Forma grfica.

2. Sea ; estas dos ecuaciones son equivalentes pues una ecuacin depende de la otra.

La solucin es ; es decir es una solucin del sistema para cualquier valor de real. En otras palabras el sistema tiene infinitas soluciones por decir:

Forma grfica.

3. Sea el sistema:; el sistema no tiene solucin pues la primera fila contradice a la segunda; es decir es un sistema inconsistente o incompatible.Forma grfica.

1.2.3. SISTEMA DE m ECUACIONES LINEALES CON n INCOGNITAS

Debemos resaltar que muchos problemas prcticos y reales se reducen a un sistema de ecuaciones de este tipo, para ver esto se puede recurrir a cualquier documento de investigacin de operaciones. Por decir: Problema de Dietas, Problemas de mano de obra, Problema de inversin, problema de fabricar productos, problema de transporte, etc.En general este sistema ser representado por:

Donde:

; el sistema (1) se puede escribir:

1.2.4. FORMA MATRICIALEl sistema (1) se puede escribir:

Es decir:

Donde:

; es llamada matriz de coeficientes.

; es llamado vector de variables, entidades, incgnitas.

; es llamado vector independiente, bienes y requerimientos.1.3. EXISTENCIA Y UNICIDAD DE SOLUCIONES

Resolver consiste en determinar los vectores que cumplan los requerimientos.

Si para todo , el sistema se llama homogneo y si el sistema es no homogneo.

Supongamos que es definida la siguiente matriz llamada aumentada del sistema ; formada por la matriz de coeficientes y adjuntando el vector independiente ; as:

Si el rango de la matriz de coeficientes y de la matriz aumentada son iguales entonces el sistema (1) es consistente; es decir tiene solucin. En otras palabras caso contrario el sistema es inconsistente esto es no tiene solucin.

Si el sistema es consistente y ocurrir que entonces el sistema tiene solucin nica.

Si el sistema es consistente y ocurre que entonces el sistema tiene infinitas soluciones.

Grficamente:Ejemplificacin:a) Dado el sistema:

Como , entonces el sistema es inconsistente; es decir no tiene solucin.

b) Si el sistema fuera homogneo es decir

, es decir: en este caso existe un nmero infinito de soluciones.

1. Dado el sistema de ecuaciones:

Entonces el sistema tiene una nica solucin

1.4. MTODOS DIRECTOS DE SOLUCIN 1.4.1. Mtodos diagonales

Definicin: Se llama sistemas de ecuaciones diagonales a los arreglos especiales en forma de una diagonal:

Ejemplo:

Solucin:

Observaciones:

1. La matriz de coeficientes es una matriz diagonal.

2. El conjunto solucin es obtenido dividiendo cada elemento del vector independiente (insumos, condiciones) por cada respectivo elemento de la matriz diagonal.

3. Una matriz diagonal en general se representa de la siguiente forma:

; es decir

4. El sistema de ecuaciones lineales diagonal ser:

5. Determinado su solucin general

En general comprobamos que son las soluciones del sistema.

1.4.2. MTODO TRIANGULAR INFERIOR

Definicin: Se llama sistema de ecuaciones triangular inferior a los sistemas de ecuaciones que al momento de escribir en forma matricial la matriz de coeficientes es una matriz triangular inferior

Ejemplo:

Solucin:

Observacin:

1. La matriz de coeficientes es una matriz triangular inferior.

2. El sistema se puede escribir de la siguiente manera

3. El conjunto solucin del sistema triangular es obtenido de la siguiente manera.

Primero: suponiendo que para todo

Segundo: el valor de se obtiene a partir de la primera ecuacin del sistema; es decir:

Tercero: el valor de se obtiene de la segunda ecuacin sustituyendo el valor de ; es decir:

Cuarto: Los valores de son obtenidos de manera anloga:

1.4.3. MTODO TRIANGULAR SUPERIOR

Definicin: Se llama sistema de ecuaciones triangular superior a los sistemas de ecuaciones que al momento de escribir en forma matricial la matriz de coeficientes es una matriz triangular superior. Ejemplo:

Solucin:

Observacin:1. La matriz de coeficientes es una matriz triangular superior.

