Ecuaciones Lineales

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  • Facultad de Ingeniera IndustrialCarrera: Licenciatura en Sistemas de Informacin

    Tema: SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES

    Materia: Matemticas

    Integrantes:

    Mara Fernanda Chiquito Barreto

    Cinthia Hernndez

    Ingrid Franco Rivera

    Jefferson Palacios

    Grupo de Nivelacin N 19 Nocturno

    Profesora: Lic. Johana Galarza

  • INDICE:

    1.- Introduccin

    2.- Objetivo General

    3.- Objetivos Especficos

    4.- Elaboracin del Proyecto

    5.- Conclusiones

    6.- Recomendaciones

    7.- Anexos

    8.- Bibliografa

  • 1.- INTRODUCCION:

    La Universidad de Guayaquil-Facultad de Ingeniera Industrial, dentro suprograma de enseanza ha visto conveniente la realizacin del presentetrabajo con la intencin de brindar a los estudiantes una ayuda encaminada afacilitar la RESOLUCIN DE PROBLEMAS DE ECUACIONES DE PRIMERGRADO Y SEGUNDO GRADO. Esperando que sea aplicado todos losconsejos y pasos para un correcto aprendizaje.

    Una slida formacin en Matemticas contribuye a reflexionar sobre losdistintos aspectos de una situacin, a afirmar el espritu de anlisis y areforzar el poder de sntesis. De esta forma los adolescentes adquieren unaestructura de pensamiento que les permite distinguir, de forma lgica yrazonada, lo esencial de lo accesorio, las consecuencias de las causas, losmedios de los objetivos, etc.

  • 2.- OBJETIVO GENERAL

    Disear una estrategia de enseanza aprendizaje a los estudiantes de laUniversidad de Guayaquil-Facultad de Ingeniera Industrial, que permitadesarrollar habilidades en la formulacin y solucin de sistemas deecuaciones lineales, acordes con la exigencia del nivel.

    3.- OBJETIVOS ESPECIFICOS

    Desarrollar la actividad mental y favorecer as la imaginacin, laintuicin y la invencin creadora.

    Aplicar con soltura y adecuadamente las herramientas matemticasadquiridas a situaciones de la vida diaria.

    Usar correctamente el lenguaje matemtico con el fin de comunicarsede manera clara, concisa, precisa y rigurosa.

    Utilizar con soltura y sentido crtico los distintos recursos tecnolgicos(calculadoras, programas informticos), de forma que supongan unaayuda en el aprendizaje y en las aplicaciones instrumentales de lasMatemticas

    Adquirir hbitos racionales de trabajo, tanto individual como en equipo,y elaborar estrategias para analizar situaciones, recoger datos,organizarlos, tratarlos y resolver problemas.

  • 4.- ELABORACIN DEL PROYECTO

    Ecuaciones Lineales

    Se denomina ecuacin lineal a aquella que tiene la forma de un polinomio deprimer grado, es decir, las incgnitas no estn elevadas a potencias, nimultiplicadas entre s, ni en el denominador. Por ejemplo, 3x + 2y + 6z = 6 esuna ecuacin lineal con tres incgnitas.

    Como es bien sabido, las ecuaciones lineales con 2 incgnitas representanuna recta en el plano. Si la ecuacin lineal tiene 3 incgnitas, surepresentacin grfica es un plano en el espacio. Un ejemplo de ambasrepresentaciones puede observarse en la figura:

    El objetivo del tema es el estudio de los sistemas de ecuaciones lineales, esdecir, un conjunto de varias ecuaciones lineales.

    Diremos que dos ecuaciones son equivalentes si tienen las mismassoluciones, o geomtricamente representan la misma recta o plano.

  • Un sistema de ecuaciones lineales es un conjunto de ecuaciones lineales dela forma:

    En este caso tenemos m ecuaciones y n incgnitas.

    Los nmeros reales aij se denominan coeficientes y los xi se denominanincgnitas (o nmeros a determinar) y bj se denominan trminosindependientes. En el caso de que las incgnitas sean 2 se suelen designarsimplemente por x e y en vez de x1 y x2 , y en el caso de tres, x, y, z en lugarde x1, x2 y x3 pero esto es indiferente a la hora de resolver el sistema.

    Resolver el sistema consiste en calcular las incgnitas para que se cumplanTODAS las ecuaciones del sistema simultneamente.

    Diremos que dos sistemas son equivalentes cuando tienen las mismassoluciones.

    TIPOS DE ECUACIONES LINEALES

    En general, buscaremos las soluciones de los sistemas en los nmerosreales R. Dependiendo del posible nmero de tales soluciones reales quetenga un sistema, estos se pueden clasificar en:

    * INCOMPATIBLES (No tienen solucin) S.I.

    *COMPATIBLES Tienen solucin

  • Sistemas con dos incgnitas

    Los sistemas ms sencillos son aquellos en los que slo hay dos incgnitas y2 ecuaciones, y que ya son conocidos de cursos pasados.

    Hay varios sistemas para resolverlos, los ms habituales:

    * Reduccin

    Este mtodo consiste en preparar las dos ecuaciones para que una de lasincgnitas tenga el mismo coeficiente en ambas.

    Restando las ecuaciones resultantes, miembro a miembro, se obtiene unaecuacin con slo una incgnita (se ha reducido el nmero de incgnitas).

