Ecuaciones lineales

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  • 1ECUACIONES LINEALES SIMULTANEAS HOMOGENEAS

    Mtodos Numricos /Anlisis Numrico/ Clculo Numrico

    Objetivo: Resolucin de sistemas de ecuaciones lineales homogneas por mtodos aproximados.

    Se considerar la solucin de ecuaciones algebraicas lineales

    simultneas HOMOGNEAS, que tienen la forma:

    =+++

    =+++

    =+++

    0...

    ...........................................

    0...

    0...

    2211

    2222121

    1212111

    mnmnn

    mm

    mm

    xaxaxa

    xaxaxa

    xaxaxa

    (6.20)

    El sistema puede ser escrito en notacin matricial:

    A . X = 0 (6.21)

    SISTEMAS DE ECUACIONES HOMOGNEAS

    USUARIOResaltado

  • 2Generalidades

    Un conjunto de ecuaciones homogneas como el (6.20) tiene

    siempre una solucin, ya que la matriz ampliada y la del sistema

    presentan, el mismo rango.

    Si el rango r de la matriz de los coeficientes del conjunto de ecuaciones es igual al orden n, el sistema tiene una nica solucin, que es la denominada SOLUCIN TRIVIAL (x1 = x2 = ... = xn = 0).

    Para este conjunto de ecuaciones, todas las ecuaciones del sistema

    son linealmente independientes -> Det A 0.

    Generalidades (2)

    Existen soluciones NO TRIVIALES si, y solo si, r < n. Entonces Det A = 0,

    r : nro de ec. Linealmente independientes n-r: Ec. Linealmente dependientes

    Para este tipo de soluciones, no se encuentran valores nicos para

    las incgnitas. Se establecen relaciones entre las incgnitas.

    Cualquier combinacin de valores de x que satisface estas relaciones constituye una solucin.

    Los problemas ms importantes que se plantean en la aplicacin de

    ecuaciones homogneas son aquellos denominados de VALORES CARACTERSTICOS

  • 3Generalidades (3)

    Las ecuaciones pueden escribirse, de manera cartesiana, en la forma:

    ( )( )

    ( )

    =+++

    =+++

    =+++

    0

    0

    0

    2211

    2222121

    1212111

    nnnnnn

    nn

    nn

    xaxaxa

    xaxaxa

    xaxaxa

    (6.22)

    donde, los aij son reales, las xi son las variables del sistema y lambda es un parmetro particular del sistema que tiene valores, en general, desconocidos.

    En la notacin matricial

    ( A - I ) X = 0 (6.23)

    Generalidades (4)

    Donde al incorporar la matriz identidad I, se puede utilizar a ( A - I ) como matriz de coeficientes.

    La matriz columna X recibe el nombre de VECTOR CARACTERSTICO AUTOVECTOR EIGENVECTOR; siendo las xi las componentes de dicho vector caracterstico.

    Los valores que se obtienen para lambda se conocen como VALORES CARACTERSTICOS AUTOVALORES EIGENVALORES de la matriz A.

  • 4Generalidades (5)

    Dado que lambda aparece como incgnita, es posible, hacer que el

    determinante de dicha matriz sea igual a cero y, llamando D a este, resulta:

    (6.24)

    y encontrando valores para lambda que hagan D = 0, se tendr la solucin.

    El desarrollo algebraico del determinante D produce un polinomio de grado n, de la forma:

    (6.25) 011

    1 =++++

    nnnn ppp

    [ ] 0I-AD ==

    Generalidades (6)

    Este polinomio recibe el nombre de POLINOMIO CARACTERSTICO ECUACIN CARACTERSTICA

    Es necesario resolver el POLINOMIO y obtener los lambda que hacen D=0.

    Las n races reciben el nombre AUTOVALORES o VALORES CARACTERISTICOS.

    Los valores caractersticos, se sustituyen, uno a la vez, en el conjunto

    original de ecuaciones para obtener un sistema correspondiente de

    relaciones entre las incgnitas x para cada sustitucin.

  • 5Generalidades (7)

    Las relaciones dependern del r de la matriz ( A - I ). Si es r = n - 1, las relaciones sern tales que la hiptesis de

    un valor para una incgnita, producir un valor

    correspondiente para c/u de las ecuaciones restantes;

    si r = n - 2, las relaciones sern tales que se tendrn que

    suponer los valores de dos incgnitas para poder obtener

    un valor correspondiente a c/u de las incgnitas restantes.

    Generalidades (8)

    Cuando n es relativamente pequeo (2 3), el desarrollo de determinantes por menores para obtener el polinomio caracterstico es

    sencillo; y la posterior determinacin de races no presenta grandes

    dificultades.

    Para calcular el determinante de una matriz de n * n, se requieren de o (n!) multiplicaciones/divisiones y sumas/restas. Incluso con valores de

    n relativamente pequeos, la cantidad de clculos se torna inmanejable.

    Cuando n es grande sta determinacin se vuelve muy difcil, sino imposible y se debe apelar, a algn procedimiento numrico tal como

    alguno de los estudiados en el captulo correspondiente.

  • 6Mtodo de FADDEEV-LEVERRIER

    Este mtodo constituye una tcnica eficiente para generar los

    coeficientes pi del polinomio caracterstico (6.25), tanto, cuando la matriz A de los coeficientes es simtrica, como cuando no lo es.