2. El sistema se puede escribir de la siguiente manera

3. La solucin del sistema triangular superior se obtiene de la siguiente manera.

Primero: iniciamos determinando el valor de la ltima variable en este caso a partir de la ltima fila.

Segundo: para determinar el subsiguiente valor se realiza as:

Tercero: Los valores de son obtenidos de manera anloga:

1.4.4. MTODO DE KARL GAUSS

Kart Gauss(1777-1855) fue uno de los ms destacados matemticos del siglo XIX fue de origen alemn naciendo en Brunswick, en una familia de una economa precaria dedicada a las actividades urbanas desempendose generalmente como obrero.Gauss mostr desde muy temprana edad sus condiciones de matemtico y justamente uno de sus tantos aportes al rea de la ciencia fue su metodologa para solucionar sistemas de ecuaciones por los aos de 1811.Gauss a los 30 aos fue catedrtico en matemticas en Gottingen hasta su muerte a los 77 aos. Debemos destacar que a Gauss se le llamaba el prncipe de las matemticas y fue condecorado por Geroge V. rey de Hannover.

El mtodo de Gauss para solucionar un sistema de ecuaciones llamado tambin eliminacin Gaussiana.Supongamos que se tiene un sistema de ecuaciones con una nica solucin y que no, se tiene ninguna dificultad para encontrar dicha solucin luego se procede as:a) Un proceso de eliminacin hacia delante.

1. Eliminamos el primer trmino de la segunda ecuacin; multiplicando a la primera ecuacin por y restndolo del primer trmino de la segunda ecuacin para eliminar el primer trmino de la segunda ecuacin; luego se multiplica a la primera ecuacin por y se resta del primer trmino de la tercera ecuacin y as sucesivamente para las restantes ecuaciones se elimina restando la primera ecuacin multiplicada por , quedando el sistema as:

En donde:

2. Eliminamos del segundo trmino de las ecuaciones del sistema (1) donde la tercera ecuacin hasta la ltima se realiza anlogamente que en la primera parte es decir: restamos la segunda ecuacin del sistema multiplicada por y as continuamos eliminando los terceros trminos de las ecuaciones restantes, finalmente se llega a una triangulacin total; as:

Observacin: 1. A los trminos principales de cada ecuacin se le llama pivote.2. Se puede normalizar cada ecuacin, y para ello slo se divide por el coeficiente principal, fenmeno que no se usa en la eliminacin Gaussiana la razn es por el aumento del tiempo computacional.b) Un proceso de sustitucin hacia atrs.

Este proceso consiste en usar la solucin de un sistema triangular superior explicado anteriormente.

Debemos destacar que esta metodologa de eliminacin Gaussiana se puede trabajar slo con los elementos de la matriz aumentada es decir:

Una vez realizada la eliminacin Gaussiana, utilizamos el algoritmo del sistema triangular superior para solucionar completamente el sistema de ecuaciones.

Ejemplos:1. Resolver el siguiente sistema usando eliminacin Gaussiana.

Primera fase: Triangulacin de la matriz aumentada.

a) Determinando la matriz aumentada

b) Realizando operaciones elementales de matrices segn el mtodo.

Segunda fase: Determinacin de los valores de las variables

,

Ahora comprobaremos los resultados usando MATLAB para hacer las operaciones elementales por fila.

