Sistemas de Ecuaciones Lineales - Sistema · PDF file2.Sistemas de ecuaciones lineales con ......

Click here to load reader

  • date post

    26-Sep-2018
  • Category

    Documents

  • view

    261
  • download

    4

Embed Size (px)

Transcript of Sistemas de Ecuaciones Lineales - Sistema · PDF file2.Sistemas de ecuaciones lineales con ......

  • Sistemas de

    Ecuaciones Lineales

    I. E. S. Siete Colinas (Ceuta) Departamento de Matemticas

    Matemticasde

    2 de Bachillerato

    Por Javier Carroquino CaZas Catedrtico de matemticas

    del I.E.S. Siete Colinas

    Ceuta 2004

  • Sistemas de

    Ecuaciones Lineales

    Javier Carroquino Caas

  • Matemticas de 2 de bachillerato

    Ciencias de la Naturaleza y la SaludTecnologa

    Sistemas De

    Ecuaciones LinealesPor

    Javier Carroquino CaasCatedrtico de matemticas

    I.E.S. Siete Colinas (Ceuta)Departamento de Matemticas

    Ceuta 2004

  • Javier Carroquino CaasI.E.S. Siete Colinas (Departamento de Matemticas)Sistemas de Ecuaciones Lineales

    Depsito Legal : CE & 45 & 2004

    ISBN : 84&688&6799&3

    Nmero de Registro :

    Ceuta 2004

  • Prlogo

    E n ocasiones, encontrar la solucin a un problemareal, en el que la matemtica juega un papelimportante para llegar a ella, se reduce a laresolucin de una ecuacin o de un sistema de dosecuaciones o de tres, etc, siendo esto la culminacin detodo un proceso en el que dicho problema real (o parte deeste) ha quedado reducido a un sistema de ecuaciones.

    Es por ello, por lo que la matemtica debe afrontarel estudio de mtodos que nos permitan resolver sistemasde ecuaciones, esto es, encontrar los valores que debentomar las incgnitas para que todas las igualdades de queconsta dicho sistema sean verdaderas.

    Veremos en este tema distintos mtodos deresolucin de sistemas de ecuaciones lineales (o de primergrado), dando por supuesto que el alumno conoce losdistintos mtodos de resolucin de ecuaciones y sistemasde dos ecuaciones lineales con dos incgnitas (reduccin,igualacin y sustitucin).

    Concluyamos diciendo que estos mtodos son deaplicacin en numerosos problemas relacionados con elestudio de espacio, la arquitectura, la construccin demquinas y grandes estructuras, la economa, etc.

    Cada mtodo explicado en este cuaderno iracompaado de uno o ms ejemplos con el objetivofacilitar la comprensin por parte del alumno.

  • Matemticas de 2 de bachillerato Sistemas de Ecuaciones LinealesI

    ndice

    Pgina

    1.Conceptos previos ..................................... 11.1.Ecuacin lineal................................. 1

    Ejemplo 1..................................... 11.2.Incgnitas de una ecuacin...................... 1

    Ejemplo 2 .................................... 2Ejemplo 3..................................... 2

    1.3.Coeficientes de una ecuacin ................... 2Ejemplo 4...................................... 2

    1.4.Trmino independiente de una ecuacin ........... 2Ejemplo 5....................................... 2

    1.5.Solucin de una ecuacin ........................ 2Ejemplo 6....................................... 3Ejemplo 7....................................... 3

    1.6.Resolucin de una ecuacin....................... 32.Sistemas de ecuaciones lineales con coeficientes reales.. 4

    Ejemplo 8............................................ 5Ejemplo 9............................................ 5

    3.Solucin de un sistema................................... 54.Discusin de un sistema.................................. 65.Resolucin de un sistema................................. 6

    Ejemplo 10 .......................................... 66.Expresin de un sistema en forma matricial............... 7

    Ejemplo 11 .......................................... 8Ejemplo 12 .......................................... 9Ejemplo 13 .......................................... 9Ejemplo 14 .......................................... 11Ejemplo 15 .......................................... 11Ejemplo 16 .......................................... 12

    7.Matriz ampliada de un sistema ........................... 12Ejemplo 17 .......................................... 13

    8.Sistemas equivalentes ................................... 13Ejemplo 18 .......................................... 13

    9.Clasificacin de los sistemas respecto de sus soluciones .1410.Propiedades de los sistemas ........................... 15

    Propiedad I ......................................... 15Ejemplo 19 ..................................... 15Ejemplo 20 ..................................... 15Ejemplo 21 ..................................... 18

