Ecuaciones lineales 1

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1. ESTANDAR:PENSAMIENTO VAFIIACIONALu ECUACIONES 0 No se deben confundir los miembros de una ecuacin con sus trminos.Estos ni- camente son iguales cuando en un miembro de una ecua- cin se presenta una sola cantidad. 0 Los trminos que no presen- tan incgnita,reciben el nombre de trminos inde- pendientes.1 .1 .Conceptos inicialesUna igualdad es una expresin que compara dos cantidades mediante el signo igual.Expresiones como 5 + 4 =9 y 23 =8 reciben el nombre de igualdadcs numricas. Expresiones de 1a forma x + 5 =8 y 3x + 2x =5x reciben el nombre de igualdades algebraicas. Las igualdades algebraicas que se cumplen para cualquier valor de 1a variable o variables presentes en ella,se denominan identidades. Por ejemplo,1a expresin (x + y)z =x2 + Zxy + yz es una identidad,pues se verica para cualquier valor de x y de y. En efecto,si se remplaza el valor de x =1 y y =2 en la identidad,se tiene que,(x+y)2=x2+2xy+y2(1 + z)?:1? + 2(1)(2) + 2232 = . 1 + 4 + 4 9 =9Las igualdades algebraicas que se cumplen para determinado valor de la variable o variables presentes en ella,se denominan ecuaciones. Se remplaza por x =1 y y =2Se resuelven las operacionesPor ejemplo,1a expresin 5x + 8 =3x + 12 es una ecuacin,pues la igual- dad se verica nicamente si x =2. En efecto, 5(2)+3=3(2)+12 10+8=6+1Z 18:18La variable o variables en una ecuacin,son valores desconocidos deno- minados incgnitas. Se remplaza por x =2Se resuelven las operacionesEn toda ecuacin,la expresin que se encuentra antes del signo igual se denomina primer miembro y la expresin que se encuentra despus del igual se denomina segundo miembro.As,enla ecuacin 5x + 8 =3x + Z0, 5x + 8 es e] primer miembro y 3x + 20 es el segundo miembro. Los sumandos de cada miembro de una ecuacin,reciben el nombre de trminos.As,en 1a ecuacin 2x + 5 =7x - 11, los trminos son 2x,5, 7x y 11.El grado de una ecuacin con una sola incgnita,es el mayor exponente de dicha incgnita.Por ejemplo,la expresin 2x + 9 =-13 es una ecua- cin de primer grado y 1a expresin x2 7x + 10 =0 es una ecuacin de segundo grado. La ecuacin x + 5 =12, nicamente se verica si x =7. Este ltimo valor se denomina raz o solucin de la ecuacin. As,solucionar o resolver una ecuacin signica hallar el valor o valores de 1a incgnita que satisfacen la ecuacin dada. 1820 SANTILLANA 2. UNIDAD 7 0 ECUACIONES E INECUACIONESEjercicio resueltondo dos ecuaciones son lentes? Identicar los miembros,terminos y grado de cada una de las siguien- "tes ecuaciones. a.5x+12=Z0SOLUCINa.5x + 12 =20 El primer miembro de la ecuacin es 5x + 12 y el segundo miembro es 20. Los trminos de la ecuacin son 5x,12 y 20.La ecuacin es de primer grado pues el mayor exponente de la incgnita x es 1.b.(x+1)(x-1)=0 La ecuacin (x + 1)(x - 1) =O es equivalente a la ecuacin x2 - l =0 El primer miembro de la ecuacin es x2 1 y el segundo miembro es 0. Los trminos de 1a ecuacin son x2, -1 y 0. La ecuacin es de segundo grado pues el mayor exponente de la incgnita x es 2. c.3m-l7=-5m+3El primer miembro de la ecuacin es 3m - 17 y el segundo miembro es -5m + 3.Los trminos de la ecuacin son 3m,-17, -5m y 3.La ecuacin es de primer grado pues el mayor exponente de la incgnita m es 1.b. (x+1)(x-l)=0 c.3m-l7=-5m+31.2. Solucin de una ecuacinEl proceso para encontrarla solucin