Ecuaciones LINEALES

SOLUCIONARIO:ECUACIONES LINEALES Y RACIONALES

Camilo Andres Ramrez SanchezPolitecnico [email protected]

Modalidad Virtual

Bogota. 2013

SOLUCIONARIO: ECUACIONES LINEALES Y RACIONALES Indice

Indice

1. Ejercicio 12 2

2. Taller 6 16

Introduccion

Estimado estudiante.

El presente documento se ha realizado con el proposito de que sea un apoyo en el proceso de formacion del modulo.

Aqu encontraras las soluciones y los procedimientos de los ejercicios y problemas de la lectura siete, ten en cuenta que loaqu planteado y desarrollado no es la la unica manera en que se puede abordar un problema por lo tanto puedes llegar a lamisma respuesta justificandola de manera diferente.

En el desarrollo de estos ejercicios se ha optado por ser lo mas minucioso posible, es decir, en algunos ejercicios encontraraspaso a paso el procedimiento junto con la justificacion.

Es recomendable que antes de ver las soluciones y procedimientos de algun ejercicio aqu planteado lo intentes desarrollarcon el proposito de que primero te enfrentes a este, lo pienses y resuelvas y luego verifiques la respuesta y en caso de quehayas cometido algun error puedas identificarlo y corregirlo.

1

SOLUCIONARIO: ECUACIONES LINEALES Y RACIONALES Ejercicio 12

1. Ejercicio 12

1. Encontrar el conjunto solucion de cada una de las siguientes ecuaciones.

a. 9x2 16 = (3x 4)2Desarrollo

9x2 16 = (3x 4)29x2 16 = 9x2 24x + 16 Propiedad: (a + b)2 = a2 + 2ab + b2

9x2 9x2 + 24x = 16 + 16 Suma de opuestos aditivos de 9x2, 24x, 1624x = 32 Operando terminos semejantes

x =32

24Multiplicacion de inverso multiplicativo de 24

x =4

3Simplicando fraccionarios

x =4

3

b.2x + 2

4 2x 3

7=x

3Desarrollo

2x + 2

4 2x 3

7=

x

3

7(2x + 2) 4(2x 3)(4)(7)

=x

3Suma de fracciones

14x + 14 8x + 1228

=x

3Propiedad distributiva

6x + 26

28=

x

3Operando terminos semejantes

3(6x + 26) = 28(x) Propiedad equivalencia entre fracciones18x + 78 = 28x Propiedad distributiva

18x 28x = 78 Suma de opuestos aditivos de 28x,7810x = 78 Operando terminos semejantes

x =7810 Multiplicacion de inverso multiplicativo de 10

x =39


x =39

5

c. 4x 11000

=1

3x

Desarrollo

4x 11000

=1

3x

(4x)(1000) 11000

=1

3x Suma de fracciones

4000x 11000

=1

3x Propiedad distributiva

2


(3)(4000x 1) = (1000)(x) Propiedad equivalencia entre fracciones12000x 3 = 1000x Propiedad distributiva

12000x = 1000x + 3 Suma de opuestos aditivos de 312000x 1000x = 3 Suma de opuestos aditivos de 1000x

11000x = 3 Operando terminos semejantes

x =3

11000Multiplicacion de inverso multiplicativo de 11000x

x =3

11000

d. 8 3x

= 2 +5

xDesarrollo

8 3x

= 2 +5

xx 6= 0

8x 3x

=2x + 5

xSuma de fracciones

8x 3 = 2x + 5 Simplicando fraccionarios, x 6= 08x 2x = 5 + 3 Suma de opuestos aditivos de 2x,3


x =8


x =4


x =4

3

e.x + 4

4=x

2+ 5

Desarrollox + 4

4=

x

2+ 5

x + 4

4=

x + 10

2Suma de fracciones

x + 4

2= x + 10 Simplicando fraccionarios

x + 4 = (x + 10)(2) Propiedad equivalencia entre fraccionesx + 4 = 2x + 20 Propiedad distributivax 2x = 20 4 Suma de opuestos aditivos de 2x, 4x = 16 Operando terminos semejantesx = 16 Multiplicacion de inverso multiplicativo de 1x = 16

f.3x 7

4 2 = x

8Desarrollo

3x 74 2 = x

8

3x 7 (2)(4)4

=x

8Suma de fracciones

3x 7 84

=x


3


3x 154

=x


3x 15 = x2

Simplicando fraccionarios

2(3x 15) = x Propiedad equivalencia entre fracciones6x 30 = x Operando terminos semejantes6x x = 30 Suma de opuestos aditivos de x,30


x =30


x = 6 Simplicando fraccionariosx = 6

g.2

7(1 2x) 1 = 4

7(2x 1)

