Sistema de Ecuaciones Lineales Metodos Numericos
58
UNIVERSIDAD NACIONAL DE HUANCAVELICA – INGENIERIA CIVIL 5 de noviembre de 2012 SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES UNH Página 1
-
Upload
hector-quispe-chancas -
Category
Documents
-
view
82 -
download
1
Transcript of Sistema de Ecuaciones Lineales Metodos Numericos
UNIVERSIDAD NACIONAL DE HUANCAVELICA – INGENIERIA CIVIL5 de
noviembre de 2012
SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES
UNH Página 1
UNIVERSIDAD NACIONAL DE HUANCAVELICA – INGENIERIA CIVIL5 de
noviembre de 2012
METODO DE GAUSS SIMPLE
UNH Página 2
UNIVERSIDAD NACIONAL DE HUANCAVELICA – INGENIERIA CIVIL5 de
noviembre de 2012
1. SEA LA SIGUIENTE ECUACION LINEAL
2. Ejercicios resueltos del método de Gauss
UNH Página 3
UNIVERSIDAD NACIONAL DE HUANCAVELICA – INGENIERIA CIVIL5 de
noviembre de 2012
3. Ejercicios resueltos del método de Gauss
UNH Página 4
UNIVERSIDAD NACIONAL DE HUANCAVELICA – INGENIERIA CIVIL5 de
noviembre de 2012
METODO DE GAUSS JORDAN
Desarrollo
El Método de Gauss – Jordan o también llamado eliminación de Gauss – Jordan, es un método por el
cual pueden resolverse sistemas de ecuaciones lineales con n números de variables, encontrar
matrices y matrices inversas, en este caso desarrollaremos la primera aplicación mencionada.
Entonces, anotando como matriz (también llamada matriz aumentada):
Una vez hecho esto, a continuación se procede a convertir dicha matriz en una matriz identidad, es
decir una matriz equivalente a la original, la cual es de la forma:
Esto se logra aplicando a las distintas filas y columnas de las matrices simples operaciones de suma,
resta, multiplicación y división; teniendo en cuenta que una operación se aplicara a todos los
elementos de la fila o de la columna, sea el caso.
Obsérvese que en dicha matriz identidad no aparecen los términos independientes, esto se debe a que
cuando nuestra matriz original alcance la forma de la matriz identidad, dichos términos resultaran ser la
solución del sistema y verificaran la igualdad para cada una de las variables, correspondiéndose de la
siguiente forma:
d1 = x
d2 = y
d3 = z
1. SEA LA SIGUIENTE ECUACION LINEAL:
UNH Página 5
UNIVERSIDAD NACIONAL DE HUANCAVELICA – INGENIERIA CIVIL5 de
noviembre de 2012
2. SEA LA SIGUIENTE ECUACION LINEAL:
3. SEA LA SIGUIENTE ECUACION LINEAL:
UNH Página 6
UNIVERSIDAD NACIONAL DE HUANCAVELICA – INGENIERIA CIVIL5 de
noviembre de 2012
UNH Página 7
UNIVERSIDAD NACIONAL DE HUANCAVELICA – INGENIERIA CIVIL5 de
noviembre de 2012
Entonces X= 1.384 Y= -2.500 Z=-1.5769
UNH Página 8
UNIVERSIDAD NACIONAL DE HUANCAVELICA – INGENIERIA CIVIL5 de
noviembre de 2012
METODO DE CRAMER
Un sistema de ecuaciones lineales se dice de Cramer cuando cumple las siguientes condiciones:
Es un sistema cuadrado, con igual número de ecuaciones que de incógnitas.
El determinante de la matriz de los coeficientes asociada es distinto de cero.
En consecuencia, un sistema de Cramer es siempre compatible determinado (tiene una solución
única). Para calcular la incógnita xi del sistema de ecuaciones lineales, se sustituye la columna i de la
matriz de coeficientes por los términos independientes, se obtiene el determinante de la matriz
resultante y se divide este valor por el del determinante de la matriz de los coeficientes. Por tanto, la
solución de un sistema de Cramer se obtiene hallando cada incógnita Xi según la fórmula:
Siendo Ci la matriz resultante de sustituir la columna de la matriz de los coeficientes correspondiente a
la incógnita por la de los términos independientes.