    Resumamos los pasos que debemos dar:

    1. Se preparan las dos ecuaciones (multiplicndolas por los nmeros queconvenga).

    2. Al restarlas desaparece una de las incgnitas.

    3. Se resuelve la ecuacin resultante.

    4. El valor obtenido se sustituye en una de las iniciales y se resuelve.

    5. Se obtiene, as, la solucin.

    En los que ya no nos entretendremos.

    Como cada ecuacin lineal con 2 incgnitas se interpreta geomtricamentecomo una recta, el estudio de la solucin del sistema se limita a estudiar laposicin de 2 rectas en el plano

    Veamos algunos ejemplos con los tres casos que se pueden presentar.Resolver e interpretar el sistema:

    x + 2y = 3

    2x + y = 1

    Por reduccin:

  • 2x+4y=-6

    -2x+ y=1

    5y=-5

    De donde y = -1 y sustituyendo x + 2 (-1) = -3, x = -1.

    Es decir, la solucin del sistema es nica, x = -1, y = -1 lo que significa que elsistema es compatible y determinado, y que las rectas se cortan en un punto,precisamente el (-1,-1):

    * Igualacin

    ste mtodo consiste en despejar la misma incgnita en ambas ecuaciones e igualar las expresiones resultantes.

    Describamos los pasos que conviene dar para aplicar este mtodo:

    1. Se despeja la misma incgnita en ambas ecuaciones.

    2. Se igualan las expresiones, lo cual da lugar a una ecuacin con una incgnita.

    3. Se resuelve esta ecuacin.

    4. El valor obtenido se sustituye en cualquiera de las dos expresiones en las que apareca despejara la otra incgnita.

    5. Se ha obtenido as la solucin.

    Resolver e interpretar el sistema:

    x + 2y = 3

  • 2x 4y = 5

    Por igualacin:

    x = 3 2y

    x = 5+4y

    2

    lo cual es imposible y por tanto el sistema no tiene solucin, es un sistemaincompatible y por tanto las rectas son paralelas. Geomtricamente:

  • * Sustitucin

    Este mtodo de resolucin de un sistema de ecuaciones consiste en despejaruna incgnita en una de las ecuaciones y sustituir en la otra.

    Describamos los pasos que conviene dar para aplicar este mtodo:

    1. Se despeja una incgnita en una de las ecuaciones.

    2. Se sustituye la expresin de esta incgnita en la otra ecuacin, obteniendouna ecuacin con una sola incgnita.

    3. Se resuelve esta ecuacin.

    4. El valor obtenido se sustituye en la ecuacin en la que apareca la incgnita despejada.

    5. Se ha obtenido, as, la solucin.

    Resolver e interpretar el sistema:

    x + 2y = 3

    3x + 6y = 9

    Por sustitucin:

    Como x = 2y 3 resulta 3(2y 3) + 6y = 9, es decir 6y 9+6y = 9, portanto 0y = 0, 0 = 0.

    Como 0 = 0 es una igualdad siempre cierta, quiere decir que el sistema tieneinfinitas soluciones, es compatible indeterminado, o que las rectas son lamisma.

  • Lo expresaremos as. Como x = 2y 3, dando valores a y se obtiene x.

    As si le damos a y el valor arbitrario de (lambda), entonces expresaremosla solucin como:

    x = 2 3

    y =

    y como puede ser cualquier nmero real, hay infinitas soluciones. Estos sonlos nicos casos que pueden darse con dos ecuaciones y dos incgnitas, ysu interpretacin geomtrica

    Discusin de sistemas de 2 ecuaciones con 2 incgnitas

    Si alguno de los coeficientes del sistema es desconocido, por ejemplo,

    No estamos ante un slo sistema, sino ante infinitos, uno para cada valor dea, y cada sistema ser a distinto en funcin del valor que tome dicha letra(llamada parmetro). Para estudiarlo, se resuelve el sistema como

  • habitualmente y se estudian los distintos casos que se pueden dar. Porejemplo, por reduccin:

    Por tanto, x(6 +a) = 23. Entonces, si 6 +a = 0 no podremos despejar x, esdecir si a = 6, obtenemos una ecuacin del tipo 0 = 23, es decir, imposible

    Por tanto, si a = 6 el sistema es incompatible.

    En cualquier otro caso, podemos despejar y se puede sacar y

    sustituyendo, por tanto, si a 6, el sistema es compatible determinado.

    Sistemas de 2 incgnitas y 3 ecuaciones

    Podemos aadir a los clsicos sistemas de 2 ecuaciones y 2 incgnitascuantas ecuaciones queramos para obtener diferentes tipos de sistemas con3, 4, 5 o ms ecuaciones.

    En cualquier caso, los tipos de sistemas a los que dan lugar son los mismosreseados anteriormente.

    Al aumentar el nmero de ecuaciones, la resolucin del sistema por algunode los tres mtodos clsicos se vuelve ms farragosa, por lo que convieneaplicar ya el conocido mtodo de Gauss para determinar el tipo de sistema.

    Para ello expresaremos el sistema en la forma matricial, analizando la matrizampliada asociada, que tendr 2 columnas y tantas filas como ecuacionestengamos.

    Analizaremos tan slo aquellos sistemas con 3 ecuaciones y 2 incgnitas.

  • La matr