Desarrollo2

7(1 2x) 1 = 4

7(2x 1)

2(1 2x)7

1 = 4(2x 1)7

2 4x7 1 = 8x 4


2 4x (1)(7)7

=8x 4

7Suma de fracciones

2 4x 77

=8x 4


4x 57

=8x 4


4x 5 = 8x 4 Simplicando fraccionarios4x 8x = 4 + 5 Suma de opuestos aditivos de 8x,512x = 1 Operando terminos semejantes

x = 112

Multiplicacion de inverso multiplicativo de 12

x = 112

h.6x + 1

4x 1 =3x + 1

2x 3Desarrollo

6x + 1

4x 1 =3x + 1

2x 3 x 6=1

4, x 6= 3

2

(6x + 1)(2x 3) = (3x + 1)(4x 1) Propiedad equivalencia entre fracciones,x 6= 1

4, x 6= 3

212x2 18x + 2x 3 = 12x2 3x + 4x 1 Propiedad distributiva

12x2 16x 3 = 12x2 + x 1 Operando terminos semejantes12x2 16x 12x2 x = 1 + 3 Suma de opuestos aditivos de 12x2, x,3


4


x = 217


x = 217

i. (0.05)(x + 10) 0.02x = 3.2Desarrollo

(0.05)(x + 10) 0.02x = 3.2((0.05)(x + 10) 0.02x)(100) = (3.2)(100) Multiplicacion por 100 para quitar los decimales

los decimales de la ecuacion(5)(x + 10) 2x = 320 Propiedad distributiva

5x + 50 2x = 320 Propiedad distributiva3x + 50 = 320 Operando terminos semejantes

3x = 320 50 Suma del opuesto aditivos de 503x = 270 Operando terminos semejantes

x =270



j.5x

x 7 =35

x 7Desarrollo

5x

x 7 =35

x 7 x 6= 7

5x = 35 Simplicando fraccionarios, x 6= 7x =

35


x = 7 Simplicando fraccionariosx 6= 7 No hay solucion de la ecuacion

k. 1 +3

4

(1

3x 2

)=52

Desarrollo

1 +3

4

(1

3x 2

)= 5

2x 6= 0

3

4

(1

3x 2

)= 5

2 1 Suma del opuesto aditivo de 1

3

4

(1

3x 2

)=5 2

2Suma de fracciones

(3)(1)

(4)(3x) (3)(2)

4= 7


1

4x 3

2= 7


1

4x= 7

2+

3

2Suma del opuesto aditivo de 3

2

1

4x=7 + 3

2Suma de fracciones

5


1

4x= 4


1

4x= 2 Simplicando fraccionarios

1 = (2)(4x) Propiedad equivalencia entre fracciones, x 6= 01 = 8x Propiedad distributiva

8x = 1 Igualdadx = 1


x = 18

x 6= 0l. 3 + 4(2x + 2) 7 = 8x 2Desarrollo

3 + 4(2x + 2) 7 = 8x 23 + 8x + 8 7 = 8x 2 Propiedad distributiva

8x 2 = 8x 2 Operando terminos semejantes8x 8x = 2 + 2 Suma de opuestos aditivos de 8x,2

0 = 0 Operando terminos semejantesx R Infinitas soluciones, puede ser

cualquier numero Real

m.3

2

(x2 1

)=

3

4x

Desarrollo3

2

(x2 1

)=

3x

4

(3)(x)

(2)(2) (3)(1)

2=

3x


3x

4 3

2=

3x


3x (3)(2)4

=3x

4Suma de fracciones

3x 64

=3x

4

3x 6 = 3x Simplicando fraccionarios3x 3x = 6 Suma de opuestos aditivos de 3x,6

0 = 6 Operando terminos semejantesNo hay solucion para la ecuacion

n.3 1

x3

5

=

(1

2

)2Desarrollo

3 1x

3

5

=

(1

2

)2x 6= 0

3 1x

3

5

= 22 Propiedad de la potenciacion

6


3x 1x3

5

= 4 Suma de fracciones

(3x 1)(5)(x)(3)

= 4 Division de fracciones

15x 53x

= 4 Propiedad distributiva

15x 5 = (4)(3x) Propiedad equivalencia entre fracciones, x 6= 015x 5 = 12x Propiedad distributiva

15x 12x = 5 Suma de opuestos aditivos de 12x,53x = 5 Operando terminos semejantesx = 53 Multiplicacion de inverso multiplicativo de 3

x =5

3x 6= 0

2. Plantear cada una de las siguientes situaciones.

a. El doble de m

Desarrollo2m

b. La mitad de x cantidad

Desarrollox

2

c. Tres unidades menos que el cuadrado de R

DesarrolloR2 3

d. La suma entre el cubo de m y el opuesto de n

Desarrollom3 + (n)

e. El promedio entre X y Z

DesarrolloX + Z

2

f. 8 mas que w

Desarrollow + 8

g. La diferencia entre el recproco de 34 y el triplo de x

Desarrollo4

3 3x

3. Plantear las ecuaciones que relacionan los datos y solucionar

a. En una clase de ingles hay 52 estudiantes. Si el numero de hombres es 7 mas que el doble de mujeres, determine elnumero de mujeres que hay en la clase.

