Sistemas de Sistemas de Ecuaciones Lineales.Ecuaciones Lineales.

Selene Juárez

Sistema de Ecuaciones.Sistema de Ecuaciones. La La agrupación de dos o más ecuacionesagrupación de dos o más ecuaciones forma forma

un sistema de ecuaciones.un sistema de ecuaciones.

La parte importante de un sistema de ecuaciones es La parte importante de un sistema de ecuaciones es aprender a construirlos, y saber resolverlos.aprender a construirlos, y saber resolverlos.

Debemos encontrar Debemos encontrar valores x, yvalores x, y para los cuales para los cuales ambas ecuaciones sean verdaderas de manera ambas ecuaciones sean verdaderas de manera simultánea.simultánea.

Estos valores son llamados Estos valores son llamados solucionessoluciones al sistema. al sistema.

Cuando una situación debe Cuando una situación debe ser descrita ser descrita

matemáticamente, no es raro matemáticamente, no es raro que surja un conjunto de que surja un conjunto de

ecuaciones.ecuaciones.

Ejemplo.Ejemplo.Establecer un plan de producción para Establecer un plan de producción para 2 modelos de un producto nuevo.2 modelos de un producto nuevo.

Modelo A4 Piezas del tipo I9 Piezas del tipo II

Modelo B5 Piezas del tipo I

14 Piezas del tipo II

De sus proveedores la fabrica De sus proveedores la fabrica obtiene:obtiene:

335 piezas del tipo I

850 piezas del tipo II

De cada modelo, ¿Cuántos De cada modelo, ¿Cuántos debe producir cada día de debe producir cada día de modo que todas las piezas modo que todas las piezas del tipo I y piezas del tipo II del tipo I y piezas del tipo II

sean utilizadas?sean utilizadas?

Solución.Solución. Es conveniente Es conveniente construir una tabla que construir una tabla que resuma la información resuma la información

importante.importante. 

Modelo A

Modelo B

Total Disponible

Piezas del tipo I 4 5 335

Piezas del tipo II 9 14 850

Nuestra tabla muestra el número de piezas tipo I y tipo II requeridas para cada Modelo, así como el número total disponible.

Formando el sistema de Formando el sistema de ecuaciones tenemos:ecuaciones tenemos:

85014933554

yxyx

Métodos Algebraicos para Métodos Algebraicos para Resolver un Sistema de Resolver un Sistema de

Ecuaciones Lineales.Ecuaciones Lineales.1.1. Método de Suma y Resta.Método de Suma y Resta.2.2. Método de Sustitución.Método de Sustitución.3.3. Método de Igualación.Método de Igualación.4.4. Método de Determinantes.Método de Determinantes.5.5. Método Grafico.Método Grafico.

1.1. Método de ReducciónMétodo de Reducción( Suma y Resta).( Suma y Resta).

8501493355 4

yxyx

Paso 1. Encontrar un sistema equivalente en el que los coeficientesde los términos en x en cada ecuación sean iguales excepto por el signo.

(-4) 850149(9) 3355 4

yxyx

Paso 2Paso 2. . Los miembros izquierdo y Los miembros izquierdo y derecho de la ecuación son iguales, de derecho de la ecuación son iguales, de

modo que cada miembro puede ser modo que cada miembro puede ser sumado al correspondiente de la sumado al correspondiente de la

ecuación.ecuación.

(-4) 850149(9) 3355 4

yxyx

34005636 301554 36

yxyx

38511 y3511385

y

Paso 3Paso 3. . Reemplazar el valor de Reemplazar el valor de y=35, en cualquier ecuación del y=35, en cualquier ecuación del sistema para hallar el valor de x.sistema para hallar el valor de x.

8501493355 4

yxyx

404/1603351754

335)35(5 4

xxx

3511385

y

O Bien

409/3608504909

850)35(41 9

xxx

Por tanto, el sistema original es equivalente ax= 40 pzas

y=35 pzas

Paso 4Paso 4. . Verificar nuestra respuesta Verificar nuestra respuesta sustituyendo sustituyendo x = 40x = 40 y y y = 35 en las y = 35 en las

ecuaciones originalesecuaciones originales..

8501493355 4

yxyx

850)35(14)40(9335)35(5 )40(4

850490360335751 160

2. Método de 2. Método de Sustitución.Sustitución.

Este método consiste en despejar una Este método consiste en despejar una variable de una ecuación y sustituirla en variable de una ecuación y sustituirla en la otra ecuación, se resuelve ésta y se la otra ecuación, se resuelve ésta y se obtiene un valor de una de las variables. obtiene un valor de una de las variables.

Para encontrar el valor de la otra Para encontrar el valor de la otra variable, se sustituye el valor encontrado variable, se sustituye el valor encontrado en cualquiera de las dos ecuaciones. en cualquiera de las dos ecuaciones.

Resolver el siguiente sistema Resolver el siguiente sistema de ecuaciones lineales por el de ecuaciones lineales por el

Método de Sustitución.Método de Sustitución.

8501493355 4

yxyx

45335 yx

a) Despejamos “x” de la Ecuación 1.

b) Sustituimos “x” en la Ecuación 2.