>> A=[2 1 -3;-1 3 2;3 1 -3]

A = 2 1 -3

-1 3 2

3 1 -3

>> b=[-1 12 0] b = -1 12 0

>> A=[A b']

A = 2 1 -3 -1

-1 3 2 12

3 1 -3 0

>> format rat

>> A(2,:)=A(2,:)+A(1,:)/2

A =

2 1 -3 -1

0 7/2 1/2 23/2

3 1 -3 0

>> A(3,:)=A(3,:)-3*A(1,:)/2

A =

2 1 -3 -1

0 7/2 1/2 23/2

0 -1/2 3/2 3/2

>> A(3,:)=A(3,:)+A(2,:)/7

A = 2 1 -3 -1

0 7/2 1/2 23/2

0 0 11/7 22/7

Solucionando este sistema triangular superior con el mtodo de sustitucin regresiva obtenemos:

>> sts(A,b,3)

x=

1.000000000000

3.000000000000

2.000000000000

2. Resolver el siguiente sistema usando eliminacin Gaussiana.

Primera fase: Triangulacin de la matriz aumentada.

a) Determinando la matriz aumentada

b) Realizando operaciones elementales de matrices segn el mtodo.

Segunda fase: Determinacin de los valores de las variables

;

Ahora comprobaremos los resultados usando MATLAB.

A=[3 2 -3;1 3 -2;5 -2 4] % ingresamos la matriz de coeficientesA = 3 2 -3

1 3 -2

5 -2 4

b=[-2 1 13] % ingresamos el vector de trminos independientesb = -2 1 13

x = inv(A)*b' % encontramos el valor de xx = 1

2

3

3. Resolver el siguiente sistema usando eliminacin Gaussiana:

Primera fase: Triangulacin de la matriz aumentada.

a) Determinando la matriz aumentada

b) Realizando operaciones elementales de matrices segn el mtodo.

Segunda fase: Determinacin de los valores de las variables

;

Ahora usamos MATLAB para comprobar los resultados con el programa de gauss.

A=[2 3 4;-4 5 -1;1 -2 3]

A = 2 3 4

-4 5 -1

1 -2 3

b=[9 7 3]

b = 9 7 3

x=inv(A)*b'

x = -1.0000

1.0000

2.00001.4.5. MTODOS DE FACTORIZACIN

DESCOMPOSICIN LU APLICACIONESAnteriormente ya se ha escrito que un sistema de n ecuaciones con n incgnitas se puede escribir de la siguiente manera

O simplemente:

Supongamos que la matriz se puede escribir como el producto de , donde

: es una matriz triangular inferior de orden nxn

: es una matriz triangular superior de orden nxn

Es decir:

Cuando es posible factorizar se dice que tiene una descomposicin , pero esto no ocurre de una nica forma.Cuando La matriz se transforma en una matriz triangular inferior unitaria; en este caso se le llama FACTORIZACIN DE DOOLITTLE.La otra manera seria transformando a en una matriz triangular superior unitaria se le conoce con el nombre de FACTORIZACIN DE CROUT.Cuando U =Lt de modo que lii es igual a uii para se le llama descomposicin de CHOLESKY. Esta descomposicin de Cholesky requiere de varias propiedades especiales, la matriz A debe ser real, simtrica y definida positiva. Por ejemplo para una matriz 4x4 se tiene.

EMBED Equation.3

Es decir:

EMBED Equation.3 Observacin:a) Para ;

b) Para

c) El primer rengln fila de es igual al de ; es decir:

d) Multiplicamos la segunda fila, la tercera fila y la cuarta fila de por la primera columna de

e) Multiplicando la segunda fila de , por la segunda, tercera y cuarta columna de y la igualamos con los elementos de , se tiene:

Determinamos:

En general el algoritmo de descomposicin LU es la que sigue:

1.4.6. MTODO DE FACTORIZACIN DE DOOLITTLEConsideremos una matriz de tres por tres:

L11 = L22 = L33 = 1, luego desarrolla el sistema de ecuaciones as:u11 = a11, u12 = a12 , u13 = a13Continuando

L21 = a21/a11, u22 = a22 (a21/a11) a12, u23 = a23 (a21/a11)a13Del otro grupo de ecuaciones tenemos

Ejemplo: Supongamos que tenemos el siguiente sistema de ecuaciones

SolucinEste sistema se descompone as:

Luego:

Para resolver el sistema dado se sigue los siguientes pasos:Primero: Resolvemos Lc = b

I.e.

