INSTITUTO EDUCATIVO DE LA CUENCA DEL PAPALOAPAN.

MATERIA:

MATEMATICAS.

DOCENTE:

NAYELI DOMÍNGUEZ PÉREZ.

UNIDAD II

SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES.

INTEGRANTES:

Bernardo Cipriano Peña

Marco Eduardo Acosta Jiménez

José Emmanuel Fercano Carlos

Francisco Javier Sevilla Martínez

Martin Gómez Mayora

Lidni Joahana López Hernández

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CONTENIDOINTRODUCCIÓN.....................................................................................................................................3

REPRESENTACION GRAFICA..............................................................................................................4

ESCALONAMIENTO...............................................................................................................................7

ELIMINACION DE GAUSS......................................................................................................................8

METODO DE GAUSS-JORDAN...........................................................................................................11

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INTRODUCCIÓN

Se denomina ecuación lineal a aquella que tiene la forma de un polinomio de primer grado, es decir,Las incógnitas no están elevadas a potencias, ni multiplicadas entre si, ni en el denominador.

Por ejemplo, 3x + 2y + 6z = 6 es una ecuación lineal con tres incógnitas.Como es bien sabido, las ecuaciones lineales con 2 incógnitas representan una recta en el plano.Si la ecuación lineal tiene 3 incógnitas, su representación grafica es un plano en el espacio.Un ejemplo de ambas representaciones puede observarse en la figura:

Figura 7.1: Representación grafica de la recta −x + 2y = 3 en el plano y del plano x + y + z = 1En el espacio

El objetivo del tema es el estudio de los sistemas de ecuaciones lineales, es decir, un conjunto deVarias ecuaciones lineales. Diremos que dos ecuaciones son equivalentes si tienen las mismas soluciones,o geométricamente representan la misma recta o plano.

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INSTITUTO EDUCATIVO DE LA CUENCA DEL PAPALOAPAN.REPRESENTACION GRAFICA

I. Sistemas de ecuaciones lineales

Un sistema de ecuaciones lineales es un conjunto de ecuaciones lineales de la forma:

En este caso tenemos m ecuaciones y n incógnitas.Los números reales aij se denominan coeficientes y los xi se denominan incógnitas (o números aDeterminar) y bj se denominan términos independientes.En el caso de que las incógnitas sean 2 se suelen designar simplemente por x e y en vez de x1 y x2, y en el caso de tres, x, y, z en lugar de x1, x2 y x3 pero esto es indiferente a la hora de resolver elSistema.Resolver el sistema consiste en calcular las incógnitas para que se cumplan TODAS las ecuacionesdel sistema simultáneamente.Diremos que dos sistemas son equivalentes cuando tienen las mismas soluciones.

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INSTITUTO EDUCATIVO DE LA CUENCA DEL PAPALOAPAN.II. Representación

Un sistema con   incógnitas se puede representar en el n-espacio correspondiente.

En los sistemas con 2 incógnitas, el universo de nuestro sistema será el plano bidimensional, mientras que cada una de las ecuaciones será representada por una recta, si es lineal, o por una curva, si no lo es. La solución será el punto (o línea) donde se intersequen todas las rectas y curvas que representan a las ecuaciones. Si no existe ningún punto en el que se intersequen al mismo tiempo todas las líneas, el sistema es incompatible, o lo que es lo mismo, no tiene solución.

En el caso de un sistema con 3 incógnitas, el universo será el espacio tridimensional, siendo cada ecuación un plano dentro del mismo. Si todos los planos intersecan en un único punto, las coordenadas de este serán la solución al sistema. Si, por el contrario, la intersección de todos ellos es una recta o incluso un plano, el sistema tendrá infinitas soluciones, que serán las coordenadas de los

puntos que forman dicha línea o superficie.

Para sistemas de 4 ó más incógnitas, la representación gráfica no existe, por lo que dichos problemas no se enfocan desde esta óptica.

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INSTITUTO EDUCATIVO DE LA CUENCA DEL PAPALOAPAN.III. TIPOS DE SISTEMAS

Los sistemas de ecuaciones se pueden clasificar según el número de soluciones que pueden presentar. De acuerdo con ese caso se pueden presentar los siguientes casos:

Sistema incompatible si no tiene solución.

Sistema compatible si tiene solución, en este caso además puede distinguirse entre:

Sistema compatible determinado cuando tiene una única solución.

Sistema compatible indeterminado cuando admite un conjunto infinito de soluciones.

Los sistemas incompatibles geométricamente se caracterizan por (híper)planos o rectas que se cruzan sin cortarse. Los sistemas compatibles determinados se caracterizan por un conjunto de (híper) planos o rectas que se cortan en un único punto. Los sistemas compatibles indeterminados se caracterizan por (híper) planos que se cortan a lo largo de una recta [o más generalmente un hiperplano de dimensión menor].