    Propiedad II ........................................ 18Ejemplo 22 ..................................... 18

    Propiedad III ....................................... 19Ejemplo 23 ..................................... 20

    11.Resolucin de un sistema. Mtodos de resolucin......... 2112.Mtodo de la matriz inversa para resolver un sistema ... 21

    Ejemplo 24 .......................................... 22Ejemplo 25 .......................................... 23Ejemplo 26 .......................................... 24

    13.Mtodo de Gauss para la resolucin de un sistema ....... 25Ejemplo 27 .......................................... 26

  • Matemticas de 2 de bachillerato Sistemas de Ecuaciones LinealesII

    Pgina

    Ejemplo 28 .......................................... 27Ejemplo 29 .......................................... 29

    14.Mtodo de Gauss para la resolucin de un sistema ............ 29Ejemplo 30 .......................................... 30Ejemplo 31 .......................................... 31

    15.Mtodo de Cramer para la resolucin de un sistema ...... 3215.1.Sistema de Cramer .............................. 32

    Ejemplo 32 ..................................... 33Ejemplo 33 ..................................... 33Ejemplo 34 ..................................... 34Ejemplo 35 ..................................... 36Ejemplo 36 ..................................... 37Ejemplo 37 ..................................... 37

    16.Teorema de Rouch ...................................... 3916.1.Observaciones y consec. del teorema de Rouch .. 42

    Ejemplo 38 ..................................... 42Ejemplo 39 ..................................... 43Ejemplo 40 ..................................... 44Ejemplo 41 ..................................... 45Ejemplo 42 ..................................... 47Ejemplo 43 ..................................... 49Ejemplo 44 ..................................... 50Ejemplo 45 ..................................... 54

    17.Sistemas homogneos .................................... 54Ejemplo 46 .......................................... 5517.1.Propiedades de los sistemas homogneos ......... 55

    Propiedad I .................................... 55 Propiedad II.................................... 55Propiedad III .................................. 56 Propiedad IV. .................................. 56

    17.2.Forma de discutir un sistema homogneo ......... 57Ejemplo 47 ..................................... 57Ejemplo 48 ..................................... 58

    18.Los conjuntos 2,3,4,,n ............................ 5918.1.El conjunto 2 ................................. 59

    Ejemplo 49 .................................... 6018.2.El conjunto 3 ................................. 60

    Ejemplo 50 ..................................... 6018.3.El conjunto 4 ................................. 60

    Ejemplo 51 ..................................... 6018.4.El conjunto n ................................. 60

    19.El conjunto de las soluciones de un sistema ........... 61Ejemplo 52 .......................................... 62Ejemplo 53 .......................................... 62Ejemplo 54 .......................................... 62Ejemplo 55 .......................................... 63

    20.Formas implcita y paramtrica de un subconjunto de n.. 63Ejemplo 56 .......................................... 64

    21.Eliminacin de parmetros ............................. 65Ejemplo 57 .......................................... 65Ejemplo 58 .......................................... 66Ejemplo 59 .......................................... 67Ejemplo 60 .......................................... 68

  • Matemticas de 2 de bachillerato Sistemas de Ecuaciones LinealesIII

    Pgina

    Ejercicios resueltos ..................................... 70Ejercicio n 1 ...................................... 70Ejercicio n 2 ...................................... 71Ejercicio n 3 ...................................... 71Ejercicio n 4 ...................................... 72Ejercicio n 5 ...................................... 73Ejercicio n 6 ...................................... 73Ejercicio n 7 ...................................... 74Ejercicio n 8 ...................................... 77Ejercicio n 9 ...................................... 79

  • Matemticas de 2 de bachillerato Pgina 1 Sistemas de Ecuaciones Lineales

    a x a x a x a x cn n1 1 2 2 3 3+ + + + =LL

    325

    11 0 73 121 2 3 4 5x x x x x+ + =

    a a a a a c1 2 3 4 5325

    11 0 73 12= = = = = = ; ; ; ; ;

    Antes del estudio de este tema, el alumno debe afrontar previamente el desarrolladobajo el ttulo Matrices y determinantes perteneciente a esta coleccin deapuntes de matemticas para 2 de bachillerato (modalidad Ciencias de laNaturaleza y Salud o Cientfico Tecnolgico).

    Hay que suponer que el alumno conoce y maneja distintos conceptos previos, tales comoecuacin, sistema de dos ecuaciones de primer grado con dos incgnitas, mtodos deresolucin de sustitucin, igualacin y reduccin, solucin de una ecuacin ,etc.

    Veremos en este tema distintos mtodos de resolucin de ecuaciones lineales (o de primergrad