Desarrollo Ya que se pide el numero de mujeres que ha en clase, entonces se va a nombrar esta cantidad desconocidapor x, es decir que:

x: Numero de mujeres que hay en clase.

7


Como en total hay 52 estudiantes, entonces el numero de hombres es 52 x.Ahora, dice que el el numero de hombres es 7 mas que el doble de mujeres, de esta frase resulta la ecuacion:

52 x = 7 + 2x

El desarrollo de esta ecuacion es:

52 x = 7 + 2xx 2x = 7 52 Suma de opuestos aditivos de 2x, 523x = 45 Operando terminos semejantes


x = 15 Simplicando fraccionarios

Respuesta: El numero de mujeres de la clase es 15

b. Un hombre hace 2 inversiones, al 48 % y al 50 % anual respectivamente. Si lo que invierte al 50 % es el doble de loque invierte al 48 % y su ingreso total anual por las dos inversiones es de US$458800 Cuanto invirtio a cada tasa?

Desarrollo En este problema se pide el dinero invertido en cada tasa, por lo tanto se van a tomar dos variables(x y y), de la siguiente manera:

x: Dinero invertido al 48 %.

y: Dinero invertido al 50 %.

El ingreso es el dinero que se gana de las dos inversiones (Invertir el dinero x al 48 % y el dinero y al 50 %.

Con estos datos resultan dos ecuaciones:

Lo que invierte al 50 % es el doble de lo que invierte al 48 %:

y = 2x

Su ingreso total anual por las dos inversiones es de US$458800

0.48x + 0.50y = 458800

Ya que ambas ecuaciones tienen dos incognitas se pueden unir para obtener una ecuacion que solo tenga unavariable. En la primera ecuacion se ha despejado la variable y y esta se reemplaza en la segunda ecuacion, quedando:

0.48x + 0.50(2x) = 458800


0.48x + 0.50(2x) = 4588000.48x + x = 458800

(100)(0.48x + x) = (458800)(100) Multiplicacion por 100 para quitar los decimales48x + 100x = 45880000


x =45880000


x = 310000 Simplicando fraccionariosy = 2x Reemplazando en yy = 2(310000)y = 620000

Respuesta: Invirtio 3100000 a una tasa de 48 % y 6200000 a una tasa de 50 %

8


c. Los miembros de una fundacion desean invertir $2100000 en dos tipos de seguros que pagan dividendos anuales del9 % y 6 % respectivamente. Cuanto deberan invertir en cada tasa si el ingreso debe ser equivalente al que produciraal 8 % la inversion total?

Desarrollo En este problema se pide el dinero invertido en cada tasa, por lo tanto se van a tomar dos variables(x y y), de la siguiente manera:

x: Dinero invertido al 9 %.

y: Dinero invertido al 6 %.



Los miembros de una fundacion desean invertir $2100000:

x + y = 2100000

el ingreso debe ser equivalente al que producira al 8 % la inversion total

0.09x + 0.06y = 0.08(x + y)

Ya que ambas ecuaciones tienen dos incognitas se pueden unir para obtener una ecuacion que solo tenga unavariable. En la primera ecuacion se despejando la variable y se tiene:

y = 2100000 x

y esta se reemplaza en la segunda ecuacion, quedando:

0.09x + 0.06(2100000 x) = 0.08(x + 2100000 x)


0.09x + 0.06(2100000 x) = 0.08(x + 2100000 x)0.09x + 0.06(2100000 x) = 0.08(2100000)

(100)(0.09x + 0.06(2100000 x)) = (0.08(2100000))(100) Multiplicacion por 100 para quitar los decimales9x + 6(2100000 x) = 8(2100000)9x + 12600000 6x = 16800000 Propiedad distributiva

3x = 16800000 12600000 Suma de opuesto aditivo de 126000003x = 4200000 Operando terminos

x =4200000


x = 1400000 Simplicando fraccionariosy = 2100000 x Reemplazando en yy = 2100000 1400000y = 700000

Respuesta: Se debera invertir 1400000 a una tasa de 9 % y 700000 a una tasa de 6 %

d. En una entrevista para un empleo, una persona puede elegir entre dos planes salariales. El plan A le proporcionaun salario semanal de US$200 mas una comision del 3 % sobre sus ventas; el plan B le ofrece un salario semanal deUS$100 mas una comision del 8 % sobre sus ventas, Para que valor de ventas se recibira el mismo salario semanal?