3575.225.96

85075.275.75385014)25.1175.753(

85014)4

5335(9

y

yyy

yy

Resolver el siguiente sistema Resolver el siguiente sistema de ecuaciones lineales por el de ecuaciones lineales por el

Método de Sustitución.Método de Sustitución.

8501493355 4

yxyx

c) Sustituimos el valor de “y” en cualquier ecuación para determinar el valorDe “x””.

404

160 x

175-335 4x 335 5(35) 4x

#1.

Ecuación

409

360 x

490-850 9x 850 14(35) 9x

#2.

Ecuación

d)d). . Verificar nuestra respuesta Verificar nuestra respuesta sustituyendo sustituyendo x = 40x = 40 y y y = 35 en las y = 35 en las

ecuaciones originalesecuaciones originales..

8501493355 4

yxyx

850)35(14)40(9335)35(5 )40(4

850490360335751 160

3. Método de Igualación.3. Método de Igualación. Este método consiste en despejar la misma Este método consiste en despejar la misma

variable de cada ecuación e igualarlas, variable de cada ecuación e igualarlas, obteniendo de esta manera una ecuación de obteniendo de esta manera una ecuación de primer grado con una incógnita. primer grado con una incógnita.

Se resuelve esta ecuación y se obtiene el valor Se resuelve esta ecuación y se obtiene el valor de una de las variables.de una de las variables.

Para obtener el valor de la otra variable, se Para obtener el valor de la otra variable, se sustituye en cualquiera de las dos ecuaciones sustituye en cualquiera de las dos ecuaciones el valor encontrado y se realiza la el valor encontrado y se realiza la comprobación.comprobación.

Resolver el siguiente sistema Resolver el siguiente sistema de ecuaciones lineales por el de ecuaciones lineales por el

Método de Igualación.Método de Igualación.

8501493355 4

yxyx

45335 yx

a) Despejamos “x” de la Ecuación 1 y 2.

b) Igualar las ecuaciones del inciso a)

914850 yx

914850

45335 yy

Resolver el siguiente sistema Resolver el siguiente sistema de ecuaciones lineales por el de ecuaciones lineales por el

Método de Igualación.Método de Igualación.c) Agrupando términos semejantes para determinar el valor de “y”. 9

148504

5335 yy

353611

36385

36385

3611

4335

9850

914

45

y

y

yy

Resolver el siguiente sistema Resolver el siguiente sistema de ecuaciones lineales por el de ecuaciones lineales por el

Método de Igualación.Método de Igualación.

8501493355 4

yxyx

d) Sustituimos el valor de “y” en cualquier ecuación para determinar el valorDe “x””.

404

160 x

175-335 4x 335 5(35) 4x

#1.

Ecuación

409

360 x

490-850 9x 850 14(35) 9x

#2.

Ecuación

4.Método de Determinantes 4.Método de Determinantes (Regla de Cramer).(Regla de Cramer).

8501493355 4

yxyx

4011440

455642504690

)9*5()14*4()850*5()14*335(

14954148505335

x

3511385

455630153400

)9*5()14*4()335*9()850*4(

14954

85093354

y

Coef. De yCoef. 2o. Miembro

Coef. De xCoef. 2o. Miembro

5. METODO GRAFICO5. METODO GRAFICO8501493355 4

yxyx

PROCEDIMIENTO:1) Despeja y de cada ecuacion para formar funciones

lineales:

54335 xy

14

9850 xy

5. Metodo Grafico 5. Metodo Grafico 2. Igualar ambas 2. Igualar ambas

ecuaciones para ecuaciones para encontrar x, de tal encontrar x, de tal manera que se manera que se haga una correcta haga una correcta tabulacion. tabulacion.

149850 xy

5

4335 xy

40

7011744

744

7011

5335

14850

149

54

149

14850

54

5335

149850

54335

x

x

xx

xx

xx

5. M. Grafico. Tabulacion5. M. Grafico. Tabulacion

x y= f (x) =(335-4x)/5 y= f (x)=(850-9x)/140 67 60.71

10 59 54.2920 51 47.8630 43 41.4340 35 3550 27 28.5760 19 22.1470 11 15.71

5. Metodo Grafico5. Metodo GraficoMETODO GRAFICO

01020304050607080

0 10 20 30 40 50 60 70 80

VALORES DE X

VALO

RES

DE

Y

SOLUCION: x=40 ; y = 35

Por su atención,Por su atención,

Gracias!Gracias!

Ejercicio de tareaEjercicio de tarea La compañia controles universales fabrica La compañia controles universales fabrica

unidades de control. Sus nuevos modelos unidades de control. Sus nuevos modelos son el Argon I y el Argon II. Para fabricar son el Argon I y el Argon II. Para fabricar cada unidad del Argon I se usan 6 cada unidad del Argon I se usan 6 medidores y 3 controladores. Para fabricar medidores y 3 controladores. Para fabricar cada unidad del Argon II se usan 10 cada unidad del Argon II se usan 10 medidores y 8 controladores.medidores y 8 controladores.

La compañia recibe un total de 700 La compañia recibe un total de 700 medidores y 500 controladores diarios de medidores y 500 controladores diarios de sus proveedores.sus proveedores.

¿¿Cuantas unidades de cada modelo se Cuantas unidades de cada modelo se pueden producir diariamente?pueden producir diariamente?

Suponga que todas las partes son utilizadas.Suponga que todas las partes son utilizadas.