1. SEA LA SIGUIENTE ECUACION LINEAL:
UNH Página 9
UNIVERSIDAD NACIONAL DE HUANCAVELICA – INGENIERIA CIVIL5 de
noviembre de 2012
2. SEA LA SIGUIENTE ECUACION LINEAL: X+Y-Z=2-X+2Y+Z=43X+Y+Z=6
3. 3.SEA LA SIGUIENTE ECUACION LINEAL: X+2Y-Z = 1 -3X+Y+Z = -5
X-Y+3Z = 5
UNH Página 10
UNIVERSIDAD NACIONAL DE HUANCAVELICA – INGENIERIA CIVIL5 de
noviembre de 2012
UNH Página 11
UNIVERSIDAD NACIONAL DE HUANCAVELICA – INGENIERIA CIVIL5 de
noviembre de 2012
METODO DE GAUSS SEIDEL
En análisis numérico el método de Gauss-Seidel es un método iterativo utilizado para resolver sistemas de ecuaciones lineales. El método se llama así en honor a los matemáticos alemanes Carl Friedrich Gauss y Philipp Ludwig von Seidel y es similar al método de Jacobi.
Aunque este método puede aplicarse a cualquier sistema de ecuaciones lineales que produzca una matriz (cuadrada, naturalmente pues para que exista solución única, el sistema debe tener tantas ecuaciones como incógnitas) de coeficientes con los elementos de su diagonal no-nulos, la convergencia del método solo se garantiza si la matriz es diagonalmente dominante o si es simétrica y, a la vez, definida positiva.
Es un método iterativo, lo que significa que se parte de una aproximación inicial y se repite el proceso hasta llegar a una solución con un margen de error tan pequeño como se quiera. Buscamos la solución a un sistema de ecuaciones lineales, en notación matricial:
donde:
El método de iteración Gauss-Seidel se computa, para la iteración :
Donde
Definimos
y
,
Donde los coeficientes de la matriz N se definen como si , si .
Considerando el sistema con la condición de que . Entonces podemos escribir la fórmula de iteración del método
UNH Página 12
UNIVERSIDAD NACIONAL DE HUANCAVELICA – INGENIERIA CIVIL5 de
noviembre de 2012
(*)
La diferencia entre este método y el de Jacobi es que, en este último, las mejoras a las aproximaciones no se utilizan hasta completar las iteraciones.
Convergencia
Teorema: Suponga una matriz es una matriz no singular que cumple la condición de
ó .
Entonces el método de Gauss-Seidel converge a una solución del sistema de ecuaciones, y la convergencia es por lo menos tan rápida como la convergencia del método de Jacobi.
Para ver los casos en que converge el método primero mostraremos que se puede escribir de la siguiente forma:
(**)
(el término es la aproximación obtenida después de la k-ésima iteración) este modo de escribir la iteración es la forma general de un método iterativo estacionario.
Primeramente debemos demostrar que el problema lineal que queremos resolver se puede representar en la forma (**), por este motivo debemos tratar de escribir la matriz A como la suma de una matriz triangular inferior, una diagonal y una triangular superior A=(L+D+U), D=diag( ). Haciendo los despejes necesarios escribimos el método de esta forma
por lo tanto M=-(L+D)-1U y c=(L+D)-1b
Ahora podemos ver que la relación entre los errores, el cuál se puede calcular al substraer x=Bx+c de (**)
Supongamos ahora que , i= 1, ..., n, son los valores propios que corresponden a los vectores propios , i= 1,..., n, los cuales son linealmente independientes, entonces podemos escribir el error inicial
(***)
Por lo tanto la iteración converge si y sólo si | λi|<1, i= 1, ..., n. De este hecho se desprende el siguiente teorema:
UNH Página 13
UNIVERSIDAD NACIONAL DE HUANCAVELICA – INGENIERIA CIVIL5 de
noviembre de 2012
Teorema: Una condición suficiente y necesaria para que un método iterativo estacionario
converja para una aproximación arbitraria x^{(0)} es que
donde ρ(M) es el radio espectral de M.
Ejercicio resuelto 1
Resuelva el siguiente sistema de ecuaciones lineales usando el método iterativo de Gauss – Seidel
4x1 + 10x2 + 8x3 = 142
2x1 + 6x2 + 7x3 = 89.5
9x1 + 2x2 + 3x3= 56.5
Paso 1.
Ordenar los renglones para que pueda ser resuelto.
9x1 + 2x2 + 3x3= 56.5
4x1 + 10x2 + 8x3 = 142
2x1 + 6x2 + 7x3 = 89.5
Paso 2.
Determinar si puede ser resuelta por este método, determinando si es predominantemente dominante en su diagonal.
Paso 3.