Desarrollo En este problema se pide el valor de ventas, por lo tanto se van a toma una variable (x), de la siguientemanera:

x: Valor de las ventas.

Ahora, dice que El plan A le proporciona un salario semanal de US$200 mas una comision del 3 % sobre sus ventas;el plan B le ofrece un salario semanal de US$100 mas una comision del 8 % sobre sus ventas. Ya que se quiere tenerel valor de las ventas para que en ambos planes se tenga el mismo salario, queda la ecuacion:

200 + 0.03x = 100 + 0.08x

9



200 + 0.03x = 100 + 0.08x(100)(200 + 0.03x) = (100 + 0.08x)(100) Multiplicacion por 100 para quitar los decimales

20000 + 3x = 10000 + 8x3x 8x = 10000 20000 Suma de opuestos aditivos de 8x, 200005x = 10000 Operando terminos



Respuesta: El valor de las ventas que recibe el mismo salario en los dos planes es de US$2000

4. En cada una de las siguientes ecuaciones despejar w

a. wa + wb = c

Desarrollowa + wb = cw(a + b) = c Factorizando

w =c

a + bMultiplicacion de inverso multiplicativo de (a + b)

a + b 6= 0w =

c

a + b

b. n(bw nw) = w + aDesarrollo

n(bw nw) = w + anbw n2w = w + a Propiedad distributiva

nbw n2w w = a Suma de opuestos aditivos de ww(nb n2 1) = a Factorizando

w =a

nb n2 1 Multiplicacion de inverso multiplicativo de (nb n2 1)

nb n2 1 6= 0w =

a

nb n2 1c. p = 2b + 2w

Desarrollop = 2b + 2w

2b + 2w = p2w = p 2b Suma de opuesto aditivo de 2bw =

p 2b2


w =p 2b

2

d. wa + bw = c

Desarrollowa + bw = cw(a + b) = c Factorizando

w =c

a + bMultiplicacion de inverso multiplicativo de (a + b)

a + b 6= 0w =

c

a + b

10


e.r

aw bw = dDesarrollo

r

aw bw = d aw bw 6= 0

r = (aw bw)d Propiedad equivalencia entre fraccionesd(aw bw) = r Propiedad igualdadwd(a b) = r Factorizando

w =r

d(a b) Multiplicacion de inverso multiplicativo de d(a b)d 6= 0, a b 6= 0

w =r

d(a b)

f. b(w a) = c3Desarrollo

b(w a) = c3bw ba = c3 Propiedad distributiva

bw = c3 + ba Suma de opuesto aditivo de baw =

c3 + ba

bMultiplicacion de inverso multiplicativo de b

b 6= 0w =

c3 + ba

b

g.xw

a=w

bDesarrollo

xw

a=

w

ba 6= 0, b 6= 0

(xw)(b) = (w)(a)d Propiedad equivalencia entre fraccionesbwx = adw

bwx adw = 0 Suma de opuesto aditivo de adww(bx ad) = 0 Factorizando

w =0

bx ad Multiplicacion de inverso multiplicativo de (bx ad)bx ad 6= 0

w = 0

h.w brw + a

= d

Desarrollow brw + a

= d w + a 6= 0

w br = (w + a)d Propiedad equivalencia entre fraccionesw br = dw + ad Propiedad distributivaw dw = ad + br Suma de opuestos aditivos de dw,brw(1 d) = ad + br Factorizando

w =ad + br

1 d Multiplicacion de inverso multiplicativo de (1 d)d 6= 1

w =ad + br

1 d5. En cada una de las ecuaciones despejar b

11


a. wa + wb = c

Desarrollowa + wb = c

wb = c wa Suma de opuesto aditivo de wab =

c waw

Multiplicacion de inverso multiplicativo de w

w 6= 0b =

c waw

b. n(bw nw) = w + aDesarrollo

n(bw nw) = w + abnw n2w = w + a Propiedad distributiva

bnw = w + a + n2w Suma de opuesto aditivo de n2wb =

w + a + n2w

nwMultiplicacion de inverso multiplicativo de nw

n 6= 0, w 6= 0b =

w + a + n2w

nw

c. p = 2b + 2w

Desarrollop = 2b + 2w

2b + 2w = p2b = p 2w Suma de opuesto aditivo de 2wb =

p 2w2


b =p 2w

2

d. wa + bw = c

Desarrollowa + bw = c

bw = c wa Suma de opuesto aditivo de wab =

c waw

Multiplicacion de inverso multiplicativo de w

w 6= 0b =

c waw

e.r

aw bw = dDesarrollo

r

aw bw = d aw bw 6= 0

r = (d)(aw bw) Propiedad equivalencia entre fraccionesr = adw bdw Propiedad distributiva