C1 = 5; C2 = 3 - 0.5 (5) C2 = 0.5

C3 = 4 0.25 (5) (2.5) (0.5) = 4 -1.25 1.25 C3 = 1.5

Segundo: Resolver Ux = c

x3 = -0.15

x2 = 2.5

x1 = 6.95Generalizacin

1.4.7. MTODO DE CHOLESKYMatriz Positiva:

Diremos que una matriz simtrica A, es positiva si solo si los determinantes de las sub matrices de A son positivos.

Supongamos que tenemos el sistema en la forma LU toma la forma de LLT, en donde L es una matriz triangular inferior i.e.

Observacin:

Los clculos se reducen pues estimaremos n (n+1)/2 elementos, los Lij 0 en lugar de de n2 elementos de una factorizacin nominal:Ejemplo: Resolver el sistema siguiente

La matriz de coeficiente es simtrica y positiva, luego aplicamos Cholesky. Supongamos su descomposicin sea:

i) Resolver el sistema LC=b

ii) Resolver el sistema LTx = C

Generalizacin para un sistema de n ecuaciones

1.5. RESOLUCIN DE SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES POR MTODOS ITERATIVOS

Debemos resaltar que lo mtodos vistos hasta la actualidad para solucionar sistemas de ecuaciones algebraicas lineales son muy caros computacionalmente.

Estos mtodos exigen una memoria de mquina proporcional al cuadrado del orden de la matriz de coeficiente A.

De igual manera se producen grandes errores de redondeo como consecuencia del nmero de operaciones.Debemos mencionar que en estos mtodos necesitan tener una aproximacin inicial de la solucin y no esperamos tener una solucin exacta aun cuando todas las operaciones se realicen utilizando una aritmtica exacta. Pero podemos decir que en muchos casos son mas efectivos que los mtodos directos por requerir mucho menos esfuerzo computacional y sus errores se reducen, esto es cierta cuando la matriz es dispersa es decir cuando la matriz tienen un alto porcentaje de elementos nulos.

En esta oportunidad estudiaremos mtodos ms efectivos que ha permitido solucionar sistemas de hasta 1000 ecuaciones y variables a un ms, sistemas que se presentan en la solucin numrica de ecuaciones diferenciales parciales (EDP).

Supongamos que tenemos el sistema

Ax = b

(1)

Luego podemos escribir como:

Ax b = 0 (2)

Que es una ecuacin vectorial que se puede escribir as:

f (x) = 0 (3)

El propsito es buscar una matriz B y su vector C de tal forma que la ecuacin vectorial es la siguiente:

x = B x + C (4)Sea un arreglo de la ecuacin (1) ie que la solucin de una ecuacin sea tambin solucin de la otra ecuacin, luego se propone lo siguiente:

Primero: Proponer un vector inicial x(0) como la primera aproximacin al vector solucin xSegundo: calcular la sucesin de vectores que son soluciones aproximadas

Usando:

Donde:

Observacin:

Para que la sucesin de soluciones converja a x vector solucin es necesario que se aproxime al vector ie decir sean menores que un valor pequeo fijado previamente y que se mantengan menores para todos los vectores siguientes de la iteracin. Es decir:

La forma como llegar a la ecuacin x = Bx + C se define al algoritmo y su convergencia.

Sea dada el sistema

Con a11 0, a22 0, a33 0

De tenemos que:

. . . . . . . . . . . . . (5)

. . . . . . . . . . . . . . . . (6)

Una vez que es determinada la ecuacin (6) se propone un vector inicial x(0) que puede ser x(0) = 0 cero o algn otro vector que sea aproximado al vector solucin x.