    Tiene la ventaja adicional de que se obtiene automticamente, al

    finalizar el proceso, la matriz inversa del sistema A-1 .

    TRAZA de una matriz: La traza de una matriz, que ser designada mediante " tr A " es:

    (6.26) tr A = a11+ a

    22+ ... + a

    nn

    Mtodo de FADEEV-LEVERRIER (1)

    Genera en su procedimiento, una sucesin de matrices B1 ; B2 ; ...; Bn de las que se obtienen una serie de valores, que se denominarn bk (k = 1; 2;...;n) que sustituidos en el POLINOMIO DE FADDEEV-LEVERRIER:

    dan como resultado los coeficientes pk

    El factor (-1)n se utiliza para dar a los trminos los signos que tendra

    el polinomio caracterstico si hubiese sido generado desarrollando el

    determinante correspondiente.

    ( ) ( ) 01 111 = nnnnn bbb (6.27)

  • 7Mtodo de FADDEEV-LEVERRIER (2)

    Los valores de bk se obtienen as:

    B1 = A ; b1 = tr B1B2 = A ( B1 - b1 I ) ; b2 =

    1/2 tr B2 (6.28)..

    Bn = A ( Bn-1 - bn-1 I ) ; bn =1/n tr Bn

    Puede demostrarse que la inversa de la matriz A, cuyos valores caractersticos se desea hallar, se determinan a partir de la ecuacin:

    (6.29) A-1 = 1/bn ( Bn-1 - bn-1 I )

    Mtodo de FADDEEV-LEVERRIER (3)

    Ejemplo: supngase que se ha obtenido, como modelo matemtico de algn problema determinado, el siguiente sistema lineal homogneo de ecuaciones:

    =++

    =++

    =++

    0)3(24

    02)0(2

    042)3(

    321

    321

    321

    xxx

    xxx

    xxx

  • 8Mtodo de FADDEEV-LEVERRIER (4)

    Se debe generar las matrices Bk a partir de la matriz A del sistema. Siendo:

    Entonces:

    =

    324

    202

    423

    A

    6303

    324

    202

    423

    111 =++=

    = trBbB

    De la misma manera

    Mtodo de FADDEEV-LEVERRIER (5)

    15)11811(2

    1*

    2

    1

    1124

    282

    4211

    600

    060

    006

    324

    202

    423

    *

    324

    202

    423

    )*(*

    22

    112

    =++=

    =

    ==

    trBb

    IbBAB

  • 9Mtodo de FADDEEV-LEVERRIER (6)

    Sustituyendo los valores de los bk en el polinomio de FADDEEV-LEVERRIER, se obtiene:

    8)888(3

    1*

    3

    1

    800

    080

    008

    1500

    0150

    0015

    1124

    282

    4211

    *

    324

    202

    423

    )*(*

    33

    223

    =++=

    =

    ==

    trBb

    IbBAB

    0)8156(*)1( 233 =

    Mtodo de FADDEEV-LEVERRIER (7)

    Del cual resulta:

    O, multiplicando por -1

    Que es el polinomio caracterstico. Obteniendo la races de la ecuacin dada mediante cualquier mtodo, resultan los valores propios.

    08156 23 =+++

    08156 23 =

    1

    ;1

    ;8

    3

    2

    1

    =

    =

    =

  • 10

    Mtodo de FADDEEV-LEVERRIER (8)

    Los que, sustituidos de uno por vez en el sistema, permite el calculo de las componentes xj (j=1; 2; 3) de los vectores caractersticos o autovectores.

    Finalmente, para hallar la matriz inversa del sistema, se debe hacer

    =

    =

    8

    4

    8

    2

    8

    48

    2

    8

    7

    8

    28

    4

    8

    2

    8

    4

    100

    010

    001

    *15

    1124

    282

    4211

    *8

    11A

    Mtodo de las POTENCIAS

    El mtodo de las POTENCIAS es un mtodo iterativo. Utilizado en aquellos casos en que solamente se desea conocer el

    autovalor ms pequeo y/o ms grande, juntamente con sus

    autovectores asociados.

    Una ventaja adicional de este mtodo es que los autovalores se

    obtienen simultneamente con sus respectivos autovectores.

  • 11

    Mtodo de las POTENCIAS (2)

    Para determinar el autovalor ms grande, supngase que tanto los

    elementos de la matriz como del autovalor son reales. Sea el sistema:

    (6.38)( ) 0= XIA donde, realizando el producto indicado por el parntesis, se obtiene:

    0== XAXIXAX

    y transponiendo trminos:

    (6.39)XAX =

    Mtodo de las POTENCIAS (3)

    Haciendo uso sistemtico de esta ltima ecuacin (6.39) y realizando

    los siguientes pasos:

    I.- Asignar valores arbitrarios a las componentes de X, y designndolo con X0 se sustituye en el 1er. Miembro de A X= X , con lo cual se obtiene la primera aproximacin del 2do. miembro. En

    general, resulta satisfactorio tomar los valores para xi = 1; 2; ... ;n.

    II.- Dividir los elementos del vector X 1 por x 1 , para que la primera componente se reduzca a la unidad.

    10 XAX =

  • 12

    Mtodo de las POTENCIAS (4)

    III.- Se utilizan las componentes del vector obtenido como valores mejorados de X, sustituyndolos en el primer miembro de (6.39) para volver a obtener as, una mejor aproximacin en