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INSTITUTO EDUCATIVO DE LA CUENCA DEL PAPALOAPAN.ESCALONAMIENTO

DEFINICION

Un sistema de ecuaciones lineales se denomina escalonado (o reducido) si la matriz del

Sistema verifica que:

1. todos los elementos por debajo de los aii para i = 1; 2… n son nulos.

2. el primer elemento no nulo de cada fila, llamado pivote, esta a la derecha del primer

3. elemento diferente de cero (pivote) de la fila anterior.

4. cualquier fila formada únicamente por ceros esta bajo todas las filas con elementos diferentes de cero.

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INSTITUTO EDUCATIVO DE LA CUENCA DEL PAPALOAPAN.ELIMINACION DE GAUSS

El método de Gauss consiste en convertir un sistema "normal" de 3 ecuaciones con 3 incógnitas en uno escalonado, en el que la 1ª ecuación tiene 3 incógnitas, la 2ª tiene 2 incógnitas y la tercera 1 incógnita. De esta forma será fácil a partir de la última ecuación y subiendo hacia arriba, calcular el valor de las 3 incógnitas.

Para transformar el sistema en uno que sea escalonado se combinarán las ecuaciones entre sí (sumándolas, restándolas, multiplicándolas por un número, etc.)

Ejemplo:

La 1ª ecuación siempre se deja igual, (procurando que esta sea la más sencilla) y a la 2ª y 3ª ecuación se debe anular el término que lleva la x.

Una vez que hemos anulado los términos en x debemos dejar fija la 1ª y 2ª ecuación y anular el término que lleva la y en la 3ª ecuación

De la última ecuación obtenemos que z = -256/-128 = 2, que sustituyendo en B’’ resulta

- y + 9·2 = 13 Þ y = 5

y a su vez sustituyendo en A’’ obtenemos que :

2x + 3·5 – 7·2 = -1 Þ x = -1

Por lo tanto la solución del sistema es (-1, 5, 2)

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Cuando al realizar Gauss obtengamos 0 = K, siendo K un número distinto de 0 , tendremos un S.I. ya que obtenemos un absurdo .

Por ejemplo:

 

Dejamos fija la 1ª ecuación e intentamos anular la x de la 2ª y 3ª

Quitamos la y de la 3ª ecuación:

Como se observa hemos obtenido un absurdo, ya que 0 no es igual a 12 , por lo que el sistema no tiene solución .

Cuando al realizar Gauss obtengamos 0 = 0 , es decir se nos anule alguna ecuación , y el sistema resultante tenga más incógnitas que ecuaciones tendremos un S.C.I. en función de uno o dos parámetros (depende de las ecuaciones que se anulen) .

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Por ejemplo:

Dejamos como siempre la 1ª ecuación igual e intentamos quitar la incógnita x de la 2ª y 3ª ecuación .

Si intentamos anular la y de la 3ª ecuación vemos que se nos anula la 3ª ecuación

Obtenemos por tanto un sistema con dos ecuaciones y 3 incógnitas (hay más incógnitas que ecuaciones) por lo que tendrá infinitas soluciones. Una de ellas sería por ejemplo dar a la z el valor z=0 y así obtendríamos que y = -13, x = 19

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INSTITUTO EDUCATIVO DE LA CUENCA DEL PAPALOAPAN.METODO DE GAUSS-JORDAN

El Método de Gauss – Jordan o también llamado eliminación de Gauss –

Jordan, es un método por el cual pueden resolverse sistemas de ecuaciones lineales

con n números de variables, encontrar matrices y matrices inversas, en este caso desarrollaremos

la primera aplicación mencionada.

Para resolver sistemas de ecuaciones lineales aplicando este método, se debe en primer lugar anotar los

coeficientes de las variables del sistema de ecuaciones lineales en su notación matricial:

Entonces, anotando como matriz (también llamada matriz aumentada):

Una vez hecho esto, a continuación se procede a convertir dicha matriz en una matriz identidad, es decir una

matriz equivalente a la original, la cual es de la forma:

Esto se logra aplicando a las distintas filas y columnas de las matrices simples operaciones de suma, resta,

multiplicación y división; teniendo en cuenta que una operación se aplicara a todos los elementos de la fila o de

la columna, sea el caso.

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Obsérvese que en dicha matriz identidad no aparecen los términos independientes, esto se debe a que cuando

nuestra matriz original alcance la forma de la matriz identidad, dichos términos resultaran ser la solución del

sistema y verificaran la igualdad para cada una de las variables, correspondiéndose de la siguiente forma:

d1 = x

d2 = y

d3 = z

Ahora que están sentadas las bases, podemos explicar paso a paso la resolución de sistemas de ecuaciones

lineales por medio de este método.

