Ecuaciones y Sistemas de Ecuaciones Lineales

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  • 1. UNIDADES TECNOLGICAS DE SANTANDER UNIDAD 5ECUACIONES Y SISTEMAS DE ECUACIONESECUACIONESEcuacin: Es una igualdad en la que hay una o varias cantidades desconocidas llamadasincgnitas y que solo se verifica o es verdadera para determinados valores de las incgnitas. Lasincgnitas se representan con las ltimas letras del alfabeto: x, y, z, u, v. La ecuacin no esuna identidad.Identidad: Es una igualdad que se verifica para cualquier valor de las letras que se encuentran enella. a b a n bn ; a b a 2 2ab b2 n2Ej.:Miembros: Se llama primer miembro de una ecuacin o de una identidad a la expresin que est ala izquierda del signo de igualdad, y segundo miembro, a la expresin que est a la derecha.Trminos: Son cada una de las cantidades que estn conectadas con otra por el signo + -, o lacantidad que est sola en un miembro.Races o Soluciones: Son los valores de las incgnitas que verifican o satisfacen la ecuacin,es decir, que sustituidos en el lugar de las incgnitas, convierten la ecuacin en una identidad. Lasecuaciones de primer grado tienen una sola raz. Resolver una ecuacin es encontrar su conjuntosolucin.La transposicin de trminos: consiste en cambiar los trminos de una ecuacin de unmiembro al otro.

2. UNIDADES TECNOLGICAS DE SANTANDERVerificacin: Es la prueba de que el valor obtenido para la incgnita es correcto. La verificacinse realiza sustituyendo la incgnita de la ecuacin por el valor obtenido, y si este es correcto, laexpresin se convertir en una identidad.TIPOS DE ECUACIONESLas ecuaciones con una incgnita suelen tener un nmero finito de soluciones, mientras que en lasecuaciones con varias incgnitas encontramos infinitas soluciones, las que suelen ser estudiadascuando forman sistemas de ecuaciones.Podemos encontrar distintos tipos de ecuaciones con una incgnita: polinmicas, racionales,exponenciales, trigonomtricas, logartmicas, entre otras.Las ecuaciones polinmicas son de la forma P( x) 0 , donde P( x) es un polinomio en x, queal trasponer trminos y simplificar adoptan esa expresin.A continuacin estudiaremos las ecuaciones polinmicas de primer y segundo grado.1. ECUACIONES LINEALES O DE PRIMER GRADOCualquier ecuacin que se puede escribir en la forma: ax b 0, donde a y b son constantesreales, con a0, y x es una variable, se denomina ecuacin lineal o de primer grado con unavariable.La grfica de una ecuacin lineal es una Lnea RectaPasos para resolver ecuaciones de primer grado1. Quitar parntesis, si los hay.2. Quitar denominadores, si los hay. (Hallar m.c.m)3. Pasar los trminos que contienen la incgnita a un miembro y los nmeros al otro miembro.4. Simplificar cada miembro.5. Despejar la incgnita. Se obtiene, as, la solucin.6. Comprobacin: Sustituir la solucin en cada miembro de la ecuacin inicial para comprobar que coinciden los resultados. 