Para determinar la sucesin buscada de solucin iterativo tenemos dos formas:

a) Mtodo de Jacobi (Desplazamiento simultaneo)b) Mtodo de Gauss Seidel (Desplazamiento sucesivo)

1.5.1. MTODO DE DESPLAZAMIENTO SIMULTNEO DE JACOBI

Si es el vector de aproximacin a la solucin x despus de R iteraciones, entonces, tendremos la siguiente aproximacin

Fenmeno que se puede generalizar para n ecuaciones

1.5.2. MTODO GAUSS SEIDEL DESPLAZAMIENTO SUCESIVOEste mtodo se diferencia del anterior en que los valores que se van calculando en la (R + 1) sima iteracin se usan para calcular los valores restantes de esa misma interaccin ie

Ejemplo:

Solucin:

Valor InicialCuando no tenemos una aproximacin inicial del vector solucin, se usa como vector inicial el vector cero, ie

Mtodo de JacobiPara determinar x(1) reemplazamos x(0) en el sistema dado ie

Determinando x(2)

R

00.00000.00000.00000.0000

10.25000.25000.25000.2500

20.31250.37500.37500.3125

30.34380.4219

40.35550.4414

50.36040.4492

60.32230.4524

70.36310.4537

80.36340.4542

90.36350.4544

100.36360.45450.45450.3636

Mtodo de Gauss Seidel

Determinacin del

Observacin:

1. La sucesin de vectores converge o se aleja del vector solucin

2. Cuando se detendr el proceso iterativo

Rpta: Si la sucesin converge a la solucin x caso esperado que los componentes de x(R) converjan a sus elementos.

ALGORITMO DE LOS MTODOS DE JACOBI GAUSS SEIDEL

Para solucionar el sistema de Ax = b

Datos:Nmero de ecuaciones N

La matriz de coeficientes A

El vector de trminos independientes b

El vector inicial x

El nmero de iteracin MATIZ

El valor de Eps. y M = 0 para usar Jacobi y M 0 para usar Gauss Seidel obtenemos la solucin aproximada x y el nmero de iteraciones K o el mensaje No se alcanz la convergencia

Paso1:Arreglar la matriz aumentada de manera que la matriz coeficiente quede lo ms cercano posible a la diagonal dominante

Paso2:Hace K = 1

Paso3:Mientras K Maxit repetir los pasos 4 a 18

Paso4:Si M = 0 ir al paso 5 de otro modo hacer x = x

Paso5:Hacer I = 1

Paso6:Mientras I N repetir los pasos 7 al 14

Paso7:Hacer suma = 0

Paso8:Hacer J = 1

Paso9:Mientras J N, repetir los pasos 10 a 12

Paso10: Si J = I ir al paso 12

Paso11: Hacer suma = suma + A(IJ) * x(J)

Paso12: Hacer J = J + 1

Paso13: Si M = 0 hacer

x(J) = -(b(J) - suma)/A(JJ)

de otro modo hacer

x(I) = (b(J) suma)/A(JJ)

Paso14: Hacer I = J + 1

Paso15: Si |x x| Eps. Ir al paso 19

de otro modo hacer

Paso16: Si M = 0, hacer x = x

Paso17: Hacer K = K + 1

Paso18: Imprimir mensaje No se alcanz la convergencia, el vector x, MAXIT

Paso19:Imprimir el mensaje Vector Solucin, x, K y el mensaje iteraciones terminada

Ejemplo:

Resolver el siguiente sistema con el mtodo de Gauss Seidel con E = 10-2 aplicando a |xK+1 xK|

SHAPE \* MERGEFORMAT

Resolviendo: x1 de (1) x2 de (2) x3 de (4) y x4 de (3)

Si x0 = (0, 0, 0, 0)T : determinamos:

EL proceso diverge: Luego podemos arreglar las ecuaciones para despejar los diferentes xi y, que despejadas sean distintas, para aplicar el teorema se debe tener solo en cuenta una aproximacin pues caso contrario son raros en donde se encontrara tales sistemas.

Caso contrario se alejanRpta 21. Los valores absolutos sean todos menores de nmero pequeo E cuyo valor ser dado 2. Si el nmero de iteraciones ha excedido un mximo dado3. Detener el proceso una vez que

Cmo asegurar la convergencia si existe?El proceso de Jacobi y Gauss Seidel convergern si en la matriz de coeficiente cada elemento de la diagonal principal es mayor que la suma de los valores absolutos de todos los dems elementos de la misma fila o columna (matriz diagonal dominante) e

1.6. CONVERGENCIA

1.6.1. LONGITUD DE UN VECTOR

Supongamos x un vector en R2, su longitud denotado por |x| es definido como un nmero positivo o cero.