de una ecuacin se fundamenta en la aplicacin de la propiedad uniforme de las igualdades.Si en los dos miembros de una igualdad se suma,se resta,se multiplica o se divide un mismo nmero,la igualdad se conserva.Esto es,oa-c= bc oa+c= b+csic= t0Sia= bentonces,0a+c= b+c oa-c= b-c 1.3. Resolucin de ecuaciones de la forma x i a =bPara resolver ecuaciones de la forma x i a =b se suma o se resta en ambos miembros de la ecuacin el trmino independiente a.Asi,para resolver la ecuacin x + 3 =-8 se procede asx+3-3=-8-3 = >x= -11 Una aplicacin del mtodo anterior es la transposicin de trminos.Transponer trminos en una ecuacin consiste en cambiar los trminos de un miembro a otro en una ecuacin teniendo en cuenta la propiedad uniforme.As, Cualquier trmino de una ecuacin se puede pasar de un miembro a otro cambindole el signo.Esto es,0x+a= b=>x= b-a1830x-a= b=>x= b+a 3. ESTN DAR:PENSAMIENTO VARIACIONALEjercicio resueltoAL G O IMPORTANTELos signos de todos los trmi- nos de una ecuacin se pueden cambiar sin que la ecuacin se altere.Por ejemplo,la ecua- cin -x =7 equivale a la ecuacin x =7. EjercicioAL G O IMPORTANTEEcuaciones de la forma L =b ase pueden resolver multiplican- do ambos miembros de la ecua- cin por a.As,L =b = > a - L =a - b a a = > x =abPor lo tanto,para despejar la incgnita en este tipo de ecua- ciones,basta con pasar a mul- tiplicar al otro miembro de la ecuacin el valor que divide a la incgnita. Resolver las siguientes ecuaciones: a. x+13=6 b.i9=13 .+ = X C X 6uhSOLUCINSe utiliza la transposicin de terminos en cada una de las ecuaciones y se c1};tan las operaciones, a. x+13=% b. x-9=13 c. x+%= f x=6-13 x= l3+9 5 3 x= -7 x=22 X: * e 4__1_121.4. Resolucin de ecuaciones de la forma ax =bPara resolver ecuaciones de la forma ax =b se aplica 1a propiedad ur. - forme y se divide cada miembro de la ecuacin entre el coeciente de ax b bincgnita. As, ax= b=>-= =>x= a a aPor lo tanto,para despejar la incgnita en este tipo de ecuaciones,hast,con pasar a dividir su coeciente al otro miembro de la ecuacin. resueito Resolver las siguientes ecuaciones:a.2x=6 b.5x=45 c.%x= -% SOLUCINSe utiliza la propiedad uniforme y se divide cada miembro de la ecuacin entre el coeciente de 1a incgnita, 2 5 _z=__ =__= _._ a x 6 b 5x 45 c 3x u F1 F45 X: __ 2 -5 11 3 x=3 x= -9 , '= --11.5. Resolucin de ecuaciones de la forma ax t b =cPara resolver ecuaciones de la forma ax + b =c,se realiza la transposi- cin de trminos y a continuacin se divide cada miembro de la ecuacin entre el coeciente de la incgnita.As, 0ax+b= c=>ax= c-b= >x=c-b a +-axb= c=>ax= b+c= >x=bac 4. UNIDAD 7 0 ECUACIONES E INECUACIONES Ejercicio resuelto l.Resolver -3x 17 =22.SOLUCIN 3x - 17 =22 -3x =22 + 17 Se transporte 17 al segundo miembro de la ecuacin.-3x =39 Se reducen los trminos semejantes.= % Se despeja la incgnita.x =-13Z.La utilidad a1 vender cierto nmero de articulos est dada por la ecuacin U(x) =Z002! 5.000, donde x es la cantidad de artculos vendidos.Cuntos artculos deber vender el fabricante para obte- ner una utilidad de 810.000?SOLUCINPara saber el nmero de artculos que debe vender el fabricante,se plantea y se resuelve la ecuacin correspondiente a la utilidad deseada.As, 2002 - 5.000 =10.000ZX =10.000 + 5.000 =15.000Luego,el fabricante debe vender 75 artculos para obtener una utilidad de 310.000.qnyIDADEsono .. - ... .o. ... ..unnn. COMPETENCIAS!oINTERPRETATIVA QARGUMENTATIVA PROPOSIIVAO EJERCITACIN.Escribir],si la igualdad es una identidad,y E,si es una ecuacin. l. _x+8x=9x 2._m+5=20 3.. _2n+1=6 L_7y+5=10y-4 5.