3. UNIDADES TECNOLGICAS DE SANTANDER Ejemplo:3x( x 2)Resolver 1 7 46Se reduce a comn denominador, calculando el mnimo comn mltiplo de los denominadoresSe suprimen los parntesis aplicando la propiedad distributiva: 9 x 12 14 x 28Se trasponen trminos (los trminos en x a un miembro y los trminos independientes al otro) 9 x 14 x 28 12Se reducen trminos semejantes: 5x 40Se despeja la incgnita:La solucin es: x 83(8)(8 2) 42Comprobacin: 1 7 6 1 77 4 66 2. ECUACIONES CUADRTICAS O DE SEGUNDO GRADO Una ecuacin cuadrtica en la variable x es cualquier ecuacin que pueda escribirse en la forma: ax 2 bx c 0, donde a y b son constantes reales y a0 Ecuaciones completas: Cuando b0 y c0, se resuelve por factorizacin o aplicando la frmula cuadrtica: b b 2 4acx2a La expresin b 4ac , se llama discriminante de la ecuacin. El nmero de soluciones depende2 del signo de ste. 4. UNIDADES TECNOLGICAS DE SANTANDERSi b 4ac 0 la raz es un nmero real y se obtienen, por tanto, dos races reales distintas, x 1 2x2Si b 4ac 0 la raz es cero, luego, obtenemos dos races iguales, es decir, diremos que la raz 2es doble, x1=x2Si b 4ac 0 la raz es un nmero imaginario o complejo (no real), por lo tanto, se obtienen 2dos races imaginariasA las soluciones de una ecuacin cuadrtica se le llama comnmente races y respecto a lasconstantes a, b, y c tienen las siguientes propiedades:br1 r2 acr1 r2 aEcuaciones incompletas: Si b = 0 c = 0. Se pueden resolver de forma sencilla sin utilizar lafrmula anterior.Si b = 0, sedespeja la variable y tomando races cuadradassi esposiblec ax 2 c 0 x aSi c= 0,se sacafactorcomn la incgnita x0 ax bx 0 x ax b 0 2b ax b 0 x a La grfica de la ecuacin cuadrtica es una curva llamada parbolaReglas para resolver ecuaciones de 2 grado1. Si la ecuacin de segundo grado es completa, aplicar la frmula o por factorizacin si esposible.2. Si la ecuacin de segundo grado es incompleta, resolverla sin la frmula, sacando factor comn o despejando.3. Si tiene una fisonoma complicada, arrglala: quita denominadores, suprime parntesis, agrupa trminos y psalos todos al primer miembro,...Slo cuando est simplificada, aplica uno de los mtodos anteriores.4. Comprueba las soluciones. Y si la ecuacin proviene de un problema con enunciado, haz la comprobacin sobre el enunciado, pues es posible que alguna de las soluciones carezca de sentido realEjemplo: 5. UNIDADES TECNOLGICAS DE SANTANDER 2x2 1 x 1 1 xResolver: 236Multiplicamos los dos miembros de la ecuacin por el m.c.m = 63 2 x2 1 2 x 1 1 x 6 x 2 3 2 x 2 1 x 6 x2 x 2 0Primer mtodo:1 (1)2 4(6)(2)Aplicando la formula cuadrtica x 2(6)82 1 1 48 1 712 3 x 12126 1 12 2 2 1Las soluciones son: x1 y x2 3 2Segundo mtodo:Factorizando 2 1 6 x 2 x 2 0 6 x 4 6 x 3 0 x x 3 2RESOLUCIN DE PROBLEMAS MEDIANTE ECUACIONESPlantear una ecuacin a partir de un problema es traducir al lenguaje algebraico las condicionesque ligan lo que se sabe con lo que se desea conocer. Conviene proceder de forma organizada,por lo que es til dar estos pasos:1. Identificar los datos conocidos, lo que deseamos conocer y dar nombre a la incgnita.2. Relacionar mediante una igualdad (ecuacin) lo conocido con lo desconocido.3. Resolver la ecuacin4. Comprobar e interpretar la solucin ajustndola al enunciado. 