Para ilustrarnos mejor lo analizaremos con un ejemplo concreto:

Sea el sistema de ecuaciones:

Procedemos al primer paso para encontrar su solución, anotarlo en su forma matricial:

Una vez hecho esto podemos empezar a operar con las distintas filas y columnas de la matriz para

transformarla en su matriz identidad, teniendo siempre en cuenta la forma de la misma:

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Lo primero que debemos hacer es transformar el 2 de la 1ª fila de la matriz original en el 1 de la 1ª fila de la

matriz identidad; para hacer esto debemos multiplicar toda la 1ª fila por el inverso de 2, es decir ½.

Luego debemos obtener los dos ceros de la primera columna de la matriz identidad, para lograr esto,

buscamos el opuesto de los números que se ubicaron por debajo del 1 de la primera columna, en este caso

el opuesto de 3 que será -3 y el opuesto de 5 que será -5.

Una vez hecho esto, se procederá a multiplicar los opuestos de estos números por cada uno de los elemento de

la 1ª fila y estos se sumaran a los números de su respectiva columna. Por ej.: en el caso de la 2º fila, se

multiplicara a -3 (opuesto de 3) por cada uno de los elementos de la 1º fila y se sumara su resultado con el

numero que le corresponda en columna de la segunda fila. En el caso de la 3ª fila se multiplicara a -5 (opuesto

de 5) por cada uno de los elementos de la 1º fila y se sumara su resultado con el número que le corresponda en

columna de la tercera fila.

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INSTITUTO EDUCATIVO DE LA CUENCA DEL PAPALOAPAN. Nuestro siguiente paso es obtener el 1 de la 2ª fila de la matriz identidad,

y procedemos de igual forma que antes, es decir multiplicamos toda la fila

por el inverso del numero que deseamos transformar en 1, en este caso -

13/2, cuyo inverso es -2/13

Además si observamos la tercera fila, nos damos cuenta que todos los elementos poseen el mismo

denominador, entonces podemos eliminarlos multiplicando todos los elementos de la 3º fila por 2 (el

denominador); si bien este no es un paso necesario para el desarrollo del método, es útil para facilitar cálculos

posteriores.

Ahora queremos obtener el 0 que se ubica en la 3ª fila, 2ª columna de la matriz identidad, para hacer esto

buscamos el opuesto del numero que se ubica en la 3ª fila, 2ª columna de la matriz con la cual estamos

operando, en este caso -17, cuyo opuesto será 17; lo que hacemos ahora es multiplicar este número por

todos los elementos de la 2ª fila y sumar esos resultados con el numero que le corresponde en columna de

la 3ª fila.

A esta altura podemos observar como la matriz con la cual estamos operando empieza a parecerse a la

matriz identidad.

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Nuestro siguiente paso es obtener el 1 correspondiente a la 3ª fila, 3ª

columna de la matriz identidad, ahora bien, aplicamos el mismo procedimiento

con el que estábamos trabajando, es decir que vamos a multiplicar toda la 3ª fila por el

inverso del numero que se encuentre en la posición de la 3ª fila, 3ª columna, en este caso 96/13, cuyo inverso

será 13/96.

Luego debemos obtener los dos ceros de la tercera columna de la matriz identidad, para lograr esto,

buscamos el opuesto de los números que se ubicaron por encima del 1 de la 3ª columna de la matriz con la

cual estamos operando, en este caso 11/13 y ½ cuyos opuestos serán - 11/13 y -½, respectivamente.

Una vez hecho esto, se procederá a multiplicar los opuestos de estos números por cada uno de los elemento de

la 3ª fila y estos se sumaran a los números de su respectiva columna. Por ej.: en el caso de la 2º fila, se

multiplicara a - 11/13 (opuesto de 11/13) por cada uno de los elementos de la 3º fila y se sumaran sus

resultados con el número que le corresponda en columna de la segunda fila. En el caso de la 1ª fila se

multiplicara a -½ (opuesto de ½) por cada uno de los elementos de la 3º fila y se sumaran sus resultados con el

número que le corresponda en columna de la primera fila.

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El último paso que debemos realizar es obtener el 0 de la 1ª columna, 2ª

fila de la matriz identidad, para hacer esto buscamos el opuesto del

numero que se ubica en la 1ª columna, 2ª fila de la matriz con la que estamos

operando, en este caso es 3/2, cuyo opuesto será - 3/2, lo que hacemos ahora es multiplicar este número

por todos los elementos de la 2ª fila y sumar esos resultados con el numero que le corresponde en columna

de la 1ª fila.

Como podemos observar hemos llegado al modelo de la matriz identidad que buscábamos, y en la cuarta

columna hemos obtenido los valores de las variables, correspondiéndose de este modo:

x= 1

y= -1

z= 2

Luego, el sistema de ecuaciones está resuelto y por último lo verificamos.

2x + 3y + z = 1 3x – 2y – 4z = -3 5x – y – z = 4

2*1+3*(-1)+2=1 3*1- 2*(-1)-4*2=-3 5*1-(-1)-2 =4

2 -3 +2 =1 3 +2 - 8= -3 5 +1 - 2 = 4

1 = 1 -3 = -3 4= 4

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