__64z2l= (8z1)(8z+1) s. _3a2=a 1. x22x35=(x7)(x+5) s. _(b4)2=b2ab+1s 9._2(t+5)+2t=5oO EJERCITACIN.Completar el siguiente cuadro. l. < um un rimrr rnirrniirzi Segundo:mirmhrti nsihlr- mlm dri w wlm inn. _ ' - __-Si 5. ACTIVIDADESESTANDAR:PENSAMIENTO VARIACIONAL .7- rnCOMPETENCIAS: oINTERPRETATIVA QARGUMENAIVA PRPOSV0 EJERCITACIN.Resolver las siguientes ecuaciones y 0 RAZONAMIENTO.Hallar el valor dex en cada una deverificar la respuesta. 11. x+23=38 12.z17=5 13.21y= 4 l4.6=m39 15. w-26=l2 16. 18=36r 17. 7x =98 18. 4n =6012 8 56 19. L Z 448 Z0. 3-LL :T Z1. i182 =141 22. 175 =25n0 RAZONAMIENTO.Hallar el valor de x,y y z.23. m62 28 oi: 0 MODELACIN.Escribir una expresin que reeje cada situacin.Z4. El rea del cuadrado es 12 cmz.25. El rea del tringulo es 19 cmz. rearme26. El permetro de la figura es 63 m2.4*isiguientes guras.Z7. Z8." . v :126 cnr 12 cm14 cm 18 cm0 RAZONAMIENTO.Escribir V a las ecuaciones que corre-- ponden a la situacin planteada y resolverlas. 31. La suma de dos nmeros consecutivos es 35, cua- les son los nmeros? 3x-l=34 2x+l=352X:36 , '+(x+l)=3532. La diferencia entre cinco veces un nmero y 86 e:9, Hallar el nmero. "5x=95X-86=9%9=86 5x-86=933. Cules son las longitudes de los lados de un rec- tngulo,si un lado mide 7 centmetros ms que el otro y el permetro es 66 cm? 2x+l4=66 2X+2(2 %=10 = > x=40_-a 7. ESTANDAR:PENSAMIENTO VAFIIACIONAL ALGO IMPORTANTE En una ecuacin,trminos iguales con signos iguales en- cada miembro pueden supri- mirse.Asi,la ecuacin x? +3x7=x? +2x1o equivale a la ecuacin3X-7=2X-10.2.d. Se comprueba la solucin hallada y se tiene que, %(40) 4 =ao) + 630-4=20+6 26=26Luego,la solucin de la ecuacin %x 4 =x + 6 es x =40.x2+5x-6=x2+14x+75 5x-6=14x+75 5x-14x=75+6Se suprime x2 en cada miembro de la ecuacirSe transponen tnninos. -9x =81 Se reducen trminos semejantes.x =% Se despeja la incgnita.x =-9Se comprueba la solucin y se tiene que,(9)2 + 5(9) 6 =(9)2 +14(9)+ 75 8l-45-6=8l-l26+75 30 =30 Luego,la solucin de la ecuacin x2 + 5x 6 =x2 + 14x + 75 es x =9 En la solucin de las siguientes ecuaciones se cometi un error. Explicar en qu consisti y resolver las ecuaciones en forma correcta. a. x2-4x-9=x2-5x+10 b.-4x-9=-5x+10 -4x+5x= l0-9x=15x+8=6x-l05x-6x= -l0-8 -x= -l8 x= -18SOLUCIN a.El error se encuentra al transponer con el mismo signo el trmino -9 . b. segundo miembro de la ecuacin.As,la forma correcta de resolver la ecur- cion es x2-4x-9=x25x+l0 -4x-9= -5x+l0 4x + 5x =10 + 9 x =19El error se encuentra al no cambiar el signo del segundo miembro de ecuacin en el ltimo paso.As,la forma correcta de resolver la ecuacic es5x+8=6x105x-6x= -10H8 x= -l8 x=18i158,Eo c H U "u W m n:. m cn IV u.l u.cn .n w 8. UNIDAD 7 0 ECUACIONES E INECUACIONES1.7. Ecuaciones con parntesisPara resolver ecuaciones que incluyen parntesis,se deben eliminar estos efectuando los productos y cambios de signos respectivos.Luego,se trans- ponen trminos y se despeja la incgnita correspondiente. Ejercicio resueltoRECORDAR QUE1ra eliminar signos de agru- : z:in se deben tener en cuen-z los siguientes criterios: Si el signo de agrupacin est precedido de un signo ns (+),las cantidades que estn dentro de l pe