,

En trminos de producto punto

,

Ejemplo: sea determinar su norma

Solucin

;Debemos tener en consideracin que el campo de los nmeros reales R tiene el defecto de que un polinomio de grado n con coeficientes reales no necesariamente tiene n ceros reales

Por ejemplo carece de ceros reales, este defecto se supera extendiendo el campo de tal manera que contenga al elemento i, elemento que se caracteriza por la ecuacin , que es el campo C de los nmeros complejos en donde sus elementos tienen la forma : x=a+bi , en donde a, b son reales.

Su conjugado, norma, o modulo, se le define:

; ,

,

Observe que:

1. ,

2. El campo de los complejos ya no tiene la anomala de los reales, es mas tenemos el teorema fundamental del algebra, que establece que todo polinomio no constante con coeficientes complejos tiene al menos un cero en el plano complejo.

3. La afirmacin anterior permite afirmar que todo polinomio de grado n se puede descomponer como un producto de n factores lineales.

1.6.2. ESPACIO VECTORIAL Cn

El espacio vectorial Cn, esta compuesto de todos los vectores en donde los , Si al vector complejo x es multiplicado por tambin complejo el resultado es otro vector complejo as:

,

En consecuencia Cn, es un espacio vectorial sobre el cambo de escalares C. En consecuencia en este espacio Cn. El producto interno se define:

,1.6.3. NORMA DE VECTORES

Una norma en Rn es una funcin de || || de Rn en R que verifica las propiedades:

1. ,

2. ,3. .4. ,

La norma Euclidiana se define:

,

Podemos observar que,

1. ,

2. ,

3. ,

Consideremos A una matriz con elementos complejos, y A* denota su conjugada transpuesta es decir en particular, si x es una matriz de nx1 (o vector columna), entonces , es una matriz de 1xn o vector fila,

,

,

En general podemos definir norma de un vector x

,Como casos particulares tenemos la norma Euclidiana cuando p=2

,Mximo valor absoluto

Propiedades

1. ,

2. ,

3. ,

Estas propiedades son familiares en relacin a la norma Euclidiana o longitud de un vector.

La norma de una matriz cuadrada, A , puede ser definida en forma consistente con la definicin de norma de un vector:, (x),

La norma de es donde es el mximo valor caracterstico de At.A. Tambin

Estas normas definidas satisfacen ,

La norma llamado generalmente norma infinito

: ,

Ejemplo: Dado el vector determinar sus normas Euclidiana infinito:

,

,

1.6.4. DISTANCIA EN ENTRE VECTORES

Dado dos vectores en Rn, ,, la distancia I2 y , entre x e y se definen :

,

,

Ejemplo: Dado el sistema:

3.3330x1+ 1.5920x2 10.333x3 =15.9132.2220x1+ 16.710x2 +9.6120x3 =28.5441.5611x1+ 5.1791x2 +1.6852x3 =8.4254

Consideremos la solucin inicial , , usamos eliminacin de Gauss con Pivoteo parcial usando aritmtica de cinco cifras con redondeo, obtenemos la siguiente solucin:

,

Las dos medidas de la exactitud de aproximacin de a x son:

,

,

,

Observamos que las componentes y son buenas aproximaciones a x2 y a x3, y la primera componente es una aproximacin muy pobre en trminos de distancias de ambas normas.

Pues el trmino de distancia en Rn , es utilizada para definir el limite de una sucesin de vectores.

Diremos que una sucesin de vectores converge a x con respecto a la norma si dado cualquier existe un entero tal que:

,

Ejemplo. Dada la sucesin definida:

,

Tenemos que,

,

Es as que para cualquier posemos encontrar un numero entero de tal manera que para todos los nmeros son menores que lo que nos afirma esto es que la sucesin converge a con respecto a la norma .