bdw = adw r Suma de opuestos aditivos de bdw, rb =

adw rdw

Multiplicacion de inverso multiplicativo de dw

d 6= 0, w 6= 0b =

adw rdw

12


f. b(w a) = c3Desarrollo

b(w a) = c3

b =c3

w a Multiplicacion de inverso multiplicativo de w aw a 6= 0

b =c3

w ag.

xw

a=w

bDesarrollo

xw

a=

w

ba 6= 0, b 6= 0

bwx = aw Propiedad equivalencia entre fracciones

b =aw

wxMultiplicacion de inverso multiplicativo de wx

w 6= 0, x 6= 0b =

a

xSimplicando fraccionarios

b =a

x

h.w brw + a

= d

Desarrollow brw + a

= d w + a 6= 0

w br = (d)(w + a) Propiedad equivalencia entre fraccionesw br = dw + ad Propiedad distributivabr = dw + ad w Suma de opuesto aditivo de wbr = (dw + ad w) Multiplicacion de inverso multiplicativo de 1b = dw + ad w

rMultiplicacion de inverso multiplicativo de r

r 6= 0b = dw + ad w

r

6. Definir las variables, plantear y solucionar cada uno de los siguientes problemas.

a. Una persona compra tres artculos A, B y C por un total de $105. Si el precio del artculo A equivale a las dosterceras partes del precio del artculo B y, el precio del artculo B es el 10 % del precio del artculo C. Cual es elprecio de cada artculo?

Desarrollo En este problema se pide el precio de cada artculo por lo tanto se escogeran las variables de la siguientemanera:x: Valor del artculo A.y: Valor del artculo B.z: Valor del artculo C.

Por lo tanto resultan las ecuaciones

Una persona compra tres artculos A, B y C por un total de $105

x + y + z = 105

Si el precio del artculo A equivale a las dos terceras partes del precio del artculo B

x =2

3y

13


el precio del artculo B es el 10 % del precio del artculo C

y =1

10z

y se puede reemplazar la tercera ecuacion en la segunda:

x =2

3

(1

10z

)simplificando fracciones se obtiene

x =1

15z

y reemplazando x y y en la primera ecuacion (de tal manera que solo quede una variable) se obtiene:

1

15z +

1

10z + z = 105


1

15z +

1

10z + z = 105

2z + 3z + 30z

30= 105

35z

30= 105 Operando terminos semejantes

7z

6= 105 Simplicando fraccionarios

z =(6)(105)

7Multiplicacion de inverso multiplicativo de

6

7

z =(6)(15)


z = 90

y =

(1

10

)(90)

y = 9

x =

(2

3

)(9)

x = 6

Respuesta: El artculo A cuesta 6, el B cuesta 9 y el C cuesta 90.

b. El presupuesto destinado para el funcionamiento de una compana en el mes de marzo, esta distribuido de la siguientemanera: el 50 % para el pago de nomina de empleados y servicio de energa; 112 de dicho presupuesto para el pagode servicio de publicidad, US$80 para el pago de impuestos y nueve veces lo correspondiente al pago de impuestoslo invierte en la compra de un nuevo equipo de oficina. El resto, lo invierte en un bono. Cual es el presupuesto dela compana en el mes de marzo, si el bono corresponde a las 175 partes de lo destinado al pago de publicidad?

Desarrollo En este problema se pide el presupuesto de la compana por lo tanto se escogera la variable de lasiguiente manera:x: Presupuesto de la compana.

Con la informacion del problema se plantean las siguientes expresiones

14


el 50 % para el pago de nomina de empleados y servicio de energa

0.50x =1

2x

1

12de dicho presupuesto para el pago de servicio de publicidad

1

12x

US$80 para el pago de impuestos y nueve veces lo correspondiente al pago de impuestos lo invierte en la comprade un nuevo equipo de oficina

80 en impuestos y 720 en compra de equipo

La ultima parte: El resto, lo invierte en un bono reune todos los anteriores datos de la siguiente manera:

Presupuesto = (Nomina y servicios de energa) + (Servicio de publicidad) + (Impuestos) + (Compra de equipo) +(Bono)

Ya que el bono corresponde a las17

5partes de lo destinado al pago de publicidad, entonces:

Presupuesto = (Nomina y servicios de energa) + (Servicio de publicidad) + (Impuestos) + (Compra de equipo)

+17

5(Servicio de publicidad)

La ecuacion que relaciona cada parte del presupuesto es:

x =1

2x +

1

12x + 80 + 720 +

17

5

(1

12x

)El desarrollo de esta ecuacion es:

x =1

2x +

1

12x + 80 + 720 +

17

5

(1

12x

)

x =1

2x +

1

12x + 80 + 720 +

17

60x

x =30x + 5x + 17x

60+ 800

x =52x

60+ 800 Operando terminos semejantes

x 5260x = 800 Suma de opuesto aditivo de

52x

60

8


x =(60)(800)


60

8

x =(60)(100)

1= 6000 Simplicando fraccionarios

Respuesta: El presupuesto de la compana en el mes de marzo fue de 6000

15

SOLUCIONARIO: ECUACIONES LINEALES Y RACIONALES Taller 6

2. Taller 6

Definir las variables, plantear el problema y resolverlo:

1. Un estudiante hizo un prestamo por US$1800 para su matrcula. Si pago un interes del 15 %. El pago total debe hacerloen tres cuotas mensuales de diferente valor, as: La primera cuota excede en US$230 al 40 % de la segunda cuota; eldoble de la segunda cuota excede al total en US$230. Cuanto hay que pagar en cada cuota?

Desarrollo En este problema se pide cuanto hay que pagar en cada cuota del prestamo por lo tanto se escogeran lasvariables de la siguiente manera:x: Monto a pagar en la primera cuota.y: Monto a pagar en la segunda cuota.z: Monto a pagar en la tercera cuota.

Como se cobro un interes del 15 % del prestamo de US$1800 entonces se debe pagar:

1800 + 1800(0.15) = 2070

Con la informacion del problema se plantean las siguientes ecuaciones

La primera cuota excede en US$230 al 40 % de la segunda cuota

x = 230 + 0.4y

El doble de la segunda cuota excede al total en US$230

2y = 2070 + 230

De la ultima ecuacion se puede saber el monto de la segunda cuota, el cual es:

y = 1150

Reemplazando en la primera ecuacionx = 230 + 0.4(1150)x = 690

Ya se sabe el monto de las dos primeras cuotas y tambien el total a pagar, por lo tanto la tercera cuota se puedeencontrar mediante despejando la ecuacion:

690 + 1150 + z = 20701840 + z = 2070

z = 2070 1840z = 230

Respuesta: Las cuotas del pago del prestamo fueron de US$690 la primera, US$1150 la segunda yUS$230 la tercera

2. Una compana invierte una cantidad de dinero al 35 % y el doble de esta cantidad al 38 %. Si la ganancia que obtieneen total por las dos inversiones es de US$249750. Cuanto invierte en cada porcentaje?

Desarrollo En este problema se pide el dinero invertido en cada porcentaje, por lo tanto se escogeran las variablesde la siguiente manera:x: Dinero invertido al 35 %.2x: Dinero invertido al 38 %.

El ingreso es el dinero que se gana de las dos inversiones (Invertir el dinero x al 35 % y el dinero 2x al 38 %) esUS$249750.

16


Con estos datos resulta la ecuacion:0.35x + 0.38(2x) = 249750


0.35x + 0.38(2x) = 249750(100)(0.35x + 0.38(2x)) = (249750)(100) Multiplicacion por 100 para quitar los decimales

35x + 38(2x) = 24975000111x = 24975000 Operando terminos semejantes

x =24975000


x = 225000 Simplicando fraccionarios2x = 450000 La segunda inversion

Respuesta: Invierte 225000 al 35 % y 450000 al 38 %

3. Tres cuentas de ahorros estan en la siguiente situacion: la primera tiene saldo inferior en US$50 a la tercera. El dobledel saldo de la segunda cuenta es superior en US$20 al saldo de la primera cuenta. Si los tres saldos suman US$240Cuanto dinero hay en cada cuenta?

Desarrollo En este problema se pide el dinero hay en cada cuenta, por lo tanto se escogeran las variables de lasiguiente manera:x: Dinero de la primera cuenta.y: Dinero de la segunda cuenta.z: Dinero de la tercera cuenta.