Despejar las variables.
X1 = -2x2/9 – 3x3/9 + 56.5/9 = -0.2222x2 – 0.3333x3 + 6.2778
X2 = -4x1/10 – 8x3/10 +142/10 = - 0.4 – 0.8x3 + 14.2
X3 = - 2x1/7 – 6x2/7 + 89.5/7 = - 0.2857x1 – 0.8571x2 + 12.7857
Paso 4.
Se les asigna un valor inicial de 0 x0 = [0, 0, 0, 0]
Paso 5
UNH Página 14
UNIVERSIDAD NACIONAL DE HUANCAVELICA – INGENIERIA CIVIL5 de
noviembre de 2012
Se substituye esta solución temporal en las ecuaciones para obtener las nuevas x’s., pero solo cuando no se cuente con la anterior
Iteración 1
X1 = - 0.2222 (0) – 0.3333 (0) + 6.2778 = 6.2778
X2 = - 0.4 (6.2778) – 0.8 (0) + 14.2 = 11.6888
X3 = - 0.2857 (6.2778) – 0.8571 (11.6888) + 12.7857 = 0.9736
Se sustituye en alguna ecuación y se observa si el resultado ya es adecuado:
4(6.2778)+ 10(11.6888) + 8(0.9736)=
25.1112 + 116.888 + 7.7888 = 149.788 <> 142
Error = abs (142 – 149.788) = 7.788
Pero si 1% = 1.42 entonces error = 7.78 = 5.48%
Aun el error es muy grande. Se repite el paso 5, pero tomado los valores obtenidos en la ecuación anterior
Iteración 2
X1 = - 0.2222 (11.6888) – 0.3333 (0.9736) + 6.2778 = 3.356
X2 = - 0.4 (3.356) – 0.8 (0.9736) + 14.2 = 12.0787
X3 = - 0.2857 (3.356) – 0.8571 (12.0787) + 12.7857 = 1.4742
Se evalúa en una ecuación en este caso en la ecuación 1
4(3.356) + 120.787 + 8(1.4742)= 146.0046 <> 142
Si 1% = 1.42
error = abs (142 – 146.0046) = 4.0046
entonces error = 2.82%
Iteración 3.
X1 = - 0.2222 (12.0787) – 0.3333 (1.4742) + 6.2778 = 5.0407
X2 = - 0.4 (5.0407) – 0.8 (1.4742) + 14.2 = 11.0043
X3 = - 0.2857 (5.0407) – 0.8571 (11.0043) + 12.7857 = 1.9137
UNH Página 15
UNIVERSIDAD NACIONAL DE HUANCAVELICA – INGENIERIA CIVIL5 de
noviembre de 2012
Se sustituye
4(5.0407)+ 110.043 + 8(1.9137)= 145.51, diferencia 3.51609
error = 2.47%
Iteración 4.
X1 = - 0.2222 (11.0043) – 0.3333 (1.9137) + 6.2778 = 3.1948
X2 = - 0.4 (3.1948) – 0.8 (1.913) + 14.2 = 11.3916
X3 = - 0.2857 (3.1948) – 0.8571 (11.3916) + 12.7857 = 2.1092
Se sustituye
4(3.1948)+ 113.916 + 8(2.1092)= 143.5688, diferencia 1.5688
error = 1.10%
Iteración 5.
