ESCUELA POLITECNICA NACIONAL

ALGEBRA LINEAL

SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES

Se llama sistema de ecuaciones lineales en las variables al siguiente sistema de m ecuaciones con incógnitas

TAMBIÉN SE ESCRIBE DE LA FORMA MATRICIAL

=

ES DECIR EL SISTEMA SE LO PUEDE REPRESENTAR POR:

(A)(X)=BDonde: A es la matriz por los coeficientes del sistema.X es una matriz columna formada por las incógnitas.B es una matriz columna, formada por los términos independientes del sistema.

EJEMPLO:

=

METODO DE GAUSS

El método de Gauss, conocido también como de triangulación o de cascada, nos permite resolver sistemas de ecuaciones lineales con cualquier número de ecuaciones y de incógnitas.Es un proceso que parte estructurando la matriz aumentada constituida por la matriz de coeficientes (A), con la de los términos independientes (K); seguida la matriz (A) se transforma en escalonada, con lo cual se encuentra la solución del sistema. ( A : K ) Matriz aumentada

Proceso•Escribir las ecuaciones del sistema en su forma normal

•Identificar los coeficientes de la incógnita y de los términos independientes.•Construir la matriz aumentada con los coeficientes de las incógnitas y la matriz de los términos independientes•Utilizando las operaciones de fila, la matriz transformarla a escalonada.•En base a la matriz escalonada para el caso de un sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas se trata de obtener un sistema equivalente cuya primera ecuación tenga tres incógnitas, la segunda dos y la tercera una. Se obtiene así un sistema triangular o en cascada de la forma:                                                           Ax + By + Cz = D                                                                    Ey + Fz = G                                                                            Hz = I

Ejemplo 1

Utilizando el método de gauss encontrar la solución del siguiente sistema

solución

3x +2y + z = 1

5x +3y

+4z = 2

x + y - z = 1

Ejemplo 2

Es un proceso que teniendo la matriz aumentada, este la transforma en una matriz triangular reducida por filas, obteniendo directamente los valores de las incógnitas.

METODO DE GAUSS JORDAN

Proceso•Estructurar la matriz aumentada•Utilizar el algoritmo anterior para partiendo de la matriz aumentada llegar a la escalonada•Transformar la matriz escalonada en una matriz de identidad , para lo cual utilizamos operaciones convenientes de filas y columnas •Identificar los valores de las incógnitas y escribir el conjunto solución.

X = 5Y = -3

Z = -2

CLASIFICACIÓN DE LOS SISTEMAS DE ECUACIONES INCONSISTENTE:

Si el sistema no tiene soluciónEjemplo:

La matriz aumentada del sistema lineal es

 En la última fila observamos: No hay valores para el sistema lineal no tiene solución

CONSISTENTE

Si tiene al menos una solución.NO HOMOGÉNEO

No todos los elementos independientes son iguales a 0 Ejemplo:

HOMOGÉNEO

Todos los elementos independientes son iguales a 0

Solución: Trivial: si En donde todas las se anulan. No trivial: no todas las se anulan.

Ejemplo:

  La matriz aumentada del sistema lineal es 

 

 

Solución trivial

Ejemplo:

La matriz aumentada del sistema es

 

 

 

Donde Solución no trivial, el sistema lineal tiene infinidad de soluciones.

Por ejemplo para

  

SOLUCIONES DE UN SISTEMA DE ECUACIONES :

Una vez aplicado Gauss o Gauss Jordan el sistema.1.-Tiene única solución si el numero de ecuaciones es igual al numero de incógnitas.2.-Tiene infinitas soluciones si el numero de ecuaciones validas es menor al numero de incógnitas.3.-No tiene solución si el numero de filas no nulas de la matriz de coeficientes es distinta al numero de filas no nulas de la matriz ampliada.