Por lo tanto resultan las ecuaciones

la primera tiene saldo inferior en US$50 a la tercera

x = z 50

El doble del saldo de la segunda cuenta es superior en US$20 al saldo de la primera cuenta

2y = x + 20

los tres saldos suman US$240x + y + z = 240

En la primera ecuacion se puede despejar z quedando:

z = x + 50

y en la segunda ecuacion se puede despejar y quedando:

y =x

2+ 10

Con estas dos ecuaciones se reemplaza en x + y + z = 240 para que quede solo una variable:

x +(x

2+ 10

)+ (x + 50) = 240

17



x +(x

2+ 10

)+ (x + 50) = 240

x +x

2+ 10 + x + 50 = 240

5

2x + 60 = 240 Operando terminos semejantes

5

2x = 240 60 Suma de opuestos aditivos de 60

5


x =(2)(180)


5

2

x =(2)(36)


x = 72

y =x

2+ 10

y =72

2+ 10

y = 36 + 10y = 46z = x + 50z = 72 + 50z = 112

Respuesta: La primer cuenta tiene US$72, la segunda US$46 y la tercera US$122

4. Una persona invierte US$3000. Una parte la invierte al 50 % y la otra al 68 % de interes anual. Si desea obtener unrendimiento anual equivalente al 65 % de lo que invierte inicialmente, Cual es la cantidad de dinero que debe invertira la tasa del 68 %?

Desarrollo En este problema se pide el dinero invertido en cada tasa, por lo tanto se escogeran las variables de lasiguiente manera:x: Dinero invertido al 50 %. y: Dinero invertido al 68 %.



Una persona invierte US$3000:x + y = 3000

desea obtener un rendimiento anual equivalente al 65 % de lo que invierte inicialmente

0.50x + 0.68y = 0.65(3000)

Ya que ambas ecuaciones tienen dos incognitas se pueden unir para obtener una ecuacion que solo tenga una variable.En la primera ecuacion se despejando la variable y se tiene:

y = 3000 x

18


y esta se reemplaza en la segunda ecuacion, quedando:

0.50x + 0.68(3000 x) = 0.65(3000)


0.50x + 0.68(3000 x) = 0.65(3000)(100)(0.50x + 0.68(3000 x)) = (0.65(3000))(100) Multiplicacion por 100 para quitar los decimales

50x + 68(3000 x) = 65(3000)50x + 204000 68x = 195000 Propiedad distributiva

50x 68x = 195000 204000 Suma de opuesto aditivo de 20400018x = 9000 Operando terminos semejantes


x = 500 Simplicando fraccionariosy = 3000 x Reemplazando en yy = 3000 500y = 2500

Respuesta: Se debera invertir 2500 a una tasa de 68 %

5. La quinta parte del costo de un artculo se cancelo de contado, de la parte restante se pago el 25 % con tarjeta de creditoy de este nuevo saldo los 23 con un cheque a 30 das, si aun se adeudan US$200. Cual es el porcentaje del cheque conrespecto al costo total del artculo?

Desarrollo En este problema se pide el el porcentaje del cheque con respecto al costo total del artculo por lo tantose escogera la variable de la siguiente manera:x: Costo total del artculo.


La quinta parte del costo de un artculo se cancelo de contado

1

5x

de la parte restante se pago el 25 % con tarjeta de credito. La parte restante es:

x 15x =

4

5x

Entonces se pago el 25 % de4

5x con tarjeta de credito:

(0.25)4

5x =

(1

4

)4

5x =

1

5x

de este nuevo saldo los 23 con un cheque a 30 das. El nuevo saldo es:

4

5x 1

5x =

3

5x

Entonces se pago el2

3de

3

5x con un cheque a 30 das:(

2

3

)3

5x =

2

5x

19


Respuesta: Por lo tanto, el cheque corresponde a los2

5del costo del artculo, es decir al 40 % de este.

6. El Senor Perez recibio su sueldo y lo invirtio as: el 30 % en arriendo, los 25 en el estudio de sus hijos, el 25 % enalimentacion y ahorro US$55. Cual fue el sueldo del Senor Perez?

Desarrollo En este problema se pide el sueldo del senor Perez por lo tanto se escogera la variable de la siguientemanera:x: Sueldo del senor Perez.


el 30 % en arriendo

0.30x =3

10x

los 25 en el estudio de sus hijos2

5x

el 25 % en alimentacion

0.25x =1

4x

La ultima parte: y ahorro US$55 reune todos los anteriores datos de la siguiente manera:

Sueldo = (Arriendo) + (Estudio de sus hijos) + (Alimentacion) + (Ahorro)


x =3

10x +

2

5x +

1

4x + 55


x =3

10x +

2

5x +

1

4x + 55

x =6x + 8x + 5x

20+ 55

x =19x

20+ 55 Operando terminos semejantes


19

20x

1


x =(20)(55)


1

20


Respuesta: El sueldo del senor Perez es de US$1100

7. Un comerciante tomo un prestamo por US$600, pero debe pagar esa cantidad aumentada en 25 %. El pago debe hacerloen tres cuotas quincenales teniendo en cuenta que: El 50 % de la tercera cuota es inferior en US$60 a la segunda cuota,el 200 % de la primera cuota excede en US$20 al saldo de la tercera cuota. Cuanto debe pagar el comerciante en cadacuota?