X1 = - 0.2222 (11.3916) – 0.3333 (2.1092) + 6.2778 = 3.0435
X2 = - 0.4 (3.0435) – 0.8 (2.1092) + 14.2 = 11.2952
X3 = - 0.2857 (3.0435) – 0.8571(11.2952) + 12.7857 = 2.2350
Se sustituye
4(3.0435)+ 112.952 + 8(2.235)= 143.006, diferencia 1.006
error = 0.7%
METODO DE MATRIZ INVERSA
UNH Página 16
UNIVERSIDAD NACIONAL DE HUANCAVELICA – INGENIERIA CIVIL5 de
noviembre de 2012
1. sea la siguiente ecuación:
UNH Página 17
UNIVERSIDAD NACIONAL DE HUANCAVELICA – INGENIERIA CIVIL5 de
noviembre de 2012
2. SEA LA SIGUIENTE ECUACION LINEAL:
UNH Página 18
UNIVERSIDAD NACIONAL DE HUANCAVELICA – INGENIERIA CIVIL5 de
noviembre de 2012
3. SEA LA SIGUIENTE ECUACION LINEAL:SEA: -3X+Y-Z=-5
UNH Página 19
UNIVERSIDAD NACIONAL DE HUANCAVELICA – INGENIERIA CIVIL5 de
noviembre de 2012
X+2Y+Z=02X + Z=3
UNH Página 20
UNIVERSIDAD NACIONAL DE HUANCAVELICA – INGENIERIA CIVIL5 de
noviembre de 2012
UNH Página 21
UNIVERSIDAD NACIONAL DE HUANCAVELICA – INGENIERIA CIVIL5 de
noviembre de 2012
UNH Página 22
UNIVERSIDAD NACIONAL DE HUANCAVELICA – INGENIERIA CIVIL5 de
noviembre de 2012
UNH Página 23
UNIVERSIDAD NACIONAL DE HUANCAVELICA – INGENIERIA CIVIL5 de
noviembre de 2012
UNH Página 24
UNIVERSIDAD NACIONAL DE HUANCAVELICA – INGENIERIA CIVIL5 de
noviembre de 2012
UNH Página 25
UNIVERSIDAD NACIONAL DE HUANCAVELICA – INGENIERIA CIVIL5 de
noviembre de 2012
UNH Página 26
UNIVERSIDAD NACIONAL DE HUANCAVELICA – INGENIERIA CIVIL5 de
noviembre de 2012
UNH Página 27
UNIVERSIDAD NACIONAL DE HUANCAVELICA – INGENIERIA CIVIL5 de
noviembre de 2012
UNH Página 28
UNIVERSIDAD NACIONAL DE HUANCAVELICA – INGENIERIA CIVIL5 de
noviembre de 2012
UNH Página 29
UNIVERSIDAD NACIONAL DE HUANCAVELICA – INGENIERIA CIVIL5 de
noviembre de 2012
UNH Página 30
UNIVERSIDAD NACIONAL DE HUANCAVELICA – INGENIERIA CIVIL5 de
noviembre de 2012
UNH Página 31
UNIVERSIDAD NACIONAL DE HUANCAVELICA – INGENIERIA CIVIL5 de
noviembre de 2012
UNH Página 32
UNIVERSIDAD NACIONAL DE HUANCAVELICA – INGENIERIA CIVIL5 de
noviembre de 2012
UNH Página 33
UNIVERSIDAD NACIONAL DE HUANCAVELICA – INGENIERIA CIVIL5 de
noviembre de 2012
UNH Página 34
UNIVERSIDAD NACIONAL DE HUANCAVELICA – INGENIERIA CIVIL5 de
noviembre de 2012
UNH Página 35
UNIVERSIDAD NACIONAL DE HUANCAVELICA – INGENIERIA CIVIL5 de
noviembre de 2012
UNH Página 36
UNIVERSIDAD NACIONAL DE HUANCAVELICA – INGENIERIA CIVIL5 de
noviembre de 2012
UNH Página 37
UNIVERSIDAD NACIONAL DE HUANCAVELICA – INGENIERIA CIVIL5 de
noviembre de 2012
UNH Página 38
UNIVERSIDAD NACIONAL DE HUANCAVELICA – INGENIERIA CIVIL5 de
noviembre de 2012
UNH Página 39
UNIVERSIDAD NACIONAL DE HUANCAVELICA – INGENIERIA CIVIL5 de
noviembre de 2012
UNH Página 40
UNIVERSIDAD NACIONAL DE HUANCAVELICA – INGENIERIA CIVIL5 de
noviembre de 2012
UNH Página 41
UNIVERSIDAD NACIONAL DE HUANCAVELICA – INGENIERIA CIVIL5 de
noviembre de 2012
UNH Página 42
UNIVERSIDAD NACIONAL DE HUANCAVELICA – INGENIERIA CIVIL5 de
noviembre de 2012
UNH Página 43
UNIVERSIDAD NACIONAL DE HUANCAVELICA – INGENIERIA CIVIL5 de
noviembre de 2012
UNH Página 44
UNIVERSIDAD NACIONAL DE HUANCAVELICA – INGENIERIA CIVIL5 de
noviembre de 2012
UNH Página 45
UNIVERSIDAD NACIONAL DE HUANCAVELICA – INGENIERIA CIVIL5 de
noviembre de 2012
UNH Página 46
UNIVERSIDAD NACIONAL DE HUANCAVELICA – INGENIERIA CIVIL5 de
noviembre de 2012
UNH Página 47
UNIVERSIDAD NACIONAL DE HUANCAVELICA – INGENIERIA CIVIL5 de
noviembre de 2012
UNH Página 48