1. Los siguientes trminos son equivalentes:

2. La sucesin de vectores , converge a x con respecto a alguna norma.

3. La sucesin de vectores , converge a x con respecto a todas las normas.

4. El , la componente i-sima de x, para cada i =1,2,..,n sucesin de vectores , converge a x con respecto a alguna norma.

1.6.5. NORMAS MATRICIALES

Una norma matricial en el espacio de matricial nxn es una funcin de variable real que verifica las siguientes condiciones para todas las matrices A y B de dimensin nxn y todos los nmeros reales.

1. ,

2. 3. ,4. ,5. .

1.6.6. LA DISTANCIA ENTRE MATRICES La distancia entre dos matrices A y B de orden nxn con relacin a una norma es , sin embargo debemos decir que existen varas formas de obtener normas matriciales, pero las que consideraremos son las que se obtienen de forma natural.

NORMA MATRICIAL MXIMO O SUBORDINADA

Es la norma , vectorial en Rn, la cual se le define sobre el conjunto de todas las matrices de orden nxn as:

: ,

Consecuentemente las normas que consideramos son:

,

,

Cuando n=2 su interpretacin grfica es:

,

Norma de una matriz

,

Ejemplo: dada la matriz Determinar ,

Solucin

,

,

,

,

1.6.7. COMPARACIN DE LOS MTODOS DIRECTOS E INDIRECTOS Debemos resaltar que lo mas importante del anlisis numrico es conocerlas caractersticas es decir las ventajas y desventajas de los mtodos numricos bsicos que solucionen una familia de problemas, para elegir el algoritmo mas adecuado para cada problema.

Ventajas Desventajas

1. Probablemente los mtodos iterativos son mas eficientes que los directos para sistemas de orden muy alto. 1. Si se tienen varios sistemas que comparten la matriz de coeficientes, esto no representara ahorro de calculo ni tiempo de maquina, ya que por cada vector a la derecha de A tendr que aplicarse el mtodo de seleccin.

2. Mas simples de programar2. A un cuando la convergencia se encuentre asegurada, puede ser lenta y, por lo tanto, los clculos requeridos para obtener una solucin particular no son predecibles.

3. Puede aprovecharse un aproximacin a la solucin s tal aproximacin existe. 3.El tiempo de maquina y la exactitud del resultado dependen del criterio de convergencia.

4. Se obtienen fcilmente aproximaciones burdas de la solucin 4. Si la convergencia es lenta , los resultados deben de interpretarse con cautela.

5. Son menos sensible a los errores de redondeo (valioso en sistemas mal condicionadas)5. No se tiene ventaja particular alguna (tiempo de maquina por iteracin) s la matriz de coeficientes es simtrica.

6. Se requiere menos memora de maquina. Generalmente, las necesidades de memoria son proporcionales al orden de la matriz.6.No se obtiene la inversa ni det(A)

1.7. MTODOS DEL DESCENSO MS RPIDO Y DEL GRADIENTE CONJUGADO

En esta oportunidad reflexionaremos sobre algunos mtodos especiales para resolver sistemas de ecuaciones lineales

,

En donde la matriz A es de orden nxn simtrica y definida positiva, en otras palabras y , debemos recordar que el producto escalar de dos vectores X ,Y de componentes reales es:

,

Propiedades

1. ,

2. ,

3. ,

4. ,

Observemos que la propiedad 1 se refiere al orden de los elementos, 2, y 3 indican que se pueden invertir.

Recordemos que si A es simtrica y definida positiva, entonces el problema de resolver Ax=b es equivalente al problema .

Veamos por que esta afirmacin es cierta; primero veamos como se comporta q(x) a lo largo de un rayo unidimensional. Para lo cual consideremos x+tv en donde x y v son vectores y t un escalar grficamente tenemos

Mediante un calculo directo tenemos que para todo escalar t :

.

.

.

.................................................................(*)

Como A es simtrica es decir AT =A, entonces en la ecuacin (*) el coeficiente de t2, es positivo, de esta manera la funcin cuadrtica sobre el rayo unidimensional tiene un mnimo y no un mximo.