20


Desarrollo En este problema se pide cuanto debe pagar el comerciante en cada cuota por lo tanto se escogeran lasvariables de la siguiente manera:x: Monto a pagar en la primera cuota.y: Monto a pagar en la segunda cuota.z: Monto a pagar en la tercera cuota.

Como se cobro un interes del 25 % del prestamo de US$600 entonces se debe pagar:

600 + 600(0.25) = 750

Con la informacion del problema se plantean las siguientes ecuaciones

El 50 % de la tercera cuota es inferior en US$60 a la segunda cuota

0.5z = y 60

200 % de la primera cuota excede en US$20 al saldo de la tercera cuota

2x = 20 + z

De la primera ecuacion se puede despejar y quedando que y =1

2z + 60.

Y de la segunda ecuacion se puede despejar x quedando que x = 10 +1

2z.

Ademas se sabe que la suma de las tres cuotas debe dar el total (con el interes) es x + y + z = 750.

Por lo tanto la tercera cuota se puede encontrar reemplazando x y y en la ecuacion y despejando:

x + y + z = 750

(10 +1

2z) + (

1

2z + 60) + z = 750

10 +1

2z +

1

2z + 60 + z = 750

2z + 70 = 720 Operando terminos semejantes2z = 750 70 Suma de opuestos aditivos de 702z = 680 Operando terminos semejantes

z =680


z = 340 Simplicando fraccionarios

x = 10 +1

2z

x = 10 +1

2(340)

x = 180

y =1

2z + 60

y =1

2(340) + 60

y = 230

Respuesta: Las cuotas del pago del prestamo fueron de US$180 la primera, US$230 la segunda yUS$340 la tercera

8. Si las 35 partes del precio de un artculo se cancelan de contado, de la parte restante se paga el 40 % con cheque a 30das y aun se adeuda US$240.

21


a. Cual es el precio del artculo?

Desarrollo En este problema se pide el el precio del artculo por lo tanto se escogera la variable de la siguientemanera:x: el precio del artculo.


las 35 partes del precio de un artculo se cancelan de contado

3

5x

de la parte restante se paga el 40 % con cheque a 30 das. La parte restante es:

x 35x =

2

5x

Entonces se pago el 40 % de2

5x con cheque a 30 das:

(0.4)2

5x =

(2

5

)2

5x =

4

25x

La ultima parte: aun se adeuda US$240 reune todos los anteriores datos de la siguiente manera:

Precio = (Contado) + (Cheque) + (Saldo)


x =2

5x +

4

25x + 240


x = 35x +4

25x + 240

x =19

25x + 240 Operando terminos semejantes


19

25x

6


x =(25)(240)


6

25


Respuesta: El precio del artculo es de US$1000

b. Si se hace un descuento de US$50, A que porcentaje corresponde este descuento con respecto del precio del artculo?

Desarrollo Si el artculo vale US$1000 entonces US$100 es el 10 %, por lo tanto US$50 es el 5 %

Respuesta: US$50 corresponde al 5 % del precio del artculo

9. Una persona destina US$1000 para realizar dos inversiones. Si se sabe que el doble de una de las inversiones sobrepasaen US$200 a la otra inversion, Que porcentaje respecto del total corresponde a cada inversion?

22


Desarrollo En este problema se pide el el porcentaje respecto del total corresponde a cada inversion por lo tanto seescogera las variables de la siguiente manera:x: dinero de la primera inversion.y: dinero de la segunda inversion.


destina US$1000 para realizar dos inversionesx + y = 1000

el doble de una de las inversiones sobrepasa en US$200 a la otra inversion

2x = y + 200

De la primera ecuacion se puede despejar y quedando que y = 1000 x.Por lo reemplazando y en la segunda ecuacion y despejando:

2x = (1000 x) + 2002x = 1000 x + 200

2x + x = 1000 + 200 Suma de opuestos aditivos de x3x = 1800 Operando terminos semejantes

x =1800


x = 600 Simplicando fraccionariosy = 1000 xy = 1000 600y = 400

600 es el 60 % de 1000 y 400 es el 40 % de 1000, por lo tanto:

Respuesta: La primera inversion corresponde al 60 % del total y la segunda al 40 % del total

23

Ejercicio 12Taller 6

Ecuaciones LINEALES

Documents

Transcript of Ecuaciones LINEALES