6. UNIDADES TECNOLGICAS DE SANTANDEREn problemas verbales, aparecen un nmero de declaraciones que incluyen frases tales comoalguna cantidad mayor que o menor que cierto valor multiplicado, digamos, dos veces o por lamitad de otra cantidad.A continuacin damos unos ejemplos de cmo cambiar tales expresiones a trminos algebraicos. Expresin verbal Expresin algebraicaDos nmeros cualesquiera x, yEl doble de un nmero2xLa suma del doble de un nmero con uno2x 1Un nmero ms su consecutivox ( x 1)El triple de la suma de un nmero con 73( x 7)Un nmero disminuido en 9x 9El cuadrado de la diferencia de un nmero con 5( x 5) 2Un nmero par2xUn nmero impar2x 1La suma de tres nmeros impares consecutivos(2 x 1) (2 x 3) (2 x 5)La mitad de un nmero menos 3x32La semisuma de dos nmerosx y 2Un nmero ms su tercera parte ms su quinta parte x x x 3 5Cudruple de la diferencia de un nmero y 2, aumentado en 6 4( x 2) 6El triple de un nmero menos su doble 3x 2 xCinco veces la diferencia de un nmero con 7 es igual a cuatro 5( x 7) 4( x 3)veces la suma del mismo nmero con 3Ejemplo: La base de un rectngulo mide el doble que su altura, si su permetro es 30 cm. cuntomiden la base y la altura? 7. UNIDADES TECNOLGICAS DE SANTANDERSolucin2x1.xx2x2x2.2 x 2 x x x 30 303.6 x 30 x x 5 Luego la altura mide 5 cm. y la base 10 cm.64. comprobacin: 10 + 10 + 5 + 5 = 30SISTEMAS DE ECUACIONESUn sistema de ecuaciones consiste en varias ecuaciones dadas conjuntamente con el fin dedeterminar la solucin o soluciones comunes a todas ellas.Muchos problemas de la vida real nos obligan a resolver simultneamente varias ecuacioneslineales para hallar las soluciones comunes a todas ellas. Tambin resultan muy tiles engeometra (las ecuaciones lineales se interpretan como rectas y planos, y resolver un sistemaequivale a estudiar la posicin relativa de estas figuras geomtricas en el plano o en el espacio).Se llama sistema de ecuaciones lineales a un conjunto de igualdades algebraicas en las queaparece una o varias incgnitas elevadas a la potencia uno. Cada una de estas ecuacioneslineales, o de primer grado, tiene la forma ax + by + cz + = k, donde a, b, c,..., son loscoeficientes de la ecuacin; x, y, z,..., las incgnitas o variables, y k el trmino independiente(tambin un valor constante). 8. UNIDADES TECNOLGICAS DE SANTANDERUn sistema se caracteriza por su dimensin. La dimensin de un sistema se determina segn elnmero de ecuaciones y de variables involucradas en el sistema.Un sistema de dos ecuaciones en dos variables se dice que es de dimensin 2x2. Un sistema dedos ecuaciones en tres variables se dice que es de dimensin 2x3. Un sistema de tresecuaciones en tres variables se dice que es de dimensin 3x3.Los sistemas en los que el nmero de ecuaciones coincide con el de las incgnitas se denominancuadrados. Un caso particularmente interesante de sistemas cuadrados es el de dos ecuacionescon dos incgnitas (2x2)Ejemplo 12x y 4 x 2y 8Dimensin 2x2; hay dos ecuaciones y dos variablesEjemplo 2x y z 1 x 2y z 2 Dimensin 2x3; hay dos ecuaciones y tres variablesEjemplo 32a b c 0 a b c 10 a 2b c 1Dimensin 3x3; hay tres ecuaciones y tres variablesTIPOS DE SISTEMAS LINEALESAtendiendo al nmero de soluciones de un sistema, estos pueden clasificarse en:1. Si el sistema tiene solucin, y sta es nica, se denomina compatible determinado.2 x 3 y 15Ejemplo: x y 12. Cuando presenta infinitas soluciones posibles, es compatible indeterminado. 2 x 3 y 15Ejemplo:4 x 6 y 30 9. UNIDADES TECNOLGICAS DE SANTANDER3. Si no tiene solucin, es decir, al intentar resolverlo llegamos a una contradiccin, se denomina imposible o incompatible. 2 x 3 y 15Ejemplo: 2 x 3 y 1Dos sistemas de ecuaciones lineales que tienen las mismas soluciones son equivalentes. En lanocin de equivalencia se basan las principales tcnicas algebraicas de res