Calculando la derivada de la ecuacin (*) con respecto a t.

,

Cuando la derivada es cero, existe un mnimo de q a lo largo del rayo unidimensional en este caso el valor de t es: , en consecuencia usando este valor podemos determinar el mnimo de q sobre el rayo unidimensional.

.

.

.

.............................................................................................(**)

Lo que quiere decir esto que al pasar q(x) de x a , siempre hay una reduccin en el valor de q(x), a menos que v sea ortogonal al residuo es decir

Si x no es una solucin del sistema Ax=b entonces existen una diversidad de vectores que satisfacen

Por lo tanto s entonces x no minimiza q(x) y por lo contrario si Ax=b no existe ningn rayo unidimensional que salga de x sobre el cual q(x) tome un valor menor a q(x), en consecuencia una x con las caractersticas es un mnimo para q(x).

Debemos manifestar que la reflexin anterior sugiere la existencia de los mtodos iterativos para resolver Ax=b, luego entonces procedemos de manera natural por minimizar q(x) a lo largo de una sucesin de rayos. Es decir el algoritmo dispondr de un proceso de:,

En seguida nos preocupa determinar la direccin de bsqueda adecuada Nuestro algoritmo ser:,

En donde

,

Debemos decir que una diversidad de mtodos iterativos tienen la forma general:

. Para valores particulares del escalar tK, y los valores de vK, si , entonces tk, mide la distancia que nos movemos de xK, para hasta la obtencin de xk+1, ver la siguiente figura.

Figura No. Representacin del movimiento a lo largo del vector de direccin vKMTODO DEL DESCENSO MS RPIDO

Este mtodo se le considera dentro del grupo de mtodos iterativos que usan el algoritmo anterior, considera que vK, debera ser el gradiente negativo de q(x) en x(k), resultando que este gradiente apunta en la direccin del residuo Es decir tenemos:input x(0), A, b, M

output 0, x(0)for k=0,1,2,, M-1 do

,

.

output k+1, x(k+1)end

Debemos destacar al programar este algoritmo no es necesario conservar los vectores de la sucesin , lo mismo ocurre con , de manera el algoritmo seria:

input x, A, b, M

output 0, x)for k=0,1,2,, M-1 do

,

.

output k, x)end

Debemos destacar que este mtodo generalmente no se aplica a este tipo de problemas como consecuencia de su lentitud.MTODO DEL GRADIENTE CONJUGADO Otro mtodo considerado dentro del algoritmo analizado anterior es el mtodo del gradiente conjugado de Hestenes y Stiefel, el cual es aplicado a sistemas de la forma Ax=b, en donde A es considerada simtrica y definida positiva.

En este mtodo las direcciones vK , son elegidas de una en una en el proceso iterativo y forman un sistema A-ortogonal, los residuos forman un sistema ortogonal es decir ,

Debemos decir que este mtodo es preferible que el mtodo de eliminacin Gaussiana simple cuando la matriz A es muy grande y rala.Este mtodo en su inicio fue muy sorprendente e importante pero despus de dos dcadas las cosas ya no fue as como consecuencia que se descubri que la terminacin finita no era asequible en la prctica.

Pues la terminacin finita era indeseable para un mtodo directo, sin embargo posteriormente cuando se le considero como un mtodo iterativo las cosas fue diferente, pues en estos mtodos no es necesario obtener una solucin absoluta despus de n pasos lo que se espera es obtener una respuesta satisfactoria.

La ejecucin del algoritmo en una computadora precisa de un lugar de almacenamiento para cuatro vectores ,

MTODO DE RELAJACIN DE SOR Este mtodo es muy similar al mtodo de Jacobi y Gauss Seidel se diferencia por usar una escala para reducir el error de aproximacin, es una metodologa mas reciente, para determinar X(k) lo realiza con el modelo:,0bsevemos que cuanto w=1, tenemos de Gauss-Seidel, cuanto 0